專題04 一線三等角模型（原卷版）

專題04一線三等角模型基本模型：例題精講例1．（直角K字型）如圖，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到①的位置時(shí)，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到②的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到③的位置時(shí)，試問具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出這個(gè)等量關(guān)系，不需要證明．例2．（非直角K字型）【探究】如圖①，點(diǎn)B、C在的邊上，點(diǎn)E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【變式訓(xùn)練1】（1）如圖1，已知中，90°，，直線經(jīng)過點(diǎn)直線，直線，垂足分別為點(diǎn)．求證：．證明：（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點(diǎn)都在直線上，并且有．請寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練2】（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應(yīng)用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點(diǎn)I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點(diǎn)．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為．【變式訓(xùn)練3】已知：中，，，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AC右側(cè)作，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)E作于H，連接DE，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，連接BE交CA的延長線于點(diǎn)M．求證：；(3)當(dāng)點(diǎn)D在射線CB上時(shí)，連接BE交直線AC于M，若，則的值為______．【變式訓(xùn)練4】【問題背景】（1）如圖1，在中，，，，，垂足為E．求證：；【變式運(yùn)用】（2）如圖2，在中，，，．求；【拓展遷移】（3）如圖3，在中，，，與交于點(diǎn)，，，直接寫出的值．課后訓(xùn)練1．如圖，為等邊三角形，是邊上一點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，在邊上取一點(diǎn)，使，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且．(1)若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上．①如圖1，若∠BCA＝90°，，則BE_________CF．②如圖2，若0°<∠BCA<180°，請?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與∠BCA關(guān)系的條件__________________，使①中的結(jié)論仍然成立，并說明理由；(2)如圖3．若線CD經(jīng)過∠BCA的外部，，請?zhí)岢鲫P(guān)于EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并簡述理由3．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是線段CA延長線上一點(diǎn)，且AD＝AB．點(diǎn)F是線段AB上一點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作等腰Rt△DFE．連接EA，且EA⊥AB．(1)若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，則∠ABC＝°；(2)過D點(diǎn)作DG⊥AE，垂足為G．①填空：△DEG≌△；②求證：AE＝AF+BC；(3)如圖2，若點(diǎn)F是線段BA延長線上一點(diǎn)，其他條件不變，請寫出線段AE，AF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并簡要說明理由．4．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如圖1，延長交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為；(2)如圖2，連接、，延長交于點(diǎn)，若，點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：；(3)如圖3，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，則的面積為．5．如圖ABD與AEC均為等腰直角三角形，AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．（1）如圖1，若反向延長ABC的高AM交DE于點(diǎn)N，過D作DH⊥MN．求證：DH＝AM，DN＝EN；（2）如圖2，若AM為ABC的中線，反向延長AM交DE于點(diǎn)N，試探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）由（1）（2）的探究我們發(fā)現(xiàn)．（填“＜”“＞”或“＝”號，無需證明）6．如圖1所示，已知AB為直線a上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線a上方一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向△ABC外作△ACD和△BCE，且，，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)．（1）【問題探究】小華同學(xué)想探究圖1中線段、、AB之間的數(shù)量關(guān)系．他的方法是：作直線于點(diǎn)H，可以先證明和________，于是可得：________和________，所以得到線段、、AB之間的數(shù)量關(guān)系是________；（2）【方法應(yīng)用】在圖2中，當(dāng)D、E兩點(diǎn)分別在直線a的上方和下方時(shí)，試探究三條線段、、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）【拓展延伸】在圖2中，當(dāng)D、E兩點(diǎn)分別在直線a的上方和下方時(shí)，小華同學(xué)測得線段，，請用含有m、n的代數(shù)式表示△ABC的面積為________．7．（1）如圖1，已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，垂足分別為點(diǎn)、．證明：①；②．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，、、三點(diǎn)都在上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，過的邊、向外作正方形和正方形，是邊上的高，延長交于點(diǎn)，求證：是的中點(diǎn)．8．已知點(diǎn)C是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)C，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)A，且，．①與全等嗎？請說明理由；②連接DE，試猜想的形狀，并說明理由；③是否成立？_________（填“成立”或“不成立”）．（2）類比探究如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)C，過點(diǎn)作，垂足點(diǎn)A，且，．試直接寫出的形狀為___________；此時(shí)線段DC、AE和AC之間的數(shù)量關(guān)系為__________（直接寫出結(jié)論，不用說明理由）．9．已知：中，過B點(diǎn)作BE⊥AD，．(1)如圖1，點(diǎn)在的延長線上，連，作于，交于點(diǎn)．求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在線段上，連，過作，且，連交于，連，問與有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，點(diǎn)在CB延長線上，且，連接、的延長線交于點(diǎn)，若，請直接寫出的值．10．（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E，當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)