專題02 截長補短模型（解析版）

專題02截長補短模型基本模型：①截長：在較長的線段上截取另外兩條較短的線段。如圖所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS）.②補短：選取兩條較短線段中的一條進行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。如圖所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），例題精講例1．（截長型）在中，，如圖①，當，為的平分線時，在上截取，連接DE，易證．(1)如圖②，當，為的角平分線時，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關系？不需要說明理由，請直接寫出你的猜想.(2)如圖③，當，為的外角平分線時，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并對你的猜想進行說明.【答案】(1)；(2)，證明見解析【詳解】（1）解：．理由為：在上截取，連接，如圖②所示，∵為的平分線，∴，在和中，，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴，∴，則；（2）解：．理由為：在上截取，連接，如圖③所示，∵為的平分線，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，則．例2．（補短型）【問題背景】如圖1：在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，小王同學探究此問題的方法是：延長到點，使，連接，再證明，可得出結論．【探索延伸】如圖2，若在四邊形中，，、分別是，上的點，上述結論是否仍然成立【學以致用】如圖3，四邊形是邊長為5的正方形，，求的周長．【答案】【問題背景】；【探索延伸】結論仍然成立；理由見解析；【學以致用】10【詳解】（1）【問題背景】解：如圖1，在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：．（2）【探索延伸】解：結論仍然成立；理由：如圖2，延長到點．連接，在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴；（3）【學以致用】解：如圖3，延長到點，連接，在與中，∵，∴，∴，．∵，，∴，∴，在與中，∵，∴，∴，∴的周長．例3．（截長補短綜合）在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，P為△ABC外一點，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當點M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關系．(1)如圖①，當點M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時，試說明MN＝BM+CN．(2)如圖②，當點M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時，MN＝BM+CN還成立嗎？答：．（請在空格內(nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如圖③，當點M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，請直接寫出BM，NC，MN之間的數(shù)量關系．

【答案】(1)見解析；(2)一定成立；(3)MN＝NC﹣BM【詳解】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN為等邊三角形，∴PM＝PN＝MN，在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝PM，同理可得，CN＝PN，∴BM+CN＝MN．（2）解：一定成立，理由如下：延長AC至H，使CH＝BM，連接PH，如圖所示，由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，在△PBM和△PCH中，，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，∵∠BPM+∠CPN＝60°，∴∠CPN+∠CPH＝60°，∴∠MPN＝∠HPN，在△MPN和△HPN中，，∴△MPN≌△HPN（SAS），∴MN＝HN＝BM+CN，故答案為：一定成立．（3）解：在AC上截取CK＝BM，連接PK，如圖所示，在△PBM和△PCK中，，∴△PBM≌△PCK（SAS），∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK，∵∠BPM+∠BPN＝60°，∴∠CPK+∠BPN＝60°，∴∠KPN＝60°，∴∠MPN＝∠KPN，在△MPN和△KPN中，，∴△MPN≌△KPN（SAS），∴MN＝KN，∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，∴MN＝NC﹣BM．【變式訓練1】（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當時，探究線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點D作，垂足為點E，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關系．【答案】（1）證明見解析；（2）；理由見解析；（3）．【詳解】解：（1）方法1：在上截，連接，如圖．平分，．在和中，，，，．，．．，．方法2：延長到點，使得，連接，如圖．平分，．在和中，，．，．，．，，．（2）、、之間的數(shù)量關系為：．（或者：，）．延長到點，使，連接，如圖2所示．由（1）可知，．為等邊三角形．，．，．．，為等邊三角形．，．，，即．在和中，，．，，．（3），，之間的數(shù)量關系為：．（或者：，）解：連接，過點作于，如圖3所示．，．．在和中，，，，．在和中，，．，，．【變式訓練1】如圖，△ABC為等邊三角形，直線l過點C，在l上位于C點右側的點D滿足∠BDC＝60°（1）如圖1，在l上位于C點左側取一點E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；（2）如圖2，點F、G在直線l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：HG+BD＝CF；（3）在（2）的條件下，當A、B位于直線l兩側，其余條件不變時（如圖3），線段HG、CF、BD的數(shù)量關系為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CF=EF-BD．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）（2）如圖所示，在直線l上位于C點左側取一點E，使得∠AEC=60°，連接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD，∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°，∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG，在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）如圖所示，在直線l上位于C點右側取一點E使得∠AED=60°，連接AE，在直線l上位于D點左側取一點M使得BM=BD，設AB與直線l交于N∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等邊三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°，∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM，∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠CBM，∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC，在△AEC和△CMB中，，∴△AEC≌△CMB（AAS），∴CE=BM=BD；∵∠AFH=120°，∴∠AFC+∠GFH=60°，∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，∴∠AFC=∠FHG，在△AEF和△FGH中，，∴△AEF≌△FGH（AAS），∴HG=EF，∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．故答案為：CF=EF-BD．【變式訓練2】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點D，過D作DE⊥BA于點E，點F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長．【答案】（1）見解析；（2）3【詳解】解：（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠DEA=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，連接MD，在△FAD和△MAD中，，∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，∵BD=DF，∴BD=MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，，∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴ME=BE，∵AF=AM，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE＝BM＝3，即BE的長為3．【變式訓練3】如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點，且．求證：．【答案】見解析【詳解】證明：延長至點，使得，連接，四邊形中，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，．課后訓練1．如圖，為等邊三角形，若，則__________（用含的式子表示）．【答案】【詳解】解：如圖，在BD上截取BE=AD，連結CE，∵為等邊三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵，BE=AD，∴，∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，∴是等邊三角形，∴∠BDC=60°，∴．故答案為：2．如圖，已知中，，D為上一點，且，則的度數(shù)是_________．【答案】20°【詳解】解：如圖，延長至點E使，連接．∴，∵，∴．∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴設，則．在與中，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．故答案是．3．如圖，△ABC中，AB=AC，∠EAF=∠BAC，BF⊥AE

于E交AF于點F，連結CF．（1）如圖1所示，當∠EAF在∠BAC內(nèi)部時，求證：EF＝BE+CF．（2）如圖2所示，當∠EAF的邊AE、AF分別在∠BAC外部、內(nèi)部時，求證：CF＝BF+2BE．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】解：證明：（1）如圖，在上截取，連接，，，，，，，，，，，，在和中，，，，；（2）如圖，在的延長線上截取，連接，，，，，，，，，，在和中，，，，．4．在數(shù)學活動課上，數(shù)學老師出示了如下題目：如圖①，在四邊形中，是邊的中點，是的平分線，．求證：．小聰同學發(fā)現(xiàn)以下兩種方法：方法1：如圖②，延長、交于點．方法2：如圖③，在上取一點，使，連接、．（1）請你任選一種方法寫出這道題的完整的證明過程；（2）如圖④，在四邊形中，是的平分線，是邊的中點，，，求證：．【答案】（1）方法1：證明見解析；方法2：證明見解析；（2）證明見解析．【詳解】（1）方法1：如圖②，延長、交于點是的平分線是邊的中點在和中，；方法2：如圖③，在上取一點，使，連接、是的平分線在和中，是邊的中點，即，即又；（2）如圖，過點C作，交AE延長線于點G，延長GC交AB于點F，連接EF由方法1可知：是等腰三角形平分，，即在和中，．5．如圖1，在中，是直角，，、分別是、的平分線，、相交于點．（1）求出的度數(shù)；（2）判斷與之間的數(shù)量關系并說明理由．（提示：在上截取，連接．）（3）如圖2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判斷線段、與之間的數(shù)量關系并說明理由．【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE與FD之間的數(shù)量關系為：DF＝EF．理由見解析；（3）AC＝AE+CD．理由見解析．【詳解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE與FD之間的數(shù)量關系為：DF＝EF．理由：如圖2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分線，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG和△CFD中，，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG由（1）∠AFC＝120°得，∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∴∠AFG＝60°，又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE（ASA），∴EF＝GF，∴DF＝EF；（3）結論：AC＝AE+CD．理由：如圖3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．6．如圖1，在中，，平分，連接，，．（1）求的度數(shù)：（2）如圖2，連接，交于，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點為的中點，連接交于點，若，求線段的長．【答案】（1）；（2）見解析；（3）4【詳解】如圖1中，設．，，，，平分，，,，又∵在中，，，，，，；（2）,,,,,，，又∵,∴又，；（3）延長至，使，連接點為的中點，，，，，，，．7．閱讀與理解：折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．例如，在中，（如圖），怎樣證明呢？分析：把沿的角平分線翻折，因為，所以，點落在上的點處，即，據(jù)以上操作，易證明，所以，又因為，所以．感悟與應用：（1）如圖（a），在中，，，平分，試判斷和、之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖（b），在四邊形中，平分，，，，①求證：；②求的長．【答案】（1）BC?AC＝AD；理由詳見解析；（2）①詳見解析；②AB=14【詳解】解：（1）BC?AC＝AD．理由如下：如圖（a），在CB上截取CE＝CA，連接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC?CE＝BC?AC，∴BC?AC＝AD．（2）①如圖（b），在AB上截取AM＝AD，連接CM，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠MAC，∵AC＝AC，∴△ADC≌△AMC（SAS），∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，∵CD＝BC＝12，∴CM＝CB，∴∠B＝∠CMB，∵∠CMB＋∠CMA＝180°，∴∠B＋∠D＝180°；②設BN＝a，過點C作CN⊥AB于點N，∵CB＝CM＝12，∴BN＝MN＝a，在Rt△BCN中，，在Rt△ACN中，，則，解得：a＝3，即BN＝MN＝3，則AB＝8+3+3=14，∴AB=14．8．如圖，在銳角中，，點D，E分別是邊上一動點，連接BE交直線于點F．(1)如圖1，若，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點C順時針方向旋轉60°得到線段，連接，點N是的中點，連接．在點D，E運動過程中，猜想線段之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想．【答案】(1)(2)，理由見解析【詳解】（1）解：如圖1中，在射線上取一點K，使得，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）結論：．理由：如圖2中，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，如圖2中，延長到Q，使得，連接，∵，∴，∴，，∴，∴．延長到，使得，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴．9．在四邊形