2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第7節(jié)函數(shù)的圖像教學(xué)案文含解析北師大版

PAGE1-第七節(jié)函數(shù)的圖像[考綱傳真]會運用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì)．1．利用描點法畫函數(shù)圖像的流程2．利用圖像變換法作函數(shù)的圖像(1)平移變換(2)伸縮變換①y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(a＞1，橫坐標(biāo)縮短為原來的\f(1,a)，縱坐標(biāo)不變,0＜a＜1，橫坐標(biāo)伸長為原來的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變))y＝f(ax)的圖像；②y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(a＞1，縱坐標(biāo)伸長為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變),\s\do10(0＜a＜1，縱坐標(biāo)縮短為原來的a，橫坐標(biāo)不變))y＝af(x)的圖像．(3)對稱變換①y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于x軸對稱))y＝－f(x)的圖像；②y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于y軸對稱))y＝f(－x)的圖像；③y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于原點對稱))y＝－f(－x)的圖像；④y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于直線y＝x對稱))y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖像．(4)翻轉(zhuǎn)變換①y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(x軸下方部分翻折到上方),\s\do10(x軸上方部分不變))y＝|f(x)|的圖像；②y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do10(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖像．eq\o([常用結(jié)論])1．一個函數(shù)圖像的對稱關(guān)系(1)函數(shù)f(x)滿意關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)，則f(x)的圖像關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱；特殊地，當(dāng)f(a＋x)＝f(a－x)時，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱．(2)函數(shù)f(x)滿意關(guān)系f(a＋x)＝－f(b－x)，則f(x)的圖像關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱．2．兩個函數(shù)圖像的對稱關(guān)系(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱．(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖像關(guān)于點(a，b)中心對稱．[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝f(1－x)的圖像，可由y＝f(－x)的圖像向左平移1個單位得到． ()(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖像關(guān)于原點對稱． ()(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝f(|x|)的圖像與y＝|f(x)|的圖像相同． ()(4)若函數(shù)y＝f(x)滿意f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改編)甲、乙二人同時從A地趕往B地，甲先騎自行車到兩地的中點再改為跑步，乙先跑步到中點再改為騎自行車，最終兩人同時到達B地．已知甲騎車比乙騎車的速度快，且兩人騎車速度均大于跑步速度．現(xiàn)將兩人離開A地的距離s與所用時間t的函數(shù)關(guān)系用圖像表示，則如圖所示的四個函數(shù)圖像中，甲、乙的圖像應(yīng)當(dāng)是()①②③④A．甲是圖①，乙是圖② B．甲是圖①，乙是圖④C．甲是圖③，乙是圖② D．甲是圖③，乙是圖④B[設(shè)甲騎車速度為V甲騎，甲跑步速度為V甲跑，乙騎車速度為V乙騎，乙跑步速度為V乙跑，依題意V甲騎＞V乙騎＞V乙跑＞V甲跑，故選B．]3．已知a＞0，a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖像可能是()ABCDB[y＝loga(－x)與y＝logax的圖像關(guān)于y軸對稱，故選B．]4．函數(shù)y＝logeq\f(1,2)(1－x)的大致圖像是()ABCDD[把函數(shù)y＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))x的圖像對稱到y(tǒng)軸左側(cè)得到y(tǒng)＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))(－x)的圖像，再把所得圖像向右平移1個單位，得到y(tǒng)＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))(1－x)的圖像，故選D.]5．函數(shù)f(x)的圖像向右平移1個單位長度，所得圖像與曲線y＝ex關(guān)于y軸對稱，則f(x)＝()A．ex＋1 B．ex－1C．e－x＋1 D．e－x－1D[依題意，與曲線y＝ex關(guān)于y軸對稱的曲線是y＝e－x，于是f(x)相當(dāng)于y＝e－x向左平移1個單位的結(jié)果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]作函數(shù)的圖像【例1】作出下列函數(shù)的圖像：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(|x|)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.[解](1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)的圖像，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)圖像中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)的圖像中x＞0部分關(guān)于y軸的對稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(|x|)的圖像，如圖①實線部分．①②(2)將函數(shù)y＝log2x的圖像向左平移一個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖像，如圖②.(3)∵y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖像可由y＝eq\f(1,x)圖像向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到，如圖③.③④(4)∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0，))且函數(shù)為偶函數(shù)，先作出[0，＋∞)上的圖像，再依據(jù)對稱性作出(－∞，0)上的圖像，得圖像如圖④.[規(guī)律方法]函數(shù)圖像的三種畫法(1)干脆法：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟識的基本函數(shù)時，就可依據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖像的關(guān)鍵點干脆作出．(2)轉(zhuǎn)化法：含有肯定值符號的函數(shù)，可脫掉肯定值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖像．(3)圖像變換法：若函數(shù)圖像可由某個基本函數(shù)的圖像經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對稱得到，可利用圖像變換作出．易錯警示：(1)畫函數(shù)的圖像肯定要留意定義域．(2)利用圖像變換法時要留意變換依次，對不能干脆找到熟識的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)留意平移變換與伸縮變換的依次對變換單位及解析式的影響．識圖與辨圖【例2】(1)(2024·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的圖像大致為()(2)如圖，矩形ABCD的周長為8，設(shè)AB＝x(1≤x≤3)，線段MN的兩端點在矩形的邊上滑動，且MN＝1，當(dāng)N沿A→D→C→B→A在矩形的邊上滑動一周時，線段MN的中點P所形成的軌跡為G，記G圍成的區(qū)域的面積為y，則函數(shù)y＝f(x)的圖像大致為()ABCD(1)B(2)D[(1)因為f(－x)＝eq\f(e－x－ex,－x2)＝－eq\f(ex－e－x,x2)＝－f(x)(x≠0)，所以f(x)是定義域上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(0,0)中心對稱，解除選項A；因為f(1)＝e－eq\f(1,e)>2，所以解除選項C，D，選B．(2)如圖所示，點P的軌跡是分別以A，B，C，D為圓心，半徑為eq\f(1,2)的4個eq\f(1,4)圓，以及線段EF，GH，RQ，SJ部分．則G圍成的面積為矩形的面積減去4個eq\f(1,4)圓的面積，即y＝x(4－x)－π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2)＝4x－x2－eq\f(π,4)＝－(x－2)2＋4－eq\f(π,4)(1≤x≤3)，且當(dāng)x＝2時，y＝4－eq\f(π,4)∈(3,4)，故選D.][規(guī)律方法]識別函數(shù)圖像的方法技巧(1)由解析式確定函數(shù)圖像①從函數(shù)的定義域，推斷圖像的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖像的上下位置．②從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖像的改變趨勢．③從函數(shù)的奇偶性，推斷圖像的對稱性．④從函數(shù)的周期性，推斷圖像的循環(huán)往復(fù)．⑤從函數(shù)的特殊點，解除不合要求的圖像．⑥從函數(shù)的極值點推斷函數(shù)圖像的拐點．(2)由實際情景探究函數(shù)圖像關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為熟識的數(shù)學(xué)問題求解，要留意實際問題中的定義域問題．(1)(2024·武漢模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3x－1)的大致圖像是()(2)如圖，不規(guī)則四邊形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線l⊥AB交AB于E，當(dāng)l從左至右移動(與線段AB有公共點)時，把四邊形ABCD分成兩部分，設(shè)AE＝x，左側(cè)部分的面積為y，則y關(guān)于x的圖像大致是()ABCD(1)C(2)C[(1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}，解除A．又f(－1)＝eq\f(－13,3－1－1)＝eq\f(3,2)＞0，解除B．當(dāng)x→＋∞時，f(x)→0，故選C．(2)當(dāng)l從左至右移動時，一起先面積的增加速度越來越快，過了D點后面積保持勻速增加，圖像呈直線改變，過了C點后面積的增加速度又漸漸減慢．故選C．]函數(shù)圖像的應(yīng)用?考法1探討函數(shù)的性質(zhì)【例3】已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1,1)D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)C[將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉肯定值，得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))畫出函數(shù)f(x)的圖像，如圖，視察圖像可知，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1,1)上是削減的．]?考法2求不等式解集【例4】函數(shù)f(x)是定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函數(shù)，在(0，＋∞)上遞增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]＜0，則x的取值范圍為________．(－3,0)∪(0,3)[函數(shù)f(x)的圖像大致如圖所示．因為f(x)為奇函數(shù)，且x·[f(x)－f(－x)]＜0，所以2x·f(x)＜0.由圖可知，不等式的解集為(－3,0)∪(0,3)．][規(guī)律方法]1.利用函數(shù)圖像探討性質(zhì)的方法(1)依據(jù)已知或作出的函數(shù)圖像，從最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值．(2)從圖像的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性．(3)從圖像的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性．(4)從圖像與x軸的交點狀況，分析函數(shù)的零點等．2．利用函數(shù)的圖像探討不等式思路當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．3．利用函數(shù)圖像探討方程根的策略構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩熟識函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題，在同一坐標(biāo)系中分別作出兩函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合求解．(1)如圖，函數(shù)f(x)的圖像為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于隨意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．(1)C(2)[－1，＋∞)[(1)作出函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖像，如圖所示：其中函數(shù)f(x)與y＝log2(x＋1)的圖像的交點為D(1,1)，由圖像可知f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1＜x≤1}，故選C．(2)如圖，要使f(x)≥g(x)恒成立，則－a≤1，∴a≥－1.]函數(shù)圖像對稱性的應(yīng)用【例5】(1)(2024·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿意f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50 B．0C．2 D．50(2)(2024·全國卷Ⅲ)下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)y＝lnx的圖像關(guān)于直線x＝1對稱的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)(1)C(2)B[(1)由f(x)是奇函數(shù)知f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，則f(x＋2)＝－f(x)．從而f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．因為f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.因為f(1－x)＝f(1＋x)，所以當(dāng)x＝1時，f(2)＝f(0)＝0；當(dāng)x＝2時，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；當(dāng)x＝3時，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.綜上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故選C．(2)設(shè)所求函數(shù)圖像上任一點的坐標(biāo)為(x，y)，則其關(guān)于直線x＝1的對稱點的坐標(biāo)為(2－x，y)，由對稱性知點(2－x，y)在函數(shù)f(x)＝lnx的圖像上，所以y＝ln(2－x)．故選B．][規(guī)律方法]函數(shù)圖像對稱性的常見結(jié)論(1)關(guān)于點(a,0)對稱①若兩個函數(shù)f(x)與g(x)的圖像關(guān)于(a,0)對稱，則有f(x)＝－g(2a－x)．②函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于(a,0)對稱，則有f(x)＝－f(2a－x)．(2)關(guān)于直線x＝a對稱①函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱，則有f(a＋x)＝f(a－x)或f(2a－x)＝f(x)②若兩個函數(shù)f(x)與g(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱，則有g(shù)(x)＝f(2a－x)③偶函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱，則函數(shù)f(x)是周期為2a的周期函數(shù)④奇函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱，則函數(shù)g(x)是周期為4a的周期函數(shù)．(1)直線y＝k(x＋3)＋5(k≠0)與曲線y＝eq\f(5x＋17,x＋3)的兩個交點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＋y1＋y2等于()A．2B．4C．6 D．8(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)．則f(2019)＝()A．－3 B．0C．1 D．3(1)B(2)B[(1)因為y＝eq\f(5x＋17,x＋3)＝eq\f(2,x＋3)＋5，其圖像關(guān)于點(－3,5)對稱．又直線y＝k(x＋3)＋5過點(－3,5)，如圖所示．所以A，B關(guān)于點(－3,5)對稱，所以x1＋x2＝2×(－3)＝－6，y1＋y2＝2×5＝10.所以x1＋x2＋y1＋y2＝4.(2)由題意知f(3－x)＝f(x)＝－f(－x)，則f(x＋3)＝－f(x)，從而f(x＋6)＝f(x)．即函數(shù)f(x)是周期為6的周期函數(shù)，所以f(2019)＝f(3)＝f(0)＝0，故選B．]1．(2024·全國卷Ⅰ)函數(shù)y＝eq\f(sin2x,1－cosx)的部分圖像大致為()C[令f(x)＝eq\f(sin2x,1－cosx)，∵f(1)＝eq\f(sin2,1－cos1)＞0，f(π)＝eq\f(sin2π,1－cosπ)＝0，∴解除選項A，D.由1－cosx≠0得x≠2kπ(k∈Z)，故函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱．又∵f(－x)＝eq\f(sin－2x,1－cos－x)＝－eq\f(sin2x,1－cosx)＝－f(x