湖南省新高考教研-長郡二十校聯(lián)盟2025屆高三第一次預(yù)熱演練-數(shù)學(xué)（含答案）

姓2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第一次預(yù)熱考試數(shù)學(xué)試卷長郡中學(xué)；衡陽市八中；永州市四中；岳陽縣一中；湘潭縣一中；湘西州民中；石門縣一中；澧縣一中；益陽市一中；桃源縣一中；株洲市二中；麓山國際；郴州市一中；岳陽市一中；聯(lián)合命題婁底市一中；懷化市三中；邵東市一中；洞口縣一中；寧鄉(xiāng)市一中；瀏陽市一中。由命題學(xué)校：審題學(xué)校：注意事項：1.、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。.回答選擇題，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。23一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1,．已知集合AxR|2xBxRA∩B112xA．x0x2．{x0x．x1x2D．xx2．已知數(shù)列n為無窮等比數(shù)列，若i3i的取值范圍為i1i1A．．．3D．ππ434．空間中，已知兩條直線，，其方向向量分別為a,b，則“a,b=”是n所成角為”的4A．充分非必要條件．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬在陽馬PABCD中，若PA4PAAB1，異面直線PD與所成角的余弦值為ABCDAD563A．．2π的半圓，則該圓錐的高為D．3525．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個面積為數(shù)學(xué)試題第1頁（共5頁）{#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}65312A．．．D．222x2y236．已知橢圓C:1，左焦點為F，在橢圓C上取三個不同點P、Q、R36123的最小值為FPFQFR434343239433A．．．D．36393gx2x3,32x，hx2x3,32x2，fxmingx,hx，其中,y,x，y27z中的最大者，,y,x，y，z中的最小者，下列說法不正確的是A．函數(shù)fx為偶函數(shù)x3時，有fx，22．不等式ffx1的解集為22Dx23時，有ffxfx112??正整數(shù),,c，abc，滿足這樣條件的a,,c的組數(shù)為8acbA60．9075D．86二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得09．下列正方體中，為其頂點、棱中點或面中心，則在其中滿足MN//A．B．C．D．1．雙曲線C:x2y24的左右焦點分別為FF，左右頂點分別為、BP是右支上一點（與B點不重合），如圖12，過點P的直線l與雙曲線C的左支交于點Q，與其兩條漸近線分別交于ST兩點，則下列結(jié)論中正確的是、A．P到兩條漸近線的距離之和為2B．當(dāng)直線l運動時，始終有CPAB0D．F內(nèi)切圓半徑取值范圍為0,112數(shù)學(xué)試題第2頁（共5頁）{#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}1．信息熵常被用來作為一個系統(tǒng)的信息含量的量化指標(biāo)，從而可以進一步用來作為系統(tǒng)方程優(yōu)化的目標(biāo)或者參數(shù)選擇的判據(jù).在決策樹的生成過程中，就使用了熵來作為樣本最優(yōu)屬性劃分的判據(jù).信息論之父克勞德·香農(nóng)給出的信息熵的三個性質(zhì)：①②③單調(diào)性，發(fā)生概率越高的事件，其攜帶的信息量越低；非負(fù)性，信息熵可以看作為一種廣度量，非負(fù)性是一種合理的必然；累加性，即多隨機事件同時發(fā)生存在的總不確定性的量度是可以表示為各事件不確定性的量度的和.克勞德?香農(nóng)從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了滿足上述三個條件的隨機變量不確定性度量函數(shù)具有唯一形式nH(X)CPP1C1，設(shè)隨機變量所有取值為，，，?，PXP0in，iiX123ni2ii1ni1，則下列說法正確的有i1A．n1HX01B．n2時，若PHX的值隨著P的增大而增大11212n212n1CPP，P2PkkNHX2()12k1kDn2m，隨機變量的所有可能取值為，且PYjPXjPX2m1jjmHXHY三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15．已知ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c1sinA，B，C成等比數(shù)列，sin(B)，sinA，C成等差數(shù)列，則C.21．已知a,b0，1aba2b2的最小值為．1ab1．某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和12下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，33他至少有一天淋雨的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。5.（本小題滿分13行列式在數(shù)學(xué)中是一個函數(shù)，無論是在線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中），行列式作1為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用．將形如的符號稱二階行列式，并規(guī)定二階的行列式計算如下：a1a2sinxsin2x1112aaaa，設(shè)函數(shù)f(x)(xR)．11221221cos(xπ621222)(1)求f(x)的對稱軸方程及在]上的單調(diào)遞增區(qū)間；2133(2)在銳角△中，已知fA，ADABAC，cosB.233數(shù)學(xué)試題第3頁（共5頁）3{#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}1（本小題滿分15一般地，任何一個復(fù)數(shù)aia，bR）可以寫成rcosisin，其中r是復(fù)數(shù)的模，是以軸非負(fù)半軸為始邊，射為終邊的角，稱為復(fù)數(shù)的輔角我們規(guī)定在02π范圍內(nèi)的輔角稱為輔角主值，通常記作0，ππ3argi，arg1zzrsinrsinrri，就是說兩個121112221212122復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輔角等于各復(fù)數(shù)輔角的和.考慮如下操作：從寫有實數(shù)0，1，3的三張卡片中隨機抽取兩張，將卡片上的兩個數(shù)依次作為一個復(fù)數(shù)的實部和虛部.設(shè)n為正整數(shù)，重復(fù)n次上述操作，可得到n個復(fù)數(shù)，將它們的乘積記為zn.(1)寫出一次操作后所有可能的復(fù)數(shù)；(2)當(dāng)n2zn的取值為，求的分布列；(3)求z2n為實數(shù)的概率n.1（本小題滿分15如圖，在三棱錐中ACBC，平面，2，4，E，F(xiàn)分別是，PBPPACPAPCAC點，記平面與平面的交線為直線l.(1)求證：直線PAC；(2)若直線l上存在一點QBAC的同側(cè)），且直線PQ與直線所成的角為，求平面PBQ與平面π4的銳二面角的余弦值.數(shù)學(xué)試題第4頁（共5頁）{#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}1（本小題滿分17已知點Ax,y，Bx,y，定義的“倒影距離為,Bxyxy，我們把到兩定點F0，F(xiàn)0的1122122112“倒影距離之和為6的點的軌跡叫做“倒影橢圓”.(1)“倒影橢圓”C的方程；(2)“倒影橢圓”C的面積；(3)O為坐標(biāo)原點，若“倒影橢圓”C的外接橢圓為ED為外接橢圓E的下頂點，過點2的直線與橢圓E交于PQ（均異于點D），且DPQ的外接圓的圓心為H（異于點O），證明：直線與PQ的斜率之積為定值.OH1（本小題滿分17f的定義域為全體正整數(shù)集合，則稱f：NR或fn，nN為數(shù)列，簡記為n，數(shù)列中的每一項即為Na1in.我們舉個例子，古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：一尺之錘，日取其半，萬世不竭.其i11含義為：一根長一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限進行下去.第一天截下，第二天截下n22211不難看出，數(shù)列的通項n的無限增大而無限接近于0，那么我們就說數(shù)列的極限為0.我們定義2n2n11下：2n2n設(shè)a為數(shù)列，a為定數(shù)，若對給定的任意正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得nNaa，則稱數(shù)列annn于a，定數(shù)a稱為數(shù)列a的極限，記為aa.nnnnn1(1)已知數(shù)列nFFn3，F(xiàn)F1，證明：當(dāng)n不斷增大時，的值會不斷趨向于黃金分割比51.n1n212212(2)設(shè)數(shù)列a0a14a1a1，證明：a.nnn1nnn(3)材料：設(shè)an是個實數(shù)列，對任意給定的，若存在NN，使得凡,nN，且,nN，都有aa，0mnn1naa則稱an“柯西列”.問題解決：定義k，證明：1時，不是“柯西列”，1時，是柯西列”.k1nn數(shù)學(xué)試題第5頁（共5頁）{#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#} 2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第次預(yù)熱考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4012345678BBACABCD1．B．B3．A4．【解析】由題意，以A為坐標(biāo)原點，,,所在直線分別為x,y,z軸，建系如PAAB1，A0,C,0,P,D,0，圖，設(shè)a0，因為，設(shè)異面直線a,0,a,1PD與AC所成角為a245cos，解得a22.1a2a215．A【解析】設(shè)圓錐的母線長為l，圓錐的底面半徑為r，因為圓錐底面圓的周長等于πl(wèi)2πr扇形的弧長，圓錐的側(cè)面展開圖是一個面積為π的半圓，則，解得1l2πrπ226r,l2則該圓錐的高為hl2r2.226．【解析】在橢圓Ca6，b33，c3，如下圖所示：橢圓的左準(zhǔn)線為a2x以F為頂點，x軸的正方向為始邊的方向，F(xiàn)Pcπ為角的終邊，當(dāng)0時，過點作l，過點作PF2，垂足分別為點N、M，易知四邊形為矩形，a2則c，由橢圓第二定義可得39c1e2，又因為PN//x軸，則，2所以，，所以，cos，因為29，所以，999FQ，同理可知，當(dāng)為任意角時，等式仍然成立，同理可得2π，2cos2cos2392π94π93cos42cos6，因此，123294π3332cos134π343133343cos2cos3coscoscos3sincossin99224133433π12343sincossin的最小值為.392293392x3,xx17．【解析】若2x332x2，解得x0或x1，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)知gx，32x2,0x1若2x332x2，解得或x1，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)知x02x3,x12x3,xx0，所以fxmingx,hx32x2,1x1，hx32x2,1x02x3,x1fx的圖象，如圖：結(jié)合圖象及fxfx知fx為偶函數(shù)，故選項A數(shù)學(xué)參考答案）-1{#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}正確；當(dāng)x34x3，所以3x212x9，所以2x3x，所以4x212x9x200x21t1fxx成立，故選項正確；對于fxtft2t31，解得2t11t131，解得t1或t11t1，所以t1t12t31，解得1t2，t2綜上1t2，故1fx2x1時，12x32，解得x21x12232x22，解得x1或1tx1時，12x32，解得2x，綜上，不等式12222的解集為xffx12.52錯誤；對于x3CD22，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x23mfx3ffxfxmfx2x31,3等價于fmm0，結(jié)合選項x23時，有ffxfx成立，故D正確.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18910BC11ABCACD9．ACDx2y2yx與yx，設(shè)點1，故兩個漸近線方程分別為1．【解析】由題可知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:44|xy|PPx,y由題可知P0，yP0，所以點Px,y到兩個漸近線的距離分別為1P，PPPP2|xy|PyPy2y2|xy||xy|d2PP，由于x2y24P故ddPPPPd2PP2PP12222222dd2d,d是方程0的兩個實數(shù)根，顯然該方程無解，不符合題意，故故選項A錯誤；x22x21212Sx,y，Tx,y，Qx,y，Px,y顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l:ykxm，聯(lián)立方程SSTTQQPPx2y22l:ykxm，C:11k2x22kmxm240，所以xx，PQ1244kmm1kl:ykxm分別與漸近線yx與yx聯(lián)立得T，,xS1kmm2得xx，所以有xxxxxxxx，TS11k1k2TSPQSQPTk由題可知，||2，|TP|2，所以|||，故選項正確；1k|xx|1k|xx|SQPTyPxP2不妨設(shè)Px,y,x2，y0，由題可知，A(2,0)，B(2,，所以有，PPPPyPxP2PABPBAtantantanAPBtanPABPBA，，1tanPABtanPBAyPyP2Py2PtanPABtanPBA，由題可知，y24x2tanPABtanPBA1xP2xP2xP24PPx24PPAB，整理得0122S12，故選項正確；由三角形內(nèi)切圓的半徑求法可知其內(nèi)切圓半徑r，|||||FF|12121|，S12FFy22y，F(xiàn)F|4212212PP42yPrxP2，x22y2，22y2P2P2P22y2212PP22y242PP42|yP|2xP2422|yP|xP24y24x216x24x2y24r，所以2224，rPPP41xP2xP2xP2xP22xP2數(shù)學(xué)參考答案）-2{#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}4x2，所以x24，所以r241，r，故選項D錯誤．PPP21．【解析】An1,則iP1,Hx0,A正確;121Bn2時,P,HxPP1Pog1P12fttlogt1tlog21t,t1121121211tlog2t0ft，即函數(shù)在上單調(diào)遞增的值隨著的增大而增f1t1,HxP122t212n12k22n11,正確;C：PP,P2PkkNPP2k2,k2，B12k1kk22nk111nk12nk112n121n12n1PlogPlog2,PlogPlog，k2k2nk12nk112122n1n1n2kn1n1n21n1nnn1n222212HxPPk...n12n12n12n222n12n2n2n12n2222k21123n1n211223n12n1n令S，Sn22232n2n223242n111n22n121212212312nn2n122nn2n122n1兩式相減得，因此Sn2,Sn1112n12n12nnn1n2nn22n12n22，正確；HxSn2n12若nm，隨機變量Y的所有可能的取值為,m，D且PYjPXjPXm1j,j,m,2m2m112P1111H(x)PPi222P22P2m2Pi2iPii1i12212m1111111P22mHY12mlog222m1log2mm1log22222m21P2PmP1P2P2P1P2m2m2m12m11111i0i,2m,,則22,PiiP2miPiiP2mi11i2i2HXHY,D錯誤.PiPiP2mi三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15π11．22(ab)ab(a2b2)(2(ab)4ab21．【解析】由1,得abab,2abab2(ab)ababab29abab)ab()ab55當(dāng)且僅當(dāng)ab,即a0b,等號成立,故ab15的最小值為10.a2b2．【解析】“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”.連續(xù)上班兩天，上班、下班的次數(shù)共次.1321241681）次均不下雨，概率為：.（次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：4133122.32次下雨但不被淋雨，共3種情況：同一天上下班均下雨，②兩天上班時下雨，下33班時不下雨，第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨，概率為：12223313231323132323131681.43次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨，概率為：2312411.5）4次均下雨：.兩天都不淋雨的概率為：41，至少有一天淋雨的概率233381.1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。數(shù)學(xué)參考答案）-3{#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}311．（1）f(x)2sinxcos(x)2sin2x2sinx(xsinx2sin2x62233332x3sin2x2x2x)3sin(2x)，22232π3π2πkπk由2xπ,kZxπ,kZ，所以f(x)的對稱軸為xπ(kZ).122122ππ3π25ππ由2π2x2π,kZ，解得xkπ,kπkZ，2π7π又xπ，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，,π.33ππ3π3π34π3（2）由（1）知，f()3sin(2A)00Asin(2A)2A32222ππ3362Aπ，解得A，因為ABCcosBB為銳角，所以sinB1cos2B133333π32π3sin2πBsin2π3cosBcos2π3sinB331616，因為A，π，所以CB，sinC；ABC323232621ADABAC，故可得322，也即2，33π故；設(shè)，23sinB3ABD中，由正弦定理得，6πsinC36，上面兩個等式相除可得sin33得6cossin36sin2cos26sin，所以π316sin36sin2，223.261．（1）一次操作后可能的復(fù)數(shù)為：1，，3，，1i，3i，2）一次操作后復(fù)數(shù)的模所有可能的取值為是：11，，2，233由zzzz，故的取值為，2，，4332121212212，4PX19PX，，2.3，，PX3PXPXPX2399999所以的分布列為X123234319229192919P9ππ20或π.1，，（3zn2為實數(shù)，則zn2，，1i，i的輔角主值分別是0，，，，332π3π6，，設(shè)在n次操作中，得到，的次數(shù)為a，得到的次數(shù)為n，得到的次數(shù)為c，3i1inn2π2πncznaπbnkπa2nkπ，nn0n03632nn3nktbc3tka00nn00n因此，所有的概率Qbc是3的倍數(shù)的概率，下面研究Q與n之間的關(guān)系.nnnn1數(shù)學(xué)參考答案）-4{#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}2（（（?。゜c3的倍數(shù)，且第次操作得到的復(fù)數(shù)是1，，（概率為n13nn31ⅱ）bc3除余1，且第次操作得到的復(fù)數(shù)是n1（概率為i1nn61ⅲ）bc3除余2，且第次操作得到的復(fù)數(shù)是3i（概率為n1nn623111因此由全概率公式可以得到：n111QQ2nnn6611n11123變形得n1Q，其中Qnn1326323∩，BCPAC，1．（1∵BCAC，平面PAC，平面∵E，F(xiàn)分別是（，的中點，EF//BCEFPAC；，平面PB2∵BCACPAC以C為坐標(biāo)原點，所在直線為x所在直線為y軸，過C垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，312P在平面內(nèi)，即A0，B4,0，P0,，E,0,，32312330，0，AE,0,，F(xiàn),2,2，與平面的交線為直線l，22而，，，又平面EF//BCl4,00,22Q坐標(biāo)為,0，PQ,3，BQ,0,，解得2，2242則Q點坐標(biāo)為2,2,0，3，2,002y03z00設(shè)平面PBQ的法向量nx,y,zx1，可得n3；0000n0設(shè)平面法向量為mx,y,z，111331101325522則x1，可得m3cosm,n，1mEF052210所成的銳二面角的余弦值為25即平面PBQ與平面.．（1）設(shè)?,?，“倒影距離”的定義可知，M,Fx02yxy2，M,Fx02yxy2，5112由題意M,FM,F62xy2y26，所以“倒影橢圓”C的方程為2xy2y26；1222xy2y262x6y2y2，y3y2y3y2當(dāng)x2x0時，由對稱性知，，其圖象如圖所示，0xy2x2y2y3,2y3y3,2y31“倒影橢圓”C的面積S246110；2（3）由上圖知，“倒影橢圓”C的外接橢圓的長半軸長為3，且經(jīng)過點2，y25x2，由（）知，D3，由題意可知，直線PQ的斜率1可得橢圓E的方程為99存在，設(shè)直線PQ的方程為yPx,y,Qx,y，1122數(shù)學(xué)參考答案）-5{#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}y2y得k25x2450Δ16k220k50恒成立，2y25x21994k55x，線段得中點為213x211則xx,xx1,1,，122512222kk131151112x1又kDP，則線段的中垂線的方程為yx1，152即k14k2x2ky1510y0，同理線段DQ的中垂線的方程為k4k2x2ky2510y0，設(shè)DPQ的外接圓的圓心的坐標(biāo)為x,y，22222H00則x,x是方程kx24k2x2x510y0的兩根，2120004k202510y0k55xx0,xxxx,xx，1221122112k2512k2kk2k0y01150k，整理得xkkk，12000051所以直線與PQ的斜率之積為定值.OH51．（1）證明：構(gòu)造等比數(shù)列設(shè)常數(shù)r,s滿足：數(shù)列n2nrsFn2，則常數(shù)r,s滿足如下條件：nn1