空間向量的數量積運算

1.1.2空間向量的數量積運算【劃重點】1．會識別空間向量的夾角.2．熟記數量積公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉及其變形.3．能用空間向量數量積解決簡單的立體幾何問題．4．理解并熟記向量a在向量b上的投影向量：|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)【知識梳理】知識點一空間向量的夾角1．定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.知識點二空間向量的數量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數量積都為0.性質①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).知識點三向量a的投影1．如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．2．如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．【例題詳解】一、數量積的計算例1(1)如圖，已知四棱錐的各棱長均為，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】依題意可得底面四邊形為正方形，為邊長為的正三角形，根據，數量積的運算律及數量積的定義計算可得.【詳解】因為四棱錐的各棱長均為，則四棱錐為正四棱錐，所以底面四邊形為正方形，為邊長為的正三角形，所以，且，因為，所以.故選：D(2)如圖所示，已知空間四邊形ABDC的對角線和每條邊長都等于1，點E、F分別是AB、AD的中點．計算：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．【分析】確定向量的模與向量的夾角，再運用向量的數量積運算即可.【詳解】=1\*GB3①因為，由題意，可知，所以，所以.=2\*GB3②.=3\*GB3③由題意，可知，.=4\*GB3④.跟蹤訓練1(1)已知空間四面體D-ABC的每條棱長都等于1，點E，F分別是AB，AD的中點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，再利用空間向量的數量積運算即可得到答案.【詳解】因為點分別是的中點，所以，，所以，則，又因為空間四面體D-ABC的每條棱長都等于1，所以是等邊三角形，則，所以.故選：B．.(2)如圖，在直三棱柱中，，E，F分別為棱的中點，則_____________．【答案】4【分析】由空間向量線性運算的幾何表示，結合空間向量的數量積運算即可求.【詳解】在直三棱柱中，，E，F分別為棱的中點，則故答案為：4二、利用數量積證明垂直問題例2(1)如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，D，E分別是OC，AB的中點，記，，.(=1\*romani)用向量表示向量；(=2\*romanii)求證.【分析】(=1\*romani)通過空間向量的加減和數乘運算，結合圖形即可得到答案；(=2\*romanii)通過空間向量數量積的運算即可證明.【詳解】(=1\*romani)根據題意，.(=2\*romanii)根據題意，相互之間的夾角為，且模均為1，由（1），所以.(2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O⊥平面GBD.【詳解】證明設eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.∵eq\o(A1O,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c，∴eq\o(A1O,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)＝c·b－c·a＋eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2－eq\f(1,2)b·a＝eq\f(1,2)(b2－a2)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.于是eq\o(A1O,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即A1O⊥BD.同理可證eq\o(A1O,\s\up6(→))⊥eq\o(OG,\s\up6(→))，即A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.跟蹤訓練2(1)已知：如圖，OB是平面α的斜線，O為斜足，，A為垂足，，且．求證：．【答案】證明見解析【分析】要證，只要證，即證，結合空間向量分析運算．【詳解】因為，所以，因為，，所以，．又，所以，故．三、用數量積求解夾角和模例3(1)如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的菱形，，.(=1\*romani)求線段的長；(=2\*romanii)求異面直線與所成角的大小.【分析】(=1\*romani)設，，然后表示出，然后結合已知條件，利用數量積求解即可；(=2\*romanii)利用，，表示出，，然后利用數量積求得即可證明.【詳解】(=1\*romani)設，，，則，，，，，∵，∴∴線段的長為.(=2\*romanii)∵，，∴，∴，故異面直線與所成的角為90°.(2)如圖，正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．(=1\*romani)用向量表示；(=2\*romanii)求．【答案】(=1\*romani)；(=2\*romanii)【分析】(=1\*romani)根據空間向量的線性運算即可求解；(=2\*romanii)先計算，再開方即可求解【詳解】(=1\*romani)因為M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．所以．(=2\*romanii)因為四面體是正四面體，則，，，所以．跟蹤訓練3棱長為2的正方體中，E，F分別是，DB的中點，G在棱CD上，且，H是的中點．(1)求．(2)求FH的長．【答案】(1)；(2)【分析】（1）將分別用表示，再根據數量積的運算律分別求出，再根據即可得解；（2）將用表示，再根據數量積的運算律即可得解.【詳解】（1）由題意，，，則，，，所以；（2），所以，所以FH的長為.四、投影向量例4(1)四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點和點分別作直線的垂線，由垂足確定在向量上的投影向量.【詳解】四棱錐如圖所示，底面是矩形，∴，底面，底面，∴，過向量的始點作直線的垂線，垂足為點，過向量的終點作直線的垂線，垂足為點，在向量上的投影向量為，由底面是矩形,，故選：B(2)如圖，在三棱錐中，平面，，，．試確定在上的投影向量，并求．【答案】，【分析】由題意可知，即可轉化為，并化簡利用數量積公式運算即可求得的值；由投影向量的定義可得在上的投影向量為，化簡運算即可等于.【詳解】平面，，因為．又，所以在上的投影向量為：，由數量積的幾何意義可得：．跟蹤訓練4如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于____.【答案】【分析】先求出，再根據投影向量的公式計算即可.【詳解】平面，則，向量在上的投影向量為故答案為：.【課堂鞏固】1．已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根據，展開后根據空間向量的數量積公式計算即可得到結果.【詳解】由題意可得，.故選：C2．空間四邊形中，，，則的值是（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根據向量關系可得，再化簡計算求得即可求出.【詳解】因為，因為，所以，所以，故選：A.3．已知正四面體的棱長為為棱的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基底表示出，利用數量積的定義可求答案.【詳解】因為M是棱CD的中點，所以所以.故選：D.4．四面體中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意得，由數量積公式計算即可.【詳解】由題知，，所以，所以，解得，故選：C5．（多選）已知四面體中，，，兩兩垂直，則以下結論中一定成立的是（

）A．； B．C．； D．【答案】ACD【分析】利用，，兩兩垂直，可得，對于A選項，兩邊平方化簡后相等可判斷A選項；對于B選項，將，代入化簡得到不一定為0，可判斷B選項；對于C選項，左邊直接平方利用向量垂直數量積為0化簡，可判斷C選項；對于D選項，將，同理，可判斷D選項.【詳解】由題意可知，，，兩兩垂直，所以，對于A選項，，，故，所以A選項正確；對于B選項，，當時，，否則不成立，所以選項B不正確；對于C選項，，所以選項C正確；對于D選項，，同理可得，，所以，選項D正確，故選：ACD6．（多選）在棱長均為1的四面體中，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】取的中點，連接，，通過證明平面，即可得到，從而判斷A，根據空間向量線性運算判斷B，根據空間向量數量積的定義判斷C，根據數量積的運算律求出，即可判斷D；【詳解】解：取的中點，連接，，∴，，，平面，所以平面，又平面，所以，則，故A正確；因為，故B正確；∵，，又，，所以，故C正確；因為，所以，故D不正確，故選：ABC.7．在棱長為1的正方體中，為棱上任意一點，則=_______.【答案】1【分析】根據空間向量的線性運算及數量積的運算性質求解.【詳解】如圖，在正方體中，為棱上任意一點，則，，.故答案為：1.8．若ABCD為空間四邊形，則______．【答案】0【分析】由向量的減法運算可知，代入并結合數量積的運算性質即可得出結果．【詳解】．故答案為：0．9．已知在三棱錐中，，則___________.【答案】【分析】用表示目標向量，結合空間向量的數量積運算即可求得結果.【詳解】.故答案為：.10．已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．【答案】(1)11；(2)【分析】（1）計算，展開計算得到答案.（2），代入計算得到答案.【詳解】（1）向量，向量與的夾角都是，且，，；（2）11．如圖所示，在棱長為2的正四面體ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，求：(1)·；(2)·；(3)·.【答案】(1)1；(2)2；(3)0【分析】分別將，，轉化為，，后根據數量積定義計算即可.【詳解】（1）在正四面體ABCD中，（2）（3）在正四面體ABCD中，，故12．如圖,在直三棱柱(即平面),,,求【答案】1【分析】直三棱柱中可得，根據，由勾股定理可知，由向量的線性運算可得，從而有轉化為化簡即可求得答案.【詳解】∵平面，.又，∴E為BC的中點，．又.13．如圖，在平行六面體中，，，，M，N分別為，中點．(1)求的長；(2)證明：．【分析】（1）設，，，將用表示出來，根據向量的模長公式即可得到結果.（2）將，分別用表示出來，根據，即可證明.【詳解】（1）設，，，則，，，，．因為，所以（2）證明：因為，所以．14．如圖，空間四邊形的各邊及對角線長為，是的中點，在上，且，設，，，(1)用，，表示；(2)求向量與向量所成角的余弦值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用空間向量的線性運算即可求解；（2）計算的值即可得，再計算的值，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）因為，，，所以.（2）因為空間四邊形的各邊及對角線長為，所以四面體是正四面體，，且，，間的夾角為，所以，，，所以，所以，所以向量與向量所成角的余弦值為.【課時作業(yè)】1．在空間四邊形中，等于（

）A． B．0 C．1 D．不確定【答案】B【分析】令，利用空間向量的數量積運算律求解.【詳解】令，則，，.故選：B2．已知，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，那么（

）A．2B．C．D．6【答案】C【分析】根據給定條件，利用空間向量數量積的運算律、垂直關系的向量表示求解作答.【詳解】因為，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，，所以.故選：C3．空間有一四面體ABCD，滿足，，則所有正確的選項為（

）①；②若∠BAC是直角，則∠BDC是銳角；③若∠BAC是鈍角，則∠BDC是鈍角；④若且，則∠BDC是銳角A．② B．①③ C．②④ D．②③④【答案】C【分析】由題意知，，可判斷①；若∠BAC是直角，則，可判斷②；設，，由余弦定理可判斷③；若且，則，可得可判斷④.【詳解】對于①，因為，，所以，，則，故①不正確；對于②，若∠BAC是直角，則，所以∠BDC是銳角，故②正確；對于③，若∠BAC是鈍角，設，，在中，由余弦定理可得：，而，所以在中，，所以∠BDC為銳角，所以③不正確；對于④，，若且，則，因為，，所以∠BDC是銳角，故④正確；故選：C.4．已知正四面體ABCD的棱長為a，點E，F分別是BC，AD的中點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據向量的線性運算得出，，根據正四面體的性質得出，且、、三向量兩兩夾角為，即可通過向量數量積的運算率得出答案.【詳解】四面體ABCD是正四面體，，且、、三向量兩兩夾角為，點E，F分別是BC，AD的中點，，，則，故選：C.5．如圖，二面角的平面角為，，，，，，，若，則長為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據式子，根據空間向量數量積的運算律即可求出的長．【詳解】因為，，所以，因為二面角的余弦值是，所以，即，所以，所以，即的長為．故選:C．6．已知直三棱柱中，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加減法則逆運算得，結合夾角與模長計算即可.【詳解】在直三棱柱中，側棱與底面垂直，則，故選：A.7．（多選）如圖，已知四面體的所有棱長都等于，分別是的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用空間數量積運算法則計算出ABC三個選項中的結果；作出輔助線，證明出⊥，得到.【詳解】由題意得：四面體為正四面體，故，故，A正確；因為分別是的中點，所以，，且，，故，B錯誤；，C正確；取的中點，連接，因為均為等邊三角形，所以⊥，且⊥，因為，且平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，⊥，故，D正確.故選：ACD8．（多選）已知四面體A－BCD的所有棱長均為2，E，F分別為棱AB，CD的中點，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由異面直線和向量平行的定義判斷A，由空間向量數量積的運算判斷BC，由空間向量的線性運算判斷D．【詳解】由題意可得四面體A－BCD為正四面體，如圖.A：因為平面ABC＝A，平面ABC，且，平面，由異面直線的定義可知，AF，CE為異面直線，故A錯誤；B：因為F分別為棱CD的中點，所以，故B錯誤；C：因為，所以，故C正確；D：因為E，F分別為棱AB，CD的中點，所以，所以，故D正確.故選：CD.9．如圖，在平行六面體中，，且，，則的長為____________．【答案】【分析】，結合向量數量積運算，求模即可．【詳解】設，，，則，，由，則，，又，則．所以線段的長為．故答案為：．10．如圖，正四面體的長為1，，則______