第五單元圓面積篇-六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題人教版

篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學(xué)資料留給學(xué)生，但面對琳瑯滿目的資料時，總是費時費力才能找到自己心儀的那份，編者也常常為此苦惱。于是，編者就常想，如果是自己來創(chuàng)作一份資料又該怎樣？再結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗和學(xué)生實際情況后，最終創(chuàng)作出了一個既適宜課堂教學(xué)講解，又適宜課后作業(yè)練習(xí)，還適宜階段復(fù)習(xí)的大綜合系列?！?0232024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列》是基于教材知識點和常年考點真題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項練習(xí)篇、單元復(fù)習(xí)篇、分層試卷篇等四個部分。1.典型例題篇，按照單元順序進行編輯，主要分為計算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。2.專項練習(xí)篇，從高頻考題和期末真題中選取專項練習(xí)，其優(yōu)點在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復(fù)習(xí)篇，匯集系列精華，高效助力單元復(fù)習(xí)，其優(yōu)點在于綜合全面，精煉高效，實用性強。4.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和不同水平，主要分為基礎(chǔ)卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優(yōu)點在于考點廣泛，分層明顯，適應(yīng)性廣。無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請留言于我改進，歡迎您的使用，謝謝！101數(shù)學(xué)工作室2023年10月25日20232024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列第五單元圓·面積篇【十五大考點】專題解讀本專題是第五單元圓·面積篇。本部分內(nèi)容考察圓面積的計算與實際應(yīng)用，部分考點考題難度較大，可選擇性講解，總體來說，建議作為本章核心內(nèi)容進行講解，一共劃分為十五個考點，歡迎使用。目錄導(dǎo)航目錄TOC\o"11"\h\u【考點一】圓與長方形的拼切轉(zhuǎn)化問題（圓面積轉(zhuǎn)化推導(dǎo)公式） 3【考點二】圓的面積 9【考點三】已知周長，求圓的面積 11【考點四】半圓的面積 13【考點五】半圓的實際應(yīng)用 15【考點六】圓與正方形、長方形的等長轉(zhuǎn)化問題 17【考點七】面積的比較問題 20【考點八】半徑、直徑和周長、面積的倍數(shù)關(guān)系 22【考點九】半徑、直徑和周長、面積的比例關(guān)系 25【考點十】半徑、直徑和周長、面積的增減變化問題 30【考點十一】長方形與最圓問題 33【考點十二】外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方（正方形與最圓問題） 35【考點十三】圓面積與指針問題 44【考點十四】圓環(huán)的面積問題其一：整圓環(huán) 46【考點十五】圓環(huán)的面積問題其二：半圓環(huán) 49典型例題【考點一】圓與長方形的拼切轉(zhuǎn)化問題（圓面積轉(zhuǎn)化推導(dǎo)公式）?！痉椒c撥】把一個圓割成一個近似的長方形，割拼成的長方形的長相當于圓周長的一半，用字母πr表示，寬相當于圓的半徑，用字母r表示，因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr2?！镜湫屠}1】基礎(chǔ)型。把圓按下圖所示的順序逐步細分，拼成長方形的樣子。這樣細分下去，圓的面積就是a和b的積。從圖中可以看出：

(1)a是圓的()。(2)b是圓的()。(3)如果a＝2厘米，這個圓的面積為()?！敬鸢浮?1)半徑(2)周長的一半(3)12.56平方厘米【分析】根據(jù)題圖可知，一個圓被平均分成的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長方形。長方形的寬a就是圓的半徑，長方形的長b就是圓周長的一半。根據(jù)“S＝πr2”求出圓的面積即可?！驹斀狻浚?）a是圓的半徑。（2）b是圓的周長的一半。（3）3.14×42＝12.56（平方厘米）【點睛】熟練掌握圓面積的推導(dǎo)過程是解答本題的關(guān)鍵。【對應(yīng)練習(xí)1】把一個圓平均分成若干份，正好可以拼成寬為4cm的長方形，這個長方形的長是()cm，原來圓的面積是()cm2?！敬鸢浮?2.5650.24【分析】已知把一個圓剪拼成一個近似的長方形，那么長方形的長等于圓的周長的一半，寬等于圓的半徑；根據(jù)圓的周長公式C＝2πr，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計算求解?！驹斀狻?×3.14×4÷2＝12.56（cm）3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2）這個長方形的長是12.56cm，原來圓的面積是50.24cm2?！军c睛】本題考查圓的面積公式推導(dǎo)過程的應(yīng)用，明確把一個圓剪拼成一個近似長方形時，長方形的長、寬與圓的周長、半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習(xí)2】將一個圓沿半徑剪開，拼成一個近似的長方形（如下圖），圓的面積是()cm2。

【答案】12.56【分析】將一個圓沿半徑剪開，拼成一個近似的長方形，這個長方形的長相當于圓的周長的一半，根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr，據(jù)此求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此計算即可?！驹斀狻?.28÷3.14＝2（cm）3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2）則圓的面積是12.56cm2。【點睛】本題考查圓的周長和面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習(xí)3】如圖，將一個圓形紙片等分成若干份，拼成一個近似的長方形，周長比原來圓周長多8厘米，圓形紙片的半徑是()厘米，這張圓形紙片的面積是()平方厘米。

【答案】450.24【分析】根據(jù)圓面積公式的推導(dǎo)過程可知，把一個圓平均分成若干份，沿半徑剪開，再拼成一個近似長方形，這個長方形的長等于圓周長的一半，寬等于圓的半徑，拼成的長方形的周長比圓的周長增加了兩條半徑的長度，據(jù)此可以求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式：；把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?÷2＝4（厘米）3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）圓形紙片的半徑是4厘米，這張圓形紙片的面積是50.24平方厘米。【點睛】此題考查的目的是理解掌握圓面積公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用，圓的周長的意義及應(yīng)用?！镜湫屠}2】拓展型。把圓剪開，拼成一個近似的長方形，長方形的周長為41.4cm，這個圓的面積是()?！敬鸢浮?8.5平方厘米/78.5cm2【分析】將圓剪開拼接成一個近似的長方形，，如圖所示，長方形的周長＝圓的周長＋兩個半徑，據(jù)此等量關(guān)系列方程求出圓的半徑，再代入圓的面積公式即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)圓的半徑為r厘米。2×3.14×r＋2r＝41.46.28r＋2r＝41.48.28r＝41.48.28r÷8.28＝41.4÷8.28r＝5圓的面積：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）這個圓的面積是78.5平方厘米。【點睛】此題考查圓的面積公式，明確圓拼接成長方形周長會多兩個半徑是解題的關(guān)鍵。【對應(yīng)練習(xí)1】把一個圓切割后拼成一個近似的長方形，這個長方形的周長為24.84厘米，原來這個圓的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?8.26【分析】把一個圓剪開后拼成一個近似的長方形，這個長方形的長就等于這個圓的周長的一半，寬相當于圓的半徑，據(jù)此先求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式計算即可【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r，則長方形的長是πr，寬是r。πr＋r＝24.84÷24.14r＝12.42r＝33.14×32＝28.26（平方厘米）則原來這個圓的面積是28.26平方厘米。【點睛】考查了圓的周長和圓的面積公式的推導(dǎo)，注意圓的周長是拼成近似的長方形的長的2倍。【對應(yīng)練習(xí)2】把一個圓沿著半徑剪開，再拼成一個近似的長方形（如右圖）。已知這個近似長方形的周長是24.84厘米，這個圓的面積是()平方厘米。（π取3.14）【答案】28.26【分析】把一個圓形紙片剪開后，拼成一個寬等于半徑，面積相等的近似長方形。這個近似長方形的周長就比圓的周長多了圓半徑的2倍，可求出圓的半徑，然后根據(jù)圓面積公式求出面積即可?！驹斀狻繄A的半徑是：24.84÷（2＋3.14×2）＝24.84÷（2＋6.28）＝24.84÷8.28＝3（厘米）圓的面積是：3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）【點睛】本題考查了根據(jù)圓面積公式求圓面積以及把一個圓形剪開，拼成一個近似長方形，解答此題應(yīng)注意這個近似長方形的周長，就比圓的周長多了圓半徑的2倍的知識?！緦?yīng)練習(xí)3】如下圖，把一個圓等分后拼成一個近似長方形，這個長方形的周長是33.12厘米，那么這個圓的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?0.24【分析】把圓等分后拼成一個近似長方形，長方形的周長是圓形周長加直徑，由此算出圓的半徑，代入圓的面積公式即可算出?！驹斀狻吭O(shè)圓的半徑為r厘米2r＋2πr＝33.12解：2r＋2×3.14r＝33.122r＋6.28r＝33.128.28r＝33.12r＝33.12÷8.28r＝4圓的面積：3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）【點睛】本題關(guān)鍵是知道圓的周長與近似長方形周長關(guān)系，求出圓的半徑，解答問題。【考點二】圓的面積。【方法點撥】圓的面積S=πr2?！镜湫屠}】用圓規(guī)畫圓時，圓規(guī)兩腳間的距離是4cm，所畫出圓面積是()cm2。【答案】50.24【分析】圓規(guī)兩腳間的距離是4cm，即圓的半徑是4cm，再根據(jù)圓的面積公式：S＝，代入數(shù)據(jù)即可求出所圓的面積?！驹斀狻?.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2）即所畫出圓面積是50.24cm2?！军c睛】解答本題的關(guān)鍵是知道圓規(guī)兩腳間的距離是半徑，然后通過圓的面積公式計算得到答案。【對應(yīng)練習(xí)1】一個圓形游泳池的半徑是5m，它的周長是()m，面積是()m2?！敬鸢浮?1.478.5【分析】圓的周長，圓的面積，把半徑5m分別代入圓的周長、面積公式計算即可?！驹斀狻?×3.14×5＝31.4（m）3.14×52＝3.14×25＝78.5（m2）所以它的周長是31.4m，面積是78.5m2?！军c睛】在計算圓的面積時，不要把當成計算，應(yīng)是?！緦?yīng)練習(xí)2】小明用圓規(guī)畫一個圓，圓規(guī)兩腳張開的距離是3厘米，畫出的圓的周長是()厘米，面積是()平方厘米?！敬鸢浮?8.8428.26【分析】圓規(guī)兩腳張開的距離是圓的半徑，即＝3厘米。圓的周長，圓的面積，把半徑3厘米分別代入圓的周長公式、面積公式計算即可?！驹斀狻?×3.14×3＝2×3×3.14＝6×3.14＝18.84（厘米）3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）所以畫出的圓的周長是18.84厘米，面積是28.26平方厘米?！军c睛】在計算圓的面積時，不要把當成計算，應(yīng)是?！緦?yīng)練習(xí)3】圓的半徑是3米，它的直徑是()米，周長是()米，面積是()平方米。（π取3.14）【答案】618.8428.26【分析】根據(jù)直徑和半徑的關(guān)系：d＝2r，圓周長公式：C＝πd，圓面積公式：S＝πr2，代入數(shù)據(jù)解答即可。【詳解】3×2＝6（米）3.14×6＝18.84（米）3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方米）圓的半徑是3米，它的直徑是6米，周長是18.84米，面積是28.26平方米?！军c睛】本題主要考查了直徑和半徑的關(guān)系、圓面積公式、圓周長公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式。【考點三】已知周長，求圓的面積?！痉椒c撥】已知圓的周長，先求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式求面積?！镜湫屠}】用圓規(guī)畫一個周長是15.7厘米的圓，圓規(guī)兩腳間叉開的距離應(yīng)是()厘米，該圓的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?.519.625【分析】根據(jù)圓的周長公式：C＝，代入圓的周長的數(shù)據(jù)，求出圓的半徑，即圓規(guī)兩腳間叉開的距離；再根據(jù)圓的面積公式：S＝，代入數(shù)據(jù)即可求出該圓的面積。【詳解】15.7÷2÷3.14＝7.85÷3.14＝2.5（厘米）3.14×2.52＝3.14×6.25＝19.625（平方厘米）即圓規(guī)兩腳間叉開的距離應(yīng)是2.5厘米，該圓的面積是19.625平方厘米?！军c睛】此題的解題關(guān)鍵是靈活運用圓的周長和圓的面積公式求解。【對應(yīng)練習(xí)1】畫一個周長62.8厘米的圓，圓規(guī)兩腳間的距離是()厘米，畫成的圓的面積是()平方厘米。【答案】10314【分析】圓規(guī)兩腳間的距離是指這個圓的半徑，由此利用“圓的周長公式為：”，求出這個圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式：，解題即可?！驹斀狻?2.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（cm）3.14×102＝3.14×100＝314（cm2）所以，畫一個周長62.8厘米的圓，圓規(guī)兩腳間的距離是10厘米，畫成的圓的面積是314平方厘米?！军c睛】此題考查了圓的周長和面積公式的靈活應(yīng)用?！緦?yīng)練習(xí)2】一個圓形鐵板的周長是12.56米，它的半徑是()米，面積是()平方米?！敬鸢浮?12.56【分析】根據(jù)圓的周長公式：C＝，代入數(shù)據(jù)求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式：S＝，代入數(shù)據(jù)即可求出圓的面積?！驹斀狻?2.56÷2÷3.14＝6.28÷3.14＝2（米）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方米）即圓的半徑是2米，面積是12.56平方米?！军c睛】此題主要考查圓的周長和圓的面積公式的靈活運用?！緦?yīng)練習(xí)3】大戲院門店有一根圓柱子，柱子的外圍周長是314cm，它的橫截面面積是()cm2。【答案】7850【分析】根據(jù)圓的半徑＝周長÷π÷2，圓的面積＝πr2，列式計算即可?！驹斀狻?14÷3.14÷2＝50（cm）3.14×502＝3.14×2500＝7850（cm2）它的橫截面面積是7850cm2?！军c睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運用圓的周長和面積公式?！究键c四】半圓的面積?！痉椒c撥】半圓的面積：S半圓=πr2÷2?！镜湫屠}】一個半圓半徑為3厘米，它的面積是()平方厘米，周長是()厘米?！敬鸢浮?4.1315.42【分析】根據(jù)半圓的面積、半圓周長的意義，半圓的面積等于該圓面積的一半，半圓的周長等于該圓周長的一半加上一條直徑的長度，根據(jù)半圓的面積公式：S＝πr2÷2，半圓的周長公式：C＝πr＋2r，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?.14×32÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（平方厘米）3.14×3＋3×2＝9.42＋6＝15.42（厘米）則它的面積是14.13平方厘米，周長是15.42厘米?！军c睛】此題主要考查半圓的面積公式、半圓的周長公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。【對應(yīng)練習(xí)1】直徑是4厘米的半圓，它的周長是()，面積是()?！敬鸢浮?0.28厘米/10.28cm6.28平方厘米/6.28cm2【分析】周長是指封閉圖形一周的長度，據(jù)此得出半圓的周長＝圓周長的一半＋直徑，根據(jù)圓的周長公式C＝πd求解；半圓的面積＝圓的面積÷2，根據(jù)圓的面積公式S＝πr2求解?！驹斀狻堪雸A的周長：3.14×4÷2＋4＝6.28＋4＝10.28（厘米）半圓的面積：3.14×（4÷2）2÷2＝3.14×4÷2＝6.28（平方厘米）直徑是4厘米的半圓，它的周長是10.28厘米，面積是6.28平方厘米?！军c睛】本題考查圓的周長、圓的面積公式的運用，掌握半圓的周長、半圓的面積的計算方法是解題的關(guān)鍵。【對應(yīng)練習(xí)2】把一張周長是18.84dm的圓形紙片對折成半圓，這個半圓的周長是()dm，面積是()dm2?！敬鸢浮?5.4214.13【分析】由圓的周長可知：，據(jù)此用18.84÷3.14÷2求出圓的半徑；再根據(jù)半圓的周長求出這個半圓的周長，即3.14×3＋2×3；根據(jù)圓的面積求出圓的面積，再用圓的面積÷2求出半圓的面積，即3.14×32÷2。【詳解】18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（dm）3.14×3＋2×3＝9.42＋6＝15.42（dm）3.14×32÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（dm2）所以這個半圓的周長是15.42dm，面積是14.13dm2?！军c睛】解決此題時應(yīng)注意半圓的周長并不等于圓周長的一半?！緦?yīng)練習(xí)3】一個周長為20.56cm的半圓，它半徑是()cm，面積是()cm2?！敬鸢浮?25.12【分析】半圓周長＝πr＋2r，所以半圓的半徑＝半圓的周長÷（π＋2）；半圓的面積＝πr2÷2，據(jù)此列式計算?！驹斀狻?0.56÷（3.14＋2）＝20.56÷5.14＝4（cm）3.14×42÷2＝3.14×16÷2＝25.12（cm2）一個周長為20.56cm的半圓，它半徑是4cm，面積是25.12cm2?！军c睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運用半圓的周長和面積公式?！究键c五】半圓的實際應(yīng)用?！痉椒c撥】半圓的面積：S半圓=πr2÷2?！镜湫屠}】李奶奶用15.7米長的籬笆靠墻圍成一個半圓形的菜園，這個菜園的面積是()。解析：15.7÷3.14＝5（米）3.14××52÷2＝3.14×25÷2＝39.25（平方米）【對應(yīng)練習(xí)1】李奶奶家的養(yǎng)雞場（如圖），一面靠墻，一面用竹籬笆圍成半圓，它的半徑是6m。（1）修這個養(yǎng)雞場用了多長的竹籬笆？（2）李奶奶要擴建這個養(yǎng)雞場，把它的半徑增加2m。養(yǎng)雞場的面積會增加多少？解析：（1）3.14×6×2÷2＝18.84×2÷2＝18.84（米）答：修這個養(yǎng)雞場用了18.84米的竹籬笆。（2）3.14×（6＋2）2÷2－3.14×62÷2＝3.14×32－3.14×18＝3.14×14＝43.96（平方米）答：養(yǎng)雞場的面積會增加43.96平方米?！緦?yīng)練習(xí)2】東東家有一個一面靠墻，另一面用籬笆圍成的半圓形養(yǎng)雞場，這個半圓的直徑是8米，籬笆長多少米？雞場占地多少平方米？解析：籬笆長12.56米，雞場占地50.24平方米?！緦?yīng)練習(xí)3】王奶奶用78.5米長的籬笆靠墻圍成了一個半圓形的養(yǎng)雞場。這個養(yǎng)雞場的占地面積是多少平方米？解析：r＝78.5÷3.14＝25（米）3.14×252÷2＝981.25（平方米）答：這個養(yǎng)雞場的占地面積是981.25平方米?！究键c六】圓與正方形、長方形的等長轉(zhuǎn)化問題?！痉椒c撥】用同一根鐵絲圍成正方形、正方形或圓，周長不變，借此求面積?！镜湫屠}1】等長轉(zhuǎn)化其一。一根鐵絲圍成了一個邊長7.85厘米的正方形（接頭不計），如果把這根鐵絲圍成最大的圓（接頭不計），圓的周長是()厘米，圓的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?1.478.5【分析】用一根鐵絲圍成了一個正方形，那么鐵絲的長度等于正方形的周長；根據(jù)正方形的周長＝邊長×4，求出這根鐵絲的長度；又用這根鐵絲圍成最大的圓，那么圓的周長等于這根鐵絲的長度，根據(jù)r＝C÷π÷2，求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積S＝πr2，即可求出圓的面積。【詳解】正方形的周長（圓的周長）：7.85×4＝31.4（厘米）圓的半徑：31.4÷3.14÷2＝5（厘米）圓的面積：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）圓的周長是31.4厘米，面積是78.5平方厘米?！军c睛】本題考查正方形的周長、圓的周長、圓的面積公式的靈活運用，明確用一根鐵絲圍成一個圖形，鐵絲長度等于這個圖形的周長?！緦?yīng)練習(xí)1】一根鐵絲可以圍成一個邊長為1.57dm的正方形，如果用這根鐵絲圍成一個圓形，那么這個圓形的面積是()dm2。【答案】0.19625【分析】根據(jù)題意，圍成正方形的周長即是圍成圓的周長，可根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr，進行計算即可得到圍成圓的半徑的長度，然后根據(jù)圓的面積公式，列式解答即可得到答案?！驹斀狻?.57÷3.14÷2＝0.5÷2＝0.25（dm）3.14×0.252＝3.14×0.0625＝0.19625（平方分米）【點睛】此題主要考查的是圓的周長和面積公式的應(yīng)用。【對應(yīng)練習(xí)2】兩根同樣長的鐵絲分別圍成一個正方形和一個圓，已知正方形的邊長是6.28厘米，圓的半徑是()厘米，面積是()平方厘米?！敬鸢浮?50.24【分析】用6.28×4求出正方形的周長，也是圓的周長，再根據(jù)“r＝c÷π÷2”、“s＝πr2”求出圓的半徑和面積即可。【詳解】6.28×4÷3.14÷2＝25.12÷3.14÷2＝4（厘米）；3.14×42＝50.24（平方厘米）【點睛】明確正方形和圓的周長相等是解答本題的關(guān)鍵，熟練掌握的圓的周長和面積公式?！緦?yīng)練習(xí)3】用一根長15.7厘米的鐵絲圍成一個正方形，正方形的面積是()平方厘米；如果用這根鐵絲圍成一個圓，這個圓的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?5.405625，19.625【詳解】試題分析：（1）用一根長15.7厘米的鐵絲圍成一個正方形，這個正方形的周長就是15.7厘米，用它除以4，求出這個正方形的邊長，再根據(jù)正方形的面積公式，求出它面積，（2）用一根長15.7厘米的鐵絲圍成一個圓，這個圓的周長就是15.7，用它除以2，再除以π，求出這個圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式求出圓的面積．解：（1）15.7÷4=3.925（厘米），3.925×3.925=15.405625（平方厘米）．（2）15.7÷2÷3.14=2.5（厘米），3.14×2.52=3.14×6.25=19.625（平方厘米）．故答案為15.405625，19.625．點評：本題的關(guān)鍵是求出這個正方形的邊長和圓的半徑，再根據(jù)正方形和圓的面積公式進行解答．【典型例題2】等長轉(zhuǎn)化其二。一根鐵絲剛好能圍成一個長8厘米，寬4.56厘米的長方形。如果將這根鐵絲圍成一個圓，這個圓的面積有多少平方厘米？【答案】50.24平方厘米【分析】長方形周長＝（長＋寬）×2，據(jù)此先求出長方形的周長，即圍成圓的周長。將圓的周長除以2再除以圓周率3.14，求出圓的半徑。圓的面積S＝πr2，將數(shù)據(jù)代入其中，求出圍成圓的面積。【詳解】（8＋4.56）×2＝12.56×2＝25.12（厘米）25.12÷2÷3.14＝12.56÷3.14＝4（厘米）3.14×42＝50.24（平方厘米）答：這個圓的面積有50.24平方厘米?！军c睛】本題考查了圓的周長和面積，熟記圓的周長和面積公式是解題的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習(xí)1】一段鐵絲剛好能圍成一個長10.5厘米、寬2.06厘米的長方形，用同樣長的鐵絲圍成一個最大的圓，這個圓的面積是多少平方厘米？【答案】50.24平方厘米【分析】通過長方形的周長＝（長＋寬）×2，代入長和寬的數(shù)據(jù)，求出鐵絲的長度，再根據(jù)圓的周長公式：C＝，可得r＝C÷2÷，代入數(shù)據(jù)，求出圓的半徑之后，根據(jù)圓的面積公式：S＝即可求出這個圓的面積?！驹斀狻浚?0.5＋2.06）×2＝12.56×2＝25.12（厘米）25.12÷2÷3.14＝4（厘米）3.14×4×4＝50.24（平方厘米）答：這個圓的面積是50.24平方厘米?！军c睛】此題的解題關(guān)鍵是抓住鐵絲的長度不變，靈活運用長方形和圓的周長公式，最后再利用圓的面積公式求出結(jié)果?！緦?yīng)練習(xí)2】一根鐵絲圍成一個長10cm，寬5.7cm的長方形，用這根鐵絲再圍成一個最大的圓形，這個圓形的面積是多少?【答案】78.5cm2【詳解】(10+5.7)×2÷2÷3.14=5(cm)3.14×=78.5(cm2)【考點七】面積的比較問題。【方法點撥】周長相等的圖形（長方形、正方形、圓）中，圓的面積最大?！镜湫屠}】有一根628厘米長的鐵絲，如果用它正好圍成一個長方形（長和寬自己確定），面積是多少？要圍成一個正方形，面積是多少？圍成圓呢？圍成的圖形中，哪種面積最大？【答案】22800平方厘米，24649平方厘米，31400平方厘米，圓的面積最大【詳解】試題分析：周長一定，分別依據(jù)長方形、正方形和圓的周長公式求出長方形的長和寬，正方形的邊長，圓的半徑，進而分別求出其面積．解：長方形：628÷2=314（厘米），假設(shè)長為200厘米，則寬為114厘米，其面積是200×114=22800（平方厘米），正方形：628÷4=157（厘米），其面積為157×157=24649平方厘米），圓：628÷2π=100（厘米），其面積為3.14×1002=31400（平方厘米），答：長方形的面積是22800平方厘米，正方形的面積是24649平方厘米，圓的面積是31400平方厘米；由以上可知圓的面積最大．點評：此題主要考查長方形、正方形及圓的面積公式，將數(shù)據(jù)代入公式即可．【對應(yīng)練習(xí)1】用三根同樣長的鐵絲分別圍成一個圓、一個長方形和一個正方形，其中()的面積最大?！敬鸢浮繄A【分析】根據(jù)題意可知，鐵絲的長度是圍成圖形的周長，此題用舉例法解答，先假設(shè)正方形、長方形和圓形的周長都是16米，分別求出圓、正方形、長方形的面積，然后比較大小即可?！驹斀狻考僭O(shè)正方形、長方形和圓形的周長都是16米，則圓的面積為：π×（）2≈20.38（平方米）；正方形的邊長為：16÷4＝4（米），面積為：4×4＝16（平方米）；長方形長、寬越接近，面積越大，就取長為5米、寬為3米，面積為：5×3＝15（平方米），當長方形的長和寬最接近時面積也小于16平方米；所以周長相等的正方形、長方形和圓形，圓面積最大?！军c睛】所以周長相等，圓面積＞正方形面積＞長方形面積。【對應(yīng)練習(xí)2】把一根24分米長的鐵絲平均截成3段，一段圍成正方形，一段圍成長方形，另一段圍成一個圓．其中，()面積最大，()面積最小。【答案】圓；長方形【詳解】試題分析：由題意得：三種圖形的周長相等，是24÷3=8（分米），分別計算出面積，再比較大小．解：①正方形面積為：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）；②長方形長與寬的和是：8÷2=4（分米），面積最大為：1×3=3（平方分米）；③圓的半徑為：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圓的面積為：3.14×1.32=5.3066（平方分米）；所以：3＜4＜5.3066，即圓的面積最大，長方形的面積最小．故答案為圓；長方形．點評：此題主要考查正方體、長方形、圓的面積計算，明確它們的周長相等時，圓的面積最大，長方形面積最小．【對應(yīng)練習(xí)3】把一根24分米長的鐵絲平均截成3段，一段圍成正方形，一段圍成長方形，另一段圍成一個圓．其中，()面積最大，()面積最小?！敬鸢浮繄A；長方形【詳解】試題分析：由題意得：三種圖形的周長相等，是24÷3=8（分米），分別計算出面積，再比較大小．解：①正方形面積為：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）；②長方形長與寬的和是：8÷2=4（分米），面積最大為：1×3=3（平方分米）；③圓的半徑為：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圓的面積為：3.14×1.32=5.3066（平方分米）；所以：3＜4＜5.3066，即圓的面積最大，長方形的面積最?。蚀鸢笧閳A；長方形．點評：此題主要考查正方體、長方形、圓的面積計算，明確它們的周長相等時，圓的面積最大，長方形面積最?。究键c八】半徑、直徑和周長、面積的倍數(shù)關(guān)系?！痉椒c撥】在同一個圓里，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數(shù)，面積擴大倍數(shù)的平方倍。【典型例題1】倍數(shù)關(guān)系其一。圓的半徑擴大3倍，它的面積就擴大()，周長就擴大()倍?！敬鸢浮?倍3【詳解】略【對應(yīng)練習(xí)1】一個圓的半徑擴大4倍，周長擴大()倍，面積擴大()倍。【答案】416【分析】一個圓的半徑擴大到原來的幾倍，周長也擴大到原來的幾倍；面積擴大倍數(shù)是半徑擴大倍數(shù)的平方，據(jù)此解答即可?！驹斀狻恳粋€圓的半徑擴大到原來的4倍，周長也擴大到原來的4倍，面積擴大到原來的16倍?！军c睛】明確半徑、周長和面積之間擴大倍數(shù)之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習(xí)2】一個圓的周長擴大5倍，它的直徑擴大到原來的()倍，面積擴大到原來的()倍。【答案】525【解析】略【對應(yīng)練習(xí)3】一個圓的半徑擴大a倍，直徑擴大()倍，周長擴大()倍，面積擴大()倍。【答案】aaa2【分析】假設(shè)圓原來的半徑為2，則擴大后圓的半徑為2a，直徑由原來的4變?yōu)?a，周長由原來的4π變?yōu)?aπ，面積由π×22＝4π變?yōu)棣小粒?a）2＝4πa2，由此解答即可?！驹斀狻恳粋€圓的半徑擴大a倍，直徑擴大a倍，周長擴大a倍，面積擴大a2倍?！军c睛】本題采用了假設(shè)法，假設(shè)法使題目變得具體化，簡單化。【典型例題2】倍數(shù)關(guān)系其二。大圓的半徑是小圓的半徑的2倍，則小圓周長是大圓周長的()，大圓面積是小圓面積的()倍?！敬鸢浮?【分析】根據(jù)半徑的倍數(shù)等于周長的倍數(shù)，倍數(shù)×倍數(shù)是面積之間的倍數(shù)，據(jù)此分析。【詳解】2×2＝4，大圓的半徑是小圓的半徑的2倍，則小圓周長是大圓周長的，大圓面積是小圓面積的4倍?！军c睛】圓的周長＝πd＝2πr，圓的面積＝πr2?！緦?yīng)練習(xí)1】有大小兩個圓，大圓直徑是小圓直徑的3倍，那么大圓周長是小圓周長的()倍；小圓面積是大圓面積的()。（填幾分之幾）【答案】3【分析】根據(jù)大圓的直徑是小圓直徑的3倍，可知大圓的半徑是小圓半徑的3倍，進而代入周長和面積公式，先分別求出它們的周長和面積，進而得解?！驹斀狻浚?）大圓周長：小圓周長：大圓周長小圓周長（2）大圓面積：小圓面積：小圓面積是大圓面積的：【點睛】考查了圓的周長公式或，圓的面積公式運用?！緦?yīng)練習(xí)2】大圓半徑是小圓半徑的4倍，大圓周長是小圓周長的()倍，小圓面積是大圓面積的()?！敬鸢浮?【詳解】小圓的周長C=2πr，大圓半徑是小圓半徑的4倍，大圓的周長=2π×4r，小圓的面積S=πr2，大圓半徑是小圓半徑的4倍，大圓的面積S=π×4r×4r=16πr2，由此可知答案．【對應(yīng)練習(xí)3】大圓半徑是小圓半徑的5倍，大圓周長是小圓周長的()倍，大圓面積是小圓面積的()倍?！敬鸢浮?25【分析】由題意可知，假設(shè)小圓的半徑是1，則大圓的半徑是5，根據(jù)圓的周長公式C＝2πr，圓的面積公式S＝πr2，據(jù)此解答即可。【詳解】假設(shè)小圓的半徑是1，則大圓的半徑是5，（2π×5）÷2π＝10π÷2π＝5π×52÷π×12＝25π÷π＝25則大圓周長是小圓周長的5倍，大圓面積是小圓面積的25倍?！军c睛】本題考查圓的周長和面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。【考點九】半徑、直徑和周長、面積的比例關(guān)系?！痉椒c撥】1.兩個圓的半徑比等于直徑比等于周長比，而面積比等于以上比的平方。2.圓周長和直徑的比是π:1，比值是π；圓周長和半徑的比是2π:1，比值是2π?！镜湫屠}1】比例關(guān)系其一。兩圓的半徑之比，它們的面積之比是()，周長之比是()?！敬鸢浮?∶253∶5【分析】圓的周長，圓的面積，根據(jù)圓的周長和面積公式可知，兩圓的面積之比等于半徑的平方之比，兩圓的周長之比等于半徑之比，據(jù)此解答即可。【詳解】兩圓的半徑之比3:5，它們的面積之比是9∶25，周長之比是3∶5?！军c睛】本題考查比、圓的周長和面積，解答本題的關(guān)鍵是掌握圓的周長和面積計算公式?！緦?yīng)練習(xí)1】兩個圓的半徑之比是4∶3，它們的直徑之比是()，周長之比是()，面積之比是()，如果較大的圓的周長是12.56cm，則較小的圓的周長是()cm?！敬鸢浮?∶34∶316∶99.42【分析】由題意可知，兩個圓的半徑之比是4∶3，則假設(shè)兩個圓的半徑分別為4和3，根據(jù)直徑＝半徑×2，圓的周長公式：C＝πd，圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此求出它們的直徑之比、周長之比和面積之比；根據(jù)圓的周長公式求出較大的圓的直徑，進而求出較小的圓的直徑，最后求出較小的圓的周長?！驹斀狻考僭O(shè)兩個圓的半徑分別為4和3（4×2）∶（3×2）＝8∶6＝（8÷2）∶（6÷2）＝4∶34π∶3π＝4∶342π∶32π＝16π∶9π＝16∶912.56÷3.14＝4（cm）4÷4×3＝1×3＝3（cm）3.14×3＝9.42（cm）則兩個圓的半徑之比是4∶3，它們的直徑之比是4∶3，周長之比是4∶3，面積之比是16∶9，如果較大的圓的周長是12.56cm，則較小的圓的周長是9.42cm?！军c睛】本題考查比的意義，結(jié)合圓的周長和面積的計算方法是解題的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習(xí)2】小圓直徑8厘米，大圓半徑6厘米，小圓和大圓直徑之比是()；小圓和大圓周長比是()；小圓和大圓的面積比是()。【答案】2∶32∶34∶9【分析】根據(jù)d＝2r，先求出大圓的直徑，然后寫出比，化簡比即可；根據(jù)兩個圓的直徑比＝周長比，面積比＝直徑比的平方，據(jù)此直接寫出比即可?！驹斀狻扛鶕?jù)分析：直徑比和周長比：8∶（6×2）＝8∶12＝2∶3面積比：（2×2）∶（3×3）＝4∶9所以，小圓直徑8厘米，大圓半徑6厘米，小圓和大圓直徑之比是（2∶3）；小圓和大圓周長比是（2∶3）；小圓和大圓的面積比是（4∶9）?！军c睛】此題考查了圓的周長以及面積計算，關(guān)鍵熟記：兩個圓的直徑比＝周長比，面積比＝直徑平方的比?！緦?yīng)練習(xí)3】已知小圓半徑是大圓半徑的，則小圓與大圓的周長之比是()，如果小圓面積是，則大圓面積是()?！敬鸢浮?∶328.26【分析】已知小圓半徑是大圓半徑的，利用比與分數(shù)之間的關(guān)系，可得小圓和大圓的半徑之比是1∶3，根據(jù)圓的周長＝×2×半徑，因此兩個圓的周長比等于這兩個圓的半徑比，即可求出小圓與大圓的周長之比。再根據(jù)圓的面積＝，因此兩個圓的面積比等于這兩個圓的半徑的平方比，可求得小圓和大圓的面積之比是1∶9，把小圓的面積看作1份，大圓的面積看作9份，用小圓的面積除以1，求出1份量是多少，再乘9即可求出大圓的面積?！驹斀狻扛鶕?jù)分析得，小圓和大圓的半徑之比是1∶3，所以小圓與大圓的周長之比是1∶3。小圓與大圓的面積之比是12∶32＝1∶9。3.14÷1×9＝28.26（cm2）即大圓面積是28.26cm2?！军c睛】此題主要考查比的應(yīng)用以及圓的周長、面積公式的熟練運用。【典型例題2】比例關(guān)系其二。如圖：大圓半徑為8厘米，小圓半徑為4厘米，則大圓與小圓的直徑之比是()，周長之比是()，面積之比是()。現(xiàn)在讓小圓沿著大圓的外側(cè)滾動一周后回到原處，那么小圓的圓心移動的長度是()厘米?！敬鸢浮?∶12∶14∶175.36【分析】根據(jù)圓的直徑d＝2r，圓的周長C＝2πr，圓的面積S＝πr2，可知兩個圓的直徑之比、周長之比等于它們的半徑之比，兩個圓的面積之比等于它們的半徑的平方比。從圖中可知，小圓的圓心移動的長度是以（8＋4）厘米為半徑的圓的周長，根據(jù)圓的周長C＝2πr，代入數(shù)據(jù)計算即可求解?！驹斀狻看髨A與小圓的直徑之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圓與小圓的周長之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圓與小圓的面積之比是82∶42＝64∶16＝（64÷16）∶（16÷16）＝4∶1；2×3.14×（8＋4）＝2×3.14×12＝75.36（厘米）小圓的圓心移動的長度是75.36厘米?！军c睛】本題考查圓的直徑、周長、面積公式的運用以及比的意義、比的化簡?！緦?yīng)練習(xí)1】下圖是由一個大圓和一個小圓組成的，點O是大圓的圓心。小圓與大圓的半徑之比是()，周長之比是()，面積之比是()。【答案】1∶21∶21∶4【分析】可以假設(shè)小圓的半徑為r，大圓的半徑為2r，分別求出大小圓的半徑、大小圓的周長、大小圓的面積，再寫出比并化簡即可?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為2r，小圓與大圓的半徑之比：r∶2r＝1∶2周長之比：2πr∶2π（2r）＝1∶2面積之比：πr2∶π（2r）2＝πr2∶4πr2＝1∶4已知小圓的直徑等于大圓的半徑，那么小圓與大圓的半徑之比是1∶2，周長之比是1∶2，面積之比是1∶4?！军c睛】本題考查圓的周長、面積公式及比的意義與化簡比?！緦?yīng)練習(xí)2】三個同心圓（如圖），已知OA：AB：BC的比是1：2：3，那么這三個圓（從小到大）的周長之比是()，面積之比是()?！敬鸢浮?：3：61：9：36【詳解】由分析得：這三個圓的周長的比等于半徑的比，面積的比等于半徑平方的比，所以，這三個圓（從小到大）的周長之比是1：3：6，面積的比是1：9：36．故答案為1：3：6，1：9：36．【對應(yīng)練習(xí)3】（如圖）如果大圓的半徑和小圓的直徑相等，那么大圓面積與小圓面積之比是()。A．2∶1 B．4∶1 C． D．【答案】B【分析】假設(shè)出小圓的半徑，大圓的半徑＝小圓的半徑×2，利用“”表示出大圓的面積和小圓的面積，最后根據(jù)比的意義求出大圓和小圓的面積比，據(jù)此解答?！驹斀狻考僭O(shè)小圓的半徑為r厘米，則大圓的半徑為2r厘米。小圓的面積：（平方厘米）大圓的面積：＝（平方厘米）大圓的面積∶小圓的面積＝∶＝4∶1所以，大圓面積與小圓面積之比是4∶1。故答案為：B【點睛】掌握圓的面積計算公式和比的意義是解答題目的關(guān)鍵?！究键c十】半徑、直徑和周長、面積的增減變化問題?！痉椒c撥】1.周長的變化：算出增加后圓的周長和原來的周長進行相減得到周長增加的部分。當一個圓的半徑增加a厘米時，它的周長就增加2πa厘米；當一個圓的直徑增加a厘米時，它的周長就增加πa厘米。2.面積的變化：算出增加后圓的面積和原來的面積進行相減得到面積增加的部分?！镜湫屠}】一個半徑是3dm的圓，如果半徑增加1dm，那么周長增加()dm，面積增加()dm2。【答案】6.2821.98【分析】由于半徑增加1dm，那么此時的半徑是4dm，根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr，圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)代入公式求出半徑增加前的周長和面積，再求出半徑增加后的周長和面積，之后作差即可?！驹斀狻慨敯霃绞?dm的時候周長：3.14×3×2＝9.42×2＝18.84（dm）面積：3.14×32＝3.14×9＝28.26（dm2）半徑增加1dm后：3＋1＝4（dm）周長：3.14×4×2＝12.56×2＝25.12（dm）面積：3.14×42＝3.14×16＝50.24（dm2）則周長增加：25.12－18.84＝6.28（dm）面積增加：50.24－28.26＝21.98（dm2）所以一個半徑為3dm的圓，如果半徑增加1dm，那么周長增加6.28dm，面積增加21.98dm2?！军c睛】本題主要考查圓的周長和面積公式，應(yīng)熟練掌握它們的公式并靈活運用。【對應(yīng)練習(xí)1】圓的半徑由4cm增加到5cm，它的周長增加()cm，它的面積增加()cm2。（π取3.14）【答案】6.2828.26【分析】根據(jù)圓的周長公式：C＝，和圓的面積公式：S＝，代入前后半徑的數(shù)據(jù)，分別求出增加前和增加后的圓的周長及圓的面積，再相減即可求出增加的圓的周長和增加的圓的面積?！驹斀狻?×3.14×5－2×3.14×4＝31.4－25.12＝6.28（cm）3.14×52－3.14×42＝3.14×25－3.14×16＝78.5－50.24＝28.26（cm2）即圓的周長增加6.28cm，它的面積增加28.26cm2。【點睛】此題的解題關(guān)鍵是靈活運用圓的周長和圓的面積公式解決實際的問題?！緦?yīng)練習(xí)2】一個圓的半徑是6m，周長是()m，面積是()m2；如果這個圓的半徑增加1m，則周長增加()m，面積增加()m2?！敬鸢浮?7.68113.046.2840.82【分析】根據(jù)“”“”分別求出這個圓的周長和面積，以及半徑增加后圓的周長和面積，最后求出它們的差，據(jù)此解答。【詳解】2×3.14×6＝6.28×6＝37.68（m）3.14×62＝3.14×36＝113.04（m2）6＋1＝7（m）2×3.14×7－37.68＝6.28×7－37.68＝43.96－37.68＝6.28（m）3.14×72－113.04＝3.14×49－113.04＝153.86－113.04＝40.82（m2）所以，一個圓的半徑是6m，周長是37.68m，面積是113.04m2；如果這個圓的半徑增加1m，則周長增加6.28m，面積增加40.82m2?！军c睛】熟練掌握并靈活運用圓的周長和面積的計算公式是解答題目的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習(xí)3】用籬笆圍一個半圓形養(yǎng)雞場，一面靠墻，籬笆長15.7米。如果將養(yǎng)雞場半徑增加1米，需要增加圍欄()米，則面積增加()平方米?！敬鸢浮?.1417.27【分析】先用15.7×2求出整圓的周長，然后算出養(yǎng)雞場原來的半徑，再算出增加1米后的半徑以及籬笆長度，和之前的籬笆長相減，求出增加的圍欄長度；分別根據(jù)增加前后的半徑求出半圓的面積，最后把它們相減求出增加的面積即可?！驹斀狻吭瓉戆霃剑?5.7×2÷2÷3.14＝15.7÷3.14＝5（米）后來半徑：5＋1＝6（米）后來籬笆長：6×2×3.14÷2＝6×3.14＝18.84（米）增加的圍欄長度：18.84－15.7＝3.14（米）增加的面積：3.14×6×6÷2－3.14×5×5÷2＝3.14×18－3.14×12.5＝56.52－39.25＝17.27（平方米）如果將養(yǎng)雞場半徑增加1米，需要增加圍欄3.14米，則面積增加17.27平方米。【點睛】靈活運用圓的周長和面積公式是解題的關(guān)鍵?！究键c十一】長方形與最圓問題?！痉椒c撥】在長方形內(nèi)畫最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬?！镜湫屠}】在一張長6cm，寬4cm的長方體紙上畫一個最大的圓，那么圓規(guī)兩腳間的距離是()厘米；所畫圓的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?12.56【分析】根據(jù)題意可知，在這張長方形紙上畫一個最大的圓，這個圓的直徑等于長方形的寬，所以圓規(guī)兩腳間的距離是（4÷2）厘米，根據(jù)圓的面積公式：S＝r2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】4÷2＝2（厘米）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）圓規(guī)兩腳間的距離是2厘米，所畫圓的面積是12.56平方厘米?！军c睛】考查圓的特點以及圓的面積計算，重點是能夠熟練掌握圓的面積計算方法?！緦?yīng)練習(xí)1】在一塊長8分米、寬6分米的長方形鐵板上，剪掉一個最大的圓，剩下部分的面積是()平方分米?！敬鸢浮?9.74【分析】長方形里剪掉一個最大的圓，圓的直徑＝長方形的寬，長方形面積＝長×寬，圓的面積＝πr2，長方形面積－圓的面積＝剩下部分的面積，據(jù)此列式計算?！驹斀狻?×6－3.14×（6÷2）2＝48－3.14×32＝48－3.14×9＝48－28.26＝19.74（平方分米）剩下部分的面積是19.74平方分米?！军c睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運用長方形和圓的面積公式，理解長方形和圓之間的關(guān)系?！緦?yīng)練習(xí)2】在長8cm，寬0.6dm的長方形紙上畫一個最大的圓，這個圓的周長是()cm，面積是()cm2?！敬鸢浮?8.8428.26【分析】在長方形中畫一個最大的圓，則這個圓的直徑相當于長方形的寬，根據(jù)圓的周長公式：C＝πd，圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此進行計算即可?！驹斀狻?.6dm＝6cm3.14×6＝18.84（cm）3.14×（6÷2）2＝3.14×9＝28.26（cm2）則這個圓的周長是18.84cm，面積是28.26cm2。【點睛】本題考查圓的周長和面積，明確這個圓的直徑相當于長方形的寬是解題的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習(xí)3】在一張長8cm、寬6cm的長方形紙板中畫出一個最大的圓，這個圓的半徑是()cm，周長是()cm，面積是()cm2。【答案】318.8428.26【分析】以長方形的寬為直徑的圓是長方形中最大的圓，在同圓或等圓中，半徑是直徑的，直徑是半徑的2倍，利用“”求出圓的周長，利用“”求出圓的面積，據(jù)此解答?！驹斀狻堪霃剑?÷2＝3（cm）周長：2×3.14×3＝6.28×3＝18.84（cm）面積：3.14×32＝28.26（cm2）所以，這個圓的半徑是3cm，周長是18.84cm，面積是28.26cm2?！军c睛】理解最大圓的直徑等于長方形的寬，并掌握圓的周長和面積計算公式是解答題目的關(guān)鍵。【考點十二】外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方（正方形與最圓問題）?！痉椒c撥】1.外方內(nèi)圓：在正方形里面畫最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長，圓的面積與正方形面積比為π:4。2.外圓內(nèi)方：在圓里面畫最大的正方形，圓的直徑等于正方形的對角線的長，圓的面積與正方形的面積比為π:2?！镜湫屠}1】“外方內(nèi)圓”。如圖，在一張邊長10cm的正方形紙上剪下一個最大的圓，這個圓的面積是()，剩余部分的面積是()?！敬鸢浮?8.521.5【分析】由題意可知：這個最大圓的直徑應(yīng)該等于正方形的邊長，正方形的邊長已知，于是利用圓的面積＝πr2，即可求出圓的面積；再用正方形的面積減去圓的面積，即可求出剩余部分的面積?！驹斀狻?.14×（10÷2）2＝3.14×25＝78.5（平方厘米）這個圓的面積是78.5平方厘米。10×10－78.5＝100－78.5＝21.5（平方厘米）余下部分的面積是21.5平方厘米。【點睛】此題主要考查學(xué)生正方形與圓面積的計算能力，解答此題的關(guān)鍵是明白：正方形中最大圓的直徑應(yīng)該等于正方形的邊長，即可求得圓面積和余下的面積?！緦?yīng)練習(xí)1】在一個面積為40平方厘米的正方形里，剪下一個最大的圓，圓的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?1.4【分析】由題意可知，從正方形中剪下一個最大的圓，則該圓的直徑相當于正方形的邊長，圓的半徑的平方等于正方形的面積的，再根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此計算即可?！驹斀狻?0×＝10（平方厘米）3.14×10＝31.4（平方厘米）則圓的面積是31.4平方厘米?！军c睛】本題考查圓的面積，明確圓的半徑的平方等于正方形的面積的是解題的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習(xí)2】在一張周長20分米的正方形上剪下一個最大的圓，則剩余部分的面積是()平方分米?！敬鸢浮?.375【分析】周長20分米的正方形的邊長是5分米，則這個最大的圓的直徑就是5分米，據(jù)此利用圓的面積公式求出這個最大的圓的面積，再用正方形的面積減去圓的面積即可。【詳解】20÷4＝5（分米）5×5－3.14×（5÷2）2＝25－3.14×6.25＝25－19.625＝5.375（平方分米）剩余部分的面積是5.375平方分米。【點睛】解答此題的關(guān)鍵是：弄清楚陰影部分的面積可以由哪些圖形的面積的和或差求得，再利用面積公式計算即可解答問題?！緦?yīng)練習(xí)3】數(shù)學(xué)課上，小明用邊長8cm的正方形紙，小華用邊長10cm的正方形紙，各剪了一個最大的圓，小明和小華所剪的圓的周長之比是()，面積之比是()?！敬鸢浮?∶516∶25【分析】正方形的邊長為圓的直徑，根據(jù)圓的周長公式：可知，圓的周長之比等于半徑之比；根據(jù)圓的面積公式：可知，圓的面積之比等于半徑的平方之比?！驹斀狻啃∶骷舻膱A的半徑為：8÷2＝4（cm），小華剪的圓的半徑為：10÷2＝5（cm）；所以小明和小華所剪的圓的周長之比為：4∶5；小明和小華所剪的圓的面積之比為：＝16∶25【點睛】此題考查的是圓的面積公式和圓的周長公式?！镜湫屠}2】“外圓內(nèi)方”。在一個圓內(nèi)畫一個最大的正方形，這個正方形的面積是72平方厘米，那么這個圓的面積是()平方厘米，周長是()厘米?！敬鸢浮?13.0437.68【分析】在一個圓內(nèi)畫一個最大的正方形，如圖，正方形的對角線＝圓的直徑，設(shè)圓的半徑是r厘米，根據(jù)2r×r×2÷2＝正方形面積，確定r，再根據(jù)圓的面積＝πr2，圓的周長＝2πr，求出圓的面積和周長?！驹斀狻拷猓涸O(shè)圓的半徑是r厘米。2r×r×2÷2＝722r×r＝722r×r÷2＝72÷2r×r＝36r＝63.14×62＝3.14×36＝113.04（平方厘米）2×3.14×6＝37.68（厘米）這個圓的面積是113.04平方厘米，周長是37.68厘米?！军c睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運用圓的周長和面積公式。【對應(yīng)練習(xí)1】把一個圓形紙片折成一個最大的正方形，這個正方形的對角線長8cm，那么這個圓形紙片的面積是()平方厘米，折起來的部分的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?0.2418.24【分析】把一個圓形紙片折成一個最大的正方形，這個正方形的對角線＝圓的直徑，根據(jù)圓的面積＝πr2，求出圓形紙片的面積；圓的面積－正方形面積＝折起來的面積，正方形的面積＝兩個三角形面積和，據(jù)此列式計算?！驹斀狻?.14×（8÷2）2＝3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）50.24－8×（8÷2）÷2×2＝50.24－8×4÷2×2＝50.24－32＝18.24（平方厘米）這個圓形紙片的面積是50.24平方厘米，折起來的部分的面積是18.24平方厘米?！军c睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運用圓的面積公式，靈活計算正方形面積。【對應(yīng)練習(xí)2】在一個周長是18.84厘米的圓內(nèi)畫一個最大的正方形，這個正方形的面積是()平方厘米，這個正方形的面積與這個圓的面積最簡單整數(shù)比是()∶()。【答案】18100157【分析】圓內(nèi)畫一個最大的正方形，正方形對角線＝圓的直徑，根據(jù)圓的直徑＝周長÷π，求出圓的直徑，即正方形對角線，將正方形平均分成2個等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積＝底×高÷2，求出正方形面積；圓的面積＝πr2，根據(jù)比的意義，寫出正方形與圓的面積比，化簡即可?！驹斀狻?8.84÷3.14＝6（厘米）6×（6÷2）÷2×2＝6×3÷2×2＝18（平方厘米）3.14×（6÷2）2＝3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）18∶28.26＝1800∶2826＝300∶471＝100∶157在一個周長是18.84厘米的圓內(nèi)畫一個最大的正方形，這個正方形的面積是18平方厘米，這個正方形的面積與這個圓的面積最簡單整數(shù)比是100∶157?！军c睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運用圓的周長和面積公式以及正方形面積公式，理解比的意義，掌握化簡比的方法?！緦?yīng)練習(xí)3】如圖，在周長是18.84厘米的圓內(nèi)畫一個最大的正方形，陰影部分的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?0.26【分析】以圓的直徑為對角線的正方形是圓內(nèi)面積最大的正方形，連接正方形的兩條對角線，正方形被分成4個形狀相同的等腰直角三角形，先根據(jù)圓的周長求出圓的半徑，再利用“”表示出圓的面積，并根據(jù)“”表示出正方形的面積，陰影部分的面積＝圓的面積－正方形的面積，據(jù)此解答?！驹斀狻?8.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（厘米）3.14×32－×3×3×4＝3.14×9－×4＝28.26－18＝10.26（平方厘米）所以，陰影部分的面積是10.26平方厘米?！军c睛】把正方形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積，并掌握圓的周長和面積計算公式是解答題目的關(guān)鍵。【典型例題3】綜合型。如圖中，在邊長是2cm的正方形內(nèi)畫一個最大的圓，再在圓里畫一個最大的正方形，那么陰影部分的面積是()cm2。【答案】1.14【分析】根據(jù)題意，在邊長是2cm的正方形內(nèi)畫一個最大的圓，那么這個圓的直徑等于正方形的邊長，根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出這個圓的面積；在圓里畫一個最大的正方形，如下圖，用正方形的一條對角線把這個正方形平均分成2個三角形，三角形的底等于圓的直徑，三角形的高等于圓的半徑，根據(jù)三角形的面積S＝ah÷2，求出一個三角形的面積，再乘2，即是這個最大正方形的面積；最后用圓的面積減去最大正方形的面積，即是陰影部分的面積?！驹斀狻繄A的半徑：2÷2＝1（cm）圓的面積：3.14×1×1＝3.14（cm2）圓內(nèi)最大正方形的面積：2×1÷2×2＝2（cm2）陰影部分的面積：3.14－2＝1.14（cm2）陰影部分的面積是1.14cm2?！军c睛】本題考查圓的面積、三角形面積公式的運用，關(guān)鍵是把圓內(nèi)最大正方形的面積轉(zhuǎn)化成兩個完全一樣的三角形的面積求解?！緦?yīng)練習(xí)1】大圓內(nèi)有一個最大的正方形，正方形內(nèi)有一個最大的圓，大圓面積和小圓面積的比是()。A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43【答案】C【分析】觀察圖形可知，設(shè)小圓的半徑是1，正方形的邊長為2，利用圓的面積公式即可表示出小圓的面積為π；假設(shè)大圓的半徑為r，根據(jù)大圓和正方形的關(guān)系，正方形的面積等于2r2，據(jù)此求出r2，進而得出大圓的面積，然后寫出大圓面積和小圓面積的比，再化簡即可?！驹斀狻吭O(shè)小圓的半徑為1，則：小圓的面積是：π×1×1＝π正方形的面積是：（1＋1）2＝22＝4設(shè)大圓的半徑是r，則：2r2＝42r2÷2＝4÷2r2＝2大圓的面積是：π×r2＝2π所以大圓面積和小圓面積的比是：2π∶π＝（2π÷2）∶（π÷2）＝2∶1故答案為：C【點睛】本題主要考查了組合圖形面積的計算，根據(jù)圓中取面積最大正方形的畫法，推導(dǎo)出大圓半徑和正方形邊長的關(guān)系，是本題解題的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習(xí)2】如圖，大圓內(nèi)畫一個最大的正方形，正方形內(nèi)畫一個最大的圓…，如此畫下去，共畫了4個圓．那么，最大的圓的面積是最小的圓的()倍。A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】首先設(shè)最小圓的半徑（最小正方形的邊心距）為x，然后利用構(gòu)造的等腰直角三角形表示出最大的正方形的半徑，然后根據(jù)面積的比等于半徑比的平方即可得到答案。【詳解】如圖：設(shè)同心圓的圓心為O，連接OA，作OC垂直于最大正方形的邊于點C，設(shè)最小圓的半徑（最小正方形的邊心距）為x，∵∠AOC=45°，所以∴最大圓與最小圓的面積比為：（2x）2：x2=8：1，即最大圓的面積是最小圓的面積的8倍。故選C?！军c睛】本題考查了正多邊形的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形并找到兩圓的半徑比?！究键c十三】圓面積與指針問題?！痉椒c撥】時針和分針可看作圓的半徑，求周長或面積時，應(yīng)先分析出時針或分針走的圈數(shù)?！镜湫屠}】一個鐘表的分針長10厘米，時針長8厘米。從1時到2時，分針針尖走過了多少厘米？這時時針掃過的面積是多少平方厘米？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】62.8厘米；16.75平方厘米【分析】從1時到2時，分針走了1圈，時針走了1大格，一共有12格；根據(jù)圓周長公式：C＝2πr，用3.14×2×10即可求出分針針尖走過了多少厘米；根據(jù)題意可知，時針掃過的面積是圓面積的；根據(jù)圓面積公式：S＝πr2，用3.14×82×即可求出時針掃過的面積?！驹斀狻?.14×2×10＝62.8（厘米）3.14×82×＝3.14×64×≈16.75（平方厘米）答：分針針尖走過了62.8厘米；時針掃過的面積是16.75平方厘米?！军c睛】本題主要考查了圓周長公式和圓面積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式。【對應(yīng)練習(xí)1】一個掛鐘的分針長12厘米，經(jīng)過15分鐘，分針尖端走過的路程是多少厘米？分針掃過內(nèi)面積是多少平方厘米？【答案】18.84厘米；113.04平方厘米【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗可知，分針1小時（60分鐘）轉(zhuǎn)一圈，經(jīng)過15分鐘，分針轉(zhuǎn)了四分之一圈，根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr，圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?×3.14×12÷4＝6.28×12÷4＝75.36÷4＝18.84（厘米）3.14×122÷4＝3.14×144÷4＝452.16÷4＝113.04（平方厘米）答：分針尖端走過的路程是18.84厘米，分針掃過內(nèi)面積是113.04平方厘米。【點睛】此題主要考查圓的周長公式、面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式?！緦?yīng)練習(xí)2】某鐘表的分針長10厘米，從1時到4時，分針針尖走過了多少厘米？分針掃過的面積是多少平方厘米？【答案】188.4厘米；942平方厘米【分析】根據(jù)題意可知，從1時到4時，分針正好轉(zhuǎn)動了三圈，分針走一圈，它的尖端走過的路程是一個圓，分針的長度就是這個圓的半徑，根據(jù)圓的周長公式走一圈所走的路程，再乘3即可求出分針走過的路程；分針轉(zhuǎn)過一圈的面積，就是這個圓的面積，利用圓的面積公式求出掃一圈的面積，再乘3即可解答?！驹斀狻?×3.14×10×3＝6.28×10×3＝188.4（厘米）3.14×102×3＝3.14×100×3＝942（平方厘米）答：分針針尖走過了188.4厘米，分針掃過的面積是942平方厘米?！军c睛】此題主要考查的是圓的周長、面積公式的應(yīng)用?！緦?yīng)練習(xí)3】一個鐘表的時針長8厘米，分針長10厘米，從中午12時到下午6時，時針掃過的面積是多少？一晝夜分針尖端走過的路程是多少？【答案】100.48平方厘米；1507.2厘米【分析】時針和分針的長度相當于圓的半徑，從中午12時到下午6時，時針掃過鐘面的一半，根據(jù)半圓面積＝πr2÷2，求出時針掃過的面積；一晝夜分針轉(zhuǎn)24圈，根據(jù)圓的周長C＝2πr，求出轉(zhuǎn)一圈的路程，乘24即可?！驹斀狻?.14×82÷2＝3.14×64÷2＝100.48（平方厘米）2×3.14×10×24＝62.8×24＝1507.2（厘米）答：從中午12時到下午6時，時針掃過的面積是100.48平方厘米，一晝夜分針尖端走過的路程是1507.2厘米?！军c睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運用圓的周長和面積公式。【考點十四】圓環(huán)的面積問題其一：整圓環(huán)。【方法點撥】圓環(huán)的面積：S=πR2πr2?！镜湫屠}】在一個半徑為3米的圓形花園外鋪一條寬1米的小路，小路的面積是多少？【答案】21.98平方米【分析】由題意可知，小路的面積等于半徑為（3＋1）米的圓的面積減去半徑為3米的圓的面積，然后根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此計算即可?！驹斀狻?＋1＝4（米）3.14×42－3.14