空間距離（精講）（原卷版）

7.4空間距離（精講）一．點(diǎn)到線的距離1.概念：過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點(diǎn)到該平面的距離；設(shè)AP＝，直線l的一個單位方向向量為，則向量AP在直線l上的投影向量AQ＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP|2-|AQ二．兩異面直線間的距離：即兩條異面直線公垂線段的長度.三．點(diǎn)到平面的距離：已知平面α的法向量為，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此四．直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點(diǎn)到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離；五．兩個平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.一．求點(diǎn)面距常見方法方法一：作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離方法二：等體積法方法三：向量法二.向量法求兩異面直線的距離分別以這兩條異面直線上任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量為，與這兩條異面直線都垂直的法向量為，則兩條異面直線間的距離就是在方向上的正射影向量的模，設(shè)為d，從而由公式求解.考點(diǎn)一點(diǎn)線距【例11】（2023春·江西南昌）如圖，是棱長為的正方體，若在正方體內(nèi)部且滿足，則到的距離為（

）A． B．C． D．【例12】（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．【一隅三反】1．（2023春·廣東茂名·高三校考階段練習(xí)）菱形的邊長為4，，E為AB的中點(diǎn)（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則F到直線BC的距離為（

）

A． B． C． D．2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是a，且，，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（

）

A． B． C． D．考點(diǎn)二線線距【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）長方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三點(diǎn)面距【例31】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．【例32】（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，在四面體中，．點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，且，三棱錐的體積為．

(1)求點(diǎn)A到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【一隅三反】1．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)在線段BD上存在一點(diǎn)F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為.①確定點(diǎn)F的位置；②求點(diǎn)C到平面PEF的距離.2．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，其母線長為6，邊長為的等邊內(nèi)接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；(2)若為中點(diǎn)，射線與底面圓周交于點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時，求點(diǎn)到平面的距離.考點(diǎn)四面面距【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點(diǎn)．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)．(1)求證：平面