夯基專題20概率隨機(jī)變量及其分布（學(xué)生版）

夯基專題20概率、隨機(jī)變量及其分布考向一概率考向一概率考點(diǎn)一：古典概型求概率1.一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型試驗(yàn)，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率PA2.計(jì)算樣本點(diǎn)數(shù)：=1\*GB3①利用計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)；=2\*GB3②列舉法.考點(diǎn)二：獨(dú)立事件1.判斷事件是否相互獨(dú)立的方法=1\*GB2⑴定義法：事件A，B相互獨(dú)立?P(A∩B)＝P(A)·P(B)．=2\*GB2⑵由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．=3\*GB2⑶條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(B|A)＝P(B)判斷．2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積．考點(diǎn)三：條件概率1.條件概率的求法=1\*GB2⑴定義法:分析題意，弄清概率模型；計(jì)算P(A)，P(A∩B)；代入公式求P(B|A)＝PABP=2\*GB2⑵借助古典概型：先求事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)nA，再求事件AB包含的基本事件數(shù)nAB，進(jìn)而求P(B|A)＝P=3\*GB2⑶縮樣法:即縮小樣本空間的方法，P(B|A)＝nAB2.條件概率具有的性質(zhì)：=1\*GB2⑴0≤P(B|A)≤1；=2\*GB2⑵如果B和C是兩互斥事件，則PB∪CA=PB3.全概率公式(1)P(B)＝(2)若樣本空間Ω中的事件A1①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj②A1③P(A則對(duì)Ω中的任意事件B，都有B=BA1+BA2+…+BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai【典例精講】例1.(2023·廣東省廣州市模擬)“總把新桃換舊符”(王安石)、“燈前小草寫桃符”(陸游)，春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，在宋代人們用寫“桃符”的方式來(lái)祈福避禍，而現(xiàn)代人們通過(guò)貼“?！弊?、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來(lái)表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿，某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng)，顧客凡購(gòu)物金額滿80元，則可以從“?！弊帧⒋郝?lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件，若有5名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們中恰有3人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是(

)A.140243 B.40243 C.2081例2.(2023·湖北省咸寧市月考)甲乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，若比賽為“五局三勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為23，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲勝得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了四局的概率為

．例3.(2023·湖南省長(zhǎng)沙市期末)選手甲分別與乙、丙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果甲、乙比賽，那么每局比賽甲獲勝的概率為35，乙獲勝的概率為25，如果甲、丙比賽，那么每局比賽甲、丙獲勝的概率均為12．

(1)若采用3局2勝制，兩場(chǎng)比賽甲獲勝的概率分別是多少？

(2)若采用5局3【拓展提升】練11(2023·湖南師大附中一模)（多選）甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以A1,A2和A3表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是A.事件B與事件Ai(i=1,2,3)相互獨(dú)立 B.PA1B=練12(2023·云南省昆明市月考)鮮花餅是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥餅，是具有云南特色的云南經(jīng)典點(diǎn)心代表，鮮花餅的保質(zhì)期一般在三至四天．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某超市一天賣出鮮花餅3箱的概率為15，賣出2箱的概率為12，賣出1箱的概率為15，沒(méi)有賣出的概率為110，為了保證顧客能夠買到新鮮的鮮花餅，該超市規(guī)定當(dāng)天結(jié)束營(yíng)業(yè)后檢查貨架上存貨，若賣出2箱及以上，則需補(bǔ)貨至3箱，否則不補(bǔ)貨．假設(shè)第一天該超市開始營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有3箱鮮花餅．

(1)在第一天結(jié)束營(yíng)業(yè)后貨架上有2箱鮮花餅的條件下，求第二天結(jié)束營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有1箱存貨的概率；

(2)求第二天結(jié)束營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有考向考向二隨機(jī)變量的分布列【核心知識(shí)】考點(diǎn)一：離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征1．離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)(1)pi(2)p12．離散型隨機(jī)變量Χ的期望、方差(1)EΧ(2)DΧ＝x(3)期望、方差的性質(zhì)=1\*GB3①E(aΧ＋b)＝aE(Χ)=2\*GB3②若Χ～B(n，p)3.常見(jiàn)的隨機(jī)變量的概率分布模型(1)二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率，P(Χ(2)超兒何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則PX＝k=C(3)正態(tài)分布：若X～N(μ，σ考點(diǎn)二：分布列的求法1.與排列、組合有關(guān)分布列的求法．由排列、組合、概率知識(shí)求出概率，再求出分布列．2.與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法．可由頻率估計(jì)概率，再求出分布列．3.與互斥事件有關(guān)分布列的求法．弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．4.與獨(dú)立事件（或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）有關(guān)分布列的求法．先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系，求出各個(gè)概率，再列出分布列．考點(diǎn)三：期望與方差的實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)期望反映的是隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差則是反映隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度．1.若實(shí)際的平均水平高較好，則先求隨機(jī)變量的期望，當(dāng)時(shí)，再求來(lái)比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的方差，確定它們的偏離程度．2.若實(shí)際問(wèn)題的穩(wěn)定性高較好，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．3.方差不是越小就越好，而是要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要來(lái)判斷．【典例精講】

例4.(2023·吉林省吉林市月考)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.若隨機(jī)變量X～N2,σ2，則PX≥2=12

B.若隨機(jī)變量Y服從兩點(diǎn)分布，且EY=12，則D2Y=1

C.若隨機(jī)變量例5.(2023·湖北省武漢市聯(lián)考)某市對(duì)全體高中學(xué)生舉行了一次關(guān)于環(huán)境保護(hù)相關(guān)知識(shí)的測(cè)試.統(tǒng)計(jì)人員從全市高中學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測(cè)試滿分為100分，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生的測(cè)試成績(jī)都在區(qū)間30,100內(nèi)，并且30,40，40,50,50,60，60,70段內(nèi)的人數(shù)恰成等差數(shù)列，如圖所示是頻率分布直方圖的一部分．(1)請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖(標(biāo)上縱坐標(biāo)的值)，直接寫出百分之八十五分位數(shù)：___________(精確到0.1)；(2)用樣本頻率估計(jì)總體，從全市高中學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記成績(jī)?cè)趨^(qū)間80,100內(nèi)的人數(shù)為X，成績(jī)?cè)趨^(qū)間70,100內(nèi)的人數(shù)為Y，記Z=Y-X，比較EY-EX與例6.(2023·天津市市轄區(qū)月考)某校共有1200人，其中高一年級(jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)人數(shù)之比為3:4:5，為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉，全面推進(jìn)素質(zhì)教育，擬舉行了乒乓球比賽，從三個(gè)年級(jí)中采用按比例分層抽樣的方式選出參加乒乓球比賽的12名隊(duì)員。本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽(每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制)，最后根據(jù)積分選出最后的冠軍，亞軍和季軍．積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽5局中以3:0或3:1獲勝的隊(duì)員積3分，落敗的隊(duì)員積0分；而每場(chǎng)比賽5局中以3:2獲勝的隊(duì)員積2分，落敗的隊(duì)員積1分．已知最后一輪比賽兩位選手是甲和乙，如果甲每局比賽獲勝的概率為23．(1)三個(gè)年級(jí)參賽人數(shù)各為多少．(2)在甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率．(3)記這輪比賽甲所得積分為X，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X)．【拓展提升】練21(2023·江蘇省南通市期末)某公司開發(fā)了一款可以供n(n=3或n=4)個(gè)人同時(shí)玩的跳棋游戲．每局游戲開始，采用擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子(骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6)，兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和除以n所得的余數(shù)對(duì)應(yīng)的人先走第一步．兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和除以n的余數(shù)0，1，2，…，n-1分別對(duì)應(yīng)游戲者A1，A2，A3，…，An．(1)當(dāng)n=3時(shí)，在已知兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的條件下，求A3(2)當(dāng)n=4時(shí)，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和除以n的余數(shù)X的概率分布和數(shù)學(xué)期望，并說(shuō)明該方法對(duì)每個(gè)游戲者是否公平．練22(2023·湖北省宜昌市月考)某快餐連鎖店招聘外賣騎手，該快餐連鎖店外賣覆蓋A，B兩個(gè)區(qū)域，騎手入職只能選擇其中一個(gè)區(qū)域．其中區(qū)域A無(wú)底薪，外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成5元；區(qū)域B規(guī)定每日底薪150元，外賣業(yè)務(wù)的前35單沒(méi)有提成，從第36單開始，每完成一單提成8元．為激勵(lì)員工，快餐連鎖店還規(guī)定，凡當(dāng)日外賣業(yè)務(wù)超過(guò)55單的外賣騎手可額外獲得“精英騎手”獎(jiǎng)勵(lì)50元．該快餐連鎖店記錄了騎手每天的人均業(yè)務(wù)量，整理得到如圖所示的兩個(gè)區(qū)域外賣業(yè)務(wù)量的頻率分布直方圖．

(1)從以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，新入職騎手選擇區(qū)域A的概率為0.6，選擇區(qū)域B的概率為0.4，

(ⅰ)隨機(jī)抽取一名騎手，求該騎手獲得當(dāng)日“精英騎手”獎(jiǎng)勵(lì)的概率；

(ⅱ)若新入職的甲、乙、丙三名騎手分別到該快餐連鎖店應(yīng)聘，三人區(qū)域選擇相互獨(dú)立，求至少有兩名騎手選擇區(qū)域A的概率；

(2)若僅從人均日收入的角度考慮，新聘騎手應(yīng)選擇入職哪一區(qū)域？請(qǐng)說(shuō)明你的理由(同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)．【答案解析】例1.解：先考慮恰有3人領(lǐng)取的禮品種類相同的情況，先從5人中選取3人，有C53=10種選法，再?gòu)娜惗Y品中選取一類，有C31=3種選法，

另外2人從剩下的2類禮品中任意選擇，有2×2=4種選法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有10×3×4=120種情況，

又總情況數(shù)為35=243種，例2.解：甲乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，比賽為“五局三勝”制，

甲在每局比賽中獲勝的概率均為23，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，

在甲獲得冠軍的概率為：

P1=233+C32232例3.解：(1)采用3局2勝制，甲獲勝的可能分2：0，2：1，

因?yàn)槊烤值谋荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，

所以甲乙比賽甲獲勝的概率P1=35×35+C21×(35)2×25=81125，

甲丙比賽甲獲勝的概率P2=12×12+C21×(12)2×12=12，

練11.解：由題意知，事件B與事件A1，A2，A3都不相互獨(dú)立，故A不正確，

P(A1B)=PA1PB=510×511=練12.解：(1)某超市一天賣出鮮花餅3箱的概率為15，賣出2箱的概率為12，賣出1箱的概率為15，沒(méi)有賣出的概率為110，

設(shè)事件A：“第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有3箱鮮花餅”，事件B：“第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有2箱鮮花餅”，事件C：“第二天結(jié)束營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有1箱存貨”，

在第一天結(jié)束營(yíng)業(yè)后貨架上有2箱鮮花餅的條件下，第二天結(jié)束營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有1箱存貨的概率P(C|B)=15．

(2)由題意知：P(A)=110+

例4.解：A選項(xiàng)，X～N2,σ2，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知PB選項(xiàng)，若隨機(jī)變量Y服從兩點(diǎn)分布，且EY即分布列為：Y01P11所以2Y02P11故E2Y=0×12+2×C選項(xiàng)，分布列中概率之和為1，即-1+2a+0+2a+D選項(xiàng)，隨機(jī)變量T～B8,1即C8k因?yàn)閗∈N，所以k=2或3，則T的分布列中最大的有PT=2或PT=3，故選：D．例5.解：(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖，如圖．百分之八十五分位數(shù)是83.3(2)X服從B(2,0.2)，Y服從B(2,0.5)，E(X)=2×0.2=0.4，E(Y)=2×0.5=1∴E(Y)-E(X)=1-0.4=0.6隨機(jī)變量Z=Y-X可取0，1，2P(Z=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=2)=(1-0.5)2P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=2)P(Z=2)=P(X=0,Y=2)=(0.5-0.2∴E(Z)=0×0.49+1×0.42+2×0.09=0.6∴E(Z)=E(Y)-E(x)例6.解：(1)根據(jù)分層抽樣得參加比賽的12名隊(duì)員來(lái)自高一年級(jí)3人，高二年級(jí)4人，高三年級(jí)5人．(2)設(shè)事件

A

表示“甲獲勝”，事件

B

表示“甲前2局獲勝”，甲獲勝有

3:0

，

3:1

，

3:2

三類，對(duì)應(yīng)的概率分別為

(23)3

，

C31所以

P(A)=(23P(AB)=(23所以

P(B|A)=P(AB)P(A)所以在甲獲勝的條件下，其前2局獲勝的概率為

1324

(2)依題意可知

X

的可能取值為：0，1，2，3；∴p(X=0)=(13P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=(23所以

X

的分布列為：X0123P181616∴E(X)=0×19練21.解：因?yàn)閿S兩顆質(zhì)地均勻的骰子所得點(diǎn)數(shù)之和有如下36種基本樣本點(diǎn)(表):

(1)在已知兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的條件下，共有基本事件18個(gè)，

設(shè)事件“A3先走第一步”為D，表示和被n=3除后的余數(shù)為2的基本事件，

和為2，8對(duì)應(yīng)的情形有6個(gè)，依據(jù)古典概型知：P(D)=618=13，

即A3先走第一步的概率為13．

(2)當(dāng)n=4時(shí)，兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和除以n的余數(shù)X可能為0，1，2，3，且X0123P1215故E(X)=0×14+1×29+2×14+3×518=14練22.解：(1)(i)設(shè)“隨機(jī)抽取一名騎手是區(qū)域A騎手”為事件M，騎手獲得”精英騎手“獎(jiǎng)勵(lì)為事件N，

則P(M)=0.6，P(?M-)=0.4，

結(jié)合頻率分布直方圖知，P(N|M)=0.3，P(N|?M-)=0.2，

所以P(N)=P(M)P(N|M)+P(?M-)P(N|?M-)=0.6×0.3+0.