小學奧數(shù)知識點及公式總匯

小學奧數(shù)知識點及公式總匯（必背）

1.和差倍問題2

2.年齡問題的三個根本特征：

3.歸一問題的根本特點：

4.植樹問題

5.雞兔同籠問題

6,盈虧問題3

7,牛吃草問題

8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

9.平均數(shù)

10.抽屜原理4

11.定義新運算

12.數(shù)列求和

13.二進制及其應用5

14.加法乘法原理和幾何計數(shù)

15.質(zhì)數(shù)與合數(shù)6

16.約數(shù)與倍數(shù)

17.數(shù)的整除7

18.余數(shù)及其應用

19.余數(shù)、同余與周期

20.分數(shù)與百分數(shù)的應用8

21.分數(shù)大小的比擬9

22.分數(shù)拆分

23.完全平方數(shù)

24.比和比例10

25.綜合行程

26.工程問題

27.邏輯推理11

28.幾何面積

29.立體圖形

30.時鐘問題一快慢表問題12

31.時鐘問題一鐘面追及

32.濃度與配比

33.經(jīng)濟問題13

33.經(jīng)濟問題

34.簡單方程

35.不定方程

36.循環(huán)小數(shù)14

1.和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用范

兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

圍

①（和一差）+2二較小

數(shù)

較小數(shù)十差二較大數(shù)和+（倍數(shù)+1）=差+（倍數(shù)-1）=小

和一較小數(shù)=較大數(shù)小數(shù)數(shù)

公式

②（和+差）+2=較大小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)

數(shù)和一小數(shù)=大數(shù)小數(shù)十差二大數(shù)

較大數(shù)一差二較小數(shù)

和一較大數(shù)二較小數(shù)

求出同一條件下的

關(guān)鍵問題

和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

2.年齡問題的三個根本特征：

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

3.歸一問題的根本特點：

問題中有一個不變的量，一股是那個“單一量〃，題目一般用“照這樣的速度〃……等詞

語來表示。

關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

4.植樹問題

在直線或者不

在直線或者不封閉的在直線或者不封閉的封閉曲

根本類封閉的曲線上

曲線上植樹，兩端都曲線上植樹，兩端都不線上植

型植樹，只有一端

植樹植樹樹

植樹

根本公棵數(shù)=段數(shù)+1棵數(shù)二段數(shù)一1棵數(shù)二段數(shù)

式棵距X段數(shù)二總長棵距X段數(shù)=總長棵距X段數(shù)二總長

關(guān)鍵問

確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

題

5.雞兔同籠問題

根木概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那局部置換出來;

根本思路：①假設，即假設某種現(xiàn)象存在［甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；

④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

根本公式：

①把所有雞假設成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)一總腳數(shù)）土（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)x總頭數(shù)）4-1兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

6.盈虧問題

根本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標準分組，又

產(chǎn)生一種結(jié)果，由于

分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?

根本思路：先將兩種分配方案進行比擬，分析由于標準的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個

關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量.

基此題型：

①一次有余數(shù)，另一次缺乏；根本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+缺乏數(shù)）+兩次每份數(shù)的

差

②當兩次都有余數(shù)；根本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）+兩次每份數(shù)的差

③當兩次都缺乏；根本公式：總份數(shù)=（較大缺乏數(shù)一較小缺乏數(shù)）+兩次每份數(shù)的

差

根本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。

7.牛吃草問題

根本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1〃份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的

差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

根本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量。

根本公式：

生長量二（較長時間X長時間牛頭數(shù)-較短時間X短時間牛頭數(shù)）+（長時間-短時間）；

總草量二較長時間X長時間牛頭數(shù)-較長時間X生長量；

8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。

關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，那么年份必須能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9.平均數(shù)

根本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量+平均數(shù)

②平均數(shù)二基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和土總份數(shù)

根本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用根本公式①進行計算.

②基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準數(shù)：一般選與所有數(shù)比擬接近

的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù)；以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差；再求出所有差

的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的平均數(shù),

具體關(guān)系見根本公式②

10.抽屜原理

抽屜原那么一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個

物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情

況：

①4二4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多

于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原那么二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜至少有：

①k=[n/m]+1個物體：當n不能被m整除時。

②k=n/m個物體:當n能被m整除時。

理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2,9999]=2；

關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原那么進行

運算。

11.定義新運算

根本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種根本（混合）運算。

根本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)那么，把的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按

照根本運算過程、規(guī)律進行運算。

關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

考前須知：①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在此題中使用。

12.數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

根本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用al表示；

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示；

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

根本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：al,an,d,n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己

知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這

第四個。

根本公式：通項公式：an=al+（n-1）d；通項=首項+（項數(shù)一1）X公差；

數(shù)列和公式：sn,=(al+an)Xn4-2；數(shù)列和=(首項+末項)X項數(shù)+2：

項數(shù)公式：n=(an+al)-rd+1；項數(shù)=(末項-首項)+公差+1;

公差公式：d=(an-al))4-(n-1)；公差二(末項一首項)+(項數(shù)-1)；

關(guān)鍵問題：確定量和未知量，確定使用的公式；

13.二進制及其應用

十進制：用0?9十個數(shù)字表示，逢10進1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上

的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2XI02+3XI0+4。

=AnX10n-l+An-lX10n-2+An-2X10n-3+An-3X10n-4+An-4X10n-5+An-6X1On-7+...+A3

X102+A2X101+A1X100

注意：N0=l；N1=N1其中N是任意自然數(shù))

二進制：用0?1兩個數(shù)字表示，逢2進1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

(2)-AnX2n_l+An_lX2n-2+An-2X2n-3+An-3X2n-4+An-4X2n_5+An_6X2n_7

+...+A3X22+A2X21+A1X20

注意：An不是0就是1。

十進制化成二進制：

①根據(jù)二進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0,然后把每次所得的余

數(shù)按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依

此方法一直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。

14.加法乘法原理和幾何計數(shù)

加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有nil種不同方法，在第二類方

法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有：

ml+m2......+mn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法。

根本特征：每一種方法都可完成任務。

乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有ml種方法，不管第1步

用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種

方法，那么完成這件任務共有：mixm2......Xmn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。

根本特征：每一步只能完成任務的一局部。

直線：一點在直線或空間沿?定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：沒有端點，沒有長度。

線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：有兩個端點，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點：只有一個端點；沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+(點數(shù)—1)；

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數(shù)一1)：

③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)X寬的線段數(shù)：

④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1X1+2X2+3X3+…+行數(shù)X列數(shù)

15.質(zhì)數(shù)與合數(shù)

質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。

合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解

質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標準表示形式：N二,其中al、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且

al<a2<a3<...<ano

求約數(shù)個數(shù)的公式:P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X……X(rn+1)

互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16.約數(shù)與倍數(shù)

約數(shù)和倍數(shù)：假設整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：兒個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的

最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。

2、兒個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。

3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以限

例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；

18的約數(shù)有:1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)二6；

求最大公約數(shù)根本方法：

1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)和除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)和除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約

數(shù)。

公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的

最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48……；

18的倍數(shù)有:18、36、54、72……；

那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36；

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)根本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

17.數(shù)的整除

一、根本概念和符號：

1、整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商c,而且沒有余數(shù)，那么

叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2、常用符號：整除符號,不能整除符號“〃；因為符號“???〃，所以的符號“???〃；

二、整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6,能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質(zhì)：

1.如果a、b能被c整除，那么3+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18.余數(shù)及其應用

根本概念：對任意自然數(shù)a、b^q、r,如果使得a+b=q...r,且O〈r〈b,那么r叫做a除

以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②假設a、b除以c的余數(shù)相同，那么c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

@a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的根除以c的余數(shù)。

19.余數(shù)、同余與周期

一、同余的定義：

①假設兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，那么稱a、b對于模m同余。

②三個整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余，記作a三b(mod

m),讀作a同余于b模nu

二、同余的性質(zhì)：

①自身性：a=a(modm)；

②對稱性：假設a三b(modm),那么b三a(modm)：

③傳遞性：假設a三b(modm),b=c(modm),那么a三c(modm)；

④和差性:假設a三b(modm),c=d(modm),那么a+c=b+d(modm),a-c=b-d(modm)；

⑤相乘性：假設a三b(modm),c=d(modm),那么aXc三bXd(modm)；

⑥乘方性：假設a=b(modm),那么an=bn(modm)；

⑦同倍性：假設a三b(modm),整數(shù)c,那么aXc三bXc(modmXc)；

三、關(guān)于乘方的預備知識：

①假設A二aXb,那么MA二MaXb=(Ma)b

②假設B=c+d那么MB=Mc+d=McXMd

四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個自然數(shù)M,n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，那么M三n(mod9)或(mod3)；

②一個自然數(shù)M,X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字

的和，那么M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11)；

五、費爾馬小定理：

如果P是質(zhì)數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，那么apT三l(modp)。

20.分數(shù)與百分數(shù)的應用

根本概念與性質(zhì)：

分數(shù)：把單位“1〃平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分數(shù)的大小不變。

分數(shù)單位：把單位“1〃平均分成兒份，表示這樣一份的數(shù)。

百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進行思考。

②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應用題轉(zhuǎn)化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比

例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標準(在分數(shù)中一般指的是一倍量)下的分率轉(zhuǎn)化成同一

條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某

種情況成立，計算出相應的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不管其他量如何變

化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總

量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量利分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21.分數(shù)大小的比擬

根本方法：

①通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關(guān)系比擬。

②通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關(guān)系比擬。

③基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比擬。

④分子和分母大小比擬法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值越大。

⑤倍率比擬法：當比擬兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法外,

可以用同倍率的變化關(guān)系比擬分數(shù)的大小。(具體運用見同倍率變化規(guī)律)

⑥轉(zhuǎn)化比擬方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)(求出分數(shù)的值)后進行比擬。

⑦倍數(shù)比擬法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進行比擬。

⑧大小比擬法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比擬。

⑨倒數(shù)比擬法：利用倒數(shù)比擬大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準數(shù)比擬法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比擬。

22.分數(shù)拆分

將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式：

第一題你要拆1/12(也就是1/A〕先列出12的約(因)數(shù)：1、2、3、4、6、12

隨便選兩個約數(shù)分為ala2這里我選3、4

公式：l/A=A4-alX(al+a2)/1+A+a2義(al+a2)/I

套入公式：1/12=12+3X[3+4)/1+124-4X(3+4)/I

最后等于：1/12=1/28+1/21

第二題就像上面的一樣套入公式計算，要把第一題的其中一個答案再拆分就可以了。

答案是：1/21+1/84+1/42

23.完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余。或余1；反之不成立。

4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24.比和比例

比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。

比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積（交叉相乘），ad二be。

正比例：假設A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），那么A與B成

正比。反比例：假設A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），那么A

與B成反比。比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個數(shù)按一

定比例分成幾份，叫按比例分配。

25.綜合行程

根本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)

系.

根本公式：路程二速度X時間；路程小時?間二速度；路程+速度=時間

關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時間二相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間=路程差+速度差（寫出其他公式）

流水問題：順水行程二〔船速+水速）X順水時間

逆水行程二（船速-水速）X逆水時間

順水速度:船速+水速

逆水速度=船速-水速

靜水速度二（順水速度+逆水速度）4-2

水速二（順水速度-逆水速度）小2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基此題型：路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、

速度差）中任意兩個量，求第三個量。

26.工程問題

根本公式：①工作總量=工作效率X工作時間

②工作效率;工作總量+工作時間

③工作時間二工作總量+工作效率

根本思路：

①假設工作總量為“1〃（和總工作量無關(guān)）；

②假設一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），

利用上述三個根本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關(guān)系。

經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合。

27.邏輯推理

根本方法簡介：

①條件分析一假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果

有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。

例如，假設a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

②條件分析一列表法：當題設條件比擬多，需要屢次假設才能完成時，就需要進行列

表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分

別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設情況，運用邏轉(zhuǎn)規(guī)律進行判斷。

③條件分析一一圖表法：當兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個對象

之間的關(guān)系，有連線那么表示“是，有〃等肯定的狀態(tài)，沒有連線那么表示否認的狀態(tài)。

例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識。

④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算,

根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供一個新的判斷篩選條件。

⑤簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從

特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。

28.幾何面積

根本思路：

在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋

轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)那么的圖形變?yōu)橐?guī)那么的圖形進行計算；另外需

要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法：

1.連輔助線方法

2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設（有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置

上）。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三

角形的面積）

②梯形對角線連線后，兩腰局部面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%o

29.立體圖形

名稱圖形特征外表積體積

2_28個頂點；6個面；相對的面相等；V=abh

長方體S=2(ab+ah+bh)

12條棱；相對的棱相等；=Sh

__V

8個頂點；6個面；所有面相等；

正方體S=6a2V=a3

12條棱；所有棱相等；

上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面S=S側(cè)+2S底

圓柱體V=Sh

展開后是長方形；S側(cè)二Ch

下底是圓；只有■一個頂點J：母線，S=S側(cè)+S底

圓錐體V二Sh

A頂點到底圓周上任意一點的距離；S側(cè)二rl

圓心到圓周上任意一點的距離是

球體S=4r2V=r3

球的半徑。

30.時鐘問題一快慢表問題

根本思路：

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、不同的表當成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時間是標準表所經(jīng)過的時間；

5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；

31.時鐘問題一鐘面追及

根本思路：封閉曲線上的追及問題。

關(guān)鍵問題：①確定分針與時針的初始位置；

②確定分針與時針的路程差；G

根本方法：

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格,

即一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。

②度數(shù)方法：

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°,分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6°,時針每分

鐘轉(zhuǎn)360/12*60度，即1/2度。

32.濃度與配比

經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進行混合的兩種溶液的重量和他

們濃度的變化成反比。

溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。

溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。

溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

根本公式：

溶液重量二溶質(zhì)重量+溶劑重量：

溶質(zhì)重量二溶液重量X濃度；

濃度二（溶質(zhì)/溶液）X100%

溶劑二溶液X（1-濃度）

理論局部小練習：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。

經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進行混合的兩種溶液的重量和他

們濃度的變化成反比。

33.經(jīng)濟問題

利潤的百分數(shù)二（賣價-本錢）+本錢X100%；

賣價二本錢X（1+利潤的百分數(shù)）：

本錢=賣價+（1+利潤的百分數(shù)）；

商品的定價按照期望的利潤來確定；

定價二本錢X（1+期望利潤的百分數(shù)）；

本金：儲蓄的金額；

利率：利息和本金的比；

利息二本金X利率X期數(shù)；

含稅價格二不含稅價格X（1+增值稅稅率）；

34.簡單方程

代數(shù)式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。

方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。

列方程：把兩個或兒個相等的代數(shù)式用等號連起來。

列方程關(guān)鍵問題：用兩個以上的不同代數(shù)式表示同一個數(shù)。

等式性質(zhì)：等式兩邊同時加上或減去一個數(shù)，等式不變；等式兩邊同時乘以或除以一個數(shù)

（除0）,等式不變。

移項：把數(shù)或式子改變符號后從方程等號的一邊移到另一邊；

移項規(guī)那么：先移加減，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最后去小括號。

加去括號規(guī)那么：在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“+〃號，那么添、去括號,

括號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“一〃號，添、去括號，括號里面的運算符

號都要改變；括號里面的數(shù)前沒有“+〃或”一〃的，都按有“+〃處理。

移項關(guān)鍵問題：運用等式的性質(zhì)，移項規(guī)那么，力口、去括號規(guī)那么。

乘法分配率：a（b+c）=ab+ac

解方程步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤求解；

方程組：幾個二元一次方程組成的一組方程。

解方程組的步驟：①消元；②按一元一次方程步驟。

消元的方法：①加減消元；②代入消元。

35.不定方程

一次不定方程：含有兩個未知數(shù)的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所

以也叫做二元一次不定方程；

常規(guī)方法：觀察法、試驗法、枚舉法；

多元不定方程：含有三個未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一：

多元不定方程解法：根據(jù)條件確定一個未知數(shù)的值，或者消去一個未知數(shù)，這樣就把三元

一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；

涉及知識點：列方程、數(shù)的整除、大小比擬；

解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫出表達式；4、確定范圍；5、確定特征；

6、確定答案；

技巧總結(jié)：A、寫出表達式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時考

慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)：B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)：

36.循環(huán)小數(shù)

一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)局部化成分數(shù)的規(guī)那么

①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)局部化成分數(shù)：將一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都

是9,9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。

②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)局部化成分數(shù)：分子是第二個循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)局部的數(shù)字組成的數(shù)與

不循環(huán)局部的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9,9的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的位數(shù)

相同，末幾位是30的個數(shù)與不循環(huán)局部的位數(shù)相同。

二、分數(shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：

①一個最簡分數(shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5,又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這

個分數(shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。

②一個最簡分數(shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分數(shù)化成的小數(shù)必定

是純循環(huán)小數(shù)。

***1至30的平方

1*1=12*2=43*3=94*4=165*5=256*6=367*7=498*8=649*9=8110*10=10011*11=12112*12=144

13*13=1691平14=19b15*15=22516*16=2561/*1/=2?918*18=32419*19=3bl2U*2U=4UU21*21=441

22*22=48423*23=52924*24=57625*25=62526*26=67627*27=72928*28=78429*29=84130*30=900

***世界上最神奇的數(shù)字是1除以7的循環(huán)節(jié)：142857

1/7=0.142857142857142857...........................它神奇在哪里呢?

1、我們把它從1乘到6看看

142857X1=142857(1^1-2-8-5-7

142857X2=2857142—8—5-7f

142857X3=4285714-2-8fA7fli

142857X4=57142815f7-l|f4-2-8

142857X5=71428即-4f21f8-5

142857X6=8571428-5T7-1-4一2

同樣的6個數(shù)字，只是依此調(diào)換了位置，反復出現(xiàn)。

2、我們從1乘到6除以7看看

1/7=0.142857...

2/7=0.285714...

3/7=0.428571...

4/7=0.571428...

5/7=0.714285...

6/7=0.857142.

1,3,5分別除以7所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的最高位后移，后面的前移。2,4,6分別

除以7所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的前兩位后移，后面的前移。

3、那么把它乘以7是多少呢？我們會驚人的發(fā)現(xiàn)是9g9999

4、142+857=99914+28+57-991+4+2+8+5+7=9+9+9

5、我們用142857乘以142857=20408122449前五位+上后六位的得數(shù)是多是呢？

20408+122449:142857

“142857”發(fā)現(xiàn)于埃及金字塔內(nèi)，它確實是一組神奇的數(shù)字。

***數(shù)學小故事：神奇美妙的“9〃

九，是我們中華民族所崇拜的數(shù)字，在中國古代人們的觀念中，將天稱為“九天〃、"九

重〃、“九霄〃；將地劃為“九州〃、”九域〃；將宗廟稱為“九廟〃；道路謂之“九陌〃；

山有“九崇〃；水日”九河〃；地有“九泉〃；人分“九級〃；官為“九品〃。在古樂古詩中

有九辯、九喜、九歌、九章等。九在中國人的心中竟擁有如此神奇的地位;作為一個數(shù)學愛

好者，應該去深入探索它的本質(zhì)及其它美妙的蘊意。

《易經(jīng)》上說，九數(shù)含有桔祥的意思，如果按照“陰陽〃來說，奇數(shù)為陽，偶數(shù)為陰，

而九是陽數(shù)中最大的，稱為“極陽數(shù)〃。十是一個完美的數(shù)字，而九接近十而不到十，具

有很強的傾向性，一位數(shù)字只有十個，而九是最大的一個，故為數(shù)字之極，寓義崇高。也

許，就是這個原因，九有其最多的奇妙特點，最多的超味性質(zhì)。

九有一個非常奇妙的性質(zhì)，是其它數(shù)字所沒有的。如果要求一個自然數(shù)除以九的余數(shù)，

那么只要將這個數(shù)各位數(shù)字相加，其和如果仍是兩位以上的數(shù)，那么再將這個和的各位數(shù)

字相加，最后所得的--位數(shù)，就是這個自然數(shù)除以九的余數(shù)。九的這?奇妙特點，總使數(shù)

學愛好者十分著迷，許多趣味數(shù)學游戲，都與九的這一規(guī)律有關(guān)。數(shù)學老師常用“湊九〃

法驗算學生的算式是否有誤，而“湊九〃法就是采納了這一原理。九的倍數(shù)的各位數(shù)字之

和也一定是九的倍數(shù)，可知九的倍數(shù)是一個非常和諧圓滿的數(shù)系。

八位數(shù)12345679,如果將它同九相乘，奇怪的很,其積竟是全由1組成的數(shù)字111111111;

如再乘18（九的2倍），可得九個2,乘27（九的3倍），可得九個3.......,直到乘81,就可

以得到九個9.這種整齊統(tǒng)一的特點，給人以多么美妙的印象啊!也許有人要問為什么把8

去掉，填上會有規(guī)律嗎?假設把7、8都去掉，或把6、7、8都去掉，仍用九去乘，還有規(guī)

律嗎？答案是肯定的。九這個數(shù)字就是這么神奇，我們來看以下算式：

縱觀上面九個算式，不僅算式的結(jié)果很有規(guī)律，且積的數(shù)字之和都為九。第一個算式

到第九個算式的變化，更能顯示出奇妙無比的秩序美。

如果你隨便找來一個兩位以上的自然數(shù)，比方是317,將此數(shù)打亂，變成173、731、

713吧，我們現(xiàn)在求出新數(shù)與原數(shù)的差，你猜會有什么結(jié)論?這些差144、414、396竟然全

是九的倍數(shù)。在這里，無論是定數(shù)字，還是打亂所找數(shù)字的順序，都是多么的隨心所欲??！

可是在這種繁亂中竟能出現(xiàn)規(guī)律，這種規(guī)律的主宰者卻是九。假設再隨意找一個兩位以上

的數(shù)，比方418,①先將它的各位數(shù)字之和求出；②用原數(shù)減去其數(shù)字之和（418-18）,其差

405也是九的倍數(shù)。

以下算式確實是種簡明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b,公式的結(jié)果竟然是一個

常數(shù)，且還是九的倍數(shù)，如所選的數(shù)是4位、5位，是否還有規(guī)律呢?我們敢于肯定地說，

九的奇妙一定處處再現(xiàn)，無論是多少位，九的統(tǒng)一美的光輝定會時時閃耀。

九是一個神奇的反序數(shù)，在算式1089X9=9801中可知，九乘某一個數(shù)字，能使其順序正好

顛倒過來。從算式123456789X8+9=987654321中也可知，九加某數(shù)也竟能使其順序顛倒；

九也是一個神圣的自補數(shù)，因為92=81,1+9=10:992=9801,1+99=102;9992=998001,

1+999=103;...又99X47=4658,而53+47=102,999X321=320679,而670+321=103,九

又是一個神秘的自生數(shù)，93=729,993=970299,9993=997002999;九也是一個奇妙的再植數(shù),

從算式109890X9=989010中看出，9竟然將這個數(shù)的最高兩位變成最低兩位。九還是有趣

的勾股數(shù)中不可缺少的成員：2+402=412、92+122=152、而40+41=92、12+15=33=3X9.?!

九的奇特，操縱著無數(shù)數(shù)學運算和游戲，它不愧為一位偉大的魔術(shù)師。

在除法中，九的奇異也使人迷戀?？匆韵碌仁剑?/9=0.111……，2/9=0.222……，

8/9=0.888……，多有規(guī)律啊!在化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)時，九又是大顯神手，10是完美的數(shù)字,

對于10,9和11是對稱的,這種對稱下也隱藏著許多秘密:1/11=0.09,2/11=0.18,

3/11=0.27,…，9/11=0.81,10/11=0.90,真巧，分母含11的倍數(shù)，化成循環(huán)小數(shù)，其循

環(huán)節(jié)的兩個數(shù)竟然也是九的倍數(shù)。

九，在代數(shù)的世界里留有神奇的足跡……

九的有趣性質(zhì)簡直是太多啦!實在是舉不勝舉。這么獨特的數(shù)字，難怪人們特別喜歡它,

非常崇拜它。正值冬天時，人們不數(shù)3,也不數(shù)10,偏偏數(shù)九：“頭九不算九;二九凍死狗;

三九、四九掩門喚狗;五九、六九水走頭;七九、八九河邊看柳;九九又一九，犁牛遍地走〃。

重陽節(jié)是雙九，人們十分重視這個節(jié)日，因為“九月九〃家家有，此時正是收獲的季節(jié)。

唐代詩人孟浩然寫出“待到重陽日，還來就菊花〃的詩句，至今一直被文人墨客所稱

道。用九來起名的我國古代數(shù)學家泰九韶，所著的書名是《算術(shù)九章》，而書中共分九大

類，每類乂有九道題，他簡直是九的乂一個崇拜者。

過去北京的許多建筑都和“九〃這個數(shù)目有關(guān)。例如，北京城內(nèi)最早是九個城門，天

安門的城樓是九重樓，故宮四個角樓的結(jié)構(gòu)是九梁十八柱，皇家建筑物大門上的釘數(shù)是縱

九橫九，北海和故宮的九龍壁，都是九只龍，更有趣的是天壇有個歷代皇帝祭天的地方，

無論是潔白的石欄桿，或是圓臺上磨平的石塊，其數(shù)目都和九字有關(guān)。在改革之年，我相

信人們將會以九牛二虎之力，去九天、到九州探寶，朝著九千九百九十九的通天大路奮勇

向前。

九，這個數(shù)字王國中的明珠，它太神奇，太美妙啦!得到人們最高的崇尚，最好的贊揚,

最多的欣賞，最有情感的偏愛?？雌饋?，它是一個很普通的數(shù)，只不過與完美的數(shù)字10差

1,只不過是一個完全平方數(shù)，只不過是一個最大的個位數(shù)，但恰恰就這點原因，竟蘊臧著

變幻無窮的秘密，在你隨時隨地的數(shù)字運算過程中，也許就會突然發(fā)現(xiàn)九之規(guī)律所在，你

會為此興奮不已，感慨不盡?？赡阋?，你這也僅僅是在九的奇妙獨特性質(zhì)的海岸上，

拾到的一塊小小的貝殼而己!要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，無論是那個數(shù)學愛好

者，都必須進行艱苦的探索和頑強的鉆研。

1x8+1=9

12x8+2=98

123x8+3=987

1234x8+4=9876

12345x8+5=98765

123456x8+6=987654

1234567x8+7=9876543

12345678x8+8=98765432

123456789x8+9=987654321

1x9+2=11

12x9+3=111

123x9+4=1111

1234x9+5=11111

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

很炫，是不是？

1x1=1

11x11=121

111x111=12321

1111x1111=1234321

11111X11111=12345432

1111111x111111=1234565432

111111111x11111111=

1111111111x111111111二

再看看道他I封耦式

9x9+7=88

98x9+6=888

987x9+5=8888

9876x9+4=88888

98765x9+3=888888

987654x9+2=8888888

9876543x9+1=88888888

98765432x9+0=888888888

***缺8數(shù)12345679實際上與循環(huán)小數(shù)是一根藤上的瓜，因為:

缺8數(shù)的精細結(jié)構(gòu)引起研究者的濃厚興趣，人們偶然注意到：

12345679X4=49382716

12345679X5=61728395

前一式的數(shù)顛倒過來讀，正好就是后一式的積數(shù)。（雖有微小的差異，即5代以4,

而根據(jù)“輪休學說〃，這正是題中應有之義〕

這樣的“回文結(jié)對，攜手并進〃現(xiàn)象，對［13、14）（22、23）131、32）（40、41）

等各對乘數(shù)（每相鄰兩對乘數(shù)的對應公差均等于9）也應如此。例如：

12345679X22=271604938

12345679X23=283950617

前一式的數(shù)顛倒過來讀，正好是后一式的積數(shù)。1后一式的2移到后面，并5代以4）

走馬燈

當缺8數(shù)乘以19時，其乘數(shù)將是234567901,像走馬燈一樣，原先居第二位的數(shù)2卻

成了開路先鋒。例如：

12345679X19=234567901

12345679X28=345679012

12345679X37=456790123

深入的研究顯示，當乘數(shù)為一個公

差等于9的算術(shù)級數(shù)時，出現(xiàn)“走馬燈”的現(xiàn)象。例如：

12345679X8=098765432

12345679X17=209876543

12345679X26=320987654

12345679X35=432098765

一以貫之

當乘數(shù)超過81時.乘積將至少是十位數(shù)，但上述的各種現(xiàn)象依然存在,真是“吾道一

以貫之〃。例如：

乘數(shù)為9的倍數(shù)

12345679X243=2999999997

只要把乘積中最左邊的一個數(shù)2加到最右邊的7上，仍呈現(xiàn)“清一色〃。

乘數(shù)為3的倍數(shù)，但不是9的倍數(shù)

12345679X84=1037037036

只要把乘積中最左邊的一個數(shù)1加到最右邊的6上，又出現(xiàn)“三位一體〃。

乘數(shù)為3K+1或3K+2型

12345679X98=1209876542

外表上看來，乘積中出現(xiàn)雷同的2,但只要把乘積中最左邊的數(shù)1加到最右邊的2上

去之后，所得數(shù)為209876543,是“缺1〃數(shù)，仍是輪流“休息〃。

輪流休息

當乘數(shù)不是9或3的倍數(shù)時，此時雖然沒有清一色或三位一體的現(xiàn)象，但仍可以看到

一種奇異性質(zhì)：乘積的各位數(shù)字均無雷同，缺少1個數(shù)字，而且存在著明確的規(guī)律。另外,

在乘積中缺3、缺6、缺9的情況肯定不存在。例如乘數(shù)在區(qū)間［10,17］的情況（其中

12和15因是3的倍數(shù)，予以排除）：

12345679X10=123456790（缺8）

12345679X11=135802469（缺7）

12345679X13=160493827（缺5）

12345679X14=172839506（缺4）

12345679X16=197530864（缺2）

12345679X17=209876543（缺1）

乘數(shù)在［19,26］及其他區(qū)間（區(qū)間長度等于7）的情況與此完全類似。乘積中缺什

么數(shù)，就像工廠或商店中職工“輪休〃，人人有份，既不多也不少，實在有趣。

三位一體

缺8數(shù)乘以3的倍數(shù)但不是9的倍數(shù)，可以得到“三位一體”，例如：

12345679X12=148148148

12345679X15=185185185

12345679X33=407407407

12345679X57=703703703

12345679X78=962962962

清一色

缺8數(shù)乘以9的倍數(shù)可以得到“清一色〃，例如：

12345679X9=111111111

12345679X18=222222222

12345679X27=333333333

12345679X36=444444444

12345679X45=555555555

12345679X54=666666666

12345679X63=777777777

12345679X72=888888888

12345679X81=999999999

速算公式

【首同未合十的兩位數(shù)相乘公式】假設兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字都是a,個位上

的數(shù)分別為b和c，旦b+c=10,那么這樣的兩個數(shù)便是“首同末合十〃的兩個兩位

數(shù)，它們的積為

（1Oa+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc

=102a2+10a（b+c）+bc

=100a2+100a+bc

=a（a+1）X100+bCo

根據(jù)這一公式，兩個“首同末合十〃的兩位數(shù)相乘，可以先把首位數(shù)乘以比它

大1的數(shù)的積的100倍，然后在所得的結(jié)果后面，添上兩個末位數(shù)的積。

例如，72X78=(7X8)X100+2X8

=5616

45X45=(4X5)X100+5X5

=2025

首同末合十的計算公式，也可以推廣到兩個三位數(shù)、兩個四位數(shù)相乘的速算中

去。例如

256X254

可取a=25,b=6,c=4,再運用公式計算，得

256X254=[25X(25+1)]X100+6X4

=[25X26]X100+24

=65024

又如,155X155=(15X16)X100+5X5

=24025

【末同首合十的兩位數(shù)相乘公式】假設兩個兩位數(shù)十位上的數(shù)字分別是a和b,

且a+