現(xiàn)代控制理論試卷及答案

20##現(xiàn)代控制理論考試試卷

-、(10分,每小題:分)試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，

(J)1.由一個狀態(tài)空間模型可以確定惟一一個傳遞函數(shù).

(2.若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不存在零極點對消,則其任意的一個實現(xiàn)

均為最小實現(xiàn).

(X)3.對一個給定的狀態(tài)空間模型，若它是狀態(tài)能控的，則也一定

是輸出能控的.

(V)4.對線性定常系統(tǒng)x二Ax,其Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性和

矩陣A的特征值都具有負(fù)實部是一致的.

(5.一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，若其狀態(tài)徹底能控，則一定可以通過狀態(tài)

反饋使其穩(wěn)定.

(X)6.對一個系統(tǒng)，只能選取一組狀態(tài)變量；

(V)7.系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性,與系統(tǒng)的輸

入和輸出無關(guān)；

(X)8.若傳遞函數(shù)G(s)=C(sl—A)-B存在零極相消，則對應(yīng)的狀態(tài)

空間模型描述的系統(tǒng)是不能控且不能觀的；

(X)9.若一個系統(tǒng)的某個平衡點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則該

系統(tǒng)在任意平衡狀態(tài)處都是穩(wěn)定的；

(X)10.狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性.

二、已知下圖電路，以電源電壓為輸入量,求以電感中的電流和

電容中的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻R2上的電壓為輸

出量的輸出方程.(10分)

解：（1）由電路原理得：

二.（10分）圖為R-L-C電路，設(shè)u為控制量，電感L上的支路電流和

電容C上的電壓x為狀態(tài)變量,電容C上的電壓x為輸出量,試求：網(wǎng)

22

絡(luò)的狀態(tài)方程和輸出方程,并繪制狀態(tài)變量圖.

解：此電路沒有純電容回路，也沒有純電感電路，因有兩個儲能元件,

故有獨立變量.

以電感L上的電流和電容兩端的電壓為狀態(tài)變量，即令：

i=xu=x

L1>c2,由基爾霍夫電壓定律可得電壓方程為:

從上述兩式可解出x；,￡,即可得到狀態(tài)空間表達(dá)式如下:

00

RRRxR

31

R+RR+RX+R+R

?2」

三、（每小題10分共40分）基礎(chǔ)題

（1）試求y-3y-2y=u+u的一個對角規(guī)X型的最小實現(xiàn)1。分）

Y(s)=S3+1=(s+l)(S2-s+l)=S2-s+1=1+1.....................4分

U(s)S3-3s-2(s+1)(S2-s-2)S2-s-2s-2s+1

不妨令

于是有

又丫⑸1(y?+X兀+*%⑸廝以Y(s)=U(s)+X(s)+X(s),即有

y=u+x+x.................2分

12

最終的對角規(guī)x型實現(xiàn)為

則系統(tǒng)的一個最小實現(xiàn)為：

x=F|20：x+H"|u,y=1111x+u.......2分

L0-1J1L-1J1

2/18

⑵已知系統(tǒng)X=n01]|X+叫U,y=]小，寫出其對偶系統(tǒng),判斷該

「23J1L2J1

系統(tǒng)的能控性與其對偶系統(tǒng)的能觀性.(10分)

解答:

2分

y/或

2分

(3)設(shè)系統(tǒng)為

試求系統(tǒng)輸入為單位階躍信號時的狀態(tài)響應(yīng)(10分〕

解

C（t）二審叫

L0e-2tj分

分

分

分

」11「「

(4)已知系統(tǒng)X=00X+〔U試將其化為能控標(biāo)準(zhǔn)型.（10分）

「01]

p=[ol]u,i=[o1]=[i--i]一….i分

1C|--I--22**

P=PA=

2Ioo=aj」…分

3/18

rj->Lr1i]

P=R,=........2

IL4^HIL-IIJI分

能控標(biāo)準(zhǔn)型為x=n°]x+1"%......4分

LOnL1J1

四、設(shè)系統(tǒng)為

試對系統(tǒng)進行能控性與能觀測性分解,并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù).(10分)

解：

能控性分解：

能觀測性分解：

傳遞函數(shù)為g(s)=±^=21.….…(2分)

$+3$+3

五、試用李雅普諾夫第二法,判斷系統(tǒng)攵二「|°"|X的穩(wěn)定性.(10

L-1-1J1

分)

方法一：

解：VX2

原點x=0是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài).選取標(biāo)準(zhǔn)二次型函數(shù)為李雅

e

普諾夫函數(shù)，即

???

當(dāng)\=072=0時，v(x)=0.當(dāng)\豐0七二0時,v(x)=o,因此v(x)為

負(fù)半定.根據(jù)判斷，可知該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的.

另選一個李雅普諾夫函數(shù),例如；

為正定，而

為負(fù)定的，且當(dāng)||*)w,有V(x))w.即該系統(tǒng)在原點處是大X圍漸進

穩(wěn)定.

方法二：

4/18

解:或者設(shè)p=乙%

LP”P」

可知p是正定的.因此系統(tǒng)在原點處是大X圍漸近穩(wěn)定的

六、(20分)線性定常系統(tǒng)的傳函為丫⑸=s+4

U(s)(s+2)(s+1)

(1)實現(xiàn)狀態(tài)反饋,將系統(tǒng)閉環(huán)的希翼極點配置為(-4,-3),求反饋陣

K.(5分)

(2)試設(shè)計極點為全維狀態(tài)觀測器(5分).

(3)繪制帶觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖(4分)

(4)分析閉環(huán)先后系統(tǒng)的能控性和能觀性(4分)

注明：由于實現(xiàn)是不惟一的，本題的答案不惟一！其中一種答案為:

解：⑴丫⑸=s+4=s+4

U(s)(s+2)(s+1)S2+3s+2

1]0]

系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)為：x=n0ix+n|uJy=[4dx……i分

L-2-3jL1J1

系統(tǒng)徹底可控，則可以任意配置極點……1分

令狀態(tài)反饋增益陣為K=[kk]……1分

12

則有ABK-N01L，則狀態(tài)反饋閉環(huán)特征多項式為

%-2-k-3jl

又期望的閉環(huán)極點給出的特征多項式為：(s+4)(S+3)=S2+7S+12

由入2+(k+3)A+(k+2)=S2+7S+12可得至UK=141o]....3分

12

⑵觀測器的設(shè)計:

5/18

由傳遞函數(shù)可知,原系統(tǒng)不存在零極點相消，系統(tǒng)狀態(tài)徹底能觀，可以

任意配置觀測器的極點.……1分

令E=[eeb.......1分

12

由觀測器土二(A-EC)A+Bu+Ey可得其期望的特征多項式為:

3(s)=f(s)亭E=4愛丁……4分

(3)繪制閉環(huán)系統(tǒng)的摹擬結(jié)構(gòu)圖

第一種繪制方法：

X

21+

*0—H3iiXQ~~

(注：觀測器輸出端的加號和減號應(yīng)去掉!不好意思，剛發(fā)現(xiàn)!!)

第二種繪制方法：

(4)閉環(huán)前系統(tǒng)狀態(tài)徹底能控且能觀，閉環(huán)后系統(tǒng)能控但不能觀(因

為狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性，但閉環(huán)后存在零極點對消，所以系

統(tǒng)狀體不徹底可觀測)……4分

A卷

6/18

一、判斷題，判斷下例各題的正誤，正確的打火錯誤的打X（每小題1分，共10分）

1、狀態(tài)方程表達(dá)了輸入引起狀態(tài)變化的運動，輸出方程則表達(dá)了狀態(tài)引起輸出變化的變換

過程（山

2、對于給定的系統(tǒng),狀態(tài)變量個數(shù)和選擇都不是惟一的（x）

3、連續(xù)系統(tǒng)離散化都沒有精確離散化，但近似離散化方法比普通離散化方法的精度高

4、系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)（x）

5、若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)存在零極點相消，則系統(tǒng)狀態(tài)不徹底能控（x）

6、狀態(tài)的能空性是系統(tǒng)的一種結(jié)構(gòu)特性,依賴于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，與系統(tǒng)的參數(shù)和控制變量作用

的位置有關(guān)（山

7、狀態(tài)能控性與輸出能控性之間存在必然的聯(lián)系（x）

8、一個傳遞函數(shù)化為狀態(tài)方程后,系統(tǒng)的能控能觀性與所選擇狀態(tài)變量有關(guān)

9、系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到小的外界擾動后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，與輸入無

關(guān)7）

10、若不能找到合適的李雅普諾夫函數(shù)，那末表明該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（x）

二、已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試分別用以下方法寫出系統(tǒng)的實現(xiàn)：

（1）串聯(lián)分解

（2）并聯(lián)分解

（3）直接分解

（4）能觀測性規(guī)X型（20分）

解：

_______2

對于S3+10S2+31S+30有

（1）串聯(lián)分解

串聯(lián)分解有多種，如果不將2分解為兩個有理數(shù)的乘積，如2=Lx8,繪制該系統(tǒng)串聯(lián)分解的結(jié)

4

構(gòu)圖然后每一個慣性環(huán)節(jié)>的輸出設(shè)為狀態(tài)變量，則可得到系統(tǒng)四種典型的實現(xiàn)為：

i

則對應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

需要說明的是，當(dāng)交換環(huán)節(jié)相乘的順序時，對應(yīng)地交換對應(yīng)行之間對角線的元素?。?！

7/18

如3nd幣的實現(xiàn)為:

則布9育.許I\.尋可I的則為

挨次類推??！

(2)并聯(lián)分解

實現(xiàn)有無數(shù)種，若實現(xiàn)為

-----------2---------芻-%

例如：川加+31s+3。$+(s+3)+高5)，則其實現(xiàn)可以為:

(3)直接分解

(4)能觀測規(guī)X型

三、給定一個二維連續(xù)時間線性定常自治系統(tǒng)x=Ax,t>0.現(xiàn)知，對應(yīng)于兩個不同初態(tài)的狀

態(tài)響應(yīng)分別為

試據(jù)此定出系統(tǒng)矩陣A.(10分)

解：x(t)=eAtx(O)

可得

四、已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(1)試確定a的取值，使系統(tǒng)成為不能控，或者為不能觀測；

(2)在上述a的取值下，寫出使系統(tǒng)為能控的狀態(tài)空間表達(dá)式，判斷系統(tǒng)的能觀測性;

(3)若a=3,寫出系統(tǒng)的一個最小實現(xiàn).[15分)

解：(1)因為

因此當(dāng)a=1或者a=2或者a=3時,浮現(xiàn)零極點對消現(xiàn)象，系統(tǒng)就成為不能控或者不能觀測

的系統(tǒng)12)可寫系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)為此問答案不惟一

存在零極相消，系統(tǒng)不能觀

(3)2=3,則有6佝)=——-——

s2+35+2

8/18

可寫出能控標(biāo)準(zhǔn)形最小實現(xiàn)為

此問答案不惟一，可有多種解

五、已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(1)判斷系統(tǒng)的能控性與能觀測性；

(2)若不能控，試問能控的狀態(tài)變量數(shù)為多少？

(3)試將系統(tǒng)按能控性進行分解；

(4)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù).(15分)

解：(1)系統(tǒng)的能控性矩陣為

U=tbAb]=°。[,detU=0,rankll=1<2

c|1-2|cc

故系統(tǒng)的狀態(tài)不能控

系統(tǒng)的能觀測性矩陣為

fc][25]

U=i|=|idetU二?115豐QrankU=2

oILCAJ?l|_19-10J?co

故系統(tǒng)的狀態(tài)不能觀測4分

⑵rankU=1，因此能控的狀態(tài)變量數(shù)為11分

C

(3)由狀態(tài)方程式

可知是X能控的，X是不能控的2分

21

(4)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

G⑸=c(si-A)-'b=c(si-A)-1b=只與能控子系統(tǒng)有關(guān)3分

222S+2

六、給定系統(tǒng)

解李雅普諾夫方程，求使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的a值X圍.110分)

七、伺服機電的輸入為電樞電壓，輸出是軸轉(zhuǎn)角,其傳遞函數(shù)為

(1)設(shè)計狀態(tài)反饋控制器u=-Kx+V,使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-5士j5；

(2)設(shè)計全維狀態(tài)觀測第觀測器具有二重極點一15；

(3)將上述設(shè)計的反饋控制器和觀測器結(jié)合,構(gòu)成帶觀測器的反饋控制器，畫出閉環(huán)系統(tǒng)的狀

態(tài)變量圖；

(4)求整個閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù).(20分)

第二章題A卷

第一題：判斷題，判斷下例各題的正誤,正確的打也錯誤的打x(每小題1分，共10分)

11、狀態(tài)方程表達(dá)了輸入引起狀態(tài)變化的運動，輸出方程則表達(dá)了狀態(tài)引起輸出變化的變換

過程(由

12、對于給定的系統(tǒng),狀態(tài)變量個數(shù)和選擇都不是惟一的(x)

13、連續(xù)系統(tǒng)離散化都沒有精確離散化，但近似離散化方法比普通離散化方法的精度高(x)

9/18

14、系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)（x）

15、若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)存在零極點相消，則系統(tǒng)狀態(tài)不徹底能控（x）

16、狀態(tài)的能空性是系統(tǒng)的一種結(jié)構(gòu)特性，依賴于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，與系統(tǒng)的參數(shù)和控制變量作

用的位置有關(guān)（山

17、狀態(tài)能控性與輸出能控性之間存在必然的聯(lián)系（x）

18、一個傳遞函數(shù)化為狀態(tài)方程后,系統(tǒng)的能控能觀性與所選擇狀態(tài)變量有關(guān)（動

19、系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到小的外界擾動后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，與輸入無

關(guān)（4）

20、若不能找到合適的李雅普諾夫函數(shù)，那末表明該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（x）

第：題：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G（S）=?空、=5；+1號2+史+巴試分別用以下方法寫

U（s）（S2+5S+6）（S+1）

出系統(tǒng)的實現(xiàn)：

（5）串聯(lián)分解（4分）

（6）并聯(lián)分解〔4分）

（7）直接分解14分）

（8）能觀測性規(guī)X型（4分）

（9）繪制串聯(lián)分解實現(xiàn)時系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖（4分）

解：

對于------------------有

S3+10S2+31s+30

（3）串聯(lián)分解

串聯(lián)分解有三種

S=S11=1S1=11SS3

+10S2+31S+30(s+1)(s+2)(s+3)^s+1)(s+2)(s+3)(s+1)，(s+2)(s+3)

___]_)]1_12xl_I13x

=(s+1)*(s+2)(s+3)(s+1)('1(s+2)，(s+3)(S+l)(s+2)'(s+3)

對應(yīng)的狀態(tài)方程為：

（4）并聯(lián)分解

實現(xiàn)有無數(shù)種，其中之三為：

⑶直接分解

（4）能觀測規(guī)X型

（10）結(jié)構(gòu)圖

第二章題B卷

第一題：判斷題，判斷下例各題的正誤，正確的打Y,錯誤的打x（每小題1分，共10分）

1、狀態(tài)空間模型描述了輸入-輸出之間的行為，而且在任何初始條件下都能揭示系統(tǒng)的內(nèi)部

行為（4

2、狀態(tài)空間描述是對系統(tǒng)的?種徹底的描述,而傳遞函數(shù)則只是對系統(tǒng)的?種外部描述（由

3、任何采樣周期下都可以通過近似離散化方法將連續(xù)時間系統(tǒng)離散化（x）

4、對于一個線性系統(tǒng)來說,經(jīng)過線性非奇妙狀態(tài)變換后，其狀態(tài)能控性不變（V）

5、系統(tǒng)狀態(tài)的能控所關(guān)心的是系統(tǒng)的任意時刻的運動（x）

6、能觀（能控）性問題可以轉(zhuǎn)化為能控（能觀）性問題來處理（4）

7、一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所表示的是該系統(tǒng)既能控又能觀的子系統(tǒng)（由

8、一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若有零、極點對消現(xiàn)象，則視狀態(tài)變量的選擇不同，系統(tǒng)或者是不能控的

10/18

或者是不能觀的（4）

9、對于一個給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)是惟一的（x）

10、若系統(tǒng)對所有有界輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng)的輸出是有界的，則稱該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的N）

第二題：求以下RLC網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，并繪制其結(jié)構(gòu)圖.取電壓eT為輸入，為輸

出.其中凡、R2、C和L為常數(shù).

第二題圖

答案：

解：1狀態(tài)變量可以另?。?/p>

定義狀態(tài)變量：X1為電阻兩端電壓v,X2為通過電感的電流i.輸入u為卬,輸出v為J.使用

基爾霍夫電流定理列凡和F%間節(jié)點的電流方程：

使用基爾霍夫電壓定理列出包含C、R2、L回路的電壓方程：

最后，輸出電壓的表達(dá)式為：

得到狀態(tài)空間模型：

結(jié)構(gòu)圖為：

第三題：如圖所示，系統(tǒng)的輸入量為5和外、輸出量為y和請選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量，并寫出系

統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，根據(jù)狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：

第三題圖

解：狀態(tài)變量如下圖所示（3分）

從方框圖中可以寫出狀態(tài)方程和輸出方程（4）

狀態(tài)方程的矩陣向量形式：

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（3分）：

現(xiàn)代控制理論試題答案

一、概念題

1、何為系統(tǒng)的能控性和能觀性？

答：（1）對于線性定常連續(xù)系統(tǒng),若存在一分段連續(xù)控制向量u<t>,能在有限時間區(qū)間％t]

內(nèi)將系統(tǒng)從初始狀態(tài)XV%：*轉(zhuǎn)移到任意終端狀態(tài)xvt/,那末就稱此狀態(tài)是能控的.

（2）對于線性定常系統(tǒng)在任意給定的輸入u<t>下，能夠根據(jù)輸出量y<t>在有限時間區(qū)間也用

內(nèi)的測量值，惟一地確定系統(tǒng)在“時刻的初始狀態(tài)xv%>，就稱系統(tǒng)在％時刻是能觀測的.若在

任意初始時刻系統(tǒng)都能觀測，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)徹底能觀測的，簡稱能觀測的.

2、何為系統(tǒng)的最小實現(xiàn)？

答：由傳遞函數(shù)矩陣或者相應(yīng)的脈沖響應(yīng)來建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的工作，稱為實現(xiàn)問

題.在所有可能的實現(xiàn)中，維數(shù)最小的實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn).

3、何為系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性？

答：若在時刻為李雅普若夫意義下的稚定,且存在不依賴于的實數(shù)和

任意給定的初始狀態(tài)，使得時，有，則

稱為李雅普若夫意義下的漸近穩(wěn)定

二、簡答題

1、連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)（線性定常連續(xù)系統(tǒng)）做線性變換時不改變系統(tǒng)的那些性

質(zhì)？

答：系統(tǒng)做線性變換后，不改變系統(tǒng)的能控性、能觀性，系統(tǒng)特征值不變、傳遞函數(shù)不變

2、如何判斷線性定常系統(tǒng)的能控性？如何判斷線性定常系統(tǒng)的能觀性？

11/18

答：方法1：對n維線性定常連續(xù)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的狀態(tài)徹底能控性的充分必要條件為：

rank")=ranl[B,AB.=n

方法2：如果線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A具有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能控的充要條

件是，系統(tǒng)經(jīng)線性非奇妙變換后A陣變換成對角標(biāo)準(zhǔn)形，且際包含元素全為0的行

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是能觀性矩陣%滿秩.即：

rrr

rankt/o=rank[cAC…(*)"C7]=n

3、傳遞函數(shù)矩陣G(e的最小實現(xiàn)A、B、C和D的充要條件是什么？

答：充要條件是系統(tǒng)狀態(tài)徹底能控且徹底能觀測.

4、對于線性定常系統(tǒng)能夠任意配置極點的充要條件是什么？

答：線性定常系統(tǒng)能夠任意配置極點的充要條件是系統(tǒng)徹底能控.

5、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的存在條件是什么？

答：線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的存在條件是原系統(tǒng)徹底能觀.

三、計算題

1、RC無源網(wǎng)絡(luò)如圖1所示，試列寫出其狀態(tài)方程和輸出方程.其中,為系統(tǒng)的輸入，選g兩

端的電壓為狀態(tài)變量叼,6兩端的電壓為狀態(tài)變量叼，電壓U為為系統(tǒng)的輸出y.

姐i=U”“2=外y=%可得:

4仁+/乂+捺扁+吊

y=，”治

所以可以得到:

r=foipr

2、計算下列狀態(tài)空間描述的傳遞函數(shù)g<s>

Y=fl2W+4u

12/18

解：運用公式G(s)=C(sI-A)TB+D可得：

detfsl-A)=detPV?J=s2+6s+8

1-Jx+l1

詞―j匕$

可得傳遞函數(shù)為：

3、求出下列連續(xù)時間線性是不變系統(tǒng)的時間離散化狀態(tài)方程：

其中，采樣周期為T=2.

解：先求出系統(tǒng)傳M

J'NTB-A尸［=｛］

G3="l

令x(k)=x(t)=eu(k)=M。—可得：

Kk4-l)=GX00+Hu(k)=fJJ］x<k>+|^kW

4、求取下列各連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)變量解=L(t)和。(4

解：計算算式為：x(t)=eAtr(O)+

產(chǎn)=廠3T尸｝=［槳匚U，二］

Q」1-2「：+2,-尤-r-t+

所以：

5、確定是下列連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)聯(lián)合徹底能控和徹底能觀測得待定參數(shù)a的

取值X圍：

解：由于A無特定形式，用秩判據(jù)簡單.

因此，不管a去何值都不能夠聯(lián)合徹底能控和徹底能觀測

6、對下列連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng)，判斷原點平衡狀態(tài)即4=0是否為大X圍漸近

穩(wěn)定：

解：⑴選取李雅普若夫函數(shù)V<x>,取心)=4+工/可知：

13/18

v<0>=0,U(x)=tJ+巧2>orvx1*0,12^0

即V(x)=xJ+xJ為正定.

(2)計算v(x)并判斷其定號性.對取定VGO=X/+M%系統(tǒng)狀態(tài)方程，計算得到：

基此可知：

即：+為負(fù)半定

(3)判斷它(0(髭％，0))*0.對此,只需判研^0)=o的

x=和x=不為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解?為此，將“=【°無』幫入狀態(tài)方程，導(dǎo)

出：

0=%刈=Ti-(Jo=o

表明，狀態(tài)方程的解只為x-［00fx-［0%］不是系統(tǒng)狀態(tài)方程的解.通過類似

分析也可以得謔=的0］不是系統(tǒng)狀態(tài)方程的解.基此，可知判斷

一睢30))/0.

(4)綜合可知，對于給定非線性時不變系統(tǒng),可構(gòu)造李雅普若夫函數(shù)判斷

VG0=xj+盯,滿足：

v<x>為正定,V3)為負(fù)定；對任意”工0,取。住加,0))工0

當(dāng)11卻=Jxj+f8,有V(*)=*J+工/一00

基此，并根據(jù)李雅普若夫方法漸近穩(wěn)定性定理知：系統(tǒng)原點平衡狀板.=0為大X圍漸

近穩(wěn)定.

7、給定一個單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試確定一個狀態(tài)反饋矩陣K,使閉環(huán)極點配置為L；=-2,局=-4和I；=-7.

解：可知，系統(tǒng)徹底可控,可以用狀態(tài)反饋進行任意極點配置..由于狀態(tài)維數(shù)為3維.

所以設(shè)K=［勺IkJ

系統(tǒng)期望的特征多項式為：

而

令而-A+BKI=。(2)?，二者相應(yīng)系數(shù)相等.

律曉=56,k2=18,ka=1

14/18

即：

驗證:

A卷

二、基礎(chǔ)題（每題10分）

1、給定一個二維連續(xù)時間線性定常自治系統(tǒng)x=Ax,t>0.現(xiàn)知，對應(yīng)于兩個不同初態(tài)的狀

態(tài)響應(yīng)分別為

試據(jù)此定出系統(tǒng)矩陣A.

解：x(t)=eAtx(O)2分

可得

r|3e-.1e.

「+

31-Gt+生31Jr

e_產(chǎn)&+44II12尸q4

44II--2]

153JL-1」IL1]

T+浮-153

-2e4+2e-tke3t

-吁|et+-「2

22JI

111

電1&十e^)--et+-?3t

=I44

||L-et+ea-(e(+eat

2JI

4分

I313

-T+—631—e-?■+-ex

.de224411

A=4分

dt1341

e-f+女女--e-i+-a，

22

2、設(shè)線性定常連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

取采樣周期T=1s,試將該連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程離散化.

解：①首先計算矩陣指數(shù).采用拉氏變換法：

eAi=L”[(sl-A)-1-l=

0s+2

113分

A(.S+2)

10e-2i

($+2

②進而計算離散時間系統(tǒng)的系數(shù)矩陣.

0.4323]

0.5K1''f=1s代入得G=GAT=

G=?AT=「Ilio2分

0.1353J

IL。ezJ|

15/18

H=（jw）B=（（ljTn105（1-eJ]）|FO：

0|I°|L°eaJIJ|L1J

P0.5T+0.25e-2T-0.25]

=I3分

|L-0.5e-2T+0.5J1

F1.0789]

-lo4323）

③故系統(tǒng)離散化狀態(tài)方程為

呼+0.4323『加[的9]我）

X2U+11|_00.1353-1x^110.4323.

3、已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

（1）試確定a的取值，使系統(tǒng)成為不能控，或者為不能觀測；

（2）在上述a的取值卜.，寫出使系統(tǒng)為能控的狀態(tài)空間表達(dá)式，判斷系統(tǒng)的能觀測性；

（3）若a=3,寫出系統(tǒng)的一個最小實現(xiàn).（10分）

解：（1）因為

因此當(dāng)a=1或者a=2或者a=3時,浮現(xiàn)零極點對消現(xiàn)象，系統(tǒng)就成為不能控或者不能觀

測的系

統(tǒng)3分

（2）可寫系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)為此問答案不惟一

o1oiro]

x=001x+0uy=[2a2o]x3分

存在零極相消，系統(tǒng)不能觀1分

2

（3）a=3，則有G（s）=--―-

$2+3$+2

可寫出能控標(biāo)準(zhǔn)形最小實現(xiàn)為

此問答案不惟一，可有多種解3分

三、已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

（1）判斷系統(tǒng)的能控性