小學奧數(shù)舉一反三(四年級)

第1講找規(guī)律(一)

一、知識要點

觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況

下，我們可以從以下幾個方面來找規(guī)律：

1.根據(jù)每組相鄰兩個數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；

2.根據(jù)相隔的每兩個數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；

3.要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；

4.數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可

以認為是正確的。

二、精講精練

【例題1】先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號里填上適當?shù)臄?shù)。

1,4,7,10,(),16,19

【思路導航】在這列數(shù)中，相鄰的兩個數(shù)的差都是3,即每一個數(shù)加上3都等于后面

的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號里應填的數(shù)為：10+3=13或16—3=13。

像上面按照一定的順序排列的一串數(shù)叫做數(shù)列。

練習1:先找出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。

(1)2,6,10,14,(),22,26

(2)3,6,9,12,(),18,21

(3)33,28,23,(),13,(),3

(4)55,49,43,(),31,(),19

(5)3,6,12,(),48,(),192

(6)2,6,18,(),162,()

(7)128,64,32,),8,(),2

(8)19,3,17,3,15,3,(),(),11,3.

【例題2】先找出下列數(shù)排列的規(guī)律,然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)

(),16,22

【思路導航】在這列數(shù)中，前4個數(shù)每相鄰的兩個數(shù)的差依次是1,2,3o由此可以

推算7比括號里的數(shù)少4,括號里應填：7+4=11。經(jīng)驗證，所填的數(shù)是正確的。

應填的數(shù)為：7+4=11或16-5二11。

練習2：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。

(1)10,11,13,16,20,(),31

(2)1,4,9,16,25,(),49,64

(3)3,2,5,2,7,2,(),(),11,2

(4)53,44,36,29,(),18,(),11,9,8

(5)81,64,49,36,(),16,(),4,1,0

(6)28,1,26,1,24,1,(),(),20,1

(7)30,2,26,2,22,2,(),(),14,2

(8)1,6,4,8,7,10,(),(),13,14

【例題3】先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。

23,4,20,6,17,8,(),(),11,12

【思路導航】在這列數(shù)口，第一個數(shù)減去3的差是第三個數(shù)，第二個數(shù)加上2的和是

第四個數(shù)，第三個數(shù)減去3的差是第五個數(shù)，第四個數(shù)加上2的和是第六個數(shù)……依此規(guī)

律，8后面的一個數(shù)為：17-3二14,11前面的數(shù)為：8+2=10

練習3：先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。

(1)1,6,5,10,9,14,13,))

(2)13,2,15,4,17,6,(),()

(3)3,29,4,28,6,26,9,23,(),(),18,14

(4)21,2,19,5,17,8,(),()

(5)32,20,29,18,26,16,(),),20,12

(6)2,9,6,10,18,11,54,(),(),13,486

(7)1,5,2,8,4,11,8,14,(),()

(8)320,1,160,3,80,9,40,27,(),()

【例題4】在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,(),34,55……中，括號里應填

什么數(shù)？

【思路導航】經(jīng)仔細觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它前

面兩個數(shù)的和。根據(jù)這一規(guī)律，括號里應填的數(shù)為：8+13=21或34—13二21

上面這個數(shù)列叫做斐波那切(意大利古代著名數(shù)學家)數(shù)列，也叫做“兔子數(shù)列”。

練習4:先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。

(1)2,2,4,6,10,16,),)

(2)34,21,13,8,5,()，2,()

(3)0,1,3,8,21,(),144

(4)3,7,15,31,63,())

(5)33,17,9,5,3,()

(6)0,1,4,15,56,()

(7)1,3,6,8,16,18,(),(),76,78

(8)0,1,2,4,7,12,20,()

【例題5】下面每個括號里的兩個數(shù)都是按一定的規(guī)律組合的，在口里填上適當?shù)臄?shù)。

(8,4)(5,7)(10,2)(□,9)

【思路導航】經(jīng)仔細觀褰、分析，不難發(fā)現(xiàn)：每個括號里的兩個數(shù)相加的和都是12。

根據(jù)這一規(guī)律，口里所填的數(shù)應為：12—9=3

練習5：下面括號里的兩個數(shù)是按一定的規(guī)律組合的，在口里填上適當?shù)臄?shù)。

(1)(6,9)(7,8)(10,5)(口，)

(2)(1,24)(2,12)(3,8)(4,□)

(3)(18,17)(14,10)(10,1)(□,5)

(4)(2,3)(5,9)(7,13)(9,□)

(5)(2,3)(5,7)(7,10)(10,□)

(6)(64,62)(48,46)(29,27)(15,□)

(7)(100,50)(86,43)(64,32)(□,21)

(8)(8,6)(16,3)(24,2)(12,□)

第2講找規(guī)律（二）

一、知識要點

對于較復雜的按規(guī)律填數(shù)的問題，我們可以從以下幾個方面來思考：

1.對于幾列數(shù)組成的一組數(shù)變化規(guī)律的分析，需要我們靈活地思考，沒有一成不變的

方法，有時需要綜合運用其他知識，一種方法不行，就要及時調(diào)整思路，換一種方法再分

析；

2.對于那些分布在某些圖中的數(shù)，它們之間的變化規(guī)律往往與這些數(shù)在圖形中的特殊

位置有關(guān)，這是我們解這類題的突破口。

3.對于找到的規(guī)律，應該適合這組數(shù)中的所有數(shù)或這組算式中的所有算式c

二、精講精練

【例題1】根據(jù)下表中的排列規(guī)律，在空格里填上適當?shù)臄?shù)。3

3

【思路導航】經(jīng)仔細觀察、分析表格中的數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：12+6=18,8+7=15,即每一橫

行中間的數(shù)等于兩邊的兩個數(shù)的和。依此規(guī)律，空格中應填的數(shù)為：4+8=12。

【例題2】根據(jù)前面圖形中的數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個圖形的括號里應填什么數(shù)？

【思路導航】經(jīng)仔細觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)前面兩個圈中三個數(shù)之間有這樣的關(guān)系：5

X124-10=64X204-10=8

根據(jù)這一規(guī)律，第三個圈中右下角應填的數(shù)為：8X304-10=24.

練習2：根據(jù)前面圖形中數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個圖形的空格里應填什么數(shù)。

(3)

【例題3】先計算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律直接寫

出后幾題的得數(shù)。12345679X9=12345679X18=12345679X

54=12345679X81=

【思路導航】題中每個算式的第一個因數(shù)都是12345679,它是有趣的“缺8數(shù)”，與

9相乘，結(jié)果是由九個1組成的九位數(shù)，即：111111111。不難發(fā)現(xiàn)，這組題得數(shù)的規(guī)律是:

只要看每道算式的第二個因數(shù)中包含幾個9,乘積中就包含幾個lllllllllo

因為:12345679X9=111111111

所以：12345679X18=12345679X9X2=222222222

12345679X54=12345679X9X6=66666666612345679X81=l2345679X9X

9二999999999.

練習3：找規(guī)律，寫得數(shù)。

(1)1+0X9=2+1X9=3+12X9=4+123X

9=9+12345678X9=

(2)1X1=11X11=111X111=111111111X

111111111=

(3)19+9X9=118+98X9=1117+987X9=11116+9876X

9=111115+98765X9=

【例題4】找規(guī)律計算。(1)81-18=(8-1)X9=7X9=63

(2)72—27=(7-2)X9=5X9=45(3)63-36=(□-□)X9=LJX9二口

【思路導航】經(jīng)仔細觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)：一個兩位數(shù)與交換它的十位、個位數(shù)字位

置后的兩位數(shù)相減，只要用十位與個位數(shù)字的差乘9,所得的積就是這兩個數(shù)的差。

練習4：

1.利用規(guī)律計算。(1)53—35(2)82-28(3)92-29(4)61-

16(5)95-59

2.找規(guī)律計算。(1)62+26=(6+2)XI1=8XI1=88(2)87+78=(8+7)Xll=15

Xll=165(3)54+45=(□+□)XII二口義11二口【例題5】計算(1)26X11(2)

38X11

【思路導航】一個兩位數(shù)與11相乘，只要把這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的和插入這兩個

數(shù)字中間，就是所求的積。(1)26X11=2(2+6)6=286(2)38X11=3(3+8)8=418

注意：如果兩個數(shù)字的和滿十，要向前一位進一。

練習5：計算下面各題。(1)27X11(2)32

XII(3)39X11(4)46X11(5)92X

11(6)98X11

第3講簡單推理

一、知識要點

解答推理問題，要從許多條件中找出關(guān)鍵條件作為推理的突破口。推理要有條理地進

行，要充分利用已經(jīng)得出的結(jié)論，作為進一步推理的依據(jù)。

二、精講精練

【例題1】一包巧克力的重量等于兩袋餅干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克

力的重量，一袋餅干等于幾袋牛肉干的重量？

【思路導航】根據(jù)“一包巧克力的重量二兩袋餅干的重量”與“4袋牛肉干的重量二一

包巧克力的重量”可推出：兩袋餅干的重量;4袋牛肉干的重量。因此，一袋餅干的重量二

兩袋牛肉干的重量。

練習1:

(1)一只菠蘿的重量等于4根香蕉的重量，兩只契子的重量等于一只菠蘿的重量，

一只梨子的重量等于幾根香蕉的重量？

(2)3包巧克力的重量等于兩袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的

重量，一袋糖的重量等于幾袋牛肉干的重量？

(3)一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量。一只小豬

的重量等于幾只鴨的重量？

【例題2】一頭象的重量等于4頭牛的重量，一頭牛的重量等于3匹小馬的重量，一

匹小馬的重量等于3頭小豬的重量。一頭象的重量等于幾頭小豬的重量？

【思路導航】根據(jù)“一頭象的重量等于4頭牛的重量”與“一頭牛的重量等于3匹小

馬的重量”可推出：“一頭象的重量等于12匹小馬的重量”，而“一匹小馬的重量等于3

頭小豬的重量”，因此，一頭象的重量等于36頭小豬的重量。

練習2：

(1)一只西瓜的重量等于兩個菠蘿的重量，1個菠蘿的重量等于4個蘋果的重量，1

個蘋果的重量等于兩個橘子的重量。1只西瓜的重量等于幾個橘子的重量？

(2)一頭牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草

的重量相等。已知一頭牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？

(3)一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量，兩只鴨的

重量等于6條魚的重量。問：兩只小豬的重量等于幾條魚的重量？

【例題3］根據(jù)下面兩個算式，求。與□各代表多少？0+0+0=18O+

□=10

【思路導航】在第一個算式中，3個。相加的和是18,所以。代表的數(shù)是：18+3=6,

又由第二個算式可求出口代表的數(shù)是：10—6=4.

練習3:

(1)根據(jù)下面兩個算式,求口與△各代表多少？

□+□+□+口=32△一口二20

(2)根據(jù)下面兩個算式,求。與口各代表多少？0+0+0=15

0+0+口+口+口=40

(3)根據(jù)下面兩個算式,求。與△各代表多少？O-A=8

△+△+△=O

【例題4］根據(jù)下面兩個算式，求。與△各代表多少？

△-0=2O-FO+A+A+A=56

【思路導航】由第一個算式可知，△比。多2；如果將第二個算式的。都換成^,那

么5個△=56+2X2,△=12,再由第一個算式可知，0=12-2=10.

練習4：

(1)根據(jù)下面兩個算式求□與。各代表多少？

□—68□+□+0+020

（2）根據(jù)下面兩個算式,求△與O各代表多少？

△+△+△+0+578△+A+O+C+O=72

(3)根據(jù)下面兩個算式,求△與口各代表多少？

△+△+△-□-□=12□+□+□-△-△=2

【例題5】甲、乙、丙三人分別是一小、二小和三小的學生，在區(qū)運動會上他們分別

獲得跳高、跳遠和壘球冠軍。已知：二小的是跳遠冠軍；一小的不是壘球冠軍，甲不是跳

高冠軍；乙既不是二小的也不是跳高冠軍。問：他任三個人分別是哪個學校的？獲得哪項

冠軍？

【思路導航】由“二小的是跳遠冠軍”可知壘球、跳高冠軍是一小或三小的；因為“一

小的不是壘球冠軍“，所以一小一定是跳高冠軍，三小的是壘球冠軍；由“甲不是跳遠冠

軍”，“乙既不是二小的也不是跳高冠軍”可知，一小的甲是跳高冠軍，二小的丙是跳遠

冠軍，三小的乙是壘球冠軍。

練習5：

(1)有三個女孩穿著嶄新的連衣裙去參加游園會。一個穿花的，一個穿白的，一個

穿紅的。但不知哪一個姓王、哪一個姓李、哪一個姓劉。只知道姓劉的不喜歡穿紅的，姓

王的既不是穿紅裙子，也不是穿花裙子。你能猜出這三個女孩各姓什么嗎？

(2)小兔、小貓、小狗、小猴和小鹿參加100米比賽，比賽結(jié)束后小猴說：“我比

小貓跑得快。”小狗說：“小鹿在我前面沖過終點線?！毙⊥谜f：“我們的名次排在小猴

前面，小狗在后面?！闭埜鶕?jù)它們的回答排出名次。

(3)五個女孩并排坐著，甲坐在離乙、丙距離用等的座位上，丁坐在離甲、丙距離

相等的座位上，戌坐在她兩個姐姐之間。請問誰是戌的姐姐？

第4講應用題（一）

一、知識要點

解答應用題時，必須認真審題，理解題意，深入細致地分析題目中數(shù)量間的關(guān)系，通

過對條件進行比較、轉(zhuǎn)化、重新組合等多種手段，找到解題的突破口，從而使問題得以順

利解決。

二、精講精練

【例題1】某玩具廠把630件玩具分別裝在5個塑料箱和6個紙箱里，1個塑料箱

與3個紙箱裝的玩具同樣多。每個塑料箱和紙箱各裝多少件玩具？

【思路導航】如果玩具全部裝在塑料箱或全部裝在紙箱里，那么可以求出一個紙箱或

一個塑料箱裝多少件。因為3個紙箱與一個塑料箱裝的同樣多，所以6個紙箱與2個塑料

箱裝的同樣多。這樣，5個塑料箱裝的玩具件數(shù)和7個塑料箱裝的就同樣多。由此，可求

出一個塑料箱裝多少件。

練習1:

（1）百貨商店運來300雙球鞋分別裝在2個木箱和6個紙箱里。如果兩個紙箱同一

個木箱裝的球鞋同樣多，每個木箱和每個紙箱各裝多少雙球鞋？

（2）新華小學買了兩張桌子和5把椅子，共付款195元。已知每張桌子的價錢是每

把椅子的4倍，每張桌子多少元？

（3）王叔叔買了3千克荔枝和4千克桂圓，共付款156元。已知5千克荔枝的價錢

等于2千克桂圓的價錢。每千克荔枝和每千克桂圓各多少元？

【例題2】一桶油，連桶重180千克，用去一半油后，連桶還有100千克。問：油和

桶各重多少千克？

【思路導航】原來油和桶共重180千克，用去一半油后，連桶還有100千克，說明用

去的一半油的重是180—100=80（千克），一桶油的重量就是80X2=160（千克），油桶

的重量就是180—160二20（千克）。

練習2：

（1）一筐梨，連筐重38千克，吃去一半后，連筐還有20千克。問：梨和筐各重多

少千克？

（2）一篋蘋果，連筐共重35千克，先拿一半送給幼兒園小朋友，再拿剩下的一半送

給一年級小朋友，余下的蘋果連筐重11千克。這筐蘋果重多少千克？

（3）一只油桶里有一些油，如果把油加到原來的2倍，油桶連油重38千克；如果把

油加到原來的4倍，這里油和桶共重46千克。原來油桶里有油多少千克？

【例題3】有5盒茶葉，如果從每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶葉正好和原來

4盒茶葉的重量相等。原來每盒茶葉有多少克？

【思路導航】由條件”每盒取出200克，5盒剩下的茶葉正好和原來4盒茶葉重量相

等”可以推出，拿出的200X5=1000（克）茶葉正好等于原來的5—4二1（盒）茶葉的重量。

練習3：

(1)有6筐梨子，每筐梨子個數(shù)相等，如果從每筐中拿出40個，6筐梨子剩下的個

數(shù)總和正好和原來兩筐的個數(shù)相等。原來每筐有多少個？

(2)在5個木箱中放著同樣多的橘子。如果從每個木箱中拿出60個橘子，那么5個

木箱中剩下的橘子的個數(shù)的總和等于原來兩個木箱里橘子個數(shù)的和。原來每個木箱中有多

少個橘子？

(3)某食品店有5箱餅干，如果從每個箱子里取出20千克，那么5個箱子里剩下的

餅干正好等于原來3箱餅干的重量。原來每個箱子里裝多少千克餅干？

【例題4】一個木器廠要生產(chǎn)一批課桌。原“劃每天生產(chǎn)60張，實際每天比原可劃多

生產(chǎn)4張，結(jié)果提前一天完成任務(wù)。原計劃要生產(chǎn)多少張課桌？

【思路導航】這道題的關(guān)鍵是要求出工作時間。因為實際比原計劃提前1天完成任務(wù),

這就相當于把原計劃最后1天的任務(wù)平均分到前面的幾天去做，正好分完。實際比原計劃

每天多生產(chǎn)4張，所以實際生產(chǎn)的天數(shù)是60?4=15天，原計劃生產(chǎn)的天數(shù)是15+1=16天。

所以原計劃要生產(chǎn)60X16=960張。

練習4：

(1)電視機廠接到一批生產(chǎn)任務(wù)，計劃每天生產(chǎn)9U臺，可以按期完成。實際每天多

生產(chǎn)5臺，結(jié)果提前1天完成任務(wù)。這批電視機共有多少臺？

(2)小明看一本故事書，計劃每天看12頁，實際每天多看8頁，結(jié)果提前2天看完。

這本故事書有多少頁？

(3)修一條公路，計劃每天修60米，實際每天比計劃多修15米，結(jié)果提前4天修

完。一共修了多少米？

【例題5】有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只，從甲盒拿出多少只放入乙盒，

才能使兩盒中的圖釘相等？

【思路導航】由條件可知，甲盒比乙盒多72-43=24只。要盒兩盒中的圖釘相等，只

要把甲盒比乙盒多的24只圖釘平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以應拿

出2422=12只。

練習5：

(1)有兩袋面粉，第一袋面粉有24千克，第二袋面粉有18千克。從第一袋中取出

幾千克放入第二袋，才能使兩袋中的面粉重量相等？

(2)有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只,每次從甲盒中拿4只放到乙盒，拿

幾次才能使兩盒相等？

(3)有兩袋糖，一袋是68粒，另一袋是20粒,每次從多的一袋中拿出6粒放到少

的一袋里，拿幾次才能使兩袋糖同樣多？

第5講算式謎(一)

一、知識要點

“算式謎”一般是指那些含有未知數(shù)字或缺少運算符號的算式。解決這類問題，可以

根據(jù)已學過的知識，運用正確的分析推理方法，確定算式中的未知數(shù)字和運用符號。由于

這類題目的解答過程類似全平時進行的猜謎語游戲，所以，我們把這類題目稱為“算式謎

題”。

解答算式謎問題時，要先仔細審題，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，找到突破口，逐步試驗，

分析求解，通常要運用倒推法、湊整法、估值法等。76()5

二、精講精練+()47

()21()

【例題1)在下面算式的括號里填上合適的數(shù)。

【思路導航】根據(jù)題目持點，先看個位：7+5=12,在和的個位()中填2,并向十

位進一；再看十位，()+4+1的和個位是1,因此，第一個加數(shù)的()中只能填6,并

向百位進1；最后來看百位、千位，6+()+1的和的個位是2,第二個加數(shù)的()中只

能填5,并向千位進1；因此，和的千位()中應填8。

練習1:(1)在括號里填上合適的數(shù)。(2)在方框里填上合適的數(shù)。

6()()□0□□

+2()1]一3()17

(3)下面二2乂工？口L數(shù)字被遮住了，個e八Rw皿鼠的4個數(shù)□□

+□口

字的和。

69

【例題2】下面各式中“巨”、“龍”、“騰”、“飛”分別代騰

表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。當它們各代表什么數(shù)字龍騰飛

時，下列的算式成立。+巨龍騰飛

2001

【思路導航】先看個位，3個“飛”相加的和的個位數(shù)字是1,可推知“飛”代表7；

再看十位，3個“騰”相加，再加上個位進來的2,所得的和的個位是0,可推知“騰”代

表6；再看百位，兩個“龍”相加，加上十位進上來的2,所得和的個位是0,“龍”可能

是4或9,考慮到千位上的“巨”不可能為0,所以“龍”只能代表4,“巨''只能代表1。

練習2：

CD(2)式(3)澳門

ACD填式謎澳門歸

+ABCD+巧填式,玲十慶澳n歸

19891991999

【例題3】下面各式中的“兵”、“炮”、“馬”、“卒”各代表兵炮馬卒

+兵炮車卒

0—9這十個數(shù)字中的某一個，相同的漢字代表相同的數(shù)字。這些漢字

車卒馬兵卒

各代表哪些數(shù)字？

【思路導航】這道題應以“卒”入手來分析?！白洹焙汀白洹毕嗉雍偷膫€位數(shù)字仍然

是“卒”，這個數(shù)字只能是0。確定“卒”是。后，所有是“卒”的地方，都是0。注意

到百位上是“兵”+“兵”二“卒”，容易知道“兵”是5,“車”是1；再由十位上的情

況可推知“馬”是4,進而推得“炮”是2。

練習3：（1）BA（2）ABC（3）炮兵兵炮

AB

、n+cDC一兵馬兵

-AB

CAAABCD馬兵馬

【例題4】將0、1、2、3、4、5、6這七個數(shù)字填在圓圈和方格內(nèi)，每個數(shù)字恰好出

現(xiàn)一次，組成一個整數(shù)算式。0X0=口二C?O

【思路導航】要求用七個數(shù)字組成五個數(shù)，這五個數(shù)有三個是一位數(shù)，有兩個是兩位

數(shù)。顯然，方格中的數(shù)和被除數(shù)是兩位數(shù)，其他是一位數(shù)。

0和1不能填入乘法算式，也不能做除數(shù)。由于2X6=12（2將出現(xiàn)兩次），2X5=10

（經(jīng)試驗不合題意），2X4=8（7個數(shù)字中沒有8）,2X3=6（6不能成為商）。因此，0、

1、2只能用來組成兩位數(shù)。經(jīng)試驗可得：3X4=12=6=4-5.

練習4：（1）將0、1、3、5、6、8、9這七個數(shù)字填在圓圈和方筐里，每個數(shù)字恰好

出現(xiàn)一次組成一個整數(shù)算式。0X0=0=04-0

（2）填入1、2、3、4、7、9,使等式成立?！?□

（3）用1、2、3、7、8這五個數(shù)字可以列成一個算式：（1+3）X7=28。請你用0、1、

2、3、4、6這六個數(shù)字列成一個算式。

【例題5】把“+、一、X、分別放在適當?shù)膱A圈中（運算符號只能用一次），

并在方框中填上適當?shù)臄?shù)，使下面的兩個等式成立。3600015=15210305=0

【思路導航】先從第一個等式入手，等式右邊是15,與等式左邊最后一個數(shù)15相同，

因為0+15=15,所以，只要使36與0的運算結(jié)果為0就行。顯然，36X0+15=15

因為第一個等式已填“X”、“+”，在第二個等式中只有“一”、“4■”可以填，

題目要求在方框中填整數(shù)，已知3不能被5整除，所以“小”只能填在21與3之間，而3

與5之間填“一”。

練習5：（1）把“十、一、X、土”分別填入下面的圓圈中，并在方框中填上適當?shù)?/p>

整數(shù)，使下面每組的兩個等式成立。①901307=100140205=0

②170602=100501407二口

（2）將1?9這九個數(shù)字填入口中（每個數(shù)字只能用一次），組成三個等式。

第6講算式謎（二）

一、知識要點

解決算式謎題，關(guān)鍵是找準突破口，推理時應注意以下幾點：

1.認真分析算式中所包含的數(shù)量關(guān)系，找出隱蔽條件，選擇有特征的部分作出局部

判斷；

2.利用列舉和篩選相結(jié)合的方法，逐步排除不合理的數(shù)字；

3.試驗時，應借助估值的方法，以縮小所求數(shù)字的取值范圍，達到快速而準確的目

的；

4.算式謎解出后，要驗算一遍。

二、精講精練

【例題1]在下面的方框中填上合適的數(shù)字。

口76【思路導航】由積的末尾是0,可推出第二個因數(shù)的個位是5；由

X□□

18□口第二個因數(shù)的個位是5,并結(jié)合第一個因數(shù)與5相乘的積的情況考慮，

口口口口可推出第一人個因數(shù)的百位是3；由第一個因數(shù)為376與積為31口口0,

31°0°可推出第二個因數(shù)的十數(shù)上是8。題中別的數(shù)字就容易填了。

練習1:

在口里填上適當?shù)臄?shù)。

（1）6□(2)□2□□(3)285

X35X□6X□口

33口□□041□2□

1FI8□□70□□口

□□口口□口□□口□9口□

【例題2】在下面方框中填上適合的數(shù)字。

口□）由商的十位是1,以及1與除數(shù)的乘積的最高位是1可推知除數(shù)的十位

□□卜占2除后余下的數(shù)是1,可推知被除數(shù)的十位只可能是7、8、9o如果是7,除

口2那么最后必有余數(shù);如果被除數(shù)是8,除數(shù)的個位就是1口團只

￥口尸位是9時,除數(shù)的個位是2時，商的個位為6,正好除尺切②卜而2::

練習2：在口內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使下列除法豎式成立。一kT

8□□□00

□□

□□!□□□□□0

6口/□口

□□□

□□□□□□□

□□61□0

□口

0

【例題3】卜曲舁或中的a、b、c、d這四個字可合衣IT公皴字？

abed【思路導航】因為四位數(shù)abed乘9的積是四位數(shù)，可知a是1；d和9相乘

X——2-的積的個位是1,可知d只能是9；因為第二個因數(shù)9與第一個因數(shù)百位上的數(shù)b

dCba相乘的積不能進位，所以b只能是0(1已經(jīng)用過)；再由b=0,可推知『8。

練習3：

求下列各題中每個漢字所代表的數(shù)字。

(1)花紅柳綠(2)1華羅庚金杯

X9X3

柳綠花紅華羅庚金杯1

花二紅二柳二綠二華二羅二庚二金二杯二

(3)盼望祖國早日統(tǒng)一

義一

盼盼盼盼盼盼盼扮盼

盼二望二祖二國二早二日二統(tǒng)二一二

【例題4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字中間加上“十、一”兩種運算

符號，使其結(jié)果等于100〔數(shù)字的順序不能改變)。23456789=100

【思路導航】先湊出與100比較接近的數(shù)，再根據(jù)需要把相鄰的幾個數(shù)組成一個數(shù)。

比如：123與100比較接近，所以把前三個數(shù)字組成123,后面的數(shù)字湊出23就行。

因為45與67相差22,8與9相差1,所以得到一種解法：123+45—67+8—9:100

再比如：89與100比較接近，78與67正好相差11,所此可得另一種解法：123+45

-67+8-9=100.

練習4：：(1)在下面等號左邊的數(shù)字之間添上一些加號，使其結(jié)果等于99(數(shù)字

的順序不能改變)。87654321=99

(2)一個乘號和七個加號添在下面的算式中合適的地方，使其結(jié)果等于100(數(shù)字的

順序不能改變)。12345678g=100

(3)添上適當?shù)倪\算符號和括號，使下列等式成立。12345二100

【例題5】在下面的式子里添上括號，使等式成立。7X9+124-3-2=23

【思路導航】采用逆推法，從最后一步運算開始考慮。假如最后一步是用前面計算的

結(jié)果減2,那么前面式子的運算結(jié)果應等25,又因為25X3=75,而前面7X9+12又正好

等于75,所以，應給前面兩步運算加括號。(7X9+12)4-3-2二23

練習5：

1.在下面的式子里添上括號，使等式成立。

(1)7X9+124-3-2=75(2)7X9+124-3-2=47(3)88+33-114-11X2=5

2.在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字中間加上“+、一”兩種運算符號，使

其結(jié)果等于100(數(shù)字的順序不能改變)。

第7講最優(yōu)化問題

一、知識要點

在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會遇到下面的問題：完成一件事情，怎樣合理安排才

能做到用的時間最少，效果最佳。這類問題在數(shù)學中稱為統(tǒng)籌問題。我們還會遇到“費用

最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問題，這些問題往往可以從極端情況去探討它

的最大（?。┲?，這類問題在數(shù)學中稱為極值問題。以上的問題實際上都是“最優(yōu)化問題

二、精講精練

【例題1】用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個，剪一個餅需要2分鐘（規(guī)定正反

面各需要1分鐘）。問煎3個餅至少需要多少分鐘？

【思路導航】先將兩個餅同時放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個餅都熟了一面，這時可

將一個取出，另一個翻過去，再放入第三個。又煎了一分鐘，將兩面都熟的那個取出，把

第三個翻過去，再將第一個放入煎，再煎一分鐘就會全部煎好。所以，煎3個餅至少需要

3分鐘。

練習1:

1.烤面包時，第一面需要2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。

小麗用來烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分

鐘？

2.用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時放兩個。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現(xiàn)在要

烙3個大餅，最少要用幾分鐘？

3.小華用平底鍋烙餅，這只鍋同時能放4個大餅，烙一個要用4分鐘（每面各需要2

分鐘）?？尚∪A烙6個大餅只用了6分鐘，他是怎樣烙的？

【例題2】媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開水需要15分鐘，洗

茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘？

【思路導航】經(jīng)驗表明，能同時做的事，盡量同時做，這樣可以節(jié)省時間。水壺不洗,

不能燒開水，因此，洗水壺和燒開水不能同時進行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開水

可以同時進行。

根據(jù)以上的分析，可以這樣安排：先洗水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，同時

洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開了就沏茶，共需要16分鐘。

練習2：

1.小虎早晨要完成這樣幾件事：燒一壺開水需要10分鐘，把開水灌進熱水瓶需要2

分鐘，取奶需要5分鐘，整理書包需要4分鐘。他完成這幾件事最少需要多少分鐘？

2.小強給客人沏茶，燒開水需要12分鐘，洗茶杯要2分鐘，買茶葉要8分鐘，放茶

葉泡茶要1分鐘。為了讓客人早點喝上茶，你認為最合理的安排，多少分鐘就可以了？

3.在早晨起床后的1小時內(nèi)，小欣要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉刷牙8分鐘，

讀外語30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收聽廣播30分鐘。最少需要多少分

鐘？

【例題3】五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學同時到達學校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。

趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室只有一

位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學的治病次序，才能使三位同學留在衛(wèi)生室的時間總和最

短？

【思路導航】校醫(yī)應該給治療時間最短的先治病，治療時間長的最后治療，才能使三

位同學在衛(wèi)生室的時間總知最短。這樣，三位同學留在衛(wèi)生室的時間分別是：李佳1分鐘,

趙1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘。時間總和是1+4+9=14分鐘。

練習3：

1.甲、乙、丙三人分別拿著2個、3個、1個熱水瓶同時到達開水供應點打熱水。熱

水龍頭只有一個，怎樣安排他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時間最少？

2.甲、乙、丙三人到商場批發(fā)部洽談業(yè)務(wù)，甲、乙、丙三人需要的時間分別是10分

鐘、16分鐘和8分鐘。怎樣安排，使3人所花的時間最少？最少時間是多少？

3.甲、乙、丙、丁四人同時到一水龍頭處用水，甲洗托把需要3分鐘，乙洗抹布需

要2分鐘，丙洗衣服需要10分鐘，丁用桶注水需要1分鐘。怎樣安排四人用水的次序，

使他們所花的總時間最少？最少時間是多少？

【例題4】用18厘米長的鐵絲圍成各種長方形，要求長和寬的長度都是整厘米數(shù)。圍

成的長方形的面積最大是多少？

【思路導航】根據(jù)題意，圍成的長方形的一條長與一條寬的和是184-2=9厘米。顯然,

當長與寬的差越小，圍成的長方形的面積越大。又已知長和寬的長度都是整厘米數(shù)，因此,

當長是5厘米，寬是4厘米時，圍成的長方形的面積最大：5X4=20平方厘米。

練習4：

1.用長26厘米的鐵絲圍成各種長方形，要求長知寬的長度都是整厘米數(shù)，圍成的長

方形的面積最大是多少？

2.一個長方形的周長是20分米，它的面積最大是多少？

3.一個長方形的面積是36平方厘米，并且長和寬的長度都是整厘米數(shù)。這個長方形

的周長最長是多少厘米？

【例題5］用3?6這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩位數(shù)的乘積最大。

【思路導航】解決這個問題應考慮兩點：（1）盡可能把大數(shù)放在高位；（2）盡可能

使兩個數(shù)的差最小。所以應把6和5這兩個數(shù)字放在十位，4和3放在個位。根據(jù)“兩個

因數(shù)的差越小，積越大”的規(guī)律，3應放在6的后面，4應放在5的后面。63X54=3402.

練習5：

1.用1?4這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩位數(shù)的乘積最大。

2.用5?8這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩位數(shù)的乘積最大。

3.用3?8這六個數(shù)字分別組成兩個三位數(shù)，使這兩個三位數(shù)的乘積最大。

第8講巧妙求和(一)

一、知識要點

若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項。其中第一項稱為首項，最

后一項稱為末項，數(shù)列中項的個數(shù)稱為項數(shù)。

從第二項開始，后項與其相鄰的前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項的

差稱為公差。

在這一章要用到兩個非常重要的公式：“通項公式”和“項數(shù)公式”。

通項公式：第n項二首項+(項數(shù)一1)X公差

項數(shù)公式：項數(shù)=(末項一首項)+公差+1

二、精講精練

【例題1】有一個數(shù)列：4,10,16,22.-,52.這個數(shù)列共有多少項？

【思路導航】容易看出這是一個等差數(shù)列，公差為6,首項是4,末項是52.要求項數(shù),

可直接帶入項數(shù)公式進行計算。

項數(shù)二(52-4)=6+1=9,即這個數(shù)列共有9項。

練習1:

1.等差數(shù)列中，首項=1.末項=39,公差二2.這個等差數(shù)列共有多少項？

2.有一個等差數(shù)列：2.5,8,11.…，101.這個等差數(shù)列共有多少項？

3.已知等差數(shù)列11.16,21.26,…，1001.這個等差數(shù)列共有多少項？

【例題2】有一等差數(shù)列：3.7,11.15,……,這個等差數(shù)列的第100項是多少？

【思路導航】這個等差數(shù)列的首項是3.公差是4,項數(shù)是100。要求第100項，可根

據(jù)“末項二首項+公差X(項數(shù)一1)”進行計算。

第100項=3+4X(100-1)=399.

練習2：

1.一等差數(shù)列，首項二3.公差=2.項數(shù)=10,它的末項是多少？

2.求1.4,7,10……這個等差數(shù)列的第30項。

3.求等差數(shù)列2.6,10,14……的第100項。

【例題3】有這樣一個數(shù)列：1.2.3.4,…，99,100。請求出這個數(shù)列所有項的和。

【思路導航】如果我們把L2.3.4,…,99,100與列100,99,…，3.2.1相加,則

得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+-??+(99+2)+(100+1),其中每個小括號內(nèi)的兩個

數(shù)的和都是101.一共有100個101相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2.

就是所求數(shù)列的和。

1+2+3+―+99+100=(1+100)X1004-2=5050

上面的數(shù)列是一個等差數(shù)列，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，所有的等差數(shù)列都可以用下面的公式求和:

等差數(shù)列總和二(首項+末項)x項數(shù)+2

這個公式也叫做等差數(shù)列求和公式。

練習3：

計算下面各題。

(1)1+2+3+…+49+50

(2)6+7+8+…+74+75

(3)100+99+98+…+61+60

【例題4】求等差數(shù)列2,4,6,…，48,50的和。

【思路導航】這個數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用公式計算。

要求這一數(shù)列的和，首先要求出項數(shù)是多少：項數(shù)二(末項一首項):公差+1=(50-

2)4-2+1=25

首項二2.末項二50,項數(shù)二25

等差數(shù)列的和二(2+50)X254-2=650.

練習4：

計算下面各題。

(1)2+6+10+14+18+22

(2)5+10+15+20+…+195+200

(3)9+18+27+36+-+261+270

【例題5】計算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)

【思路導航】容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它

們各自的和，然后相減。

進一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個數(shù)列其實是把1?100這100個數(shù)分成了奇數(shù)與偶

數(shù)兩個等差數(shù)列，每個數(shù)列都有50個項。因此，我們也可以把這兩個數(shù)列中的每一項分

別對應相減，可得到50個差，再求出所有差的和。

(2+4+6+…+100)-(1+3+5+―+99)

=(2—1)+(4—3)+(6—5)+…+(100—99)

=1+1+1+???+1

=50

練習5：

用簡便方法計算下面專題。

(1)(2001+1999+1997+1995)—(2000+1998+1996+1994)

(2)(2+4+6+-+2000)-(1+3+5+…+1999)

(3)(1+3+5+-+1999)-(2+4+6+…+1998)

第9講變化規(guī)律(一)

一、知識要點

和、差的規(guī)律見下表(m^O)

一個加數(shù)(a)另一個加數(shù)(b)和(c)

±m(xù)不變±m(xù)

不變±m(xù)±m(xù)

±m(xù)?m不變

被減數(shù)(a)減數(shù)(b)差(c)

±m(xù)不變±m(xù)

不變±m(xù)Zm

±m(xù)±m(xù)不變

二、精講精練

【例題1】兩個數(shù)相加，一個加數(shù)增加9,另一人加數(shù)減少9,和是否發(fā)生變化？

【思路導航】一個加數(shù)娉加9