五年級奧數(shù)題：因數(shù)與倍數(shù)

因數(shù)與倍數(shù)相關(guān)習(xí)題（1）

一、填空題

1.28的全部因數(shù)之和是.

2.用105個大小相同的正方形拼成一個長方形，有種不同的拼

法.

3.一個兩位數(shù),十位數(shù)字減個位數(shù)字的差是28的因數(shù),十位數(shù)字與個

位數(shù)字的積是24.這個兩位數(shù)是____.

4.李老師帶領(lǐng)一班學(xué)生去種樹，學(xué)生恰好被平均分成四個小組，總共

種樹667棵,假如師芻每人種的棵數(shù)一樣多，則這個班共有學(xué)生人.

5.兩個自然數(shù)的和是50,它們的最大公因數(shù)是5,則這兩個數(shù)的差是

6.現(xiàn)有梨36個,桔108個,分給若干個小摯友,要求每人所得的梨數(shù),

桔數(shù)相等，最多可分給個小摯友，每個小摯友得梨?zhèn)€，桔

個.

7.一塊長48厘米、寬42厘米的布，不奢侈邊角料，能剪出最大的正

方形布片____塊.

8.長180厘米,寬45厘米,高18厘米的木料,能鋸成盡可能大的正方

體木塊（不余料）塊.

9.張師傅以1元錢3個蘋果的價格買蘋果若干個，又以2元錢5個蘋

果的價格將這些蘋果賣出，假如他要賺得10元錢利潤，則他必需賣出蘋果

個.

10.含有6個因數(shù)的兩位數(shù)有___個.

11.寫出小于20的三個自然數(shù)，使它們的最大公因數(shù)是1,但兩兩均

不互質(zhì)，請問有多少組這種解？

12.和為ini的四個自然數(shù)，它們的最大公因數(shù)最大能夠是多少？

13.狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳動競賽，狐貍每次跳4l米，黃鼠狼每次跳2。

24

米，它們每秒鐘都只跳一次.競賽途中，從起點起先每隔12,米設(shè)有一個陷

井，當(dāng)它們之中有一人掉進(jìn)陷井時，另一個跳了多少米

14.已知a與人的最大公因數(shù)是12,a與c的最小公倍數(shù)是300,方與c

的最小公倍數(shù)也是300,則滿意上述條件的自然數(shù)a,6,c共有多少組

（例如：a=12、爐300、片300,與疔300、k12、廣300是不同的兩個自

然數(shù)組）

-------------------------------答案-----------------------------

答案：

1.56

28的因數(shù)有1,2;4,7,14,28,它們的和為

1+2+4+7+14+28=56.

2.4

因為105的因數(shù)有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的長方形的長與寬分

別是105和1,35和3,21與5,15與7.所以能拼成4種不同的長方形.

3.64

因為28=2x2x7,所以28的因數(shù)有6個：1,2,4,7,14,28.在數(shù)字

0,1,2,…，9中，只有6與4之積，或者8與3之積是24,又6-4=2,8-3=5.

故符合題目要求的兩位數(shù)僅有64.

4.28

因為667=23x29,所以這班師生每人種的棵數(shù)只能是667的因

數(shù)：1,23,29,667.明顯,每人種667棵是不行能的.

當(dāng)每人種29棵樹時，全班人數(shù)應(yīng)是23T=22,但22不能被4整除，不行

能.

當(dāng)每人種23棵樹時,全班人數(shù)應(yīng)是29-1=28,且28恰好是4的倍數(shù),符

合題目要求.

當(dāng)每人種1棵樹時,全班人數(shù)應(yīng)是667-1二666,但666不能被4整除,不

行能.

所以，一班共有28名學(xué)生.

5.40或20

兩個自然數(shù)的和是50,最大公因數(shù)是5,這兩個自然數(shù)可能是5和

45,15和35,它們的差分別為(45-5=)40,(35-15=)20,所以應(yīng)填40或20.

［注］這里的關(guān)鍵是依最大公因數(shù)是5的條件，將50分拆為兩數(shù)之

和：50=5+45=15+35.

6.36,1,3.

要把梨36個、格子108個分給若干個小摯友，要求每人所得的梨數(shù)、

桔子相等，小摯友的人數(shù)肯定是36的因數(shù)，又要是108的因數(shù)，即肯定

是36和108的公因數(shù).因為要求最多可分給多少個小摯友，可知小摯友的

人數(shù)是36和108的最大公因數(shù).36和108的最大公因數(shù)是36,也就是可分

給36個小摯友.

含有6個因數(shù)的數(shù)，它的質(zhì)因數(shù)有以下兩種狀況:一是有5個相同的質(zhì)

因數(shù)連乘；二是有兩個不同的質(zhì)因數(shù)其中一個需連乘兩次，假如用."表示

含有6個因數(shù)的數(shù)，用a和。表示M的質(zhì)因數(shù)，則

M=或M=a2xb

因為〃是兩位數(shù)，所以滬司只有一種可能滬2\而滬aQ。就有以下

15種狀況:

所以,含有6個因數(shù)的兩位數(shù)共有

15+1=16(個)

11.三個數(shù)都不是質(zhì)數(shù),至少是兩個質(zhì)數(shù)的乘積，兩兩之間的最大公

因數(shù)只能分別是2,3和5,這種自然數(shù)有6,10,15和12,10,15與18,10,15

三組.

12.四個數(shù)的最大公因數(shù)必需能整除這四個數(shù)的和，也就是說它們的

最大公因數(shù)應(yīng)當(dāng)是1111的因數(shù).將1111作質(zhì)因數(shù)分解，得

1111=11x101

最大公因數(shù)不行能是1111,其次最大可能數(shù)是101.若為101,則將這四個數(shù)

分別除以101,所得商的和應(yīng)為11.現(xiàn)有

1+2+3+5=11,

即存在著下面四個數(shù)

101,101x2,101x3,101x5,

它們的和恰好是

101x(1+2+3+5)=101x11=1111,

它們的最大公因數(shù)為101.

所以101為所求.

13.黃鼠狼掉進(jìn)陷井時已跳的行程應(yīng)當(dāng)是2?與12。的“最小公倍數(shù)”

48

即跳了“+口=9次掉進(jìn)陷井，狐貍掉進(jìn)陷井時已跳的行程應(yīng)當(dāng)是4,

4442

和12。的“最小公倍數(shù)”即跳了史+次掉進(jìn)陷井.

8222

經(jīng)過比較可知，黃鼠狼先掉進(jìn)陷井，這時狐貍已跳的行程是

4,x9=40.5(米).

2

14.先將12、300分別進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解：

12=22X3

300=22X3X52

(1)確定a的值.依題意a只能取12或12x5(=60)或12x25(=300).

(2)確定力的值.

當(dāng)5=12時"可取12,或12x5,或12x25；

當(dāng)爐60,300時，〃都只能取12.

所以，滿意條件的外人共有5組：

{爐12{a=12-a=12{爐60{a=300

房12,ZF60.爐300,左：2,左12.

(3)確定a,力,c的組數(shù).

對于上面a、6的每種取值，依題意，c＞均有6個不同的值：

52,52x2,52X22,6X3,52X2X3,52X22X3,即25,50,100,75,150,

300.

所以滿意條件的自然數(shù)a、b、。共有5x6二30(組)

因數(shù)與倍數(shù)相關(guān)習(xí)題(2)

一、填空題

1.把20個梨和25個蘋果平均分給小摯友，分完后梨剩下2個，而

蘋果還缺2個，一共有個小摯友.

2.幼兒園有糖115顆、餅干148塊、桔子74個，平均分給大班小摯

友；結(jié)果糖多出7顆，餅干多出4塊，桔子多出2個?這個大班的小摯友

最多有人.

3.用長16厘米、寬14厘米的長方形木板來拼成一個正方形，最少須

要用這樣的木板_____塊.

4.用長是9厘米、寬是6厘米、高是7厘米的長方體木塊登成一個正

方體，至少須要這種長方體木塊塊.

5.一個公共汽車站，發(fā)出五路車，這五路車分別為每隔3、5、9、15、

10分鐘發(fā)一次，第一次同時發(fā)車以后，分鐘又同時發(fā)其次次車.

6.動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生,如只分給第一群,則每只猴子

可得12粒；如只分給其次群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，

則每只猴子可得20粒.則平均給三群猴子,每只可得粒.

7.這樣的自然數(shù)是有的:它加1是2的倍數(shù),加2是3的倍數(shù),加3是

4的倍數(shù),加4是5的倍數(shù),加5是6的倍數(shù),加6是7的倍數(shù),在這種自然

數(shù)中除了1以外最小的是.

8.能被3、7、8、11四個數(shù)同時整除的最大六位數(shù)是.

9.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干組,要求每一組中隨意兩

個數(shù)的最大公因數(shù)是1,則至少要分成組.

10.210與330的最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的_倍.

二、解答題

11.公共汽車總站有三條線路，第一條每8分鐘發(fā)一輛車，其次條每

10分鐘發(fā)一輛車，第三條每16分鐘發(fā)一輛車，早上6：00三條路途同時

發(fā)出第一輛車.該總站發(fā)出最終一輛車是20:00,求該總站最終一次三輛車

同時發(fā)出的時刻.

12.甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)除以它們的最大公因數(shù)，商是12.假如甲

乙兩數(shù)的差是18,則甲數(shù)是多少乙數(shù)是多少

13.用工、紋、1-L分別去除某一個分?jǐn)?shù)，所得的商都是整數(shù).這個

285620

分?jǐn)?shù)最小是幾

14.有15位同學(xué),每位同學(xué)都有編號,他們是1號到15號，1號同學(xué)寫

了一個自然數(shù),2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說：“這個數(shù)能被他的

編號數(shù)整除.1號作了檢驗：只有編號連續(xù)的二位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)

都對，問:

(1)說的不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)

(2)假如告知你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請找出這個數(shù).

--------------------------------答案------------------------------

答案：

1.9

若梨削減2個,則有20-2=18(個)；若將蘋果增加2個,則有

25+2=27(個)，這樣都被小摯友剛巧分完.由此可知小摯友人數(shù)是18與27

的最大公因數(shù).所以最多有9個小摯友.

2.36

依據(jù)題意不難看出，這個大班小摯友的人數(shù)是

115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因數(shù).

所以，這個大班的小摯友最多有36人.

3.56

所鋪成正方形的木板它的邊長必定是長方形木板長和寬的倍數(shù),也就

是長方形木板的長和寬的公倍數(shù)，又要求最少須要多少塊,所以正方形木

板的邊長應(yīng)是14與16的最小公倍數(shù).

先求14與16的最小公倍數(shù).

31614

87

故14與16的最小公倍數(shù)是2x8x7=112.

因為正方形的邊長最小為112厘米,所以最少須要用這樣的木板

"2x112=7x8=56（塊）

16x14

4.5292

與上題類似，依題意，正方體的棱長應(yīng)是9,6,7的最小公倍數(shù)，9,

6,7的最小公倍數(shù)是126.所以,至少須要這種長方體木塊

田歸5292（塊）

［注］上述兩題都是利用最小公倍數(shù)的概念進(jìn)行“拼圖”的問題，前一

題是平面圖形，后一題是立體圖形，思索方式相同，后者可看作是前者的

推廣.將平面問題推廣為空間問題是數(shù)學(xué)家喜愛的探討問題的方式之一.

希望引起小摯友們留意.

5.90

依題意知,從第一次同時發(fā)車到其次次同時發(fā)車的時間是3,5,9,15和

10的最小公倍數(shù).

因為3,5,9,15和10的最小公倍數(shù)是90,所以從第一次同時發(fā)車后90

分鐘乂同時發(fā)其次次車.

6.5

依題意得

花生總粒數(shù)二12x第一群猴子只數(shù)

二15x其次群猴子只數(shù)

二20x第三群猴子只數(shù)

由此可知,花生總粒數(shù)是12,15,20的公倍數(shù),其最小公倍數(shù)是60.花生

總粒數(shù)是60,120,180,……，則

第一群猴子只數(shù)是5,10,15,

其次群猴子只數(shù)是4,8,12,

第三群猴子只數(shù)是3,6,9,……

所以，三群猴子的總只數(shù)是12,24,36,…….因此，平均分給三群猴

子,每只猴子所得花生粒數(shù)總是5粒.

7.421

依題意知，這個數(shù)比2、3、4、5、6、7的最小公倍數(shù)大1,2、3、4、5、

6、7的最小公倍數(shù)是420,所以這個數(shù)是421.

8.999768

由題意知,最大的六位數(shù)是3,7,8,11的公倍數(shù),而3,7,8,11的最小公

倍數(shù)是1848.

因為999999:1848=541……231,由商數(shù)和余數(shù)可知符合條件的最大六

位數(shù)是1848的541倍，或者是999999與231的差.所以，符合條件的六位

數(shù)是999999-231=999768.

9.3

依據(jù)題目要求，有相同質(zhì)因數(shù)的數(shù)不能分在一

組,26=2x13,91=7x13,143=11x13,所以，所分組數(shù)不會小于3.下面給出一

種分組方案：

(1)26,33,35；(2)34,91；(3)63,85,143.

因此，至少要分成3組.

［注］所求組數(shù)不肯定等于出現(xiàn)次數(shù)最多的質(zhì)因數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)，如

15=3x5,21=3x7,35=5x7,3,5,7各出現(xiàn)兩次，而這三個數(shù)必需分成三

組，而不是兩組.

除了上述分法之外，還有多種分組法,下面再給出三種：

(1)26,35；33,85,91；34,63,143.

(2)85,143,63；26,33,35；34,91.

(3)26,85,63；91,34,33；143,35.

10.77

依據(jù)“甲乙的最小公倍數(shù)x甲乙的最大公因數(shù)二甲數(shù)x乙數(shù)”，將

210x330分解質(zhì)因數(shù)，再進(jìn)行組合有

210x330=2x3x5x7x2x3x5x11

=22x32x52x7xll

=(2x3x5)x(2x3x5x7x11)

因此，它們的最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的7x11=77(倍).

11.依據(jù)題意,先求出8,10,16的最小公倍數(shù)是80,即從第一次三車

同時發(fā)出后,每隔80分鐘又同時發(fā)車.

從早上6:00至20:00共14小時,求出其中包含多少個80分鐘.

60x14-80=10-40分鐘

由此可知,20:00前40分鐘，即19:20為最終一次三車同時發(fā)車的時

刻.

12.甲乙兩數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的兩個商是互質(zhì)數(shù).

而這兩個互質(zhì)數(shù)的乘積,恰好是甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)除以它們的最大公

因數(shù)所得的商一一12.這一結(jié)論的依據(jù)是：

（我們以“約”代表兩數(shù)的最大公因數(shù)，以“倍”代表兩數(shù)的最小公倍

數(shù)）

甲數(shù)x乙數(shù)二倍x約

甲裝數(shù)銬,所以：

約X約約X約

甲數(shù)乙數(shù)倍甲數(shù)乙數(shù)19

約約約約約

將12變成互質(zhì)的兩個數(shù)的乘積：

①12=4x3,②12=1x12

先看①，說明甲乙兩數(shù)：一個是它們最大公因數(shù)的4倍，一個是它們最

大公因數(shù)的3倍.

甲乙兩數(shù)的差除以上述互質(zhì)的兩數(shù)（即4和3）之差,所得的商，即甲乙

兩數(shù)的最大公因數(shù).

18+(4-3)二18

甲乙兩數(shù)，一個是：18x3=54,另一個是：18x4=72.

再看②,18+(12