吉林省松原市第一中學(xué)2025屆八下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

吉林省松原市第一中學(xué)2025屆八下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列命題是真命題的是（）A．相等的角是對(duì)頂角B．兩直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等C．若，則D．有一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)菱形相似2．如圖，四邊形ABCD是菱形，圓O經(jīng)過點(diǎn)A、C、D，與BC相交于點(diǎn)E，連接AC、AE．若，則（）A． B． C． D．3．四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件：；；；，從中任選兩個(gè)條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有A．2種 B．3種 C．4種 D．5種4．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，要使它變?yōu)榱庑?，需要添加的條件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，垂足為E，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，AB＝20，S△CAD＝30，則DE的長度是（）A．6 B．8 C． D．96．若一組數(shù)據(jù)2，3，，5，7的眾數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()A．2 B．3 C．5 D．77．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)、DE＝3，那么BC的長為()A．4 B．5 C．6 D．78．下面四個(gè)圖案分別是步行標(biāo)志、禁止行人通行標(biāo)志、禁止駛?cè)霕?biāo)志和直行標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．9．下列命題：①任何數(shù)的平方根有兩個(gè)；②如果一個(gè)數(shù)有立方根，那么它一定有平方根；③算術(shù)平方根一定是正數(shù)；④非負(fù)數(shù)的立方根不一定是非負(fù)數(shù).錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．410．某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗(yàn)效果時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，服藥后血液中的含藥量逐漸增多，一段時(shí)間后達(dá)到最大值，接著藥量逐步衰減直至血液中含藥量為0，每毫升血液中含藥量（微克）隨時(shí)間（小時(shí)）的變化如圖所示，下列說法：（1）2小時(shí)血液中含藥量最高，達(dá)每毫升6微克.（2）每毫升血液中含藥量不低于4微克的時(shí)間持續(xù)達(dá)到了6小時(shí).（3）如果一病人下午6:00按規(guī)定劑量服此藥，那么，第二天中午12:00，血液中不再含有該藥，其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．3二、填空題(每小題3分,共24分)11．一組數(shù)據(jù)：23，32，18，x，12，它的中位數(shù)是20，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______.12．計(jì)算：＝___________.13．如圖，第、、、…中分別有“小正方形”個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)…，則第幅圖中有“小正方形”__________個(gè)．(1)(2)(3)(4)14．某中學(xué)隨機(jī)地調(diào)查了50名學(xué)生，了解他們一周在校的體育鍛煉時(shí)間，結(jié)果如下表所示：時(shí)間（小時(shí)）5678人數(shù)1015205則這50名學(xué)生這一周在校的平均體育鍛煉時(shí)間是____小時(shí)．15．把兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B，C，D在同一直線上．若AB=，則CD=_____．16．如圖是一種貝殼的俯視圖，點(diǎn)C分線段AB近似于黃金分割（AC>BC）．已知AB=10cm，則AC的長約為__________cm．（結(jié)果精確到0.1cm）17．如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，AB=2，AD=1，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）．點(diǎn)F（x，0）在邊AB上運(yùn)動(dòng)，若過點(diǎn)E、F的直線將矩形ABCD的周長分成2：1兩部分，則x的值為__．18．命題“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”的逆命題是_____________．三、解答題(共66分)19．（10分）已知：如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，菱形的周長為8，∠ABC=60°，求BD的長和菱形ABCD的面積．20．（6分）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個(gè)單位長度，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．（1）畫出關(guān)于軸的對(duì)稱圖形，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）畫出將先向下平移4個(gè)單位，再向右平移3單位得到的，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)．21．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=OB=8，OD=1，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn).（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，C______（2）求直線CD的解析式；（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、D、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（8分）如圖，高速公路的同一側(cè)有A、B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，且A′B′＝8km.（1）要在高速公路上A′、B′之間建一個(gè)出口P，使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小.請(qǐng)?jiān)趫D中畫出P的位置，并作簡單說明.（2）求這個(gè)最短距離．23．（8分）在正方形AMFN中，以AM為BC邊上的高作等邊三角形ABC，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)D，D點(diǎn)恰好落在NF上，連接BD，AC與BD交于點(diǎn)E，連接CD，(1)如圖1，求證：△AMC≌△AND；(2)如圖1，若DF=，求AE的長；(3)如圖2,將△CDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）,點(diǎn)C,F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接、，點(diǎn)G是的中點(diǎn),連接AG，試探索是否為定值，若是定值，則求出該值；若不是，請(qǐng)說明理由.24．（8分）（1）計(jì)算：；（2）先化簡，再求值：（-4）÷，其中x=1．25．（10分）已知關(guān)于x的方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0，（1）求證：無論m取何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形腰長為4，另兩邊恰好是此方程的根，求此三角形的另外兩條邊長.26．（10分）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，請(qǐng)你用無刻度的直尺，在CD邊上畫出點(diǎn)F，使四邊形AECF為平行四邊形，并說明理由．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解析】

A錯(cuò)誤，對(duì)頂角相等，但相等的角不一定是對(duì)頂角．B錯(cuò)誤，兩直線平行時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角相等．C錯(cuò)誤，當(dāng)m和n互為相反數(shù)時(shí)，，但m≠n．故選D2、B【解析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論，【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠D=78°，∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°，∵四邊形AECD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB?∠ACE=27°，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】

根據(jù)題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進(jìn)行分析即可．【詳解】①②組合可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形．③④組合可根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形．①③可證明△ABO≌△CDO，進(jìn)而得到AB=CD，可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，判定出四邊形ABCD為平行四邊形．①④可證明△ABO≌△CDO，進(jìn)而得到AB=CD，可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，判定出四邊形ABCD為平行四邊形．故選C【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理，屬于中檔題．4、C【解析】

要使四邊形ABCD是菱形，根據(jù)題中已知條件四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分可以運(yùn)用方法“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”或“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，添加AC⊥BD或AB=BC．【詳解】∵四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴要使四邊形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB=BC，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了菱形的判定方法，關(guān)鍵是熟練把握菱形的判定方法①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形．具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來確定．5、B【解析】

根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CD，根據(jù)三角形面積求得CE，然后根據(jù)勾股定理即可求得DE．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，AB=20，

∴CD=AD=BD=10，

∵S△CAD=30，CE⊥AB，垂足為E，

∴S△CAD=AD?CE=30

∴CE=6，

∴DE=故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是掌握這個(gè)性質(zhì)的運(yùn)用.6、C【解析】試題解析：∵這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7，∴x=7，則這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：2，3，1，7，7，中位數(shù)為：1．故選C．考點(diǎn)：眾數(shù)；中位數(shù).7、C【解析】

根據(jù)三角形的中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”，有DE=BC，從而求出BC．【詳解】解：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．

∴DE是△ABC的中位線，

∴BC=2DE，

∵DE=3，

∴BC=2×3=1．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．8、C【解析】試題解析：A、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形；

B、不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；

C、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；

D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．

故選C．點(diǎn)睛：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．9、D【解析】【分析】根據(jù)立方根和平方根的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答，正數(shù)的平方根有兩個(gè)，1的平方根只有一個(gè)，任何實(shí)數(shù)都有立方根，則非負(fù)數(shù)才有平方根，一個(gè)數(shù)的立方根與原數(shù)的性質(zhì)符號(hào)相同，據(jù)此進(jìn)行答題．【詳解】①1的平方根只有一個(gè)，故任何數(shù)的平方根都有兩個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤；②負(fù)數(shù)有立方根，但是沒有平方根，故如果一個(gè)數(shù)有立方根，那么它一定有平方根結(jié)論錯(cuò)誤；③算術(shù)平方根還可能是1，故算術(shù)平方根一定是正數(shù)結(jié)論錯(cuò)誤；④非負(fù)數(shù)的立方根一定是非負(fù)數(shù)，故非負(fù)數(shù)的立方根不一定是非負(fù)數(shù)，錯(cuò)誤的結(jié)論①②③④，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查立方根、平方根和算術(shù)平方根的知識(shí)點(diǎn)，注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；1的平方根是1；負(fù)數(shù)沒有平方根．立方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的立方根式正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，1的立方根式1．10、D【解析】

通過觀察圖象獲取信息列出函數(shù)解析式，并根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可?！驹斀狻拷猓河蓤D象可得，服藥后2小時(shí)內(nèi)，血液中的含藥量逐漸增多，在2小時(shí)的時(shí)候達(dá)到最大值，最大值為每毫升6微克，故（1）是正確的；設(shè)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，設(shè)y=kx，∴2k=6，解得k=3∴y=3x當(dāng)y=4時(shí)，x=設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b，得解得a=-;b=∴y=-x+當(dāng)y=4時(shí)，x=∴每毫升血液中含藥量不低于4微克的時(shí)間持續(xù)-小時(shí)，故（2）正確把y=0代入y=-x+得x=18前一天下午六點(diǎn)到第二天上午12點(diǎn)時(shí)間為18小時(shí)，所以（3）正確。故正確的說法有3個(gè).故選：D【點(diǎn)睛】主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力．要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實(shí)際意義得到正確的結(jié)論．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【解析】

根據(jù)23，32，18，x，12，它的中位數(shù)是20，可求出x的值，再根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算得出結(jié)果即可．【詳解】解：∵23，32，18，x，12，它的中位數(shù)是20，∴x＝20，平均數(shù)為：（23＋32＋18＋20＋12）÷5＝1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、平均數(shù)的意義和求法，將一組數(shù)據(jù)從小到大排列后處在中間位置的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)．12、【解析】

解:2-=故答案為:13、109【解析】

仔細(xì)觀察圖形的變化規(guī)律，利用規(guī)律解答即可.【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)：第（1）個(gè)圖中有1×2-1=1個(gè)小正方形；第（2）個(gè)圖中有2×3-1=5個(gè)小正方形；第（3）個(gè)圖中有3×4-1=11個(gè)小正方形；第（4）個(gè)圖中有4×5-1=19個(gè)小正方形；…第（10）個(gè)圖中有10×11-1=109個(gè)小正方形；故答案為109.【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，利用圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字的運(yùn)算規(guī)律解決問題.14、6.4【解析】試題分析：體育鍛煉時(shí)間=（小時(shí)）.考點(diǎn)：加權(quán)平均數(shù).15、【解析】

先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF==∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，故答案為-1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．16、6.2【解析】

根據(jù)黃金分割的計(jì)算公式正確計(jì)算即可.【詳解】∵點(diǎn)C分線段AB近似于黃金分割點(diǎn)（AC>BC），∴AC=，∵AB=10cm，∴AC=，故答案為：6.2.【點(diǎn)睛】此題考查黃金分割點(diǎn)的計(jì)算公式，正確掌握公式是解題的關(guān)鍵.17、或﹣．【解析】

試題分析：當(dāng)點(diǎn)F在OB上時(shí)，設(shè)EF交CD于點(diǎn)P，可求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，1）．則AF+AD+DP=3+x，CP+BC+BF=3﹣x，由題意可得：3+x=2（3﹣x），解得：x=．由對(duì)稱性可求當(dāng)點(diǎn)F在OA上時(shí)，x=﹣，故滿足題意的x的值為或﹣．故答案是或﹣．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題．18、矩形的對(duì)角線相等【解析】

根據(jù)逆命題的定義：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的逆命題，原命題的條件是對(duì)角線相等，結(jié)論是矩形，互換即可得解.【詳解】原命題的條件是：對(duì)角線相等的四邊形，結(jié)論是：矩形；則逆命題為矩形的對(duì)角線相等.【點(diǎn)睛】此題主要考查對(duì)逆命題的理解，熟練掌握，即可解題.三、解答題(共66分)19、BD=2，S菱形ABCD=2．【解析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=BC=2，AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，然后證明△ABC是等邊三角形，進(jìn)而求出AC的長度，再利用勾股定理即可得出BD的長度，最后利用S菱形ABCD=AC×BD即可求出面積．【詳解】∵菱形ABCD的周長為8，∴AB=BC=2，AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC=2，∴AO=1．，∴BO==，∴BD=，∴S菱形ABCD=AC×BD=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20、（1）圖詳見解析，；（2）圖詳見解析，【解析】

（1）分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可．（2）分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可．【詳解】解：（1）△如圖所示．，，；（2）△如圖所示．，，．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱變換，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．21、（1）C4,4；（2）y=43x-43；（3）點(diǎn)F的坐標(biāo)是【解析】

（1）根據(jù)A（8,0）B（0,8），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由OD=1，故D（1,0），再由C點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求解；（3）根據(jù)A、C、D的坐標(biāo)及平行四邊形的性質(zhì)作圖分三種情況進(jìn)行求解【詳解】解：（1）∵A（8,0）B（0,8），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)∴C（2）由已知得點(diǎn)D的坐標(biāo)為1,0，設(shè)直線CD的解析式是y=ax+b，則a+b=04a+b=4，解得a=∴直線CD的解析式是y=4（3）存在點(diǎn)F，使以A、C、D、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，①如圖1，∵CF平行且等于DA，相當(dāng)于將點(diǎn)C向右平移7個(gè)單位，故點(diǎn)F的坐標(biāo)是11,4.②如圖2，∵AF∥CD，∴AF所在的直線解析式為y=4把A（8,0）代入解得AF所在的直線的解析式是y=4根據(jù)A（8,0），B（0,8）求出AB直線的解析式為y=-x+8,∵DF∥AB,∴DF所在的直線解析式為y=-x+b把D（1,0）代入y=-x+b2求得DF所在的直線的解析式是聯(lián)立y=43x-323y=-x+1，解得：③如圖3，當(dāng)CF平行且等于AD時(shí)，相當(dāng)于將點(diǎn)C向左平移7個(gè)單位，故點(diǎn)F的坐標(biāo)是-3,4.綜上，可得點(diǎn)F的坐標(biāo)是11,4，5,-4，-3,4.【點(diǎn)睛】此題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法求解析式及平行四邊形的性質(zhì).22、這個(gè)最短距離為10km.【解析】分析：（1）作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC交MN于點(diǎn)P，連接PA，此時(shí)PA+PB的值最小．（2）作CD⊥BB1的延長線于D，在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC即可；詳解：（1）作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC交MN于點(diǎn)P，連接PA，此時(shí)PA+PB的值最?。?）作CD⊥BB1的延長線于D，在Rt△BCD中，BC==10，∴PA+PB的最小值=PB+PC=BC=10(km)．點(diǎn)睛：本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，軸對(duì)稱-最短問題、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．23、（1）見解析；（2）AE＝；（3）（3），理由見解析.【解析】

（1）運(yùn)用四邊形AMFN是正方形得到判斷△AMC,△AND是Rt△，進(jìn)一步說明△ABC是等邊三角形，在結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可證明.（2）過E作EG⊥AB于G,在BC找一點(diǎn)H，連接DH,使BH=HD，設(shè)AG＝，則AE=GE=，得到△GBE是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，判定Rt△AMC≌Rt△AND，最后通過計(jì)算求得AE的長；（3）延長F1G到M,延長BA交的延長線于N,使得，可得≌，從而得到，可知∥,再根據(jù)題意證明≌，進(jìn)一步說明是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.【詳解】（1）證明：∵四邊形AMFN是正方形，∴AM=AN∠AMC=∠N=90°∴△AMC,△AND是Rt△∵△ABC是等邊三角形∴AB=AC∵旋轉(zhuǎn)后AB=AD∴AC=AD∴Rt△AMC≌Rt△AND(HL)（2）過E作EG⊥AB于G,在BC找一點(diǎn)H，連接DH,使BH=HD，設(shè)AG＝則AE=GE=易得△GBE是等腰直角三角形∴BG=EG＝∴AB=BC=易得∠DHF=30°∴HD=2DF=，HF=∴BF=BH+HF=∵Rt△AMC≌Rt△AND(HL)∴易得CF=DF=∴BC=BF-CF=∴∴∴AE＝（3）；理由：如圖2中,延長F1G到M,延長BA交的延長線于N,使得,則≌,∴,∴∥,∴∵∴∴,∵∴≌（SAS）∴∴∴是等腰直角三角形∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、三角形全等、以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，但解答的關(guān)鍵是正確做