山東省臨沂市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年下學(xué)期5月月考高一數(shù)學(xué)試題（答案解析）

第頁，共頁臨沂市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年度下學(xué)期高一月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對應(yīng)的點為，因為對應(yīng)的點位于第四象限，得，解得.故選：C.2.平行四邊形中，，，，是線段的中點，則（）A．0 B．2 C．4 D．【答案】C【解析】如圖，根據(jù)題意：，，且，，，．故選：．3.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4，方差是2，那么另一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)，方差分別是（

）A．12，10 B．12，4 C．10，4 D．10，18【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差公式結(jié)合題意求解即可.【詳解】因為一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4，方差是2，所以，，所以數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，方差為，故選：D4.已知正方形的邊長為2，以為邊作正三角形，使得位于直線的兩側(cè)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點，以為軸非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，由正三角形及正方形的邊長為2可知，，所以.故選：D5.為了解高三學(xué)生對“社會主義核心價值觀”的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)從全年級1004人中抽取50人參加測試．首先由簡單隨機抽樣剔除4名學(xué)生，然后剩余的1000名學(xué)生再用系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則（

）A．每個學(xué)生入選的概率均不相等 B．每個學(xué)生入選的概率可能為0C．每個學(xué)生入選的概率都相等，且為 D．每個學(xué)生入選的概率都相等，且為【答案】C【分析】根據(jù)簡單隨機抽和系統(tǒng)抽樣都是等可能抽樣以及概率公式計算可得結(jié)果.【詳解】因為簡單隨機抽和系統(tǒng)抽樣都是等可能抽樣，所以每個學(xué)生入選的概率都相等，且入選的概率等于.故選：C.6.氣象臺預(yù)報“本市未來三天降雨的概率都為30%”，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計未來三天降雨的情況：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三天降雨的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：907

966

191

925

271

932

815

458

569

683431

257

393

027

556

481

730

113

537

989據(jù)此估計，未來三天恰有一天降雨的概率為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】C【分析】由隨機數(shù)組確定表示降雨的隨機數(shù)組后可得概率．【詳解】表示未來三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8個，概率為，故選：C．7.在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，是直角三角形，，在中解出即可得到體積.【詳解】由已知，是直角三角形，且即為與平面所成的角，即，，則，則.長方體的體積.故選：C.8.如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量線性運算及平面向量基本定理求出、的值，依題意可得為等邊三角形，求出，再由余弦定理求出即可；【詳解】解：設(shè)，則，，解得．因為，所以，又，，所以為等邊三角形，所以，，由余弦定理，所以；故選：B選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系，并給出公式（為虛數(shù)單位，為自然對數(shù)的底數(shù)），這個公式被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.據(jù)此公式，下列說法正確的是（

）A．表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于第一象限B．C．D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題設(shè)中的公式和復(fù)數(shù)運算法則，逐項計算后可得正確的選項．【詳解】解：對于A：，因為，所以，，所以表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于第二象限，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：由，，所以，所以，選項D正確；故選：BCD10.某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對隨機抽出的編號為1~1000的1000名學(xué)生進行了調(diào)查．調(diào)查中使用了兩個問題，問題1：你的編號是否為奇數(shù)？問題2：你是否吸煙？被調(diào)查者從設(shè)計好的隨機裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球50個，紅球50個）中摸出一個小球（摸完放回）：摸到白球則如實回答問題1，摸到紅球則如實回答問題2，回答“是”的人在一張白紙上畫一個“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧忌的給出真實的答案．最后統(tǒng)計得出，這1000人中，共有265人回答“是”，則下列表述正確的是（

）A．估計被調(diào)查者中約有15人吸煙 B．估計約有15人對問題2的回答為“是”C．估計該地區(qū)約有3%的中學(xué)生吸煙 D．估計該地區(qū)約有1.5%的中學(xué)生吸煙【答案】BC【分析】先求出回答問題2且回答的“是”的人數(shù)，從而估計出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比，即得解.【詳解】隨機抽出的1000名學(xué)生中，回答第一個問題的概率是，其編號是奇數(shù)的概率也是，所以回答問題1且回答的“是”的學(xué)生人數(shù)為，回答問題2且回答的“是”的人數(shù)為，從而估計該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為，估計被調(diào)查者中吸煙的人數(shù)為.故選：BC．11.球為正四面體的內(nèi)切球，，是球的直徑，點在正四面體的表面運動，則的最大值為______．【答案】【分析】設(shè)球的半徑為，利用正四面體的性質(zhì)可得，進而可得，然后根據(jù)向量線性運算及數(shù)量積的運算律可得，進而即得.【詳解】設(shè)球的半徑為，由題可知正四面體的高為，所以，解得，因為點在正四面體的表面運動，所以，所以.故答案為：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.口袋中裝有編號為①、②的2個紅球和編號為①、②、③、④、⑤的5個黑球，小球除顏色、編號外形狀大小完全相同，現(xiàn)從中取出1個小球，記事件A為“取到的小球的編號為②”，事件B為“取到的小球是黑球”，則______．【答案】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求得，，及事件同時發(fā)生的概率，利用概率的加法公式即可求解.【詳解】由古典概型得：，，，于是得．故答案為：.13.在樣本頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個長方形的面積和的，且樣本容量為140，則中間一組的頻數(shù)為____________．【答案】40【分析】根據(jù)頻率分布直方圖各小矩形面積之和為1，可以求出中間一個小長方形的面積，即該組的頻率，所以中間一組的頻數(shù)＝140頻率．【詳解】設(shè)中間一個小長方形面積為，其他8個長方形面積為，根據(jù)頻率分布直方圖各小矩形面積之和為1，得，則，即中間一組的頻率為，所以中間一組的頻數(shù)為．故答案為：40.14.已知為的重心，過點的直線與邊分別相交于點，若,則與的面積之比為_____.【答案】【分析】設(shè)，，利用三角形重心的性質(zhì)以及平面向量的運算法則可得，利用向量相等列方程組解得，可得，結(jié)合，利用三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，三點共線，可設(shè)，，為的重心，，，，解得，，，故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.已知，是的中點(1)若，求向量與向量的夾角的余弦值；(2)若是線段上的任意一點，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出數(shù)據(jù)，寫出向量與向量的坐標(biāo)，代入夾角公式，計算得答案；（2）設(shè)動點的坐標(biāo)，寫出各個向量的坐標(biāo)，代入計算得關(guān)于的目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合的取值范圍，求得最小值.（1）因為，所以，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．令，則，所以,設(shè)向量與向量的夾角為，所以；（2）因為，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值．16.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量數(shù)據(jù)得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)補全頻率分布直方圖；(2)若同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差；(3)當(dāng)一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于時，認(rèn)為該產(chǎn)品為合格品，求樣本中的產(chǎn)品為合格品的頻率．【答案】(1)作圖見解析(2)，(3)0.95【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為求出對應(yīng)的頻率，即可補全頻率分布直方圖；（2）根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得；（3）根據(jù)頻率分布直方圖求出產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于的頻率，即可得解.（1）解：由頻率分布直方圖得對應(yīng)的頻率為，由此補全頻率分布直方圖如圖：（2）解：由頻率分布直方圖可得平均數(shù)，方差．（3）解：質(zhì)量指標(biāo)值位于的頻率為．故樣本中的產(chǎn)品為合格品的頻率為．17.中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長．【詳解】（1），，∵，，∴．由正弦定理可知.（2）∵，，∴．設(shè)，則，在△與△中，由余弦定理可知，，，∵，∴，∴，解得，即．18.10月9日晚，2022年世界乒乓球團體錦標(biāo)賽在中國成都落幕.中國隊女團與男團分別完成了五連冠與十連冠的霸業(yè).乒乓球運動在我國一直有著光榮歷史，始終領(lǐng)先世界水平，被國人稱為“國球”，在某次團體選拔賽中，甲乙兩隊進行比賽，采取五局三勝制（即先勝三局的團隊獲得比賽的勝利），假設(shè)在一局比賽中，甲隊獲勝的概率為0.6，乙隊獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相對獨立.(1)求這場選拔賽三局結(jié)束的概率；(2)若第一局比賽乙隊獲勝，求比賽進入第五局的概率.【答案】(1)0.28(2)0.432【分析】(1)根據(jù)題意，找出這場選拔賽三局結(jié)束的事件，利用概率公式即可求解；(2)先找出滿足條件的基本事件，然后利用概率公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)“第i局甲勝”為事件，“第j局乙勝”為事件（i，，2，3，4，5），記“三局結(jié)束比賽”，則，∴；（2）設(shè)“第i局甲勝”為事件，“第j局乙勝”為事件（i，，2，3，4，5），記“決勝局進入第五局比賽”，則，∴.19.小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）分別取的中點，連接，由平面知識可知，，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取中點，由（