江蘇省無錫市太湖高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷滿分：150分時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A. B. C. D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的四則運算進行計算.【詳解】由，則，則.故選：B.2.已知不重合的直線m、n、l和平面，下列命題中真命題是（）A.如果l不平行于，則內(nèi)的所有直線均與l異面B.如果，，m、n是異面直線，那么n與相交C.如果，，m、n共面，那么D.如果，那么m平行于經(jīng)過n的任何平面【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點、線、面的位置關(guān)系并結(jié)合圖形即可判斷答案.【詳解】對于A，當(dāng)l與相交與點時，在平面內(nèi)，過點的直線與l都是共面的，故A錯誤；對于B，如圖1，可能是，故B錯誤；對于C，設(shè)m、n共面于平面，由，可得,由，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，故C正確；對于D，若，則m平行于經(jīng)過n的任何平面或m在經(jīng)過n的平面內(nèi)，故D錯誤．故選：C.3.如圖，已知等腰直角三角形是一個平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）A.4 B.8 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面圖形和直觀圖的關(guān)系，即可求解.【詳解】畫出原平面圖形，根據(jù)平面圖形和直觀圖的關(guān)系可知，，則，則，，所以這個平面圖形的面積為.故選：C4.已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則（）A. B. C.6 D.10【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標系，可得，再根據(jù)平面向量的線性運算及數(shù)量積的坐標表示直接計算即可.【詳解】建立平面直角坐標系，如圖所示，易得，則，所以.故選：D.5.已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：如圖為等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體，，故選B．考點：圓錐的體積公式．6.設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是x軸，y軸正方向的單位向量．若，則把有序?qū)崝?shù)對叫做向量在斜坐標系中的坐標，記作；若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)定義可得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】由題意，，與夾角為，且，則，則.故選：D.7.在中，，的平分線AD交BC邊于點D，的面積是的面積的2倍，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合等面積法可得，，解出，進而求解即可.【詳解】由題意，AD為的平分線，，則，由，則，即，①又，則，則，②由①②可得，，所以.故選：C.8.如圖，已知正三角形ABC的邊長為，其中心為，以為圓心作半徑為的圓，點M為圓上任意一點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接交于點，連接，建立平面直角坐標系，設(shè)，，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標表示及輔助角公式可得，進而結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】連接交于點，連接，在正三角形ABC中，由于O為三角形ABC的中心，且三角形ABC的邊長為，則為中點，且，，，以為原點，平行于的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，則，由于，設(shè)，，則，，所以，由于，則.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若，則或C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運算依次判斷選項即可.【詳解】對于A，設(shè)，則，所以，又，所以，故A正確；對于B，設(shè)，滿足，此時且，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，，滿足，而，故C錯誤；對于D，由，則是的共軛復(fù)數(shù)，則，故D正確.故選：AD.10.如圖，為圓錐底面圓的直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為B.三棱錐體積的最大值為C.圓錐外接球體積為D.若，為線段上的動點，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】代入圓錐的側(cè)面積公式，判斷A，根據(jù)點的位置，確定三棱錐體積的最大值，判斷B，根據(jù)題中的條件，確定圓錐的外接球的球心和半徑，判斷C，翻折，使四點共面，即可確定的最小值.【詳解】由條件可知，，圓錐的側(cè)面積為，故A錯誤；B.當(dāng)是的高時，此時的面積和三棱錐的體積最大，體積的最大值是，故B正確；C.因為，所以圓錐外接球的球心即為點，半徑為，所以外接球的體積為，故C正確；D.若，則是等腰直角三角形，，，所以是等邊三角形，如圖，將沿翻折，使四點共面，此時三點共線時，的最小值是，中，，由余弦定理可知，，故D正確.故選：BCD11.點O為所在平面內(nèi)一點，且，則下列選項正確的是（）A.B.直線AO必過BC邊的中點C.D.若，且，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)平面向量的線性運算判斷即可；對于B，先假設(shè)直線過邊的中點，設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運算可得，即可判斷；對于C，由可得，可得，進而求解判斷即可；對于D，平面向量的數(shù)量積的運算律求解判斷即可【詳解】對于A，由，則，則，即，故A正確；對于B，若直線過邊的中點，設(shè)，則，故B錯誤；對于C，由，則，即則，故C正確；對于D，由，，且，則，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．若滿足條件的有兩個，則c的取值范圍是_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理用表示出，結(jié)合題意得到關(guān)于的不等式，解不等式即可.詳解】由正弦定理，可得，所以，若滿足條件的有兩個，即三角形有兩解，所以，且，則，即，解得，則c的取值范圍是.故答案為：.13.如圖，有一長為100m的斜坡AB，傾斜角為，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長坡面方法將其傾斜角改為（如圖），則坡底應(yīng)延長_______m．【答案】【解析】【分析】由題意，可得，再結(jié)合正弦定理求解即可.【詳解】由題意，可得，，在中，由正弦定理得，則，解得，則坡底應(yīng)延長.故答案為：.14.在中，O是的外心，G是的重心，且，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)重心、外心的性質(zhì)，由平面向量數(shù)量積的運算化簡可得，再利用余弦定理及基本不等式求解即可.【詳解】記內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，取的中點D，如圖，

因為O是的外心，所以，又G是的重心，所以為的中點，則，則，又，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，則的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)（，i是虛數(shù)單位）（1）若復(fù)數(shù)，且是實數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）6（2）【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)的運算法則化簡后可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的定義計算；（2）由復(fù)數(shù)的運算法則化簡后可得，再由對應(yīng)點所在象限求得參數(shù)范圍．【小問1詳解】由，，則，因為是實數(shù)，所以，即.【小問2詳解】由，，則，因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，所以，解得，則實數(shù)m的取值范圍為．16已知向量．（1）求向量在向量上的投影向量；（2）求向量與夾角為鈍角，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積、模的坐標表示，結(jié)合投影向量的定義求解即可；（2）由題意可得，且與不共線，進而求解即可.【小問1詳解】由，則，，所以向量在向量上的投影向量為.【小問2詳解】由，則，，因為向量與夾角為鈍角，所以，且與不共線，則，解得且，所以m的取值范圍為．17.如圖在四棱錐中，，分別是的中點，．（1）求證：平面；（2）若點F在棱上且滿足，平面，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作輔助線，結(jié)合中位線性質(zhì)先證明面面平行，再根據(jù)性質(zhì)得到線面平行；（2）已知線面平行，利用線面平行的性質(zhì)得到線線平行，再結(jié)合向量關(guān)系求出的值.【小問1詳解】取的中點，連接.因為是中點，是的中點，根據(jù)三角形中位線定理，所以在中，.又因為平面，平面，所以平面又因為，是的中點，是的中點，根據(jù)梯形中位線性質(zhì)，得到，又因為平面，平面，所以平面.并且，平面，則平面平面，且平面，所以平面.【小問2詳解】連接交于點，連接因為，所以.由，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)邊成比例，可得.因為平面，平面，平面平面，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)所以.所以在中，.因為，則.又因為，即，所以.18.在中，已知，，，，，CM與BN相交于點P．（1）求CM的長度；（2）若，求的值；（3）求的最小值，并求此時的余弦值．【答案】（1）（2）（3）的最小值為，的余弦值為【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運算可得，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算律求解即可；（2）根據(jù)平面向量共線的推論，可得，進而根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算律求解即可；（3）根據(jù)平面向量的線性運算及數(shù)量積的運算律，可得，即可得到時，取得最小值，進而得到，，進而根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算律及夾角的余弦公式求解即可.【小問1詳解】因為，則，則，則，即CM的長度為.【小問2詳解】當(dāng)時，，由于三點共線，則存在實數(shù)，使得，由于三點共線，則存在實數(shù)，使得，所以，解得，則，則.【小問3詳解】由，，，則，，所以，則時，取得最小值.此時，，則，，所以，，由（1）知，，所以.19.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若且，求的面積；（3）若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理及兩角和正弦公式化簡求解即可；（2）先根據(jù)兩角差的正切公式結(jié)合可得，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得，進而求