江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試題滿分150分考試時(shí)間120分鐘命題人：殷方婷審核人：張勇一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填在答題紙相應(yīng)位置上.1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則（）A.或 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由純虛數(shù)的概念，列得方程組，從而可求出的值.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，所以，由，得或，由，得，所以.故選：D.2.若向量，，則與的夾角為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用向量的平方即為模的平方求模，再求出，的數(shù)量積，再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到．【詳解】，，，，，設(shè)與夾角的余弦值為，，所以．故選：．3.若均為第二象限角，滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再代入兩角差的余弦公式計(jì)算，即可得出答案.【詳解】因?yàn)榫鶠榈诙笙藿牵瑵M足，，所以，所以.故選：D.4.設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量平行得到方程，求出答案.【詳解】向量與向量共線，設(shè)，故，解得.故選：B5.某地為響應(yīng)習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，大力開(kāi)展“青山綠水”工程，造福于民，擬對(duì)該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測(cè)量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測(cè)得，千米，千米，則，間的直線距離約為（）A.6千米 B.7千米 C.8千米 D.5千米【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦定理即可求得.【詳解】由余弦定理，，解得.故選：B.6.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則的面積為（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】用面積公式即可.【詳解】由已知，，，則.故選:B.7.已知，是方程的兩根，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得出韋達(dá)定理，利用和角的正切公式求出的值，結(jié)合角的范圍確定的值即可.【詳解】由題意，，則，因，則，故.故選：C.8.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用換元法結(jié)合二倍角公式求解即可.【詳解】令，而，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的每項(xiàng)2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列式子中成立的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由二倍角正弦公式即可計(jì)算求解；對(duì)于B，由兩角和正切公式即可計(jì)算求解；對(duì)于C，根據(jù)兩角和的正切公式即可計(jì)算求解；對(duì)于D，由二倍角正余弦公式和正切的定義即可計(jì)算求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì)．故選：BCD．10.已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則以下四個(gè)命題正確的有（）A.當(dāng)，，時(shí)，滿足條件的三角形共有1個(gè)B.若則這個(gè)三角形的最大角是C.若，則為銳角三角形D.若，則三角形為等腰三角形【答案】BD【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由正弦定理，，則，故不存在滿足條件的三角形，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由正弦定理，，設(shè)，則，由余弦定理，，因，則，故這個(gè)三角形的最大角是，即B正確；對(duì)于C，因，由余弦定理，，因，故角為銳角，但不能說(shuō)明為銳角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由和正弦定理，可得，即，因，故，所以，即，三角形為等腰三角形，故D正確.故選：BD11.下列說(shuō)法中正確的是（）A若，則，且方向相同B.若單位向量，夾角為，則向量在向量上的投影向量為C.對(duì)任意向量，，，都有D.是的所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則的面積是的面積的2倍【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)相等向量的定義判斷；對(duì)于B，利用投影向量公式判斷；對(duì)于C，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D，利用平面向量基本定理和數(shù)乘向量的意義即可計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正確；對(duì)于B，依題意，，則向量在向量上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C，對(duì)任意向量，，，與結(jié)果均為實(shí)數(shù)，設(shè)為，，則，，而與關(guān)系不明確，故得不到，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，分別取，則，即得，故，因，則，故，即的面積是的面積的2倍，故D正確.故選：ABD.三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題紙）12.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式與同角的三角函數(shù)關(guān)系式建立齊次式，化弦為切即可.【詳解】.故答案為：13.已知，，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由的范圍可得的范圍，從而可得的值，再由，結(jié)合余弦的差角公式代入計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)椋瑒t，則，又，所以，則，所以.故答案為：14.如圖所示，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于________________【答案】【解析】【分析】把作為基底，利用向量的加減法法則和平面向量基本定理把用基底表示出來(lái)，從而可得答案【詳解】為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，所以，，，.因此，，故答案為：.四、解答題：共5小題，共77分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位．（1）求（2）若，求的共軛復(fù)數(shù)；（3）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，即可得到結(jié)果；（2）由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可得到結(jié)果；（3）由復(fù)數(shù)的幾何意義，列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】，，，．【小問(wèn)3詳解】在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．16.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若求的值；（3）若向量，若與共線，求【答案】（1）（2）（3）18【解析】【分析】（1）由垂直向量的數(shù)量積為零，建立方程求得向量坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案；（2）由平行向量的坐標(biāo)表示，建立方程求得向量坐標(biāo)，利用向量的模長(zhǎng)公式，可得答案；（3）由向量坐標(biāo)運(yùn)算，求得向量坐標(biāo)，利用平行向量的坐標(biāo)表示，建立方程，可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，則，解得，故，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，則，.【小問(wèn)3詳解】，，若與共線，則，解得，即，故.17.在中，、、分別為角、、所對(duì)應(yīng)的邊，已知，，.（1）求的值；（2）在邊上取一點(diǎn)，使得，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由余弦定理求出邊，再由正弦定理即可求得的值；（2）由求出，再由正弦定理即可求得的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由余弦定理可得，，由正弦定理可得，，則【小問(wèn)2詳解】由，可知為鈍角，則，在中，由正弦定理，，則.18.（1）在中，角、、所對(duì)邊分別為、、，若，，且.求；（2）已知函數(shù)的最大值為3，求的值.（3）在（2）的前提下，若，，求的值.【答案】（1）；（2）1；（3）【解析】【分析】（1）利用余弦定理列式求解.（2）和二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出參數(shù)值.（3）利用（2）的信息求得，再利用二倍角公式、和角的余弦公式求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，整理得，則，所以.（2）函數(shù)，則，所以.（3）由（2）知，由，得，解得，由，得，，，，所以.19.如圖，我國(guó)南海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島與小島、小島相距都為，與小島相距為nmile．為鈍角，且．（1）求小島與小島之間的距離；（2）求四個(gè)小島所形成的四邊形的面積；（3）記為，為，求的值．【答案】（1）2nmile；（2）18平方海里；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)同角的平方關(guān)系求出，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解；（2）易知，則，利用余弦定理計(jì)算可得，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可求解；（3）方法1：根據(jù)正弦定理和同角的平方關(guān)系可得，由誘導(dǎo)公式求出，結(jié)合和兩角和的正弦公式計(jì)算即可求解.方法2：利用余弦定理和同角的平方關(guān)系計(jì)算求得，結(jié)合和兩角和的正弦公式計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】，