湖北省武漢市七校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析）

2024~2025學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高一年級數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2025年4月15日下午：16：15—18：15試卷滿分：150分一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.1 B.-2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡再求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，所以的虛部為1，故選：A2.的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（）A.4 B. C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】先求出，再根據(jù)與的面積之比為，得到答案.【詳解】由題意得，由三角形面積公式得，又與的面積之比為，故的面積為故選：C3.中，角所對的邊分別為，若，則（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得，再由邊角關(guān)系確定角的大小即可.【詳解】由題意，在中，則，所以，因?yàn)?，所以或，又，所以．故選：A4.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則函數(shù)y＝g(x)的圖象的一個(gè)對稱中心是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換規(guī)律，得到的解析式，求出它的對稱中心，結(jié)合選項(xiàng)，選出正確的一個(gè)對稱中心．【詳解】由題意可知：令，是函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心，故本題選A．【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的伸縮變換、對稱中心.5.已知向量滿足，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，由模長求解，再根據(jù)投影向量的公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A.6.如圖，在中，，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得到，由共線定理的推論得到方程，求出答案.【詳解】，故，，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，解得.故選：C7.在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】分析】根據(jù)面積關(guān)系建立方程關(guān)系，結(jié)合基本不等式1的代換進(jìn)行求解即可．【詳解】由題意得，即，所以，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.故選：D．8.已知函數(shù)，在曲線與直線的交點(diǎn)中，若相鄰交點(diǎn)的距離為.若且關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式得出，根據(jù)題意出函數(shù)的最小正周期，可求出的值，解題中的方程得出或，分析可知函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)榍€與直線的交點(diǎn)中，相鄰交點(diǎn)的距離為.所以函數(shù)的最小正周期為，可得，即，由可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，由可得，可得，解得，所以方程在上只有一個(gè)解，故方程在上有兩個(gè)不等的解，令，由可得，由可得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可知，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.棱臺的側(cè)面都是等腰梯形B.棱柱的側(cè)棱長都相等，但側(cè)棱不一定都垂直于底面C.過圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形D.以直角梯形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺【答案】BC【解析】【分析】利用棱臺的結(jié)構(gòu)特征判斷A；利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷B；利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征判斷C；利用圓臺的結(jié)構(gòu)特征判斷D.【詳解】對A，棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，但側(cè)面不一定是等腰梯形，如一條側(cè)棱垂直于底面，那么會(huì)有兩個(gè)側(cè)面為直角梯形，故A錯(cuò)誤；對B，棱柱的側(cè)棱長都相等，但側(cè)棱不一定都垂直于底面，故B正確；對C，因?yàn)槊織l腰都是母線，且圓錐的母線長度相等，因此過圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，故C正確；對D，以直角梯形的直角腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，下列說法中正確的是（）A.的模長為定值 B.為純虛數(shù)C.對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，，故模長為，A正確；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，計(jì)算出，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，，故的模長為，A正確；B選項(xiàng)，，為實(shí)數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，不在第二象限，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，共軛復(fù)數(shù)為，D正確.故選：AD11.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則下列說法正確的是（）A. B.C.函數(shù)為偶函數(shù) D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出的解析式，即可判斷A、B

，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C、D．【詳解】對于A，函數(shù)的部分圖象，可得，，，則．又，所以，，所以，，又，，，故A正確；對于B，由，，，故B正確；對于C，將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度得到，則為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確，故選：ABD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是兩個(gè)不共線的向量，向量.若，則__________.【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)向量平行，設(shè)，從而得到方程組，求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以設(shè)，故，解得.故答案為：-213.已知都是銳角，，則___________.【答案】##【解析】【分析】要求，先求，結(jié)合已知可有，利用兩角差的余弦公式展開可求.【詳解】、為銳角，，，由于為銳角，故答案為：14.已知函數(shù)（，），為的零點(diǎn)，為圖像的對稱軸，且在上單調(diào)，則的最大值為______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)已知條件，易得，再結(jié)合在上單調(diào)，可知，進(jìn)而可得的最大值.【詳解】由為的零點(diǎn)，得，即，，①又因?yàn)閳D像的對稱軸，得，，②聯(lián)立①②得：，故為奇函數(shù)，又因在上單調(diào)，所以，即，故，因?yàn)槠婧瘮?shù)，故，且檢驗(yàn)滿足在上單調(diào).故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查的正弦函數(shù)圖像性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵在于在上單調(diào)，可轉(zhuǎn)化為，但需驗(yàn)證結(jié)果是否滿足題意即可.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在梯形中，，，.（1）若，求的長；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行求解即可；（2）利用余弦定理進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，則.【小問2詳解】因?yàn)?，所?由余弦定理得，則，所以16.已知向量.（1）若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可知，即可求出參數(shù)值；（2）利用兩向量夾角為銳角的充要條件是且與不共線，從而可得不等式組求解即可.【小問1詳解】由題意可得，，若向量與共線，可得，解得.【小問2詳解】若向量與的夾角為銳角可得且與不共線，即可得，解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為且17.如圖，一個(gè)半徑為4的筒車按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心O距離水面的高度為米.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d（單位：）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則d與時(shí)間t（單位：）之間的關(guān)系為（1）求的值；（2）盛水筒出水后至少經(jīng)過多少時(shí)間就可以到達(dá)最高點(diǎn)？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)振幅得到，根據(jù)題意得到最小正周期，，由最值得到，代入特殊點(diǎn)函數(shù)值求出；（2）由（1）得到，從而得到方程，求出，求出最小值，得到答案.【小問1詳解】由題意，振幅等于半徑，即，逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)一圈，，，由題意，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以，又；【小問2詳解】由（1）可得，，令，則有，即，，，當(dāng)時(shí)，最小，，盛水筒出水后至少經(jīng)過25s就可以到達(dá)最高點(diǎn).18.在中，角，，所對的邊分別為，，，，.（1）求外接圓的面積；（2）若，，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式將原式化簡，再運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，得出角的大小，然后運(yùn)用正弦定理求解外接圓的半徑，從而得出外接圓的面積.（2）由及可解出，的大小，得出角的大小，進(jìn)而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周長.【詳解】（1）∵，∴，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，得，又，故，∴外接圓的半徑，∴外接圓的面積為.（2）由及得：，，∵，則為銳角，∴，故.如圖所示，在中，由余弦定理得，，解得，則的周長為.【點(diǎn)睛】解三角形時(shí)，若題目所給式子中含有角余弦或邊的二次式，則考慮用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；若以上特征不明顯，則兩個(gè)定理都有可能用到.19.如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，D為AB的中點(diǎn)，，過點(diǎn)O的直線交邊AB與點(diǎn)M，交邊AC于點(diǎn)N．（1）用，表示；（2）若，，求的值；（3）求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可得出，然后即可得出答案；（2）先根據(jù)已知結(jié)合（1）的結(jié)論得出，然后根據(jù)三點(diǎn)共線得出，即可得出答案；（3）先用得出，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可推得.根據(jù)（2）的結(jié)論可得出，，，換元，可得出.然后根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【小問1詳解】因?yàn)镈為BC中