廣東省惠州市惠東縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題(解析)_第1頁(yè)
廣東省惠州市惠東縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題(解析)_第2頁(yè)
廣東省惠州市惠東縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題(解析)_第3頁(yè)
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惠東縣2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)(2025.04)試卷共4頁(yè),卷面滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑:如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案:不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔,考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.().A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接按照向量的運(yùn)算法則即可得結(jié)果.【詳解】.故選:B.2.設(shè),則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】,所以,故選:D3.已知向量,,且,那么的值是()A. B.12 C.13 D.【答案】C【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求的值.【詳解】向量,,所以,因?yàn)椋?,解?故選:C.4.在△ABC中,若,則最大角的余弦值是()A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】大邊對(duì)大角,由余弦定理即可求解.【詳解】∵,∴所對(duì)的角C為最大角.由余弦定理得故選:B5.如圖,一個(gè)圓柱的底面半徑為,高為2,若它的兩個(gè)底面圓周均在球O的球面上,則球O的表面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)勾股定理可得球的半徑,然后利用球的表面積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,畫(huà)圖如下:則,,,故在中,,,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查球的表面積,屬基礎(chǔ)題.6.已知向量,向量,若與的夾角為,則自然數(shù)()A.1 B.3 C.5 D.9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式以及夾角列出的方程,求解即可【詳解】由,可得,整理可得:,解得或,故自然數(shù).故選:D.7.中,角,,的對(duì)邊長(zhǎng)分別為,,.若,,,則()A.10 B.5 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】先應(yīng)用兩角和差正弦結(jié)合誘導(dǎo)公式求解,再應(yīng)用正弦定理求解.【詳解】因?yàn)?,,,所以,則,由正弦定理得,所以.故選:B.8.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家,大約在公元222年,趙爽在為《周髀算經(jīng)》作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,亦稱(chēng)為“趙爽弦圖”.可類(lèi)似地構(gòu)造如圖所示的圖形,由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大的等邊三角形,設(shè),若,則的長(zhǎng)為()A.9 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè),利用已知條件得到各邊的長(zhǎng)度和的大小,代入余弦定理求解即可.【詳解】由題可知在中,,則,不妨設(shè),由知,則,又因?yàn)榕c全等,所以,由余弦定理可知,解得,而,所以,所以,故選:A二?多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列條件能使是()A. B.C. D.,【答案】BC【解析】【分析】由向量的模相等、向量相等、向量的模為0以及向量共線定理即可逐一判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A,向量模相等不一定能保證向量共線,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,能保證向量共線,且它們的模也相等,故B正確;對(duì)于C,等價(jià)于是零向量,而零向量可以和任何向量共線,故C正確;對(duì)于D,不存在任何實(shí)數(shù)使得,即方程組不可能成立,這意味著不能共線,故D錯(cuò)誤.故選:BC.10.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,,若解該三角形有且只有一解,則b的可能值為()A.6 B. C. D.8【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)三角形有唯一解的條件可得滿足的等式,從而可求其值.【詳解】如圖,當(dāng)時(shí),以為原點(diǎn),為半徑的圓與射線有且只有一個(gè)交點(diǎn),故此時(shí)三角形有唯一解.當(dāng)時(shí),為直角三角形且,此時(shí)三角形有唯一解.當(dāng),以為原點(diǎn),為半徑的圓與射線無(wú)交點(diǎn),故此時(shí)三角形不存在,當(dāng),以為原點(diǎn),為半徑的圓與射線有兩個(gè)公共點(diǎn),故此時(shí)三角形有兩解,故舍去.而,故選:BD.11.如圖,一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等,下列結(jié)論正確的是()A.圓柱的側(cè)面積為B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的體積等于圓錐與球的體積之和D.三個(gè)幾何體的表面積中,球的表面積最小【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)球、圓錐、圓柱的表面積公式,體積公式逐項(xiàng)計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A:圓柱的側(cè)面積為,所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B:圓錐側(cè)面積為,所以B選項(xiàng)正確.對(duì)于C:圓錐的體積為,圓柱的體積為,球的體積為,所以圓柱的體積等于圓錐與球的體積之和,所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D:球的表面積為,圓柱的表面積為,圓錐的表面積為,所以圓錐的表面積最小,故D錯(cuò)誤.故選:ABC.三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分12.在中,已知,則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理求解.【詳解】由余弦定理,,.故答案為:.13.已知圓錐的底面半徑為3,母線長(zhǎng)為6,則該圓錐的表面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式及表面積求法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閳A錐的底面半徑,母線,所以該圓錐的表面積為.故答案為:14.十七世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò):“幾何學(xué)里有兩件寶,一個(gè)是勾股定理,另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話,那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種,其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形,它是一個(gè)頂角為的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形).例如,五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成,如圖所示,在其中一個(gè)黃金中,.根據(jù)這些信息,可得___________.【答案】【解析】【分析】由題意,結(jié)合正弦定理有,可求,又,即可求出.【詳解】由題意知:若,則,得,而∴,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了利用正弦定理、二倍角正弦公式、誘導(dǎo)公式求角的正弦值,屬于中檔題.四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量.(1)求;(2)求向量的夾角的余弦值;(3)若與平行,求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)求出,用坐標(biāo)法求??傻媒Y(jié)果;(2)求出及的模,用坐標(biāo)法求向量夾角可得結(jié)果;(3)根據(jù)向量平行,用坐標(biāo)法求實(shí)數(shù)可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,所以,所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)?,,所以,,,所以【小?wèn)3詳解】依題意,,因?yàn)榕c平行,所以,解得.16.在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)若的面積,求的周長(zhǎng).【答案】(1);(2)6.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件,利用正弦定理邊化角,結(jié)合和角的正弦求解即得.(2)由(1)的結(jié)論,利用三角形面積求出,再利用余弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】在中,由,得,由正弦定理得,即,又,即,于是,由,得,因此,又,所以.【小問(wèn)2詳解】由的面積,得,得,又,由余弦定理,得,則,于是,解得,所以的周長(zhǎng)為.17.亭子是一種中國(guó)傳統(tǒng)建筑,多建于園林,人們?cè)谛蕾p美景的同時(shí)也能在亭子里休息、避雨、乘涼(如圖1).某學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用打印技術(shù)制作一個(gè)亭子模型(如圖2),該模型為圓錐與圓柱構(gòu)成的幾何體(圓錐的底面與圓柱的上底面重合).已知圓錐的高為18cm,母線長(zhǎng)為30cm,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形,AB為圓錐的底面直徑.圓柱的高為30cm,DC為圓柱下底面的直徑,且.(1)求圓錐的側(cè)面積;(2)求幾何體的體積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由勾股定理求出圓錐底面半徑,然后由側(cè)面積公式求解即可;(2)分別求出圓錐,圓柱的體積,然后求和即可求出幾何體的體積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A錐的高為18cm,母線長(zhǎng)為30cm,所以圓錐底面半徑為cm,所以圓錐的側(cè)面積為【小問(wèn)2詳解】由(1)可知,圓錐的體積為:,圓柱的體積為:,所以幾何體體積為:.18.在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,且.(1)求證:;(2)若為銳角三角形,且,求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)先應(yīng)用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化,再結(jié)合兩角和差的正弦公式計(jì)算應(yīng)用角的范圍即可證明;(2)先應(yīng)用正弦定理及合比定理,最后應(yīng)用余弦值域結(jié)合二次函數(shù)計(jì)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】由得,由正弦定理得.,得,即.因?yàn)椋瑸槿切蝺?nèi)角,所以,或(舍去),∴.小問(wèn)2詳解】∵,由正弦定理,得,,∴.又∵,∴,得.因?yàn)殇J角三角形,則,且,則,,解得,.∴.所以周長(zhǎng)的取值范圍為.19.在銳角中,角的對(duì)邊分別為,滿足.(1)求角的大小;(2)若,求面積的取值范圍;(3)“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題.該問(wèn)題是:“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn),使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小,”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答,當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí),使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn).若的面積為3,是否在內(nèi)部存在費(fèi)馬點(diǎn),使得為定值,若存在請(qǐng)求出該定值并說(shuō)明理由,若不存在也請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1);(2);(3)存在,定值為0,理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系將已知等式統(tǒng)一成正弦,然后利用正弦定理將其統(tǒng)一成邊的形式,再利用余弦定理可求得答案;(2)方法一:利用銳角三角形求得的范圍,然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍;方法二:由題意求得邊的取值范圍,然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍;方法三:數(shù)形結(jié)合,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,作與交于點(diǎn),利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍;(3)設(shè),在和中分別利用正弦定理表示出,然后代入化簡(jiǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】,,即,即,.【小問(wèn)2詳解】[方法一]【最優(yōu)解:利用銳角三角形求得的范圍,然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】因?yàn)槭卿J角三角形,又,所以,又,則,則,因?yàn)?,所以,則,從而,故面積的取值范圍是.[方法二]【由題意求得邊的取值范圍,然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍】由題設(shè)及(1)知.因?yàn)闉殇J角三角形,且,所以,即又由余弦定理得,所以,即,所以,故面積的取值范圍是.[方法三]【數(shù)形結(jié)合,利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】如圖,在中,

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