廣東省惠州市惠東縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析）

惠東縣2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（2025.04）試卷共4頁(yè)，卷面滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接按照向量的運(yùn)算法則即可得結(jié)果.【詳解】．故選：B.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】,所以，故選：D3.已知向量，，且，那么的值是（）A. B.12 C.13 D.【答案】C【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求的值.【詳解】向量，，所以，因?yàn)椋?，解?故選：C.4.在△ABC中，若，則最大角的余弦值是（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】大邊對(duì)大角，由余弦定理即可求解.【詳解】∵，∴所對(duì)的角C為最大角．由余弦定理得故選：B5.如圖，一個(gè)圓柱的底面半徑為，高為2，若它的兩個(gè)底面圓周均在球O的球面上，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)勾股定理可得球的半徑，然后利用球的表面積公式，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，畫(huà)圖如下：則，，，故在中，，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查球的表面積，屬基礎(chǔ)題.6.已知向量，向量，若與的夾角為，則自然數(shù)（）A.1 B.3 C.5 D.9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式以及夾角列出的方程，求解即可【詳解】由，可得，整理可得：，解得或，故自然數(shù).故選：D.7.中，角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，，.若，，，則（）A.10 B.5 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】先應(yīng)用兩角和差正弦結(jié)合誘導(dǎo)公式求解，再應(yīng)用正弦定理求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，則，由正弦定理得，所以.故選：B.8.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，趙爽在為《周髀算經(jīng)》作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱(chēng)為“趙爽弦圖”.可類(lèi)似地構(gòu)造如圖所示的圖形，由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大的等邊三角形，設(shè)，若，則的長(zhǎng)為（）A.9 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，利用已知條件得到各邊的長(zhǎng)度和的大小，代入余弦定理求解即可.【詳解】由題可知在中，，則，不妨設(shè)，由知，則，又因?yàn)榕c全等，所以，由余弦定理可知，解得，而，所以，所以，故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列條件能使是（）A. B.C. D.，【答案】BC【解析】【分析】由向量的模相等、向量相等、向量的模為0以及向量共線定理即可逐一判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，向量模相等不一定能保證向量共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，能保證向量共線，且它們的模也相等，故B正確；對(duì)于C，等價(jià)于是零向量，而零向量可以和任何向量共線，故C正確；對(duì)于D，不存在任何實(shí)數(shù)使得，即方程組不可能成立，這意味著不能共線，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，若解該三角形有且只有一解，則b的可能值為（）A.6 B. C. D.8【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)三角形有唯一解的條件可得滿足的等式，從而可求其值.【詳解】如圖，當(dāng)時(shí)，以為原點(diǎn)，為半徑的圓與射線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)三角形有唯一解.當(dāng)時(shí)，為直角三角形且，此時(shí)三角形有唯一解.當(dāng)，以為原點(diǎn)，為半徑的圓與射線無(wú)交點(diǎn)，故此時(shí)三角形不存在，當(dāng)，以為原點(diǎn)，為半徑的圓與射線有兩個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)三角形有兩解，故舍去.而，故選：BD.11.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的體積等于圓錐與球的體積之和D.三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)球、圓錐、圓柱的表面積公式，體積公式逐項(xiàng)計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：圓柱的側(cè)面積為，所以A選項(xiàng)正確．對(duì)于B：圓錐側(cè)面積為，所以B選項(xiàng)正確．對(duì)于C：圓錐的體積為，圓柱的體積為，球的體積為，所以圓柱的體積等于圓錐與球的體積之和，所以C選項(xiàng)正確．對(duì)于D：球的表面積為，圓柱的表面積為，圓錐的表面積為，所以圓錐的表面積最小，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.在中，已知，則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理求解.【詳解】由余弦定理，，.故答案為：.13.已知圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為6，則該圓錐的表面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式及表面積求法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閳A錐的底面半徑，母線，所以該圓錐的表面積為.故答案為：14.十七世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形).例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金中，.根據(jù)這些信息，可得___________.【答案】【解析】【分析】由題意，結(jié)合正弦定理有，可求，又，即可求出.【詳解】由題意知：若，則，得，而∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用正弦定理、二倍角正弦公式、誘導(dǎo)公式求角的正弦值，屬于中檔題.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量．（1）求；（2）求向量的夾角的余弦值；（3）若與平行，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出，用坐標(biāo)法求?？傻媒Y(jié)果；（2）求出及的模，用坐標(biāo)法求向量夾角可得結(jié)果；（3）根據(jù)向量平行，用坐標(biāo)法求實(shí)數(shù)可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，，，所以【小?wèn)3詳解】依題意，，因?yàn)榕c平行，所以，解得．16.在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若的面積，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦求解即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用三角形面積求出，再利用余弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】在中，由，得，由正弦定理得，即，又，即，于是，由，得，因此，又，所以．【小問(wèn)2詳解】由的面積，得，得，又，由余弦定理，得，則，于是，解得，所以的周長(zhǎng)為．17.亭子是一種中國(guó)傳統(tǒng)建筑，多建于園林，人們?cè)谛蕾p美景的同時(shí)也能在亭子里休息、避雨、乘涼（如圖1）.某學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作一個(gè)亭子模型（如圖2），該模型為圓錐與圓柱構(gòu)成的幾何體（圓錐的底面與圓柱的上底面重合）.已知圓錐的高為18cm，母線長(zhǎng)為30cm，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，AB為圓錐的底面直徑.圓柱的高為30cm，DC為圓柱下底面的直徑，且.（1）求圓錐的側(cè)面積；（2）求幾何體的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由勾股定理求出圓錐底面半徑，然后由側(cè)面積公式求解即可；（2）分別求出圓錐，圓柱的體積，然后求和即可求出幾何體的體積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A錐的高為18cm，母線長(zhǎng)為30cm，所以圓錐底面半徑為cm，所以圓錐的側(cè)面積為【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，圓錐的體積為：，圓柱的體積為：，所以幾何體體積為：.18.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求證：；（2）若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先應(yīng)用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，再結(jié)合兩角和差的正弦公式計(jì)算應(yīng)用角的范圍即可證明；（2）先應(yīng)用正弦定理及合比定理，最后應(yīng)用余弦值域結(jié)合二次函數(shù)計(jì)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】由得，由正弦定理得．，得，即．因?yàn)椋瑸槿切蝺?nèi)角，所以，或（舍去），∴．小問(wèn)2詳解】∵，由正弦定理，得，，∴．又∵，∴，得．因?yàn)殇J角三角形，則，且，則，，解得，．∴．所以周長(zhǎng)的取值范圍為．19.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，滿足.（1）求角的大小；（2）若，求面積的取值范圍；（3）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題.該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn).若的面積為3，是否在內(nèi)部存在費(fèi)馬點(diǎn)，使得為定值，若存在請(qǐng)求出該定值并說(shuō)明理由，若不存在也請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，定值為0，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系將已知等式統(tǒng)一成正弦，然后利用正弦定理將其統(tǒng)一成邊的形式，再利用余弦定理可求得答案；（2）方法一：利用銳角三角形求得的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍；方法二：由題意求得邊的取值范圍，然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍；方法三：數(shù)形結(jié)合，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，作與交于點(diǎn)，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍；（3）設(shè)，在和中分別利用正弦定理表示出，然后代入化簡(jiǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】，，即，即，.【小問(wèn)2詳解】[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】因?yàn)槭卿J角三角形，又，所以，又，則，則，因?yàn)?，所以，則，從而，故面積的取值范圍是.[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍】由題設(shè)及（1）知.因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，即又由余弦定理得，所以，即，所以，故面積的取值范圍是.[方法三]【數(shù)形結(jié)合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】如圖，在中，