2024年部分地區(qū)中考試題分類解析匯編(第34章概率初步)

（最新最全）2024年全國各地中考數(shù)學(xué)解析匯編（按章節(jié)考點整理）三十四章概率初步

34.1隨機事務(wù)與概率

（2024山東省聊城，3,3分）“拋一枚勻稱硬幣，落地后正面朝上”這一事務(wù)是（）

A.必定事務(wù)B.隨機事務(wù)C.確定事務(wù)D.不行能事務(wù)

解析：拋一枚勻稱硬幣，落地后有可能正面朝上、也有可能反面朝上.

答案：B

點評：必定事務(wù)與不行能事務(wù)屬于確定事務(wù)，事先可以確定是否發(fā)生；而隨機事務(wù)事先無法

預(yù)料能否發(fā)生.

（2024四川省資陽市，2,3分）下列事務(wù)為必定事務(wù)的是

A.小王參與本次數(shù)學(xué)考試，成果是150分

B.某射擊運動員射靶一次，正中靶心

C.打開電視機，CC7V第一套節(jié)目正在播放新聞

D.口袋中裝有2個紅球和1個白球，從中摸出2個球，其中必有紅球

【解析】必定事務(wù)是指確定會發(fā)生的事務(wù)，A是隨機事務(wù)，B是隨機事務(wù)，C是隨機事務(wù)，

D是必定事務(wù).

【答案】D

【點評】本題考查了必定事務(wù)和隨機事務(wù)的概念.要留意必定事務(wù)和隨機事務(wù)屬于可能事務(wù)，

還有一類是不行能事務(wù).難度較小.

（2024江蘇泰州市，5,3分）有兩個事務(wù)，事務(wù)A：367人中至少有兩人生日相同；事務(wù)B：

拋擲一枚勻稱的骰子，朝上的面點數(shù)為偶數(shù).下列說法正確的是

A.事務(wù)A、B都是隨機事務(wù)

B.事務(wù)A、B都是必定事務(wù)

C.事務(wù)A是隨機事務(wù)，事務(wù)B是必定事務(wù)

D.事務(wù)A是必定事務(wù)，事務(wù)B是隨機事務(wù)

【解析】必定事務(wù)是確定會發(fā)生的事務(wù)，A是必定事務(wù)，事務(wù)B是隨機事務(wù)

【答案】D

【點評】本題考杳了必定事務(wù)和隨機事務(wù)的概念.要留意必定事務(wù)和隨機事務(wù)屬于可能事務(wù),

還有一類是不行能事務(wù).

（2024年四川省德陽市，第8題、3分.）下列事務(wù)中，屬于確定事務(wù)的個數(shù)是

⑴打開電視，正在播廣告；

⑵投擲一枚一般的骰子，擲得的點數(shù)小于10；

⑶射擊運動員射擊一次，命中10環(huán)；

⑷在一個只裝有紅球的袋中摸出白球.

A.OB.1C.2D.3

【解析】＜1）和（3）都是不確定事務(wù)；（2）是確定會發(fā)生的，（4）是確定不會發(fā)生的；所

以（2）和（4）是確定事務(wù)。

【答案】C.

【點評】必定事務(wù)和不行能事務(wù)統(tǒng)稱為確定事務(wù)。確定事務(wù)就是100%會發(fā)生的事務(wù)。而隨

機事務(wù)是指有確定幾率發(fā)生，但不確定發(fā)生的事務(wù)

（2024湖南淅潭，6,3分）“湘潭是我家，愛惜靠大家”.自我市開展整治“六亂”行動以

來，我市學(xué)生更加自覺遵守交通規(guī)則.某校學(xué)生小明每天騎自行車上學(xué)時都要經(jīng)過一個十字

路口，該十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為,，遇到黃燈

3

的概率為:，那么他遇到綠燈的概率為

【解析】遇到綠燈的概率為1一,一'=3。

399

【答案】選D。

【點評】此題考查概率的概念。全部狀況的概率只和為1,用1減去其它狀況的概率就是遇

到綠燈的概率。

（2024湖南益陽,12,4分）有長度分別為20〃，3cm,4cm,7a〃的四條線段，任取其中

三條能組成三角形的概率是.

【解析】以3cm,4cmt7cm四條線段能組成三角形的狀況只有一種:2cm,3cm,4cm

而2c〃?，3cm,4cm,四條線段共有4種可能結(jié)果，依據(jù)概率定義得P（A）=■!"

4

【答案】-

4

【點評】主要考查以2cm,3cm,4az,7cm四條線段能組成三角形的狀況有幾種，這是關(guān)

鍵；其次是概率的定義：P（A）=-,共有幾種可能的垢果，此題和中學(xué)的組合學(xué)問有點關(guān)

m

聯(lián)，具有承上啟下之功效，

（2024貴州銅仁，16,4分一個不透亮的口袋中，裝有紅球6個，臼球9個，黑球3個，這

些球除顏色不同外沒有任何區(qū)分，從中隨意摸出一個球，則摸到黑球的概率為

【解析】口袋中共有6+9+3=18個球，而黑球有3個，所以依據(jù)概率的計算公式，可得

31

P（摸到黑球）=—

6+9+36

【解答】7-

6

【點評】此題考查了概率公式。假如一個事務(wù)有n種可能，而且這些事務(wù)的可能性相同，其

中事務(wù)A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事務(wù)A的概率P（A）=-

n

34.2用列舉法求概率

（2024安徽，8,4分）給甲乙丙三人打電話，若打電話的依次是隨意的，則第一個打電話

給甲的概率為（）

解析：第I個打電話給甲、乙、丙（因為次序是隨意的）的可能性是相同的，所以第一個打

電話給甲的概率是L.

3

解答：故選B.

點評：概率的計算一般是利用樹狀圖或列表把全部等可能性的狀況列出，然后再計算某一事

務(wù)的概率.其關(guān)鍵是找出仝部的等可能性的結(jié)果，本題不要受“打電話次序是隨意的”影響，

而排列打電話的依次，把問題困難化.

（2024浙江麗水3分，6題）分別寫有數(shù)字0,-1,-2,1,3的五張卡片，除數(shù)字不同外其

他均相同，從中任抽一張，那么抽到負數(shù)的概率是（）

3

【解析】：五張卡片中，有2張卡片是負數(shù)，故P（抽到負數(shù)）=1.

5

【答案】:C

【點評】：等可能性事務(wù)的概率的計算公式：P（A）=2,其中m是總的結(jié)果數(shù)，n是該

m

事務(wù)成立包含的結(jié)果數(shù).

（2024山東省臨沂市，6,3分）在四張完全相同的卡片上，分別畫有圓、菱形、等腰三角

形、等腰梯形，現(xiàn)從中隨機抽取一張，卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率是（）

【解析】???四張完全相同的卡片中只有圓和菱形是中心對稱圖形，二共4種等可能的結(jié)果，

所以產(chǎn)生卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率是2+4=」.

2

【答案】B

【點評】此題考查了概率公式的應(yīng)用.留意用到的學(xué)問點為：概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)

之比.

（2024山東泰安，15,3分）一個不透亮的布袋中有分別標著數(shù)字I、2、3、4的四個乒乓

球，現(xiàn)從袋中隨機摸出兩個乒乓球，則這兩個乒乓球上的數(shù)字之和大于5的概率為（）

1234

【解析】可用列表或畫樹狀圖的方法求概率，共有9種狀況，之和大于51\345

312354

有3種狀況，所以，P（和大于5）二-二一。\

93345\7

【答案】B.4567\

【點評】列表和畫樹狀圖是求概率常用的方法需駕馭，留意本題是摸出球

不放回問題。

5.（2024山東泰安，5,3分）從下列四張卡片中任取一張，卡片上的圖形是中心對稱圖形

的概率為（）

岫畫也回

311

A.0B.—C.—D.一

424

【解析】依據(jù)在同一平面內(nèi)，假如把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖

形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，四張卡片中只有第四張為中心對稱圖形，

所以任取一張是中心對稱圖形的概率是

4

【答案】D

【點評】軸對稱圖形、中心對稱圖形是歷年來各地必考的考點，判定圖形是否是中心對稱圖

形，實質(zhì)就是看圖形能否繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與本身重合，若重合，則是；否則不是中心

對稱圖形.

4.（2024連云港，3,3分）向如圖所示的正三角形區(qū)域扔沙包（區(qū)域中每一個小正三角形

除顏色外完全相同），假設(shè)沙包擊中每一個小正三角形是等可能的，扔沙包一次，擊中陰影

區(qū)域的概率等于

【解析】只要找出圖中陰影部分的面積占整個圖形面積的比即可;

【答案】擊中陰影區(qū)域的概率為一二二，答案為C。

168

【點評】本題用到的學(xué)問點為：概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比.

9.（2024浙江省義烏市，9,3分）義烏國際小商品博覽會某志愿小組有五名翻譯,其中一

名只會翻譯阿拉伯語，三名只會翻譯英語，還有一名兩種語言都會翻譯.若從中隨機選擇兩名

組成一組，則該組能夠翻譯上述兩種語言的概率是（）

【解析】全部可能性為：（阿拉伯，英語1）（阿拉伯，英語2）（阿拉伯，英語3）（阿

拉伯，阿拉伯英語）（英語1,英語2）（英語1,英語3）（英語1,阿拉伯語英語）；（英

語2,英語3）（英語2,阿拉伯語英語）（英語3,阿拉伯語英語），該組能夠翻譯上述兩

7

種語言的概率是正

【答案】B

【點評】此題考查概率的計算，可用列表法或樹狀圖列出全部可能的結(jié)果，然后得出結(jié)論.

16.（2024山東省聊城，16,3分）我市初中畢業(yè)男生體育測試成果有四項，其中“立定跳

遠”“100米跑”“肺活量測試”為必測項目，另一項為“引體向上”和“推鉛球”中選擇

一項測試.小亮、小明和大剛從“引體向上”和“推鉛球”中選擇同一個項目的概率是.

解析：首先分別用A,B代表“引體向上”與“推鉛球”，然后依據(jù)題意畫樹狀圖，繼而求

得全部等可能的結(jié)果與小亮、小明和大剛從“引體向上”或“推鉛球”中選擇同一個測試項

目的狀況，利用概率公式即可求得答案.

解：分別用A,B代表“引體向上”與“推鉛球”，畫梃狀圖得：

???共有8種等可能的結(jié)果，小亮、小明和大剛從“引體向上”或“推鉛球”中選擇同一個測

試項目的有2種狀況，

???小亮、小明和大剛從“引體向上”或“推鉛球”中選擇同一個測試項目的概率是：-

4

開始

AB

/\/\

ABAB

AAAA

ABABABAB

點評：此題考查了樹狀圖法求概率的學(xué)問.留意樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出全部可能

的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事務(wù)；留意概率二所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比.

13.（2024江蘇鹽城，13,3分）小勇第一次拋一枚質(zhì)地勻稱的硬幣時正面對上，他其次次

再拋這枚硬幣時，正面對上的概率是.

【解析】本題考會了概率的定義及計算方法.駕馭求概率的公式是關(guān)鍵.求解時只要分清事務(wù)

發(fā)生的可能結(jié)果，運用概率的定義即得.

【答案】其次次再拋這枚硬幣時，正面對上的概率是L.

2

【點評】本題考查簡潔事務(wù)概率計算.一般地，假如某個試驗共有n種可能出現(xiàn)結(jié)果，某種

m

事務(wù)A包含的結(jié)果共有m種，那么事務(wù)A發(fā)生概率P（A）=-（OWP（A）W1）.這是新課

n

標新增內(nèi)容.

13.（2024四川省南充市,13,4分）如圖，把一個圓形轉(zhuǎn)盤按1:2:3:4的比例分成A、B、C、

D四個扇形區(qū)域，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，停止后指針落在B區(qū)域的概率為.

（第13題出）

解析：：因為圓被等分成10份，其中B區(qū)域占2份，所以落在B區(qū)域的概率:2已=0.2.

10

答案：0.2

點評：本題考查幾何概率的求法：首先依據(jù)題意將各部分面積的比例，轉(zhuǎn)化為待求區(qū)域

的面積在總面積中占的比例，即得到該事務(wù)發(fā)生的概率。

12.(2024福州，12,4分，)一個袋子中裝有3個紅球和2個綠球，這些球除了顏色外都

相同，從袋子中隨機摸出一個球，則摸到紅球的概率為o

解析：一共5個球，隨機摸出一個球，其中每個球出現(xiàn)的概率相等，均為有3個紅球,

5

13

故摸到紅球的概率為《'3二子

答案：-

5

點評：本題設(shè)計以摸球的模型，讓學(xué)生感受不確定事務(wù)中事務(wù)的發(fā)生可能性及考查學(xué)生求概

率的基本方法，難度較小，

(2024江蘇泰州市，21,本題滿分8分)小明有2件上衣，分別為紅色和藍色，有3條褲

子，其中2條為藍色、1條為棕色.小明隨意拿出1件上衣和1條褲子穿上.請用畫樹狀圖

的方法列出全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求小明穿的上衣和褲子恰好都是藍色的概率.

【解析】分2步試驗列舉出全部狀況即可；看小明穿的上衣和褲子恰好都是藍色的狀況數(shù)占

總狀況數(shù)的多少即可.總狀況6種，小明穿的上衣和褲子恰好都是藍色占2種，所以小明

穿的上衣和褲子恰好都是藍色的概率是

3

【答案】

3

【點評】考查概率的求法；用到的學(xué)問點為：概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比：得到所求

的狀況數(shù)是解決本題的易錯點.

(2024連云港，21,10分)現(xiàn)有5根小木棒，長度分別為:2,3,4,5,7(單位：cm),從中隨意

取出3根。

(1)列出所選的3根小木棒的全部可能狀況；

(2)假如用這3根小木棒首尾順次相接，求它們能搭成三角形的概率。

【解析】不要遺漏或重復(fù)可能的狀況，只有較小的兩條線段的和,最大的線段的三條線段才

能組成三角形

【答案】(1)選的3根小木棒的全部可能狀況有全部取出的可能是(2,3,4)(2,3,5)(2,3,7)

(,3,4,5)(3,4,7)(4,5,2)(4,5,7)(5,7,2)(5,7,3)(5,7,2)共10種狀況。

(2)由三角形三邊關(guān)系可知只有(3,4,5)(2,3,4)(4.5,2)(4,5,7)(5,7,3)這5

種能構(gòu)成三角形

所以能構(gòu)成三角形的概率是▲二!。

102

【點評】確定三角形的三條邊時，可以先確定其中的兩條，再確定第三條，依據(jù)三邊從小到

大的依次來確定.留意要做到不重不漏，主要檢驗是否滿意三邊關(guān)系定理確定能否組成三角

形.

(2024四川成都，23,4分)有七張正面分別標有數(shù)字-3,-2,-1,0,1,2,3的卡片，

它們除數(shù)字不同外其余全部相同.現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，記卡片上

的數(shù)字為。，則使關(guān)于X的一元二次方程￡-2(l)x+-3)=()有兩個不相等的實數(shù)

根，且以X為自變量的二次函數(shù)丁=/一(/+]"一。+2的圖象不繪建點(1,0)的概率是

解析：“方程有兩個不相等的是實數(shù)根”等價于“△>()"，于是可得到關(guān)于a的不等式，解

不等式可求出a的取值范圍結(jié)合上面的卡片上的數(shù)字，可求出a的可能的值為

“0,1,2,3”；然后用“且以工為自變量的二次函數(shù)y=/—(/+l)x—。+2的圖象不經(jīng)

過點(1,0)”進行解除，即可得到a的可能值為“023”，最終再計算其所占概率等于之。

?7

3

答案：填一

7

點評：本題考查了概率計算、一元二次方程的根的狀況的相關(guān)學(xué)問、函數(shù)的相關(guān)學(xué)問，是一

道綜合題，其思維實力要求較高。屬于一道難度較大的題目。

(2024浙江省紹興，13,5分)箱子中裝有4個只有顏色不同的球，其中2個白球，2個紅

球，4個人依次從箱子中隨意摸出一個球，不放回，則其次個人摸出紅球且第三個人摸出白

球的概率是一▲.

【解析】由袋子中裝有2個紅球和2個白球，第一個人隨機摸出一個球后，剩下3個球，其

次個人摸出紅球且第三個人摸出白球的概是,.

3

【答案】《

3

【點評】此題考查概率的求法：假如一個事務(wù)有n種可能，而且這些事務(wù)的可能性相同，其

中事務(wù)A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事務(wù)A的概率P(A)考.

(2024四川內(nèi)江，15,5分)如圖7所示，A、B是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格的兩個

格點，在格點中隨意放置點C,恰好能使aABC的面積為I的概率是.

【解析】依據(jù)三角形面積公式可知，欲使4ABC的面積為I,且頂點C也在網(wǎng)格格點

上，那么，此三角形的底邊、高的值應(yīng)當分別為2、1或&、V2,結(jié)合題目所給圖形，可

以找到全部符合條件的點如圖所示:

圖形中有36個格點，其中有8個可以使AABC的面積為1,所以P（Z\ABC的面積為

1I、）=-8=—2

369

【答案】:

【點評】以網(wǎng)格為背景，將三角形與概率學(xué)問綜合考查，意蘊豐富.簡易概率求法公式:

P（A）=-,其中OWP（A）<1.此題簡潔漏解，或者選取了不在網(wǎng)格格點上的點作為點

n

C造成錯解.

（2024山東省荷澤市，12,3）口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)量和材質(zhì)都相同的紅色1號、紅色2號、

黃色1號、黃色2號、黃色3號的5個小球，從中摸出兩球:這兩球都是紅色的概率是

【解析】由于是從口袋中摸兩個球，用表格或樹狀圖來表示事務(wù)全部發(fā)生的可能

紅色1號紅色2號黃色1號黃色2號黃色3號

紅色1號紅1,紅2紅1,黃1紅1,黃2紅1,黃3

紅色2號紅2,紅1紅2,黃1紅2,黃2紅2,黃3

黃色1號黃1,紅1黃1,紅2黃1,黃2黃1,黃3

黃色2號黃2,紅1黃2,紅2黃2,黃1黃2,黃3

黃色3號黃3,紅1黃3,紅2黃3,黃1黃3,黃2

共20種狀況，其中兩次都是紅球有2種，所以概率為P（兩個都是紅球）

10

【答案】—

10

【點評】】本題考查了簡潔隨機事務(wù)的概率.一般地，假如在一次試驗中，有〃種可能的結(jié)

果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事務(wù)A包含其中的用種結(jié)果，那么事務(wù)A發(fā)生的概率

P（>4）=—,對于兩次或兩次以上的隨機事務(wù)，采納樹狀圖或列表的方式來表示全部可能的狀

N

況.

（2024湖南湘潭，23,8分）節(jié)約能源，從我做起.為響應(yīng)長株潭“兩型社會”建設(shè)要求，

小李確定將家里的4只白熾燈全部換成節(jié)能燈;商場有功率為10卬和5卬兩種型號的節(jié)能燈

若干個可供選擇.

（1）列出選購4只節(jié)能燈的全部可能方案，并求出買到的節(jié)能燈都為同一型號的概率；

（2）若要求選購的4只節(jié)能燈的總功率不超過3（）w,求買到兩種型號的節(jié)能燈數(shù)量相等

的概率.

【解析】用樹狀圖或列表找出全部可能方案，干脆看出買到的節(jié)能燈都為同一型號的概率為

9

買到兩種型號的節(jié)能燈數(shù)量相等的是2只10W和2只5W的，總功率不超過30卬，其概

5

率為

【答案】

4只

（1）選購4只節(jié)能燈的全部可能方案：4只5Ml只10W和3只5W；2只5W和2只10W；3

2

只10W和1只5W；4只IGWo買到的節(jié)能燈都為同一型號的概率為一。

（2）買到兩種型號的節(jié)能燈數(shù)量相等的是2只10W和2只5W的，總功率不超過30卬，其

概率為L

5

【點評】本題考查了等能事務(wù)概率求法，在解題要留意把全部可能結(jié)果都列出。假如一個事

務(wù)有〃種可能，而且這些事務(wù)的可能性相同，其中事務(wù)A出現(xiàn)，〃種結(jié)果，那么事務(wù)4的概

率P（A）券.

從大量的等可能事務(wù)的結(jié)果中求任一事務(wù)發(fā)生的概率是計算概率的基本題型之一，也是中

考考查的重要內(nèi)容之一.在計算概率時，關(guān)鍵是確定全部可能的結(jié)果數(shù)和可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù),

確定要把全部存在的狀況找到，且每種狀況結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，再用某個事務(wù)的可能出

現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以全部可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。

21.（2024廣州市，21,12分）甲、乙兩個袋中均有三張除所標數(shù)值外完全相同的卡片,

甲袋中的三張卡片上所標的數(shù)值分別為-7,—1,3,乙袋中的三張卡片上所標的數(shù)值分別為一

2,1,6.先從甲袋中隨機取出一張卡片，用x表示取出的卡片上標的數(shù)值，再從乙袋中隨機取

出一張卡片，用y表示取出的卡片上標的數(shù)值，把x、y分別作為點A的橫坐標、縱坐標。

（1）用適當?shù)姆椒▽懗鳇cA（x,y）的全部狀況；

（2）求點A落在第三象限的概率。

【解析】用列舉法（包括畫表格或畫樹狀圖）求等可能事務(wù)的概率是中考必考的內(nèi)容之一,

而本題將概率與點的坐標，考查的學(xué)問綜合性強，作為試卷的中檔題的確不錯.

【答案】解：（1）用列表法:

-7-13

-2(-7,-1)(-1,-2)(3,—2)

1(-7,1)(-1,1)(3,1)

6(-7,6)(—1,6)(3,6)

可知，點A共有9種狀況。

（2）由1知點A的坐標共有9種等可能的狀況，點A落在第三象限（事務(wù)A）共有（一7,

2

一1）、（-1,-2）2種狀況。所以P（A）=一。

9

【點評】本題易錯點，一是在列舉時，會將全部等可能的結(jié)果遺漏導(dǎo)致計算出錯；二是在點

的坐標的處理上對橫縱坐標表示有誤；三是解題時不太規(guī)范而丟分.

（2024江蘇鹽城，21,8分）現(xiàn)有形態(tài)、大小和顏色完全一樣的三張卡片，上面分別標有數(shù)

字“1”、“2”，“3”，第一次從這三張卡片中隨機抽取一張，登記數(shù)字后放回，其次次再從這

三張卡片中隨機抽取一張并登記數(shù)字，請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述試驗全部可能

的結(jié)果，并求其次次抽取的數(shù)字大于第一次抽取的數(shù)字的概率.

【解析】本題考查了概率的概念及意義.駕馭概率的計算方法是關(guān)鍵.由于是放回再抽，所

以第一次抽到某張卡片后，其次次都有三種狀況，所以共有9種等可能的結(jié)果.然后看看其

次次抽取的數(shù)字大于第一次抽取的數(shù)字有多少種，就可以求出概率了.

【答案】樹狀圖如圖列表如下:

起先123

1

-1、

1(1,1)(1,2)(1,3)

1次23

2(2,1)(2,2)(2,3)

2次123123123

3(3,1)(3,2)(3,3)

由樹狀圖或表格可知，共有9種可能的結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其次次抽取的

數(shù)字大于第一次抽取的數(shù)字有3種，所以P（其次次抽取的數(shù)字大于第一次抽取的數(shù)字有多

少種）=

93

【點評】為了找出全部等可能的結(jié)果，通常所用的方法是列表法、畫樹狀圖法或枚舉法。本

題主要考行利用樹狀圖列出全部等可能的結(jié)果，再求出概率，這里要留意分清兩次是''有放

回”還是“無放回”.

（2024四川省南充市，16,6分）在一個口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號為

1、2、3、4,隨機地摸取一個小球，然后放回，再隨機地摸出一個小球，求下列事務(wù)的概率:

（1）兩次取得小球的標號相同；

（2）兩次取得小球的標號的和等于4.

解析：（1）依據(jù)題意畫出數(shù)形圖，兩次取的小球的標號相同的狀況有4種，再計算概率；

（2）先畫樹狀圖展示全部16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸出的小球標號的和等于4的占

3種，然后依據(jù)概率的概念計算即可.

答案：全部狀況如下表所示：

結(jié)果1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

或如下圖所示:

開始

（1）由上表知，共有16種結(jié)果，且每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同.其中兩次取出的標號

41

相同的有4次.所以兩次取出的標號相同的概率是一二一.

164

（2）由上表知，共有16種結(jié)果，且每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同.其中兩次取的小球的

3

標號的和等于4的有3次所以次取的小球的標號的和等于4的概率是士.

16

點評；本題考查了列表法或樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示全部等可能的結(jié)果數(shù)

n,再找出某事務(wù)所占有的結(jié)果數(shù)m,然后利用概率的概念求得這個事務(wù)的概率

n

18.（2024四川省資陽市，18,7分）（本小題滿分7分）為了確定誰將獲得僅有的一張科普

報告入場券，甲和乙設(shè)計了如下的一個嬉戲：口袋中有編號分別為I、2、3的紅球三個和編

號為4的白球一個，四個球除了顏色或編號不同外，沒有任何別的區(qū)分，摸球之前將小球攪

勻，摸球的人都蒙上眼睛.先甲摸兩次，每次摸出一個球；把甲摸出的兩個球放回口袋后,

乙再摸，乙只摸一個球.假如甲摸出的兩個球都是紅色，甲得I分，否則，甲得0分；假如

乙摸出的球是白色，乙得I分，否則，乙得。分；得分高的獲得入場券，假如得分相同，

嬉戲重來.

（1）（4分）運用列表或畫樹狀圖求甲得1分的概率；

（2）（3分）這個嬉戲是否公允？請說明理由.

【解析】（1）列表或樹狀圖如下：....................................................3

分

開始

得\第2

1234

第2次234134124123

I1分I分。分得分110110110000

21分1分。分

31分1分。分

40分0分0分

P（甲得1

八61

分）=77=7........................................................4分

122

（2）不公

允.....................................................................5分

???P（乙得1分戶’.............................................................6

4

分

，P（甲得1分）（乙得I分），，不公允.......................................7分

【答案】（1）P（甲得1分戶9...................................................................................4分

122

（2）不公

允.....................................................................5分

【點評】當一次試驗涉及到兩個因素時，用列表法較簡便，當一次試驗涉及到三個或更多的

因素時，用樹形圖較簡便，本題兩種方法均可選用.與摸球有關(guān)的概率問題要留意首次摸出

的球是否放回對所求概率的影響，而對于本題中每人摸兩次可理解為先摸一次不放回再摸一

次.難度較小.

（2024四川成都，19,10分）某校將舉辦“心，懷感恩?孝敬父母”的活動,為此,校學(xué)生

會就全校1000名同學(xué)暑假期間平均每天做家務(wù)活的時間，隨機抽取部分同學(xué)進行調(diào)

（1）本次調(diào)查抽取的人數(shù)為______，估計全校同學(xué)在暑假期間平均每天做家務(wù)活的時

間在40分鐘以上（含40分鐘）的人數(shù)為______；

（2）校學(xué)生會擬在表現(xiàn)突出的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中，隨機抽取兩名同學(xué)向全校

匯報.請用樹狀圖或列表法表示出全部可能的結(jié)果，并求恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)

的概率.

解析：抽查的人數(shù)就是各組人數(shù)之和，時間在40分鐘以上（含40分鐘）的人數(shù)就是最終兩組

的人數(shù)之和。本題中，因為事務(wù)由兩個因素構(gòu)成，所以，可以用樹狀圖法也可以用列

表法，用列表法時，要留意不要出現(xiàn)重復(fù)的狀況。

答案：（1）50：16：

（2）列表給出全部可能的結(jié)果：

其次人

甲乙丙T

甲甲、乙甲、丙甲、丁

乙乙、甲乙、丙乙、丁

丙丙、甲丙、乙丙、丁

T丁、甲丁、乙丁、丙

共12種；其中恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)的狀況有2種,

所以恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)的概率是一。

6

點評：在本題中，給出了方法“請用樹狀圖或列表法表示出全部可能的結(jié)果”，這樣能夠較

好地實現(xiàn)所列狀況不重不漏。列表時，要留意條例性，要工整美觀，這樣有利于自己

后面統(tǒng)計各種狀況出現(xiàn)的次數(shù)。

22.（2024湖北隨州，22,9分）（本小題滿分9分）如圖所示，一個大正方形地面上，

編號為123,4的地塊，是四個全等的等腰直角三角形空地，中間是小正方形綠色草坪，一

名訓(xùn)練有素的跳傘運動員，每次跳傘都落在大正方形底面上。

（1）求跳傘運動員一次跳傘落在草坪上的概率；

（2）求跳傘運動員兩次跳傘都落在草坪上的概率。

第22題圖

解析：（1）將大正方形分成8塊等腰直角三角形，則一次跳傘落在草坪上的概率是

4I

（2）由于每次落在8個等腰直角三角形中的可能性是相等的，所以共有64中可能,

82

用樹狀圖可分析出兩次跳傘都落在草坪上的概率。

答案：（1）一次跳傘落在草坪上的概率P（一次跳傘落在草坪上）=?4=_1!_（將大正方形

82

分成8塊等腰直角三角形）

（2）每次跳傘落在8個等腰直角三角形的可能性是相等的，

用樹狀圖

共有8X8=64個不同結(jié)果

其中兩次落在草坪上有：

共有4X4=16個不同結(jié)果.

4x41

所以兩次跳傘都落在草坪上的概率為P（兩次跳傘都落在草坪上）=-L—=-.

8x84

點評：此題主要考查了概率的求法：概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比.求解概率類問

題，關(guān)鍵是要找準兩點：①全部狀況的總數(shù)；②符合條件的狀況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)

生的概率.運用樹狀圖分析時，確定要做到不重不漏.

34.3嬉戲的公允性

13.（2024浙江省衢州，13,4分）如圖，“石頭、剪刀、布”是民間廣為流傳的嬉戲.嬉戲

時，雙方每次隨意出“石頭”、“剪刀”、“布”這三種手勢中的一種，那么雙方出現(xiàn)相同

手勢的概率P=.

第13題圖，

【解析】列舉出全部狀況，讓雙方出現(xiàn)相同手勢的狀況數(shù)除以總狀況數(shù)即為所求的概率.

解：將“石頭”、“剪刀”、“布”這三種手勢記作1,2,3,則列表得：

(1,3)（2,3）（3,3）

(1,2)（2,2）（3,2）

(1,1)(2,1)(3,1)

可得共有9種狀況，兩人出現(xiàn)相同手勢的有3種狀況，

???雙方出現(xiàn)相同手勢的概率為士3I.

93

【答案M

3

【點評】本題考查概率的基小計算，明確概率的意義是解答的關(guān)鍵，狀況較少可用列舉法求

概率，采納列舉法解題的關(guān)鍵是找到全部存在的狀況.用到的學(xué)問點為：概率等于所求狀況

數(shù)與總狀況數(shù)之比.

20.（2024山東德州中考,20,10,）若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱

這個數(shù)為“傘數(shù)現(xiàn)從1,2,3,4這四個數(shù)字中任取3個數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位

數(shù).

（1）請畫出樹狀圖并寫出全部可能得到的三位數(shù)；

（2）甲、乙二人玩一個嬉戲，嬉戲規(guī)則是：若組成的三位數(shù)是“傘數(shù)”，則甲勝；否則乙勝.你

認為這個嬉戲公允嗎？試說明理由.

20.【解析】（I）畫樹狀圖要做到有條理，按部就班，不重不漏.（2）數(shù)出全部三位數(shù)的個

數(shù)和其中傘數(shù)的個數(shù)，則易求出傘數(shù)的比例，再和比較即可.

2

解：（1）樹狀圖如下：

1234

Zl\Zl\Zl\Zl\

3Z4卜33z4A卜3A^22vA卜2

全部得到的三位數(shù)有24個,分別為：123,12數(shù)132,134,142,143,213,214,231,234,

241,243,312,314,321,324,341,342,412?413,421,423,431,432.....（5分）

（2）這個嬉戲不公允.......................（6分）

理由如下:組成的三位數(shù)中是“傘數(shù)”的有：132,142,143,231,241,243,341,342,

QI

共有8個，所以，甲勝的概率為一=一，..............（8分）

243

而乙勝的概率為一二一，這個嬉戲不公允........................（10分）

243

【點評】對于兩步以上概率的求法主要是列表法和樹狀圖.概率經(jīng)常結(jié)合嬉戲的公允性進行

考查.概率基本是中考中的必考問題.

20.（2024貴州貴陽，20,10分）在一個不透亮的口袋里裝有分別標注2、4、6的3

個小球（小球除數(shù)字外，其余都相同），另有3張背面完全一樣、正面分別寫有數(shù)字6、7、

8的卡片?.現(xiàn)從口袋中隨意摸出一個小球，再從這3張背面朝上的卡片中隨意摸出一張卡片?.

（1）請你用列表或畫樹狀圖的方法，表示出全部可能出現(xiàn)的結(jié)果；（5分）

（2）小紅和小莉做嬉戲，制定了兩個嬉戲規(guī)則：

規(guī)則1：若兩次摸出的數(shù)字，至少有一次是“6”，小紅贏；否則，小莉贏.

規(guī)則2：若摸出的卡片上的數(shù)字是球上數(shù)字的整數(shù)倍時，小紅贏；否則，小莉贏.

小紅想要在嬉戲中獲勝，她會選擇哪一條規(guī)則，并說明理由.（5分）

解析：（1）列表（或畫樹狀圖）表示出全部可能出現(xiàn)的結(jié)果即可；（2）分別求出兩種規(guī)

則下小紅獲勝的概率，選擇概率較大的規(guī)則.

解：（1）列表（或畫樹狀圖）如下：

小諭、678

2(2,6)(2,7)(2,8)

4(4,6)(4,7)(4,8)

6(6,6)(5,7)(6,8)

(2,6)(2,7)(2,8X4,6)(4,7)(4,8/6,6)e,7)(6,8)

54

（2）規(guī)則1：P（小紅贏）:一；規(guī)則2：P（小紅贏）=

99

???5士》—4,???小紅選擇規(guī)則1.

99

點評：本題考查了枚舉法以及概率計算。枚舉全部可能出現(xiàn)的結(jié)果時，要做到不重不漏,

在計算概率時，關(guān)鍵是確定全部可能的結(jié)果數(shù)和可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，再用某個事務(wù)的可能出

現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以全部可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，列表法只能解決2個事務(wù)的問題，畫樹狀圖可以解

決2個以上事務(wù)的問題.

34.4用頻率估計概率

5.（2024貴州貴陽，5,3分）一個不透亮的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小

球，其中有6個黃球.每次摸球前先將盒子里的球搖勻，隨意摸出一個球登記顏色后再放回

盒子，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)覺，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%,那么可以推算出n人

約是（）

A.6B.10C.18D.20

解析：由已知可估計，摸到黃球的概率是30%,所以n=6+30%=20.

解答：選D.

點評：本題考查了頻率與概率的關(guān)系，以及幾何概率的意義.一般地，對于古典概型，

假如試驗的基本領(lǐng)件為n,隨機事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件數(shù)為m,我們就用來描述事務(wù)A

出現(xiàn)的可能性大小，稱它為事務(wù)A的概率，記作P（A）,即有P（A）=-.

n

20.（2024浙江省紹興，20,8分）一分鐘投籃測試規(guī)定，得6分及以上為合格，得9分及

以上為優(yōu)秀。甲、乙兩組同學(xué)的一次測試成果統(tǒng)計如下：

成果（分）456789

甲組（人）125214

乙組（人）114522

（!）請你依據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)，把下面的圖和表補充完整:

一分鐘投籃測試成果統(tǒng)計圖

*20?B

一分鐘投籃測試成果統(tǒng)計分析表

統(tǒng)計量平均分方差中位教合格率優(yōu)秀率

甲組▲2.56680.0%26.7%

乙組6.81.76▲86.7%13.3%

第20題表

（2）下面是小明和小聰?shù)囊欢螌υ挘埬阋罁?jù)（I）中的表，寫出兩條支持小聰?shù)挠^點的理

由.

明：我認為，因為甲組的優(yōu)秀率高于乙組，所以甲組的成果要

好于乙組

小聰：我認為，乙組的成果要好

于甲組。

【解析】（I）由甲、乙兩組同學(xué)的一次測試成果統(tǒng)計表可知：乙組得7分的有5人，得7分的有2

人.甲組的平均分6.8,乙組中位數(shù)7.

（2）可以從方差、合格率、中位數(shù)等方面來說明，答案不唯一。

【答案】（1）補全統(tǒng)計圖（見右圖）.

補全分析表：甲組平均分6.8,乙組中位數(shù)7.

（2）不唯?.如：甲乙兩組平均數(shù)?樣，乙組的方差低F甲組，說明

乙組成果比甲組穩(wěn)定，乂乙組合格率比甲組高，所以乙組成果好于甲組.

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖、表，從統(tǒng)計圖、表中得到必

要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清晰地表示出每個項目的數(shù)據(jù).

（2024江蘇泰州市，5,3分）有兩個事務(wù)，事務(wù)A：367人中至少有兩人生日相同；事務(wù)B：拋擲一

枚勻稱的微子，朝上的面點數(shù)為偶數(shù).下列說法正確的是

A.事務(wù)A、B都是隨機事務(wù)

B.事務(wù)A、B都是必定事務(wù)

C.事務(wù)A是隨機事務(wù)，事務(wù)B是必定事務(wù)

D.事務(wù)A是必定事務(wù)，事務(wù)B是隨機事務(wù)

【解析】必定事務(wù)是確定會發(fā)生的事務(wù)，A是必定事務(wù)，事務(wù)B是隨機事務(wù)

【答案】D

【點評】本題考查了必定事務(wù)和隨機事務(wù)的概念.要留意必定事務(wù)和隨機事務(wù)屬于可能事務(wù)，還有

一類是不行能事務(wù).

（2024湖南湘潭，6,3分）“湘潭是我家，愛惜靠大家”.自我市開展整治“六亂”行動以來，我

市學(xué)生更加自覺遵守交通規(guī)則.某校學(xué)生小明每天騎自行車上學(xué)時都要經(jīng)過一個十字路口，該十字路

口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為工，遇到黃燈的概率為,，那么他遇

39

到綠燈的概率為

【解析】遇到綠燈的概率為】一，一

399

【答案】選D。

【點評】此題考查概率的概念。全部狀況的概率只和為1,用1減去其它狀況的概率就是遇到綠燈

的概率。

（2024湖南益陽,12,4分）有長度分別為2°〃，3cm,4加,7c/n的四條線段,任取其中三條能組

成三角形的概率是.

【解析】以2cm,3cm,4cmt7cm四條線段能組成三角形的狀況只有一種：2cm,3cm,4cm

而2w,3cm,4cm,四條線段共有4種可能結(jié)果，依據(jù)概率定義得尸（A）=

4

【答案】-

4

【點評】主要考查以25?，3（切，4（7〃，7a〃四條線段能組成三角形的狀況有幾種，這是關(guān)鍵；其次

是概率的定義：P（A）=-,共有幾種可能的結(jié)果，此題和中學(xué)的組合學(xué)問有點關(guān)聯(lián)，具有承上啟

m

下之功效C

（2024安徽，8,4分）給甲乙丙三人打電話，若打電話的依次是隨意的，則第一個打電話給甲的概

率