2025屆湖北省鄂州市高三下學期一模數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1湖北省鄂州市2025屆高三下學期一模數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.橢圓經(jīng)過和兩點，則橢圓的焦距為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，解得，，則，因此，橢圓的焦距為.故選：D2.已知全集，，，則可以表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為全集，，，則、，且，，且.故選：B.3.將函數(shù)向右平移個單位后，所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后，所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則，且有，則，因為，故當時，取最小值.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則.故選：A.5.隨著春節(jié)申遺成功，世界對中國文化的理解和認同進一步加深，某學校為了解學生對春節(jié)習俗的認知情況，隨機抽取了100名學生進行了測試，將他們的成績適當分組后，畫出的頻率分布直方圖如下圖所示，則下列數(shù)據(jù)一定不位于區(qū)間內(nèi)的是（）A.眾數(shù) B.第70百分位數(shù) C.中位數(shù) D.平均數(shù)【答案】B【解析】對于A，眾數(shù)為；對于BC，，設中位數(shù)、第70百分位數(shù)分別為，注意到，設，解得；對于D，設平均數(shù)為，則故選：B.6.已知復數(shù)，若，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，即，如下圖所示：圓圓心為，半徑為，聯(lián)立可得或，所以，直線交圓于原點、，易知軸，則，則圖中陰影部分區(qū)域（即弓形區(qū)域）的面積為，由題意可知，滿足題設的點位于陰影部分區(qū)域，由幾何概型的概率公式可知，所求事件的概率為.故選：A.7.已知函數(shù)，若，，，均有，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數(shù)的定義域為，則，若，，，均有，則，可得，令，則，由題意可知，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故，所以，的最大值為.故選：D.8.在三棱錐中，，，，，則三棱錐的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，將三棱錐放于平行六面體中，則，又，，則，.又四邊形，四邊形為平行四邊形，則四邊形，四邊形為菱形.則.注意到，又，則，設PH與底面HBGC夾角為，則，當且僅當時取等號，則.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)的圖象繞坐標原點沿逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線仍為一個函數(shù)的圖象的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】利用運動是相對的，函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，可以看作坐標軸繞坐標原點順時針方向旋轉(zhuǎn)，根據(jù)函數(shù)的定義，對于定義域內(nèi)的每一個自變量x，都有唯一確定的與之對應，逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線，如果仍為一個函數(shù)的圖象，則曲線與任意一條垂直于x軸的直線最多只有一個交點，所以函數(shù)的圖象與任一斜率為1的直線都最多只有一個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可知，對于A，的圖象與直線都只有一個交點，故A正確；對于B，的圖象與直線有兩個交點，故B錯誤；對于C，，，，所以的圖象，在點處的切線方程為，的圖象與直線都最多只有一個交點，故C正確；對于D，的圖象與直線都只有一個交點，故D正確.故選：ACD.10.設5個正實數(shù)組成公差大于0的等差數(shù)列，記其首項為a，公差為d，且這5個數(shù)中有3個數(shù)組成等比數(shù)列，則的值可能為（）A B. C.1 D.2【答案】BC【解析】由題意知等差數(shù)列的5個正實數(shù)為，若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，即，符合題意；若成等比數(shù)列，則，解得，即，符合題意；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；綜上，或，故選：BC.11.已知非零平面向量，，，滿足：，，且，記，，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ABD【解析】由已知條件可繪制如圖所示得圖形，為中點，，，，不妨設，，，或，可統(tǒng)一寫為，即有實數(shù)根，判別式大于等于0，通過代入和化簡，得到關(guān)于的四次方程：,解得的取值范圍為，的最小值為，最大值為，對應選項A和B正確;同理得

的取值范圍是，

通過以上分析，可以推導出

的取值范圍為：，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設正整數(shù)數(shù)列滿足，，則________.【答案】或【解析】因為正整數(shù)數(shù)列滿足①，，則，則，所以，或，由題意可得②，由①②可得，所以，數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，因為，故或.故答案：或.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為________.【答案】【解析】函數(shù)，求導得，依題意，，而當時，，則，所以a的取值范圍為.故答案為：14.一個被染滿顏料的螞蚱從數(shù)軸上的原點開始跳動，每次跳躍有等可能的概率向左或向右跳動1個單位長度，螞蚱所在的點會留下顏色，則螞蚱跳動4次后染上顏色的點數(shù)個數(shù)X的期望________.【答案】【解析】螞蚱跳動4次后染上顏色的點數(shù)個數(shù)X的可能取值為，表示螞蚱在或者之間來回跳動，則；表示螞蚱由向右最遠跳到，可以為“右右左左”，“右左右右”，“右右左右”共種，由對稱性知由向左最遠跳到，也有種，由向左最遠跳到，最右跳到，可能為“左右右左”，“右左左右”有種，故一共有種，則；表示螞蚱跳動為“右右右左”，“左左左右”，“左右右右”，“右左左左”，共種，則；表示螞蚱跳動為“右右右右”，“左左左左”，共種，則；則，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角、、對邊分別為、、，且.（1）若，求；（2）若，，求的面積.解：（1）因為，，則，由可得，即，，因為，則，解得，故，則.（2）因為，所以.所以由正弦定理得：，由余弦定理知，解得.因為，故.16.如圖，棱長為的正方體中，平面與直線交于點.（1）證明：為的重心；（2）求二面角的余弦值；（3）求三棱錐外接球的體積.（1）證明：連接、、、，如下圖所示：因為四邊形為正方形，則，因為平面，平面，則，因為，、平面，則平面，因為平面，所以，，同理可得，因為，、平面，所以，平面，因為平面，、、平面，則，，，因為，則，即，則為的外心，易知為等邊三角形，故為的重心.（2）解：以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系.所以、、、、.因為為的重心，故，所以，，設為平面的一個法向量，則，取可得，易知平面的一個法向量為.所以.因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.（3）解：設球心為，由，可得，解得，即球心為，所以三棱錐的球心為線段中點，且外接球半徑為.故其外接球體積為.17.已知函數(shù)有兩個零點.（1）求的值；（2）證明：當時，.（1）解：因為，則，由于，當或時，；當時，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，因為函數(shù)有兩個零點，則或，解得或（舍），故.（2）證明：當時，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性知，當時，，，，此時不等式成立.下面證明時的情況，設，滿足，則原不等式等價于.考慮到三次函數(shù)圖象極值點附近的非對稱性：令，則，故在上單調(diào)遞減，.，故只需證，令，當時，，故在上單調(diào)遞減.所以，故原不等式得證.18.已知拋物線，點P是W上位于第一象限內(nèi)的一點，過P作W的切線交y軸于點Q.過原點O作PQ的平行線交W于點A，過A作OP的平行線交W于點B，BP交OA于點N.（1）求的最大值；（2）證明：直線QN經(jīng)過AB的中點；（3）若OQAB四點共圓，求P點的坐標.（1）解：記原點為O點，不妨設，由于，則.所以可得過P點的切線的方程為.又因為，故記P點在x軸上投影為點C，在y軸上的投影為點M，記，則.當且僅當時取等.故的最大值為.（2）解：由（1），，所以直線OA的方程為：.令直線OA與拋物線聯(lián)立知，，則.直線AB的方程為：，與拋物線聯(lián)立知，則.所以P，B關(guān)于x軸對稱，即軸.所以，所以直線方程為，與直線AB的方程聯(lián)立可得交點，可得為AB中點，所以QN平分AB.（3）解：設直線AB交y軸于點D，由（2）知，且，所以BP平分.因為，轉(zhuǎn)化比例得，.由于OQAB共圓，所以.設，，，代入上式得：.所以.故P點坐標為.19.集合A為實數(shù)構(gòu)成的有限集，記為集合A的元素個數(shù)，為集合A中所有元素之和，若對于集合，存在兩兩互不相交的集合，，，，使得，且，，則稱集合為X的一個k分隔.（1）寫出集合的一個3分隔；（2）證明：存在一個3分隔；（3）若，求集合存在k分隔的概率.（1）解：記，，，則為集合X的一個3分隔.（2）證明：取經(jīng)檢驗，為集合X的一個3分隔，即證.（3）解：要使存在k分隔，必有.一方面，由且知.又因為為正整數(shù)，故k為奇數(shù).另一方面，不妨設，我們證明此時存在k分隔.設，，則.先取第一列：令，，，，為滿足存在k分隔，則，（，2，）.且.注意到一組等式：在這組等式中，第一列是1，2，，的排列，第二列是，，，的排列.第三列中前行為，，，中的奇數(shù)，后行是，，，中的偶數(shù)，合起來是的排列，從而我們可以找到所需的，.即取，，，；，，，.這樣構(gòu)造出的為集合的k分隔.綜上，存在k分隔的充要條件為k為大于1的奇數(shù)，而有1012個數(shù)符合題意，故集合存在k分隔的概率為.湖北省鄂州市2025屆高三下學期一模數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.橢圓經(jīng)過和兩點，則橢圓的焦距為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，解得，，則，因此，橢圓的焦距為.故選：D2.已知全集，，，則可以表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為全集，，，則、，且，，且.故選：B.3.將函數(shù)向右平移個單位后，所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后，所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則，且有，則，因為，故當時，取最小值.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則.故選：A.5.隨著春節(jié)申遺成功，世界對中國文化的理解和認同進一步加深，某學校為了解學生對春節(jié)習俗的認知情況，隨機抽取了100名學生進行了測試，將他們的成績適當分組后，畫出的頻率分布直方圖如下圖所示，則下列數(shù)據(jù)一定不位于區(qū)間內(nèi)的是（）A.眾數(shù) B.第70百分位數(shù) C.中位數(shù) D.平均數(shù)【答案】B【解析】對于A，眾數(shù)為；對于BC，，設中位數(shù)、第70百分位數(shù)分別為，注意到，設，解得；對于D，設平均數(shù)為，則故選：B.6.已知復數(shù)，若，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，即，如下圖所示：圓圓心為，半徑為，聯(lián)立可得或，所以，直線交圓于原點、，易知軸，則，則圖中陰影部分區(qū)域（即弓形區(qū)域）的面積為，由題意可知，滿足題設的點位于陰影部分區(qū)域，由幾何概型的概率公式可知，所求事件的概率為.故選：A.7.已知函數(shù)，若，，，均有，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數(shù)的定義域為，則，若，，，均有，則，可得，令，則，由題意可知，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故，所以，的最大值為.故選：D.8.在三棱錐中，，，，，則三棱錐的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，將三棱錐放于平行六面體中，則，又，，則，.又四邊形，四邊形為平行四邊形，則四邊形，四邊形為菱形.則.注意到，又，則，設PH與底面HBGC夾角為，則，當且僅當時取等號，則.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)的圖象繞坐標原點沿逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線仍為一個函數(shù)的圖象的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】利用運動是相對的，函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，可以看作坐標軸繞坐標原點順時針方向旋轉(zhuǎn)，根據(jù)函數(shù)的定義，對于定義域內(nèi)的每一個自變量x，都有唯一確定的與之對應，逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線，如果仍為一個函數(shù)的圖象，則曲線與任意一條垂直于x軸的直線最多只有一個交點，所以函數(shù)的圖象與任一斜率為1的直線都最多只有一個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可知，對于A，的圖象與直線都只有一個交點，故A正確；對于B，的圖象與直線有兩個交點，故B錯誤；對于C，，，，所以的圖象，在點處的切線方程為，的圖象與直線都最多只有一個交點，故C正確；對于D，的圖象與直線都只有一個交點，故D正確.故選：ACD.10.設5個正實數(shù)組成公差大于0的等差數(shù)列，記其首項為a，公差為d，且這5個數(shù)中有3個數(shù)組成等比數(shù)列，則的值可能為（）A B. C.1 D.2【答案】BC【解析】由題意知等差數(shù)列的5個正實數(shù)為，若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，即，符合題意；若成等比數(shù)列，則，解得，即，符合題意；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；綜上，或，故選：BC.11.已知非零平面向量，，，滿足：，，且，記，，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ABD【解析】由已知條件可繪制如圖所示得圖形，為中點，，，，不妨設，，，或，可統(tǒng)一寫為，即有實數(shù)根，判別式大于等于0，通過代入和化簡，得到關(guān)于的四次方程：,解得的取值范圍為，的最小值為，最大值為，對應選項A和B正確;同理得

的取值范圍是，

通過以上分析，可以推導出

的取值范圍為：，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設正整數(shù)數(shù)列滿足，，則________.【答案】或【解析】因為正整數(shù)數(shù)列滿足①，，則，則，所以，或，由題意可得②，由①②可得，所以，數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，因為，故或.故答案：或.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為________.【答案】【解析】函數(shù)，求導得，依題意，，而當時，，則，所以a的取值范圍為.故答案為：14.一個被染滿顏料的螞蚱從數(shù)軸上的原點開始跳動，每次跳躍有等可能的概率向左或向右跳動1個單位長度，螞蚱所在的點會留下顏色，則螞蚱跳動4次后染上顏色的點數(shù)個數(shù)X的期望________.【答案】【解析】螞蚱跳動4次后染上顏色的點數(shù)個數(shù)X的可能取值為，表示螞蚱在或者之間來回跳動，則；表示螞蚱由向右最遠跳到，可以為“右右左左”，“右左右右”，“右右左右”共種，由對稱性知由向左最遠跳到，也有種，由向左最遠跳到，最右跳到，可能為“左右右左”，“右左左右”有種，故一共有種，則；表示螞蚱跳動為“右右右左”，“左左左右”，“左右右右”，“右左左左”，共種，則；表示螞蚱跳動為“右右右右”，“左左左左”，共種，則；則，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角、、對邊分別為、、，且.（1）若，求；（2）若，，求的面積.解：（1）因為，，則，由可得，即，，因為，則，解得，故，則.（2）因為，所以.所以由正弦定理得：，由余弦定理知，解得.因為，故.16.如圖，棱長為的正方體中，平面與直線交于點.（1）證明：為的重心；（2）求二面角的余弦值；（3）求三棱錐外接球的體積.（1）證明：連接、、、，如下圖所示：因為四邊形為正方形，則，因為平面，平面，則，因為，、平面，則平面，因為平面，所以，，同理可得，因為，、平面，所以，平面，因為平面，、、平面，則，，，因為，則，即，則為的外心，易知為等邊三角形，故為的重心.（2）解：以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系.所以、、、、.因為為的重心，故，所以，，設為平面的一個法向量，則，取可得，易知平面的一個法向量為.所以.因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.（3）解：設球心為，由，可得，解得，即球心為，所以三棱錐的球心為線段中點，且外接球半徑為.故其外接球體積為.17.已知函數(shù)有兩個零點.（1）求的值；（2）證明：當時，.（1）解：因為，則，由于，當或時，；當時，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，因為函數(shù)有兩個零點，則或，解得或（舍），故.（2）證明：當時，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性知，當時，，，，此時不等式成立.下面證明時的情況，設，滿足，則原不等式等價于.考慮到三次函數(shù)圖象極值點附近的非對稱性：令，則，故在上單調(diào)遞減，.，故只需證，令，當時，，故在上單調(diào)遞減.所以，故原不等式得證.18.已知拋物線，點P是W上位于第一象限內(nèi)的一點，過P作W