2025屆河南省開封市等三地高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省開封市等三地2025屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，故選：A2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且，故其準(zhǔn)線方程為.故選：A.3.在中，，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，可得，，整理可得，.故選：A4.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則公比（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】由題可知，，故，故.故選：C.5.設(shè)，則的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，滿足，但是不符合，故不是的一個(gè)充分條件，故A錯(cuò)誤；對于B，，即，即，所以是的必要不充分條件，故B錯(cuò)誤；對于C，，即，故是的充要條件，故C錯(cuò)誤；對于D，，即，，故是的一個(gè)充分不必要條件，故D正確.故選：D6.已知正方體的內(nèi)切球的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正方體的邊長為，則正方體內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的體積等于，解得，所以正方體的體對角線等于，所以正方體外接球的半徑等于，則外接球的表面積等于，故選:B.7.將5名學(xué)生分配到3個(gè)社區(qū)當(dāng)志愿者，每個(gè)社區(qū)至少分配1名學(xué)生，則不同的分配方法種數(shù)是（）A.24 B.50 C.72 D.150【答案】D【解析】可以分組為1、1、3，或1、2、2兩種情況，若分組為1、1、3，則有；若分組為1、2、2，則有；則不同分法為60+90=150種.故選：D8.已知雙曲線，圓經(jīng)過直線，的四個(gè)交點(diǎn)，且圓與在第一象限交于點(diǎn)，與軸分別交于點(diǎn)，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意，圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑，點(diǎn)即雙曲線的左右兩焦點(diǎn)，故有①，且因?yàn)閳A的直徑，可得，則有②，將①式兩邊取平方，，解得，故的面積為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】，對A，若，則，則根據(jù)有，顯然矛盾，故A錯(cuò)誤；對B，假設(shè)，則，根據(jù)有，顯然矛盾，則，故B正確；對C，由A知，，則，故C正確；對D，顯然，必有，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動，它在時(shí)間（單位：）時(shí)相對于平衡位置的高度（單位：）由關(guān)系式確定，則下列說法正確的是（）A.小球在開始振動（即）時(shí)在平衡位置上方處B.每秒鐘小球能往復(fù)振動次C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.小球從到時(shí)運(yùn)動的路程是【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，，故A正確；小球往復(fù)振動的周期為，所以每秒鐘小球能往復(fù)振動次，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；由，又，，所以小球從到時(shí)運(yùn)動路程是，故D正確.故選：ACD.11.設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，．若存在實(shí)數(shù)，使得，同時(shí)成立，則下列說法一定正確的是（）A.若，則B.C.的最大值是4D.的最大值是5【答案】C【解析】，則；，則，即；，則，即；，則，即；；，則，即.設(shè)，則，即因，則，即，因，則，因，則，故使得，同時(shí)成立的的最大值是4.故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則________．【答案】【解析】.故答案：.13.已知經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的離心率為________．【答案】【解析】橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由題意可得，解得，所以，則，所以的離心率.故答案為：.14.已知直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點(diǎn)，則取最小值時(shí)，________，最小值為________．【答案】①.②.【解析】由可得，，即，所以函數(shù)，互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，因直線互相垂直，所以問題可轉(zhuǎn)化為求上點(diǎn)到直線距離的最小值的2倍，因?yàn)椋?，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，有最小值3，此時(shí)，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某物業(yè)公司為提高對某小區(qū)的服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了該小區(qū)50名男業(yè)主和50名女業(yè)主，每位業(yè)主對該物業(yè)公司的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價(jià)，得到如下列聯(lián)表：滿意不滿意男業(yè)主4010女業(yè)主3020（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該小區(qū)男、女業(yè)主對該物業(yè)公司服務(wù)的評價(jià)有差異？（2）從該小區(qū)的業(yè)主中任選一人，表示事件“選到的人對該物業(yè)公司的服務(wù)不滿意”，表示事件“選到的人為女業(yè)主”，利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計(jì)值．附：．0.050.010.0053.8416.6357.879解：（1）因?yàn)?，所以依?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為有差異；（2）由題意，所以.16.已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為圓上不同于，的一點(diǎn)．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．（1）求角；（2）若，求的面積．解：（1）圓心到直線的距離，圓的半徑，所以，又為外接圓上一點(diǎn)，所以，解之得，因?yàn)?，所以或；?）由余弦定理得：，即，即，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉樽畲筮?，所以，與矛盾，所以不成立，舍去，綜上所述，的面積為.17.在四棱錐中，，，平面平面，，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（1）證明：在四棱錐中，由，，得，連接，而，則為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，又，與相交，平面，所以平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，，，由平面，平面，得，即兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，，顯然為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值是.18已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若有唯一的零點(diǎn)，求的值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在處的切線方程為，即．（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則g'(x)=a即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，使得，即，且當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，又當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故若有唯一的零點(diǎn)，則必有，即，消去可得，即，又因?yàn)?，即，由②式可得：，即，將代入可得，即，綜上可知，若有唯一的零點(diǎn)，則.19.設(shè)為不小于3的正整數(shù)，項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，若存在項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列同時(shí)滿足：①數(shù)列中任意兩項(xiàng)均不相同；②任意正整數(shù)，從小到大排列恰好為數(shù)列．此時(shí)稱數(shù)列是-可拆分等差數(shù)列．（1）寫出一個(gè)3-可拆分等差數(shù)列及其對應(yīng)的一個(gè)數(shù)列；（2）若數(shù)列是一個(gè)4-可拆分等差數(shù)列，表示事件“數(shù)列的前三項(xiàng)成等差數(shù)列”，求事件發(fā)生的概率；（3）求所有滿足數(shù)列是-可拆分等差數(shù)列的正整數(shù)的值．解：（1）首先項(xiàng)數(shù)為，且數(shù)列中任意兩項(xiàng)均不相同；，滿足條件②，則上述數(shù)列滿足題意.（2）數(shù)列四項(xiàng)均不相同，故總的排列方法有種．假設(shè)數(shù)列各項(xiàng)從小到大排列，即，則兩兩相加后最小項(xiàng)，次小項(xiàng)，最大項(xiàng)，次大項(xiàng)．設(shè)等差數(shù)列公差為，則，又?jǐn)?shù)列第三項(xiàng)，第四項(xiàng)；或者第三項(xiàng)，第四項(xiàng)，所以且，得且；或者且，得且，以上兩種情況不能同時(shí)成立，由以上分析知使前三項(xiàng)等差的排列方式有4種，故（3）由前兩問知可以取3和4．時(shí)，假設(shè)數(shù)列各項(xiàng)從小到大排列，則兩兩相加后最小項(xiàng)，次小項(xiàng)，最大項(xiàng)，次大項(xiàng)，因?yàn)閿?shù)列等差，故得，①若，則各不相同，而與兩兩不同矛盾，即時(shí)數(shù)列不可能是－可拆分等差數(shù)列；②時(shí)，，即，此時(shí)數(shù)列共10項(xiàng)，最小項(xiàng)，次小項(xiàng)，最大項(xiàng)，次大項(xiàng)，設(shè)等差數(shù)列公差為，則，即，所以，剩余四項(xiàng)，又公差，故是連續(xù)三項(xiàng)，所以只能是第4項(xiàng)或者第7項(xiàng)，當(dāng)是第4項(xiàng)時(shí)，得，與兩兩不同矛盾，當(dāng)是第7項(xiàng)時(shí)，，得，與兩兩不同矛盾，故不能是5．綜上，滿足數(shù)列是－可拆分等差數(shù)列的正整數(shù)只能是3和4．河南省開封市等三地2025屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，故選：A2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且，故其準(zhǔn)線方程為.故選：A.3.在中，，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，可得，，整理可得，.故選：A4.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則公比（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】由題可知，，故，故.故選：C.5.設(shè)，則的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，滿足，但是不符合，故不是的一個(gè)充分條件，故A錯(cuò)誤；對于B，，即，即，所以是的必要不充分條件，故B錯(cuò)誤；對于C，，即，故是的充要條件，故C錯(cuò)誤；對于D，，即，，故是的一個(gè)充分不必要條件，故D正確.故選：D6.已知正方體的內(nèi)切球的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正方體的邊長為，則正方體內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的體積等于，解得，所以正方體的體對角線等于，所以正方體外接球的半徑等于，則外接球的表面積等于，故選:B.7.將5名學(xué)生分配到3個(gè)社區(qū)當(dāng)志愿者，每個(gè)社區(qū)至少分配1名學(xué)生，則不同的分配方法種數(shù)是（）A.24 B.50 C.72 D.150【答案】D【解析】可以分組為1、1、3，或1、2、2兩種情況，若分組為1、1、3，則有；若分組為1、2、2，則有；則不同分法為60+90=150種.故選：D8.已知雙曲線，圓經(jīng)過直線，的四個(gè)交點(diǎn)，且圓與在第一象限交于點(diǎn)，與軸分別交于點(diǎn)，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意，圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑，點(diǎn)即雙曲線的左右兩焦點(diǎn)，故有①，且因?yàn)閳A的直徑，可得，則有②，將①式兩邊取平方，，解得，故的面積為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】，對A，若，則，則根據(jù)有，顯然矛盾，故A錯(cuò)誤；對B，假設(shè)，則，根據(jù)有，顯然矛盾，則，故B正確；對C，由A知，，則，故C正確；對D，顯然，必有，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動，它在時(shí)間（單位：）時(shí)相對于平衡位置的高度（單位：）由關(guān)系式確定，則下列說法正確的是（）A.小球在開始振動（即）時(shí)在平衡位置上方處B.每秒鐘小球能往復(fù)振動次C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.小球從到時(shí)運(yùn)動的路程是【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，，故A正確；小球往復(fù)振動的周期為，所以每秒鐘小球能往復(fù)振動次，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；由，又，，所以小球從到時(shí)運(yùn)動路程是，故D正確.故選：ACD.11.設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，．若存在實(shí)數(shù)，使得，同時(shí)成立，則下列說法一定正確的是（）A.若，則B.C.的最大值是4D.的最大值是5【答案】C【解析】，則；，則，即；，則，即；，則，即；；，則，即.設(shè)，則，即因，則，即，因，則，因，則，故使得，同時(shí)成立的的最大值是4.故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則________．【答案】【解析】.故答案：.13.已知經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的離心率為________．【答案】【解析】橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由題意可得，解得，所以，則，所以的離心率.故答案為：.14.已知直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點(diǎn)，則取最小值時(shí)，________，最小值為________．【答案】①.②.【解析】由可得，，即，所以函數(shù)，互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，因直線互相垂直，所以問題可轉(zhuǎn)化為求上點(diǎn)到直線距離的最小值的2倍，因?yàn)?，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，有最小值3，此時(shí)，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某物業(yè)公司為提高對某小區(qū)的服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了該小區(qū)50名男業(yè)主和50名女業(yè)主，每位業(yè)主對該物業(yè)公司的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價(jià)，得到如下列聯(lián)表：滿意不滿意男業(yè)主4010女業(yè)主3020（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該小區(qū)男、女業(yè)主對該物業(yè)公司服務(wù)的評價(jià)有差異？（2）從該小區(qū)的業(yè)主中任選一人，表示事件“選到的人對該物業(yè)公司的服務(wù)不滿意”，表示事件“選到的人為女業(yè)主”，利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計(jì)值．附：．0.050.010.0053.8416.6357.879解：（1）因?yàn)?，所以依?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為有差異；（2）由題意，所以.16.已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為圓上不同于，的一點(diǎn)．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．（1）求角；（2）若，求的面積．解：（1）圓心到直線的距離，圓的半徑，所以，又為外接圓上一點(diǎn)，所以，解之得，因?yàn)?，所以或；?）由余弦定理得：，即，即，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉樽畲筮?，所以，與矛盾，所以不成立，舍去，綜上所述，的面積為.17.在四棱錐中，，，平面平面，，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（1）證明：在四棱錐中，由，，得，連接，而，則為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，又，與相交，平面，所以平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，，，由平面，平面，得，即兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，，顯然為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值是.18已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若有唯一的零點(diǎn)，求的值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在處的切線方程為，即．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則g'(x)=a即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，使得，即，且當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，又當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故