2025屆河北省秦皇島市山海關(guān)區(qū)高三畢業(yè)班第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省秦皇島市山海關(guān)區(qū)2025屆高三畢業(yè)班第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，，.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，即，解得，所以.故選：D.3.已知向量，若，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，則，又，則，整理得到，故選：A.4.折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史.如圖所示的某折扇扇面可視為一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，該扇面的面積為元，若該圓臺(tái)上、下底面半徑分別為5，10，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，圓臺(tái)的側(cè)面積為，母線長(zhǎng)圓臺(tái)的高則圓臺(tái)上下底面面積為由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所?故選：D6.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題a=log，且c=1+log9，綜上，，即.故選：B.7.設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C上，過(guò)點(diǎn)P作兩條漸近線的垂線，垂足分別為D，E，若，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】設(shè)，則，即，雙曲線C的漸近線方程為，所以，又，平方后得，又在中，由可得，所以，兩式相減，整理得，所以，因?yàn)?，所以，解得．故選：C.8.在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，且，，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在的外部，且，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，知且，底面，若是的中點(diǎn)，而，則，且，而底面，則，都在平面內(nèi)，則平面，由平面，則，又底面，則，由，則，即，由點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在的外部，則在邊的外側(cè)，如下圖，若在的另一側(cè)，則必與的中點(diǎn)重合，不合題設(shè)，由題意，該三棱錐外接球球心在過(guò)的中點(diǎn)垂直于平面的直線上，根據(jù)幾何關(guān)系有，則，所以，可得，（注意時(shí)，不成立），所以，外接球半徑，則，故其表面積.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某科技公司統(tǒng)計(jì)了一款A(yù)pp最近5個(gè)月的下載量，如下表所示，若與線性相關(guān)，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）月份編號(hào)12345下載量萬(wàn)次54.543.52.5A.與負(fù)相關(guān) B.C.第7個(gè)月的下載量估計(jì)為1.8萬(wàn)次 D.殘差絕對(duì)值的最大值為0.2【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由，則回歸直線斜向下，故A正確；對(duì)于B，由，，即樣本中心為，則，解得，故B正確；對(duì)于C，將代入回歸方程，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意可得下表：則最大值為，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C.方程在區(qū)間上有2026個(gè)實(shí)數(shù)解D.若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】AB【解析】由函數(shù)圖象可知，最小正周期滿足，即，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)，將其代入函數(shù)可得，即，解得，又因?yàn)?，所以，，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心是，所以令，可得，當(dāng)時(shí)，，所以，點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；對(duì)于C，令，得.當(dāng)時(shí)，即，則在區(qū)間上，共有1013個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，即，則在區(qū)間上，共有1012個(gè)實(shí)數(shù)解.綜上，方程在區(qū)間上有個(gè)實(shí)數(shù)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由函數(shù)定義域可知，，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以要使函數(shù)單調(diào)遞增，即函數(shù)單調(diào)遞減，且，所以，解得.所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.記定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.是周期函數(shù)，且其中一個(gè)周期為8 D.【答案】BC【解析】由題意，函數(shù)與的定義域均為.由求導(dǎo)可得，即，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；由求導(dǎo)可得，，，則（常數(shù)），令，則有，所以，即，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.又由可得，則有，，，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期.證明如下：由可得，由上述結(jié)論可知，所以.則，即，又由可得，所以.所以是周期函數(shù)，且其中一個(gè)周期為8，故C正確；對(duì)于A，因?yàn)椋?，若，則，與矛盾.故A錯(cuò)誤；對(duì)于D，由求導(dǎo)可得，則有，因?yàn)椋詣t（是常數(shù)），令，可得，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.所以，函數(shù)也是周期函數(shù)，周期.，令，可得，根據(jù)對(duì)稱性可知，，所以.所以，不確定是否為0，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前6項(xiàng)和為126，其中偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，則______．【答案】2【解析】由題設(shè)，可得，若的公比為，則，所以，則.故答案為：213.將1，1，1，1，2，4，6，8這8個(gè)數(shù)填入如圖所示的格子中（要求每個(gè)數(shù)都要填入，每個(gè)格子中只能填一個(gè)數(shù)），則不同的填數(shù)方法共有______種；若填入的每行數(shù)之和為偶數(shù)，則不同的填數(shù)方法共有______種（用數(shù)字作答）.【答案】①.1680②.912【解析】首先任選4個(gè)格子填1，有種，再將余下的4個(gè)數(shù)填入其它4個(gè)格子，有種，所以，不同的填數(shù)方法共有種，要使填入的每行數(shù)之和為偶數(shù)，第1、2行填1的個(gè)數(shù)有三種情況，若，即第1行0個(gè)1，第2行4個(gè)1，此時(shí)有種；若，即第1行、第2行各2個(gè)1，此時(shí)有種；若，即第1行4個(gè)1，第2行0個(gè)1，此時(shí)有種；所以共有種.故答案為：1680，91214.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在橢圓上，則的最小值是__________．【答案】【解析】橢圓的，

右焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，

點(diǎn)在圓上，可設(shè)，

，

表示點(diǎn)與的距離，

由橢圓的定義可得，

，

當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線上式取得等號(hào)，

故的最小值是，

故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.年哈爾濱亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)，是繼年北京冬奧會(huì)后中國(guó)舉辦的又一重大國(guó)際綜合性冰雪盛會(huì)，將于年月日至月日在黑龍江省哈爾濱市舉行，人們將在觀看比賽的同時(shí)，開(kāi)始投入健身的行列.某興趣小組為了解哈爾濱市不同年齡段的市民每周鍛煉的時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：年齡周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)合計(jì)少于小時(shí)不少于小時(shí)歲以下歲以上（含）合計(jì)（1）試根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)是否與年齡有關(guān)；（2）現(xiàn)從歲以下的樣本中按周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)是否少于小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人做進(jìn)一步訪談，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人填寫(xiě)調(diào)查問(wèn)卷．記抽取人中周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．解：（1）零假設(shè)：周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)是否與年齡無(wú)關(guān)，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，又，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷假設(shè)不成立，即周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān).（2）抽取的人中，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于小時(shí)的有人，不少于小時(shí)的有人，所以所有可能的取值為，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.16.如圖①，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，分別為的中點(diǎn)，沿將四邊形折起，如圖②，使二面角的大小為60°，在線段上，直線與直線的交點(diǎn)為．（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角余弦值．（1）證明：連接交于點(diǎn)Q，連接，因?yàn)檎叫?，分別為的中點(diǎn)，所以四邊形為矩形，所以為中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，所以為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：由題知：，二面角的大小為60°，故：是二面角平面角，，又，所以為正三角形，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，易證：面，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則則，設(shè)直線與平面的夾角為，則，又，所以，所以，直線與平面所成角的余弦值為.17.已知銳角三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足．（1）求；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由，根據(jù)正弦定理，得，由，，則，即，而，故,又，所以.（2）由正弦定理，且，則，，由，則，由，則，即，可得，令，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，所以.18.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，若上存在一點(diǎn)，使得，求的取值范圍；（3）過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，，位于軸的同側(cè)，證明：為定值．解：（1）由題意可知：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為，所以拋物線E的方程為.（2）設(shè)，可知，則，可得，顯然不滿足上式，則，可得，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則，即，所以t的取值范圍為.（3）設(shè)，則直線的斜率，可得直線的方程，整理得，同理可得：直線的方程，由題意可得：，整理得，又因?yàn)橹本€的斜率分別為，顯然為銳角，則，所以為定值.19.對(duì)于數(shù)列，定義：如果函數(shù)使得數(shù)列的前項(xiàng)和小于，則稱數(shù)列是“控制數(shù)列”.（1）設(shè)，證明：存在，使得等差數(shù)列是“控制數(shù)列”；（2）設(shè)，判斷數(shù)列是否為“控制數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（3）仿照上述定義，我們還可以定義：如果存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列的前項(xiàng)積小于，則稱數(shù)列是“特控?cái)?shù)列”.設(shè)，其中，證明：數(shù)列是“特控?cái)?shù)列”.（1）證明：不妨設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，前n項(xiàng)和為，則，取，，，則，有，即，即存在，使得等差數(shù)列是“控制數(shù)列”；（2）解：數(shù)列是“控制數(shù)列”，理由如下：令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．則，即，時(shí)取等號(hào)．則，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，即，即數(shù)列是“控制數(shù)列”；（3）證明：要證數(shù)列是“特控?cái)?shù)列”，即證，因?yàn)椋?，，?duì)兩邊取對(duì)數(shù)，有，即證，即證，由（2）知當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，則只需證，即證，即證，由，則，則，令，，則，故在上單調(diào)遞減，則，即在上恒成立，即，故，即數(shù)列是“特控?cái)?shù)列”．河北省秦皇島市山海關(guān)區(qū)2025屆高三畢業(yè)班第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，，.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，即，解得，所以.故選：D.3.已知向量，若，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，則，又，則，整理得到，故選：A.4.折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史.如圖所示的某折扇扇面可視為一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，該扇面的面積為元，若該圓臺(tái)上、下底面半徑分別為5，10，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，圓臺(tái)的側(cè)面積為，母線長(zhǎng)圓臺(tái)的高則圓臺(tái)上下底面面積為由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所?故選：D6.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題a=log，且c=1+log9，綜上，，即.故選：B.7.設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C上，過(guò)點(diǎn)P作兩條漸近線的垂線，垂足分別為D，E，若，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】設(shè)，則，即，雙曲線C的漸近線方程為，所以，又，平方后得，又在中，由可得，所以，兩式相減，整理得，所以，因?yàn)?，所以，解得．故選：C.8.在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，且，，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在的外部，且，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，知且，底面，若是的中點(diǎn)，而，則，且，而底面，則，都在平面內(nèi)，則平面，由平面，則，又底面，則，由，則，即，由點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在的外部，則在邊的外側(cè)，如下圖，若在的另一側(cè)，則必與的中點(diǎn)重合，不合題設(shè)，由題意，該三棱錐外接球球心在過(guò)的中點(diǎn)垂直于平面的直線上，根據(jù)幾何關(guān)系有，則，所以，可得，（注意時(shí)，不成立），所以，外接球半徑，則，故其表面積.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某科技公司統(tǒng)計(jì)了一款A(yù)pp最近5個(gè)月的下載量，如下表所示，若與線性相關(guān)，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）月份編號(hào)12345下載量萬(wàn)次54.543.52.5A.與負(fù)相關(guān) B.C.第7個(gè)月的下載量估計(jì)為1.8萬(wàn)次 D.殘差絕對(duì)值的最大值為0.2【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由，則回歸直線斜向下，故A正確；對(duì)于B，由，，即樣本中心為，則，解得，故B正確；對(duì)于C，將代入回歸方程，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意可得下表：則最大值為，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C.方程在區(qū)間上有2026個(gè)實(shí)數(shù)解D.若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】AB【解析】由函數(shù)圖象可知，最小正周期滿足，即，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)，將其代入函數(shù)可得，即，解得，又因?yàn)?，所以，，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心是，所以令，可得，當(dāng)時(shí)，，所以，點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；對(duì)于C，令，得.當(dāng)時(shí)，即，則在區(qū)間上，共有1013個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，即，則在區(qū)間上，共有1012個(gè)實(shí)數(shù)解.綜上，方程在區(qū)間上有個(gè)實(shí)數(shù)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由函數(shù)定義域可知，，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以要使函數(shù)單調(diào)遞增，即函數(shù)單調(diào)遞減，且，所以，解得.所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.記定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.是周期函數(shù)，且其中一個(gè)周期為8 D.【答案】BC【解析】由題意，函數(shù)與的定義域均為.由求導(dǎo)可得，即，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；由求導(dǎo)可得，，，則（常數(shù)），令，則有，所以，即，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.又由可得，則有，，，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期.證明如下：由可得，由上述結(jié)論可知，所以.則，即，又由可得，所以.所以是周期函數(shù)，且其中一個(gè)周期為8，故C正確；對(duì)于A，因?yàn)?，，若，則，與矛盾.故A錯(cuò)誤；對(duì)于D，由求導(dǎo)可得，則有，因?yàn)?，所以則（是常數(shù)），令，可得，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.所以，函數(shù)也是周期函數(shù)，周期.，令，可得，根據(jù)對(duì)稱性可知，，所以.所以，不確定是否為0，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前6項(xiàng)和為126，其中偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，則______．【答案】2【解析】由題設(shè)，可得，若的公比為，則，所以，則.故答案為：213.將1，1，1，1，2，4，6，8這8個(gè)數(shù)填入如圖所示的格子中（要求每個(gè)數(shù)都要填入，每個(gè)格子中只能填一個(gè)數(shù)），則不同的填數(shù)方法共有______種；若填入的每行數(shù)之和為偶數(shù)，則不同的填數(shù)方法共有______種（用數(shù)字作答）.【答案】①.1680②.912【解析】首先任選4個(gè)格子填1，有種，再將余下的4個(gè)數(shù)填入其它4個(gè)格子，有種，所以，不同的填數(shù)方法共有種，要使填入的每行數(shù)之和為偶數(shù)，第1、2行填1的個(gè)數(shù)有三種情況，若，即第1行0個(gè)1，第2行4個(gè)1，此時(shí)有種；若，即第1行、第2行各2個(gè)1，此時(shí)有種；若，即第1行4個(gè)1，第2行0個(gè)1，此時(shí)有種；所以共有種.故答案為：1680，91214.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在橢圓上，則的最小值是__________．【答案】【解析】橢圓的，

右焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，

點(diǎn)在圓上，可設(shè)，

，

表示點(diǎn)與的距離，

由橢圓的定義可得，

，

當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線上式取得等號(hào)，

故的最小值是，

故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.年哈爾濱亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)，是繼年北京冬奧會(huì)后中國(guó)舉辦的又一重大國(guó)際綜合性冰雪盛會(huì)，將于年月日至月日在黑龍江省哈爾濱市舉行，人們將在觀看比賽的同時(shí)，開(kāi)始投入健身的行列.某興趣小組為了解哈爾濱市不同年齡段的市民每周鍛煉的時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：年齡周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)合計(jì)少于小時(shí)不少于小時(shí)歲以下歲以上（含）合計(jì)（1）試根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)是否與年齡有關(guān)；（2）現(xiàn)從歲以下的樣本中按周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)是否少于小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人做進(jìn)一步訪談，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人填寫(xiě)調(diào)查問(wèn)卷．記抽取人中周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．解：（1）零假設(shè)：周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)是否與年齡無(wú)關(guān)，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，又，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷假設(shè)不成立，即周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān).（2）抽取的人中，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于小時(shí)的有人，不少于小時(shí)的有人，所以所有可能的取值為，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.16.如圖①，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，分別為的中點(diǎn)，沿將四邊形折起，如圖②，使二面角的大小為60°，在線段上，直線與直線的交點(diǎn)為．（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角余弦值．（1）證明：連接交于點(diǎn)Q，連接，因?yàn)檎叫?，分別為的中點(diǎn)，所以四邊形為矩形，所以為中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，所以為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：由題知：，二面角的大小為60°，故：是二面角平面角，，又，所以為正三角形，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，易證：面，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則則，設(shè)直線與平面的夾角為，