2025屆河北省衡水市高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省衡水市2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知某扇形的圓心角為2rad，面積為25，則該扇形所對(duì)應(yīng)圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵撋刃蔚膱A心角為，面積為25，根據(jù)，可得，所以.故選：2.已知，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由，得，即，因此，所以在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B3.的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)為（）A.60 B.64 C.72 D.84【答案】A【解析】的展開式中第5項(xiàng)為，所以所求的系數(shù)為60.故選：A4.已知非零向量，滿足，則（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】由，得，則共線，因此，整理得，而為非零向量，所以.故選：B5.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則的最大值為（）A.16 B.18 C.23 D.25【答案】D【解析】設(shè)公差為，則，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故選：D6.加密運(yùn)算在信息傳送中具有重大作用對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其密鑰，定義算法，其中，，…，.將數(shù)據(jù)，，…，加密為，，…，的過程稱為型單向加密.現(xiàn)將一組數(shù)據(jù)，，，，，進(jìn)行型單向加密，則加密后的新數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】依題意，密鑰，則加密后的新數(shù)據(jù)依次為，將加密后的新數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，由，得加密后的新數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為6.故選：C7.已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正數(shù)，，滿足，故，令，故，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故.故選：D8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若上的點(diǎn)，滿足，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由及，得，由，得，在中，，令橢圓的焦距為，在中，，則，，所以的離心率.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)事件，滿足，，，則（）A事件與事件相互獨(dú)立 B.C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A，由，得，即，事件與事件相互獨(dú)立，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，事件相互獨(dú)立，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：AD10.半徑為3的球上相異三點(diǎn)，，構(gòu)成邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)為球上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)（）A.三棱錐的體積為B.三棱錐的內(nèi)切球半徑為C.三棱錐的體積為D.三棱錐的外接球半徑為3【答案】BCD【解析】對(duì)于A，設(shè)的中心為，由正弦定理可得，由球的截面性質(zhì)可得平面，所以，所以三棱錐的體積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，由等體積法可得，解得，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，故C正確；對(duì)于D，三棱錐的外接球即為球，所以半徑為3，故D正確.故選：BCD11.數(shù)據(jù)處理過程中常常涉及復(fù)雜問題，此時(shí)需要利用符號(hào)來衡量某個(gè)操作的復(fù)雜度.設(shè)定義在全體正整數(shù)上的函數(shù)與，若存在正常數(shù)，同時(shí)存在常數(shù)，使任意時(shí)，，則稱是的復(fù)雜函數(shù)，則下列函數(shù)中，滿足是的復(fù)雜函數(shù)有（）（設(shè)均為非零實(shí)數(shù)）A.， B.，C.， D.，【答案】ABD【解析】對(duì)于A，存在正常數(shù)，取，對(duì)任意，，因此是的復(fù)雜函數(shù)，A是；對(duì)于B，存在正常數(shù)，取，對(duì)任意，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，，函數(shù)在上遞增，，則，因此，是的復(fù)雜函數(shù)，B是；對(duì)于C，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋虼瞬淮嬖谡?shù)，使得成立，而，即不存在正常數(shù)，使得成立，不是的復(fù)雜函數(shù)，C不是；對(duì)于D，存在常數(shù)，取常數(shù)，對(duì)任意，，因此是的復(fù)雜函數(shù)，D是.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的焦距為，則雙曲線C的漸近線方程為________．【答案】【解析】由題意可得：，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則，故雙曲線C的漸近線方程為，即.故答案為：.13.設(shè)集合，，若，則______.【答案】【解析】在中，，則且，而，，顯然，因此，解得，所以.故答案為：14.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，則______.【答案】【解析】由，得，令，即，整理得，即，解得或，則或，或，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，得，即，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)或，使得，不符合要求；當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，符合要求，因此，，，，，，，，而，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求，；（2）證明：時(shí)，.解：（1），故且，解得，故，，令得，令得，所以在處取得極值，滿足要求；（2）時(shí)，，令，，則，故在上單調(diào)遞減，則，所以，，證畢.16.如圖，圓柱中，是底面圓上的一條直徑，，分別是底面，圓周上的一點(diǎn)，，，且點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合.（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)槭堑酌鎴A上的一條直徑，所以⊥，因?yàn)椤偷酌鎴A，，所以⊥底面圓，因?yàn)榈酌鎴A，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以平面⊥平面；?）解：因?yàn)椤偷酌鎴A，圓，所以⊥，⊥，所以為二面角的平面角，故，又，所以為等邊三角形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，故，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，得，故，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，直線與平面所成角正弦值為.17.記銳角內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）求的最大值.（1）證明：在中，由及正弦定理，得，則，而，則，于是，整理得，因此，所以.（2）解：在銳角中，由（1）知，，則，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，，所以的最大值為1.18.已知數(shù)列滿足，.記的前項(xiàng)和為，且是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（1）求，的值；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）求的通項(xiàng)公式，并證明：.（1）解：由是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，得，則，而，所以.（2）解：數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)為奇數(shù)，時(shí)，，滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)為偶數(shù)，時(shí)，，滿足上式，因此當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以的通項(xiàng)公式是.（3）證明：由（2）知，，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，，所以.19.過三角形的重心作一直線，若這條直線將該三角形分成面積比為的兩部分，則稱這條直線為型直線，其中，，且.等邊的邊長(zhǎng)為，重心為點(diǎn)，以動(dòng)點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，該圓與線段相切，記點(diǎn)的軌跡為.（1）探究在中是否存在與相切的型直線，并證明；（2）若點(diǎn)在的2型直線上，在點(diǎn)處的切線與交于，兩點(diǎn)，求；（3）若的外接圓與直線相切，且與的一條型直線相切，求的最小值.（1）證明：存在與相切的型線，證明如下：以為軸，邊中線的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意可知圓與線段相切，所以到距離與到點(diǎn)的距離相等，所以軌跡為拋物線，因?yàn)闉榈冗吶切危赃叺闹芯€長(zhǎng)為6，即，的軌跡方程為，且.根據(jù)三角形的性質(zhì)，易得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立，消得，所以，解得，當(dāng)時(shí)，直線為，點(diǎn)在直線上，此時(shí)直線分三角形面積之比為，同理，時(shí)，直線過點(diǎn)，也分三角形面積之比為，所以存在兩條2型線，得證.（2）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的重心為，因?yàn)辄c(diǎn)在的2型直線上，且因?yàn)椋?，即分面積為，所以過的頂點(diǎn)，又因?yàn)?，排除在、上，所以在CD上，于是，解得，此時(shí)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的切線為，與交于，即為的中位線，所以.（3）解：因?yàn)榫€段的中垂線為，所以設(shè)圓心為，又因?yàn)榈耐饨訄A與直線：相切，所以圓心到的距離等于圓心到點(diǎn)的距離，所以，解得，即圓心為，半徑為4，則外接圓方程為，設(shè)該型直線為，要與外接圓相切，則，解得，則為，所以與邊平行，由相似可得，所以設(shè)，故的最小值為.河北省衡水市2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知某扇形的圓心角為2rad，面積為25，則該扇形所對(duì)應(yīng)圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵撋刃蔚膱A心角為，面積為25，根據(jù)，可得，所以.故選：2.已知，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由，得，即，因此，所以在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B3.的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)為（）A.60 B.64 C.72 D.84【答案】A【解析】的展開式中第5項(xiàng)為，所以所求的系數(shù)為60.故選：A4.已知非零向量，滿足，則（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】由，得，則共線，因此，整理得，而為非零向量，所以.故選：B5.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則的最大值為（）A.16 B.18 C.23 D.25【答案】D【解析】設(shè)公差為，則，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故選：D6.加密運(yùn)算在信息傳送中具有重大作用對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其密鑰，定義算法，其中，，…，.將數(shù)據(jù)，，…，加密為，，…，的過程稱為型單向加密.現(xiàn)將一組數(shù)據(jù)，，，，，進(jìn)行型單向加密，則加密后的新數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】依題意，密鑰，則加密后的新數(shù)據(jù)依次為，將加密后的新數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，由，得加密后的新數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為6.故選：C7.已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正數(shù)，，滿足，故，令，故，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故.故選：D8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若上的點(diǎn)，滿足，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由及，得，由，得，在中，，令橢圓的焦距為，在中，，則，，所以的離心率.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)事件，滿足，，，則（）A事件與事件相互獨(dú)立 B.C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A，由，得，即，事件與事件相互獨(dú)立，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，事件相互獨(dú)立，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：AD10.半徑為3的球上相異三點(diǎn)，，構(gòu)成邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)為球上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)（）A.三棱錐的體積為B.三棱錐的內(nèi)切球半徑為C.三棱錐的體積為D.三棱錐的外接球半徑為3【答案】BCD【解析】對(duì)于A，設(shè)的中心為，由正弦定理可得，由球的截面性質(zhì)可得平面，所以，所以三棱錐的體積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，由等體積法可得，解得，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，故C正確；對(duì)于D，三棱錐的外接球即為球，所以半徑為3，故D正確.故選：BCD11.數(shù)據(jù)處理過程中常常涉及復(fù)雜問題，此時(shí)需要利用符號(hào)來衡量某個(gè)操作的復(fù)雜度.設(shè)定義在全體正整數(shù)上的函數(shù)與，若存在正常數(shù)，同時(shí)存在常數(shù)，使任意時(shí)，，則稱是的復(fù)雜函數(shù)，則下列函數(shù)中，滿足是的復(fù)雜函數(shù)有（）（設(shè)均為非零實(shí)數(shù)）A.， B.，C.， D.，【答案】ABD【解析】對(duì)于A，存在正常數(shù)，取，對(duì)任意，，因此是的復(fù)雜函數(shù)，A是；對(duì)于B，存在正常數(shù)，取，對(duì)任意，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，，函數(shù)在上遞增，，則，因此，是的復(fù)雜函數(shù)，B是；對(duì)于C，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，因此不存在正常?shù)，使得成立，而，即不存在正常數(shù)，使得成立，不是的復(fù)雜函數(shù)，C不是；對(duì)于D，存在常數(shù)，取常數(shù)，對(duì)任意，，因此是的復(fù)雜函數(shù)，D是.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的焦距為，則雙曲線C的漸近線方程為________．【答案】【解析】由題意可得：，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則，故雙曲線C的漸近線方程為，即.故答案為：.13.設(shè)集合，，若，則______.【答案】【解析】在中，，則且，而，，顯然，因此，解得，所以.故答案為：14.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，則______.【答案】【解析】由，得，令，即，整理得，即，解得或，則或，或，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，得，即，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)或，使得，不符合要求；當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，符合要求，因此，，，，，，，，而，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求，；（2）證明：時(shí)，.解：（1），故且，解得，故，，令得，令得，所以在處取得極值，滿足要求；（2）時(shí)，，令，，則，故在上單調(diào)遞減，則，所以，，證畢.16.如圖，圓柱中，是底面圓上的一條直徑，，分別是底面，圓周上的一點(diǎn)，，，且點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合.（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)槭堑酌鎴A上的一條直徑，所以⊥，因?yàn)椤偷酌鎴A，，所以⊥底面圓，因?yàn)榈酌鎴A，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以平面⊥平面；?）解：因?yàn)椤偷酌鎴A，圓，所以⊥，⊥，所以為二面角的平面角，故，又，所以為等邊三角形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，故，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，得，故，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，直線與平面所成角正弦值為.17.記銳角內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）求的最大值.（1）證明：在中，由及正弦定理，得，則，而，則，于是，整理得，因此，所以.（2）解：在銳角中，由（1）知，，則，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，，所以的最大值為1.18.已知數(shù)列滿足，.記的前項(xiàng)和為，且是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（1）求，的值；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）求的通項(xiàng)公式，并證明：.（1）解：由是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，得，則，而，所以.（2）解：數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)為奇數(shù)，時(shí)，，滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，