2025屆甘肅省隴南市禮縣高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1甘肅省隴南市禮縣2025屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則中所含元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】，，故選：B.2.復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，所以，，所以，解得，，故，即復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3.已知是單位向量，且，在上的投影向量為，則與的夾角為（）A B. C. D.【答案】D【解析】若在上投影向量為，即，由，則有，即，可得，又由，則有，解可得：，設(shè)與的夾角為，則，又由，則；故選：D4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為（）A.5 B.10 C.9 D.6【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，且(由可得)，，，又，，，解得，.故選：A.5.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，又因?yàn)?，所以得：，則，即，故選：C.6.已知正三棱錐底面邊長為，且其側(cè)面積是底面積的倍，則此正三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在正三棱錐中，設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為，則為正的中心，延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)檎倪呴L為，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，則，則，，由題意可知，正三棱錐的側(cè)面積為，則，即，故，因?yàn)闉檎闹行模瑒t，因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，，因此，該三棱錐的體積為.故選：D.7.若雙曲線與雙曲線的漸近線相同，則稱雙曲線與雙曲線為“共漸雙曲線”.設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，為等邊三角形，雙曲線與雙曲線為“共漸雙曲線”，且雙曲線的焦距為16，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意：，設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，由雙曲線的定義，故，由于，化為，故，則進(jìn)而可得，故雙曲線的漸近線方程為，因此的漸近線方程為，即，由于焦距為，解得，故的方程為.故選：C8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，存在常?shù)，使得對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】存在常數(shù)，使得對(duì)任意，都有，函數(shù)的周期是當(dāng)時(shí)，，且即，函數(shù)在和單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即，故選：二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.隨機(jī)變量，則B.隨機(jī)變量，則當(dāng)時(shí)概率最大C.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，“至少有一個(gè)紅球”與“至少有一個(gè)白球”是互斥事件D.袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，從中一次性摸出2個(gè)球，則摸到紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布【答案】ABD【解析】對(duì)于A，隨機(jī)變量，則，A正確；對(duì)于B，隨機(jī)變量，則，，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，最大，B正確；對(duì)于C，“至少有一個(gè)紅球”與“至少有一個(gè)白球”的事件可以同時(shí)發(fā)生，即取出的兩球?yàn)橐患t一白的事件，因此它們不互斥，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為，則，符合超幾何分布，D正確.故選：ABD10.已知圓，則下列說法正確的是（）A.若圓與軸相切，則B.若直線平分圓的周長，則C.圓的圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為D.圓與圓可能外切【答案】BC【解析】對(duì)于A，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與軸相切，，解得：或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橹本€平分圓的周長，所以圓的圓心在直線上，，解得：，故B正確；對(duì)于C，圓的圓心到原點(diǎn)的距離，所以當(dāng)時(shí)，最小值為，故C正確；對(duì)于D，圓的圓心為，半徑為，故圓與圓外切的條件為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立，此時(shí)方程不表示圓，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知數(shù)列滿足：，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，下列命題正確的是（）A. B.數(shù)列是遞減數(shù)列C. D.【答案】AD【解析】由題意，則，設(shè)，則，所以在上的單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)時(shí)，可得，即，設(shè)，則，所以在上的單調(diào)遞增，所以，取，可得，即所以，所以選項(xiàng)A正確.設(shè)，則，由上在上恒成立，則，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.由，所以，所以選項(xiàng)C不正確.由數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，由上，則，所以，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：

AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為____________．【答案】【解析】，令，則，所以.故答案為：13.函數(shù)的最大值是____________．【答案】【解析】由求導(dǎo)可得：，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，由于當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以可知函數(shù)最大值為，故答案為：.14.在中，，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若存在點(diǎn)，使，則最大值為____________．【答案】【解析】已知，變形可得，即.根據(jù)向量共線定理可知，與共線，所以點(diǎn)在直線上.

以在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，，.因?yàn)?，根?jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，兩邊同時(shí)平方展開并化簡得：，配方可得：，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.

因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)，使，所以為點(diǎn)到直線的距離的最小值.由點(diǎn)的軌跡可知，圓心到直線（軸）的距離為，圓的半徑為，所以的最大值為圓的半徑.

故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)是的外接圓的圓心，，，．（1）求該外接圓的面積；（2）求．解：（1）由，得，所以，所以，由余弦定理得，由正弦定理得，所以，所以圓的面積.（2）取的中點(diǎn)，連接，，則，所以，由余弦定理得，所以.16.已知相關(guān)變量和的散點(diǎn)圖如圖所示，擬用①，②（其中均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）兩個(gè)模型擬合，令，計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：2066770200144604.2031250000.30821500（1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的模型；（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程．（系數(shù)精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，；②．解：（1）由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：，則，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好.（2）先建立關(guān)于的線性回歸方程.由，得，即.由于所以關(guān)于的線性回歸方程為，所以，則.17.已知函數(shù)（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）試討論的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)，，所以，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，解得或.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.18.如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點(diǎn)，、是圓臺(tái)上底面圓上的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，.（1）證明：平面．（2）求四面體的外接球的表面積；（3）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．（1）證明：因?yàn)?，，所以，，所以，，因?yàn)闉閳A一條直徑，是圓上異于、的點(diǎn)，則，因?yàn)?，、平面，，故平?（2）解：因?yàn)槠矫?，且為正三角形，將三棱錐補(bǔ)成正三棱柱，設(shè)正的中心為點(diǎn)，正的中心為，則的中點(diǎn)為外接球球心，的外接圓半徑為，，所以，外接球的半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為.（3）解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，過點(diǎn)作垂直于底面的垂線為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，所以，，，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，不妨設(shè)，，則，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，直線與平面所成角的正弦值的最大值為.19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，直線與軸交于點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的兩條切線，分別交軸于點(diǎn)．①證明：直線的斜率成等差數(shù)列．②設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由右焦點(diǎn)知，，所以，若，則，即，方程無解；若，則，所以，所以，所以橢圓的方程為.（2）①設(shè)，易知過且與相切的直線斜率存在，方程設(shè)為，聯(lián)立方程，消得，，即，設(shè)直線的斜率分別為，所以，，，所以，即直線的斜率成等差數(shù)列.②直線的方程為，令，得，所以，同理可得，所以的中垂線為，中點(diǎn)為，所以直線的中垂線為，聯(lián)立，解得，所以，所以，，，即，所以，即，所以，解得，所以，所以.所以存在點(diǎn)，使得，此時(shí).甘肅省隴南市禮縣2025屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則中所含元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】，，故選：B.2.復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，所以，，所以，解得，，故，即復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3.已知是單位向量，且，在上的投影向量為，則與的夾角為（）A B. C. D.【答案】D【解析】若在上投影向量為，即，由，則有，即，可得，又由，則有，解可得：，設(shè)與的夾角為，則，又由，則；故選：D4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為（）A.5 B.10 C.9 D.6【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，且(由可得)，，，又，，，解得，.故選：A.5.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，又因?yàn)?，所以得：，則，即，故選：C.6.已知正三棱錐底面邊長為，且其側(cè)面積是底面積的倍，則此正三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在正三棱錐中，設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為，則為正的中心，延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)檎倪呴L為，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，則，則，，由題意可知，正三棱錐的側(cè)面積為，則，即，故，因?yàn)闉檎闹行?，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，，因此，該三棱錐的體積為.故選：D.7.若雙曲線與雙曲線的漸近線相同，則稱雙曲線與雙曲線為“共漸雙曲線”.設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，為等邊三角形，雙曲線與雙曲線為“共漸雙曲線”，且雙曲線的焦距為16，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意：，設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，由雙曲線的定義，故，由于，化為，故，則進(jìn)而可得，故雙曲線的漸近線方程為，因此的漸近線方程為，即，由于焦距為，解得，故的方程為.故選：C8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，存在常?shù)，使得對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】存在常數(shù)，使得對(duì)任意，都有，函數(shù)的周期是當(dāng)時(shí)，，且即，函數(shù)在和單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即，故選：二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.隨機(jī)變量，則B.隨機(jī)變量，則當(dāng)時(shí)概率最大C.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，“至少有一個(gè)紅球”與“至少有一個(gè)白球”是互斥事件D.袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，從中一次性摸出2個(gè)球，則摸到紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布【答案】ABD【解析】對(duì)于A，隨機(jī)變量，則，A正確；對(duì)于B，隨機(jī)變量，則，，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，最大，B正確；對(duì)于C，“至少有一個(gè)紅球”與“至少有一個(gè)白球”的事件可以同時(shí)發(fā)生，即取出的兩球?yàn)橐患t一白的事件，因此它們不互斥，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為，則，符合超幾何分布，D正確.故選：ABD10.已知圓，則下列說法正確的是（）A.若圓與軸相切，則B.若直線平分圓的周長，則C.圓的圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為D.圓與圓可能外切【答案】BC【解析】對(duì)于A，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與軸相切，，解得：或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橹本€平分圓的周長，所以圓的圓心在直線上，，解得：，故B正確；對(duì)于C，圓的圓心到原點(diǎn)的距離，所以當(dāng)時(shí)，最小值為，故C正確；對(duì)于D，圓的圓心為，半徑為，故圓與圓外切的條件為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立，此時(shí)方程不表示圓，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知數(shù)列滿足：，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，下列命題正確的是（）A. B.數(shù)列是遞減數(shù)列C. D.【答案】AD【解析】由題意，則，設(shè)，則，所以在上的單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)時(shí)，可得，即，設(shè)，則，所以在上的單調(diào)遞增，所以，取，可得，即所以，所以選項(xiàng)A正確.設(shè)，則，由上在上恒成立，則，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.由，所以，所以選項(xiàng)C不正確.由數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，由上，則，所以，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：

AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為____________．【答案】【解析】，令，則，所以.故答案為：13.函數(shù)的最大值是____________．【答案】【解析】由求導(dǎo)可得：，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，由于當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以可知函數(shù)最大值為，故答案為：.14.在中，，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若存在點(diǎn)，使，則最大值為____________．【答案】【解析】已知，變形可得，即.根據(jù)向量共線定理可知，與共線，所以點(diǎn)在直線上.

以在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，，.因?yàn)?，根?jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，兩邊同時(shí)平方展開并化簡得：，配方可得：，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.

因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)，使，所以為點(diǎn)到直線的距離的最小值.由點(diǎn)的軌跡可知，圓心到直線（軸）的距離為，圓的半徑為，所以的最大值為圓的半徑.

故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)是的外接圓的圓心，，，．（1）求該外接圓的面積；（2）求．解：（1）由，得，所以，所以，由余弦定理得，由正弦定理得，所以，所以圓的面積.（2）取的中點(diǎn)，連接，，則，所以，由余弦定理得，所以.16.已知相關(guān)變量和的散點(diǎn)圖如圖所示，擬用①，②（其中均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）兩個(gè)模型擬合，令，計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：2066770200144604.2031250000.30821500（1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的模型；（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程．（系數(shù)精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，；②．解：（1）由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：，則，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好.（2）先建立關(guān)于的線性回歸方程.由，得，即.由于所以關(guān)于的線性回歸方程為，所以，則.17.已知函數(shù)（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）試討論的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)，，所以，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，解得或.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)