2025屆安徽省部分地市高三2月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省部分地市2025屆高三2月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】設(shè)，由，則，整理可得，可得，解得，則，所以.故選：D2.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，橫坐標(biāo)不變【答案】B【解析】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變.故選：B3.已知集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】由，得或，解得或空集，又，所以，則集合A的子集個(gè)數(shù)為.故選：C4.已知拋物線，直線過點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線的條數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線外，顯然過可作兩條直線與相切，過可作一條與的對稱軸（即軸）平行的直線，它與也只有一個(gè)公共點(diǎn).所以滿足條件的直線有3條，故選：C.5.記雙曲余弦函數(shù)為，則函數(shù)的最小值為（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】，令，則，所以，所以的最小值為0，故選：A.6.已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由依次成等差數(shù)列可得，即，因，可得，解得或.當(dāng)時(shí)，，不滿足，故充分性不成立；由依次成等差數(shù)列，可得，顯然，故有，因，且，化簡得：，解得或，當(dāng)時(shí)，，即依次成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，而，故得，即依次成等差數(shù)列.故必要性成立.綜上可得，“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.7.已知一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.3 D.5【答案】C【解析】如圖所示：取的中點(diǎn)為，則，設(shè)圓半徑為，則，設(shè)點(diǎn)，圓心，所以，，時(shí)，，所以的最小值為3.故選：C8.兩個(gè)項(xiàng)數(shù)均為的數(shù)列和，稱它們對應(yīng)項(xiàng)差的絕對值之和為數(shù)列與的“距離”.設(shè)是項(xiàng)數(shù)均為4且每項(xiàng)為0或1的個(gè)數(shù)列，它們中任意兩個(gè)數(shù)列的“距離”不小于2，則的最大值為（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列每項(xiàng)為0或1，前三項(xiàng)至多有種組合，若，則中必有兩個(gè)數(shù)列前三項(xiàng)相同，不妨設(shè)該二者為，則當(dāng)?shù)谒捻?xiàng)也相同時(shí)，它倆的“距離”為0；當(dāng)?shù)谒捻?xiàng)相異時(shí)，它倆的“距離”為1，都不滿足題意，故不成立.當(dāng)時(shí)，可構(gòu)造，，，，，，，滿足題意；還可構(gòu)造，，，，，，，滿足題意（構(gòu)造不唯一），故的最大值為8．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對于任意兩個(gè)非零向量和，下列命題中正確的是（）A. B.C. D.向量與向量垂直【答案】ACD【解析】對于A，，所以A正確；對于B，，所以B錯(cuò)誤；對于C，，所以C正確；對于D，，這樣向量與垂直，所以D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且不恒為，則（）A.B.C.是奇函數(shù)D.（為的導(dǎo)函數(shù)）【答案】ABD【解析】對于A，令，，又因?yàn)椴缓銥?，則，所以A正確；對于B，令，可得，因此，所以B正確；對于C，令，可得，所以；又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以是偶函?shù)，又不恒為0，這樣不可能是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，由B的推導(dǎo)過程知，兩邊求導(dǎo)得所以，故D正確.故選：ABD11.已知空間四邊形ABCD，下列條件中一定能推出的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，舉反例：將一矩形ABCD沿對角線BD翻折，在翻折過程中，始終滿足，但不一定成立，所以A錯(cuò)誤；對于B，取中點(diǎn)，連，因?yàn)?，所以，且平面，平面，平面，進(jìn)而，故B正確；對于C，過A作平面，垂足為，連，，又，平面，所以平面，平面，進(jìn)而；同理可證：，所以為△的垂心，這樣，又，所以平面，平面，可得：，故C正確；對于D，由條件知，則∴，，∴，即，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為________.【答案】270【解析】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，得，即，故含項(xiàng)的系數(shù)為270.故答案為：27013已知，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，即，所?故答案為：14.切比雪夫不等式是19世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫在研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，其內(nèi)容是：對于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對任意正實(shí)數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對事件的概率作出估計(jì).現(xiàn)拋擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，在次拋擲中，記成功次數(shù)為，為了至少有98%的把握使試驗(yàn)成功的頻率在區(qū)間內(nèi)，估計(jì)拋擲的次數(shù)的最小值為________.【答案】400【解析】由題意知：成功次數(shù)，所以，，要使，則，即：，由切比雪夫不等式知：至少有98%的把握使試驗(yàn)成功的頻率在區(qū)間內(nèi)，則，所以拋擲的次數(shù)的最小值為400.故答案為：400.四、解答題:本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為，且滿足（1）求角的大??；（2）若中線的長為，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?；?）因?yàn)闉橹芯€，所以，所以，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，符合題意；即的最大值為.16.某健身俱樂部研究會員每周鍛煉時(shí)長與體重減少量的關(guān)系，隨機(jī)抽取10名會員的數(shù)據(jù)如下：會員序號12345678910總和鍛煉時(shí)長（小時(shí)）342564534440體重減少量（千克）1.01.51.02.02.51.82.01.01.62.016.4并計(jì)算得：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫變量與變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果精確到0.01）；（3）該俱樂部推廣了一項(xiàng)激勵(lì)措施后，發(fā)現(xiàn)會員平均每周鍛煉時(shí)長增加2個(gè)小時(shí)，實(shí)際觀測到的平均體重減少量增加了0.8千克.請結(jié)合回歸分析結(jié)果，判斷該回歸模型是否具有參考價(jià)值，并給出合理的解釋.(參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.參考值：)解：（1）由表可知：所以=,因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)接近1,所以與的線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由題可知：=，所以（3）由(2)可知：根據(jù)線性回歸方程預(yù)測，會員平均每周鍛煉時(shí)長增加2個(gè)小時(shí)，預(yù)測平均體重減少量增加0.84千克，與實(shí)際增加值0.8千克較為接近，因此實(shí)際結(jié)果與預(yù)測結(jié)果基本一致，說明該回歸模型具有參考價(jià)值；造成一定差異的原因可能是由于樣本數(shù)據(jù)過少，或者造成體重減少的原因還受其他因素影響，比如睡眠，飲食、鍛煉強(qiáng)度以及效果等.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形且.（1）若平面，，求二面角的正弦值；（2）若平面平面，求四棱錐體積的最大值.解：（1）以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題可知：則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，則，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，則，所以設(shè)二面角的平面角為，則所以，即二面角的正弦值為（2）過點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，即有又因?yàn)?，分別在平面、平面內(nèi)，所以即為二面角的平面角又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以又因?yàn)榍遥荚谄矫鎯?nèi)，所以平面，又在平面內(nèi)，所以，所以，所以又因?yàn)?，所以又因?yàn)椋侄荚谄矫鎯?nèi)，所以平面在直角三角形，得：又因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ┧?8.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是上不與頂點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，直線、分別交于另一點(diǎn)、.（1）設(shè)，①當(dāng)時(shí)，求直線斜率的取值范圍；②求證：；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，問：直線與直線的斜率之積是否為定值，如果是定值，求出該定值；如果不是定值，說明理由.解：（1）①直線交雙曲線于左右支上，因?yàn)殡p曲線：的漸近線的斜率為，所以直線斜率的取值范圍為.②設(shè)，，由雙曲線方程知：，，又兩式相減得：∴由同理，又兩式相減得：∴.可得：，所以.（2）由（1）②知：且可得同理又因?yàn)榍铱傻盟灾本€的斜率又直線的斜率，所以為定值.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和.求證：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由，得；由，得，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，無極小值，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為0，無極小值.（2）①用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（i）當(dāng)時(shí)，，，不等式成立；（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即成立，由函數(shù)在上遞增，得，而，即成立，則當(dāng)時(shí)，不等式成立，綜合（i）（ii）得：當(dāng)時(shí)，成立.②令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞減，，即成立，由（i）知，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立安徽省部分地市2025屆高三2月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】設(shè)，由，則，整理可得，可得，解得，則，所以.故選：D2.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，橫坐標(biāo)不變【答案】B【解析】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變.故選：B3.已知集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】由，得或，解得或空集，又，所以，則集合A的子集個(gè)數(shù)為.故選：C4.已知拋物線，直線過點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線的條數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線外，顯然過可作兩條直線與相切，過可作一條與的對稱軸（即軸）平行的直線，它與也只有一個(gè)公共點(diǎn).所以滿足條件的直線有3條，故選：C.5.記雙曲余弦函數(shù)為，則函數(shù)的最小值為（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】，令，則，所以，所以的最小值為0，故選：A.6.已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由依次成等差數(shù)列可得，即，因，可得，解得或.當(dāng)時(shí)，，不滿足，故充分性不成立；由依次成等差數(shù)列，可得，顯然，故有，因，且，化簡得：，解得或，當(dāng)時(shí)，，即依次成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，而，故得，即依次成等差數(shù)列.故必要性成立.綜上可得，“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.7.已知一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.3 D.5【答案】C【解析】如圖所示：取的中點(diǎn)為，則，設(shè)圓半徑為，則，設(shè)點(diǎn)，圓心，所以，，時(shí)，，所以的最小值為3.故選：C8.兩個(gè)項(xiàng)數(shù)均為的數(shù)列和，稱它們對應(yīng)項(xiàng)差的絕對值之和為數(shù)列與的“距離”.設(shè)是項(xiàng)數(shù)均為4且每項(xiàng)為0或1的個(gè)數(shù)列，它們中任意兩個(gè)數(shù)列的“距離”不小于2，則的最大值為（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列每項(xiàng)為0或1，前三項(xiàng)至多有種組合，若，則中必有兩個(gè)數(shù)列前三項(xiàng)相同，不妨設(shè)該二者為，則當(dāng)?shù)谒捻?xiàng)也相同時(shí)，它倆的“距離”為0；當(dāng)?shù)谒捻?xiàng)相異時(shí)，它倆的“距離”為1，都不滿足題意，故不成立.當(dāng)時(shí)，可構(gòu)造，，，，，，，滿足題意；還可構(gòu)造，，，，，，，滿足題意（構(gòu)造不唯一），故的最大值為8．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對于任意兩個(gè)非零向量和，下列命題中正確的是（）A. B.C. D.向量與向量垂直【答案】ACD【解析】對于A，，所以A正確；對于B，，所以B錯(cuò)誤；對于C，，所以C正確；對于D，，這樣向量與垂直，所以D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且不恒為，則（）A.B.C.是奇函數(shù)D.（為的導(dǎo)函數(shù)）【答案】ABD【解析】對于A，令，，又因?yàn)椴缓銥?，則，所以A正確；對于B，令，可得，因此，所以B正確；對于C，令，可得，所以；又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以是偶函?shù)，又不恒為0，這樣不可能是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，由B的推導(dǎo)過程知，兩邊求導(dǎo)得所以，故D正確.故選：ABD11.已知空間四邊形ABCD，下列條件中一定能推出的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，舉反例：將一矩形ABCD沿對角線BD翻折，在翻折過程中，始終滿足，但不一定成立，所以A錯(cuò)誤；對于B，取中點(diǎn)，連，因?yàn)?，所以，且平面，平面，平面，進(jìn)而，故B正確；對于C，過A作平面，垂足為，連，，又，平面，所以平面，平面，進(jìn)而；同理可證：，所以為△的垂心，這樣，又，所以平面，平面，可得：，故C正確；對于D，由條件知，則∴，，∴，即，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為________.【答案】270【解析】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，得，即，故含項(xiàng)的系數(shù)為270.故答案為：27013已知，則________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所?故答案為：14.切比雪夫不等式是19世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫在研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，其內(nèi)容是：對于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對任意正實(shí)數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對事件的概率作出估計(jì).現(xiàn)拋擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，在次拋擲中，記成功次數(shù)為，為了至少有98%的把握使試驗(yàn)成功的頻率在區(qū)間內(nèi)，估計(jì)拋擲的次數(shù)的最小值為________.【答案】400【解析】由題意知：成功次數(shù)，所以，，要使，則，即：，由切比雪夫不等式知：至少有98%的把握使試驗(yàn)成功的頻率在區(qū)間內(nèi)，則，所以拋擲的次數(shù)的最小值為400.故答案為：400.四、解答題:本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為，且滿足（1）求角的大小；（2）若中線的長為，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以；?）因?yàn)闉橹芯€，所以，所以，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，符合題意；即的最大值為.16.某健身俱樂部研究會員每周鍛煉時(shí)長與體重減少量的關(guān)系，隨機(jī)抽取10名會員的數(shù)據(jù)如下：會員序號12345678910總和鍛煉時(shí)長（小時(shí)）342564534440體重減少量（千克）1.01.51.02.02.51.82.01.01.62.016.4并計(jì)算得：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫變量與變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果精確到0.01）；（3）該俱樂部推廣了一項(xiàng)激勵(lì)措施后，發(fā)現(xiàn)會員平均每周鍛煉時(shí)長增加2個(gè)小時(shí)，實(shí)際觀測到的平均體重減少量增加了0.8千克.請結(jié)合回歸分析結(jié)果，判斷該回歸模型是否具有參考價(jià)值，并給出合理的解釋.(參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.參考值：)解：（1）由表可知：所以=,因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)接近1,所以與的線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由題可知：=，所以（3）由(2)可知：根據(jù)線性回歸方程預(yù)測，會員平均每周鍛煉時(shí)長增加2個(gè)小時(shí)，預(yù)測平均體重減少量增加0.84千克，與實(shí)際增加值0.8千克較為接近，因此實(shí)際結(jié)果與預(yù)測結(jié)果基本一致，說明該回歸模型具有參考價(jià)值；造成一定差異的原因可能是由于樣本數(shù)據(jù)過少，或者造成體重減少的原因還受其他因素影響，比如睡眠，飲食、鍛煉強(qiáng)度以及效果等.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形且.（1）若平面，，求二面角的正弦值；（2）若平面平面，求四棱錐體積的最大值.解：（1）以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題可知：則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，則，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，則，所以設(shè)二面角的平面角為，則所以，即二面角的正弦值為（2）過點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，即有又因?yàn)?/p>