2024-2025學(xué)年浙江省精誠(chéng)聯(lián)盟高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1浙江省精誠(chéng)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.已知是等比數(shù)列，，，則公比等于（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，，所以.故選：D2.下列說(shuō)法中，與“直線平面”等價(jià)的是（）A.直線與平面內(nèi)的任意一條直線都不相交B.直線與平面內(nèi)的兩條直線平行C.直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線不相交D.直線上有兩個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)【答案】A【解析】平面直線與平面無(wú)交點(diǎn)和平面內(nèi)的任意一條直線都不相交，A正確；若直線與平面內(nèi)的兩條直線平行，則直線可能在平面內(nèi)或與平面平行，B錯(cuò)誤；若直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線不相交，則直線可能在平面內(nèi)或與平面平行或與平面相交，C錯(cuò)誤；若直線上有兩個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則直線可能與平面平行或與平面相交，D錯(cuò)誤；故選：A.3.曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，由點(diǎn)斜式可得，化簡(jiǎn)可得.即曲線在處的切線方程為.故選：D.4.設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則等于（）A.2 B.18 C.2或18 D.以上均不對(duì)【答案】B【解析】由，得，根據(jù)雙曲線的定義得，則或18，又，故.故選：B.5.有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相鄰的不同排法有（）A.72種 B.144種 C.108種 D.288種【答案】B【解析】先排男生共有種方法，再排女生共有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得滿足條件的排法數(shù)為，故選：B.6.在等差數(shù)列中，前七項(xiàng)之和為30，最后七項(xiàng)之和為110，前項(xiàng)之和是230，則項(xiàng)數(shù)為（）A21 B.22 C.23 D.24【答案】C【解析】由題意易得，兩式相加得，即，所以，所以，故選：C.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）．A. B.e C. D.【答案】C【解析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．8.中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖面圖，其中是桁，是脊，是相等的步，相鄰桁的脊步之比分別為，已知成公差為0.2的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）A.0.6 B.0.8 C.1 D.1.2【答案】C【解析】設(shè)，則，由題意得，，解得，故選：C.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.）9.已知正方體，則（）A.直線與面平行B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.直線與平面垂直【答案】AD【解析】A：正方體中，易知，在平面內(nèi)，面，所以A正確；B：為正三角形，又易知與所成的角為，所以B錯(cuò)誤；C：連接交于點(diǎn)，則.正方體中易知：平面平面，且相交于點(diǎn)，平面即為直線與平面所成角的平面角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則.，所以C錯(cuò)誤；D：且，都在平面面內(nèi)，面，所以D對(duì).故選：AD10.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線,它是年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系中,,動(dòng)點(diǎn)滿足,其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線.則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線與軸的交點(diǎn)為B.曲線關(guān)于軸對(duì)稱C直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)D直線與曲線有三個(gè)公共點(diǎn)【答案】ABD【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，∵，∴，對(duì)于A：令，則，或，所以交點(diǎn)為；所以A正確；對(duì)于B：點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，把代入曲線得，所以B正確；對(duì)于CD：令得，故，所以，所以，所以直線與曲線有三個(gè)公共點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.11.設(shè)函數(shù)，則（）A.是的極小值點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】對(duì)于A：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，而，令可得，或，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故命題當(dāng)時(shí)，錯(cuò)誤；B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，又，，所以，C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，所以，所以D正確；故選：ACD.非選擇題部分三?填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.【答案】24【解析】由題意知的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，所以，故的系數(shù)為24，故答案為：2413.已知直線的方向向量與直線的方向向量，則和夾角的余弦值為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以和夾角的余弦值為.故答案為：.14.已知正項(xiàng)數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________.【答案】【解析】由已知且為正項(xiàng)數(shù)列得：當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，所以，，，，累加得，當(dāng)時(shí)，也適合，又，則.故答案為：.四?解答題：（本大題共5小題，共13+15+15+17+17=77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知圓，直線：.（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與圓相切；（2）當(dāng)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程.解：（1）根據(jù)題意，圓，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則有解得.（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得則有，解得或，則直線的方程為或.16.如圖，在三棱柱中，平面，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，求二面角的正弦值.解：（1）由已知，，又，所以，又為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，?）以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），因?yàn)?，，故，又，則，，，，，所以，，，依題意，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，又，所以，所以，二面角的正弦值為.17.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若為的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間和最大值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得的最大值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1），∴，由，得,，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；的極大值為，也即的最大值為.（2），①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，的最大值是，解得，舍去；②當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又在上的最大值為，∴，∴，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，舍去.綜上，存在符合題意，此時(shí).18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差，且成等比數(shù)列；數(shù)列為等比數(shù)列，對(duì)于任意.（1）求的通項(xiàng)公式，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和；（3）若，數(shù)列前項(xiàng)和為，求證：.解：（1）由成等比數(shù)列，則，由題意，可得，解得，所以.由，可知：，據(jù)此猜測(cè)，否則，若數(shù)列的公比，則，注意到，則不恒成立，即不恒成立，此時(shí)無(wú)法保證，若數(shù)列的公比，則，注意到，則不恒成立，即不恒成立，此時(shí)無(wú)法保證，綜上，數(shù)列的公比為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1），，則，①，②由①②得，，即；（3），則，所以，得證.19.由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.設(shè)橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比.已知橢圓與橢圓相似.（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓與橢圓的相似比為，當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，且橢圓過(guò)點(diǎn)作兩條斜率為的直線分別交橢圓于（異于）兩點(diǎn)，設(shè)在軸的上方，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，若直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，求的值.解：（1）對(duì)于橢圓，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，依題意可得，所以，則橢圓的離心率.（2）因?yàn)?，由?），可得，解得，所以為；（3）設(shè)，由對(duì)稱性可得，設(shè)，則由消得，，方程的判別式，由已知為方程的根，所以，所以，，，.浙江省精誠(chéng)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.已知是等比數(shù)列，，，則公比等于（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，，所以.故選：D2.下列說(shuō)法中，與“直線平面”等價(jià)的是（）A.直線與平面內(nèi)的任意一條直線都不相交B.直線與平面內(nèi)的兩條直線平行C.直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線不相交D.直線上有兩個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)【答案】A【解析】平面直線與平面無(wú)交點(diǎn)和平面內(nèi)的任意一條直線都不相交，A正確；若直線與平面內(nèi)的兩條直線平行，則直線可能在平面內(nèi)或與平面平行，B錯(cuò)誤；若直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線不相交，則直線可能在平面內(nèi)或與平面平行或與平面相交，C錯(cuò)誤；若直線上有兩個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則直線可能與平面平行或與平面相交，D錯(cuò)誤；故選：A.3.曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，由點(diǎn)斜式可得，化簡(jiǎn)可得.即曲線在處的切線方程為.故選：D.4.設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則等于（）A.2 B.18 C.2或18 D.以上均不對(duì)【答案】B【解析】由，得，根據(jù)雙曲線的定義得，則或18，又，故.故選：B.5.有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相鄰的不同排法有（）A.72種 B.144種 C.108種 D.288種【答案】B【解析】先排男生共有種方法，再排女生共有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得滿足條件的排法數(shù)為，故選：B.6.在等差數(shù)列中，前七項(xiàng)之和為30，最后七項(xiàng)之和為110，前項(xiàng)之和是230，則項(xiàng)數(shù)為（）A21 B.22 C.23 D.24【答案】C【解析】由題意易得，兩式相加得，即，所以，所以，故選：C.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）．A. B.e C. D.【答案】C【解析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．8.中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖面圖，其中是桁，是脊，是相等的步，相鄰桁的脊步之比分別為，已知成公差為0.2的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）A.0.6 B.0.8 C.1 D.1.2【答案】C【解析】設(shè)，則，由題意得，，解得，故選：C.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.）9.已知正方體，則（）A.直線與面平行B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.直線與平面垂直【答案】AD【解析】A：正方體中，易知，在平面內(nèi)，面，所以A正確；B：為正三角形，又易知與所成的角為，所以B錯(cuò)誤；C：連接交于點(diǎn)，則.正方體中易知：平面平面，且相交于點(diǎn)，平面即為直線與平面所成角的平面角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則.，所以C錯(cuò)誤；D：且，都在平面面內(nèi)，面，所以D對(duì).故選：AD10.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線,它是年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系中,,動(dòng)點(diǎn)滿足,其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線.則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線與軸的交點(diǎn)為B.曲線關(guān)于軸對(duì)稱C直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)D直線與曲線有三個(gè)公共點(diǎn)【答案】ABD【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，∵，∴，對(duì)于A：令，則，或，所以交點(diǎn)為；所以A正確；對(duì)于B：點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，把代入曲線得，所以B正確；對(duì)于CD：令得，故，所以，所以，所以直線與曲線有三個(gè)公共點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.11.設(shè)函數(shù)，則（）A.是的極小值點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】對(duì)于A：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，而，令可得，或，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故命題當(dāng)時(shí)，錯(cuò)誤；B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，又，，所以，C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，所以，所以D正確；故選：ACD.非選擇題部分三?填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.【答案】24【解析】由題意知的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，所以，故的系數(shù)為24，故答案為：2413.已知直線的方向向量與直線的方向向量，則和夾角的余弦值為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以和夾角的余弦值為.故答案為：.14.已知正項(xiàng)數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________.【答案】【解析】由已知且為正項(xiàng)數(shù)列得：當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，所以，，，，累加得，當(dāng)時(shí)，也適合，又，則.故答案為：.四?解答題：（本大題共5小題，共13+15+15+17+17=77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知圓，直線：.（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與圓相切；（2）當(dāng)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程.解：（1）根據(jù)題意，圓，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則有解得.（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得則有，解得或，則直線的方程為或.16.如圖，在三棱柱中，平面，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，求二面角的正弦值.解：（1）由已知，，又，所以，又為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，?）以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），因?yàn)?，，故，又，則，，，，，所以，，，依題意，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，又，所以，所以，二面角的正弦值為.17.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若為的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間和最大值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得的最大值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1），∴，由，得,，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；的極大值為，也即的最大值為.（