2024-2025學(xué)年山東省百師聯(lián)盟高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省百師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)，考場(chǎng)號(hào)，座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.從7本不同的書中選出3本送給3位同學(xué)，每人一本，不同的選法種數(shù)是（）A. B. C.21 D.210【答案】D【解析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法有種.故選：D2.下表是離散型隨機(jī)變量的概率分布，則常數(shù)a的值是（）3456A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，故選：C.3.有5名志愿者報(bào)名參加周六、周日的公益活動(dòng)，若每天從這5人中安排2人參加，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）種A.30 B.50 C.60 D.80【答案】C【解析】從5人中選1人兩天都參加，有種方法，再?gòu)挠嘞?人中選2人分派到周六、周日參加，有種方法，所以不同安排方式共有（種）.故選：C.4.一個(gè)三位正整數(shù)，百位，十位，各位上的數(shù)字分別為，，,若且,當(dāng)為4或5時(shí)，則所有滿足條件的三位正整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.32 B.25 C.20 D.12【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，可以是1，2，3，可以是0，1，2，3，滿足條件的三位正整數(shù)有個(gè)；當(dāng)時(shí)，可以是1，2，3，4，可以是0，1，2，3，4，滿足條件的三位正整數(shù)有個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理得，滿足條件的三位正整數(shù)共有（個(gè)）.故選：A.5.一位教授去參加學(xué)術(shù)會(huì)議，他選擇自駕、乘坐動(dòng)車和飛機(jī)的概率分別為0.2，0.5，0.3，現(xiàn)在知道他選擇自駕、乘坐動(dòng)車和飛機(jī)遲到的概率分別為0.5，0.2，0.1，則這位教授遲到的概率為（）A.0.8 B.0.5 C.0.23 D.0.32【答案】C【解析】依題意，教授遲到的概率為.故選：C6.設(shè)滿足，則（）A.120 B. C.40 D.【答案】A【解析】因?yàn)椋睿纯傻?，令，即可得，可得，所以；令，即可得，得，得，所?故選：A.7.甲、乙進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知甲、乙射中10環(huán)的概率分別為0.5和0.4，且兩人是否射中10環(huán)互不影響．甲、乙各射擊1次，若10環(huán)被射中，則只被甲射中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)事件：甲射中10環(huán)，事件：乙射中10環(huán)，事件：10環(huán)被射中，則，，所以，因?yàn)椋裕蔬x：C．8.一袋中裝有4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令表示前k個(gè)球?yàn)榘浊?，第個(gè)球?yàn)榧t球，此時(shí)，則．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的有（）A.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，則B.若隨機(jī)變量Y的方差，則C.將一枚硬幣拋擲3次，記正面向上的次數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布D.從7男3女共10名學(xué)生中隨機(jī)選取5名學(xué)生，記選出女生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布【答案】ACD【解析】對(duì)于，因?yàn)?，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，故錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)二項(xiàng)分布的概念可知隨機(jī)變量服從，故正確；對(duì)于，根據(jù)超幾何分布的概念可知服從超幾何分布，故正確.故選：.10.某企業(yè)生產(chǎn)的個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)一等品、個(gè)二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽取個(gè)，則其中恰好有個(gè)二等品的概率為（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】從個(gè)產(chǎn)品中任意抽取個(gè)，基本事件總數(shù)為個(gè)；其中恰好有個(gè)二等品的基本事件有個(gè)，恰好有個(gè)二等品的概率；也可由對(duì)立事件計(jì)算可得.故選：AD.11.某校高三年級(jí)選考地理科的學(xué)生有100名，現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若等級(jí)分，則（）參考數(shù)據(jù)：；；A.這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為5B.這次考試等級(jí)分超過80分約有45人C.這次考試等級(jí)分在內(nèi)的人數(shù)約為48人D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因，則，故A正確；對(duì)于B，因，即這次考試等級(jí)分超過80分的學(xué)生約占一半，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因,故這次考試等級(jí)分在內(nèi)人數(shù)約為人，故C正確；對(duì)于D，因,故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，那么________．【答案】【解析】由題意可知或，由于，所以，故答案為：13.從含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，記為所抽取的次品數(shù)，則______．【答案】【解析】的所有可能取值為0，1，2，3，則，故.故答案為：.14.已知隨機(jī)變量的概率分布列如下表，則______，若，則____.234【答案】3；【解析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得，所以，，解得，代入，得故答案為：3；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.15.從包含甲、乙2人的7人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字作答，否則無(wú)分）（1）甲、乙2人都被選中且必須跑中間兩棒；（2）甲、乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒；（3）甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；（4）甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；（5）甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．解：（1）（2）（3）（4）（5）16.某地教育局為提升教師的業(yè)務(wù)能力，從當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教師中隨機(jī)選取100人參加教學(xué)技能比賽，統(tǒng)計(jì)他們的得分（滿分100分），其得分在各區(qū)間的人數(shù)比例如下表.規(guī)定得分不低于80分的為優(yōu)秀教師.得分區(qū)間人數(shù)比例0.250.350.20（1）求的值并求參賽教師為優(yōu)秀教師的頻率；（2）以頻率估計(jì)概率，若在當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教師中隨機(jī)選取3人，其中優(yōu)秀教師的人數(shù)記為，求的分布列與期望.解：（1）由表可知，，解得，參賽教師為優(yōu)秀教師的頻率為；（2）由(1)可知，當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教師是優(yōu)秀教師的概率為0.3，的取值可能為0，1，2，3，，，，，的分布列為01230.3430.4410.1890.027.或?qū)懗捎?，?17.一個(gè)不透明的盒子中裝有紅色、黃色、白色、黑色小球各1個(gè)，這些小球除顏色外完全相同.現(xiàn)從盒于中隨機(jī)抽取若干個(gè)小球，抽中的小球的顏色對(duì)應(yīng)的得分如下表.抽中小球的顏色紅色黃色白色黑色得分1234（1）若有放回地從盒子中抽取2次，每次抽取1個(gè)小球，求抽中小球?qū)?yīng)的得分之和大于6的概率；（2）若一次性從盒子中抽取2個(gè)小球，記抽中的小球?qū)?yīng)的得分之和為，求的分布列與期望．解：（1）有放回抽取兩次，總的可能有種，小球得分之和大于的情況只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；兩次都取黑球種情況，所以小球得分之和大于的概率.（2）的取值有五種可能，，，，，，所以的分布列為.18.小睿與小金同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，每局比賽小睿獲勝的概率均約為.（1）若比賽為三局兩勝制：（?。┰O(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽場(chǎng)次為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）求小金最終獲勝的概率；（2）若比賽為五局三勝制，已知小睿最終獲勝了，求在此條件下進(jìn)行了5局比賽的概率.解：（1）（?。┛扇。?，，，所以的分布列為：X23P.（ⅱ）小金最終獲勝的概率；（2）設(shè)事件“小睿最終獲勝”，事件“共進(jìn)行了5場(chǎng)比賽”.則，，故.19.隨著巴黎奧運(yùn)會(huì)的舉辦，中國(guó)義烏再度吸引全球目光，“義烏制造”再次被奧運(yùn)“帶火”．某義烏體育用品公司承接了部分巴黎奧運(yùn)會(huì)體育產(chǎn)品的制造，假設(shè)該產(chǎn)品在試產(chǎn)階段采用兩種不同的方案進(jìn)行生產(chǎn)，已知每種方案均有三道加工工序，每道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，且只有每道加工工序都合格，該產(chǎn)品方能出廠進(jìn)行銷售，若某道加工工序不合格，則該產(chǎn)品停止加工．已知方案：每道加工工序合格的概率均為；方案：第一、二、三道加工工序合格的概率分別為．（1）若分別采用兩種方案各自生產(chǎn)一件產(chǎn)品，求生產(chǎn)的兩件產(chǎn)品中只有一件產(chǎn)品可以出廠銷售的概率；（2）若方案：每件產(chǎn)品每道工序的加工成本為10元，銷售時(shí)單價(jià)為100元；方案：每件產(chǎn)品的第一、二、三道工序的加工成本分別為5元，10元和15元，銷售時(shí)單價(jià)為100元．若以每件產(chǎn)品獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，請(qǐng)判斷該公司應(yīng)采用哪種方案進(jìn)行加工生產(chǎn)．解：（1）采用方案加工的產(chǎn)品可以出廠銷售的概率為；采用方案加工的產(chǎn)品可以出廠銷售的概率為，故生產(chǎn)的兩件產(chǎn)品只有一件可以出廠銷售的概率．（2）用表示方案每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，則的所有可能取值為，，，，，所以的分布列為：則．用表示方案每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，則的所有可能取值為，，，，，則的分布列為：則．因?yàn)?，所以該公司?yīng)采用方案進(jìn)行加工生產(chǎn)．山東省百師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)，考場(chǎng)號(hào)，座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.從7本不同的書中選出3本送給3位同學(xué)，每人一本，不同的選法種數(shù)是（）A. B. C.21 D.210【答案】D【解析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法有種.故選：D2.下表是離散型隨機(jī)變量的概率分布，則常數(shù)a的值是（）3456A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，故選：C.3.有5名志愿者報(bào)名參加周六、周日的公益活動(dòng)，若每天從這5人中安排2人參加，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）種A.30 B.50 C.60 D.80【答案】C【解析】從5人中選1人兩天都參加，有種方法，再?gòu)挠嘞?人中選2人分派到周六、周日參加，有種方法，所以不同安排方式共有（種）.故選：C.4.一個(gè)三位正整數(shù)，百位，十位，各位上的數(shù)字分別為，，,若且,當(dāng)為4或5時(shí)，則所有滿足條件的三位正整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.32 B.25 C.20 D.12【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，可以是1，2，3，可以是0，1，2，3，滿足條件的三位正整數(shù)有個(gè)；當(dāng)時(shí)，可以是1，2，3，4，可以是0，1，2，3，4，滿足條件的三位正整數(shù)有個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理得，滿足條件的三位正整數(shù)共有（個(gè)）.故選：A.5.一位教授去參加學(xué)術(shù)會(huì)議，他選擇自駕、乘坐動(dòng)車和飛機(jī)的概率分別為0.2，0.5，0.3，現(xiàn)在知道他選擇自駕、乘坐動(dòng)車和飛機(jī)遲到的概率分別為0.5，0.2，0.1，則這位教授遲到的概率為（）A.0.8 B.0.5 C.0.23 D.0.32【答案】C【解析】依題意，教授遲到的概率為.故選：C6.設(shè)滿足，則（）A.120 B. C.40 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，令，即可得，令，即可得，可得，所以；令，即可得，得，得，所?故選：A.7.甲、乙進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知甲、乙射中10環(huán)的概率分別為0.5和0.4，且兩人是否射中10環(huán)互不影響．甲、乙各射擊1次，若10環(huán)被射中，則只被甲射中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)事件：甲射中10環(huán)，事件：乙射中10環(huán)，事件：10環(huán)被射中，則，，所以，因?yàn)椋裕蔬x：C．8.一袋中裝有4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令表示前k個(gè)球?yàn)榘浊颍趥€(gè)球?yàn)榧t球，此時(shí)，則．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的有（）A.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，則B.若隨機(jī)變量Y的方差，則C.將一枚硬幣拋擲3次，記正面向上的次數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布D.從7男3女共10名學(xué)生中隨機(jī)選取5名學(xué)生，記選出女生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布【答案】ACD【解析】對(duì)于，因?yàn)?，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，故錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)二項(xiàng)分布的概念可知隨機(jī)變量服從，故正確；對(duì)于，根據(jù)超幾何分布的概念可知服從超幾何分布，故正確.故選：.10.某企業(yè)生產(chǎn)的個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)一等品、個(gè)二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽取個(gè)，則其中恰好有個(gè)二等品的概率為（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】從個(gè)產(chǎn)品中任意抽取個(gè)，基本事件總數(shù)為個(gè)；其中恰好有個(gè)二等品的基本事件有個(gè)，恰好有個(gè)二等品的概率；也可由對(duì)立事件計(jì)算可得.故選：AD.11.某校高三年級(jí)選考地理科的學(xué)生有100名，現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若等級(jí)分，則（）參考數(shù)據(jù)：；；A.這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為5B.這次考試等級(jí)分超過80分約有45人C.這次考試等級(jí)分在內(nèi)的人數(shù)約為48人D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因，則，故A正確；對(duì)于B，因，即這次考試等級(jí)分超過80分的學(xué)生約占一半，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因,故這次考試等級(jí)分在內(nèi)人數(shù)約為人，故C正確；對(duì)于D，因,故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，那么________．【答案】【解析】由題意可知或，由于，所以，故答案為：13.從含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，記為所抽取的次品數(shù)，則______．【答案】【解析】的所有可能取值為0，1，2，3，則，故.故答案為：.14.已知隨機(jī)變量的概率分布列如下表，則______，若，則____.234【答案】3；【解析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得，所以，，解得，代入，得故答案為：3；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.15.從包含甲、乙2人的7人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字作答，否則無(wú)分）（1）甲、乙2人都被選中且必須跑中間兩棒；（2）甲、乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒；（3）甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；（4）甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；（5）甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．解：（1）（2）（3）（4）（5）16.某地教育局為提升教師的業(yè)務(wù)能力，從當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教師中隨機(jī)選取100人參加教學(xué)技能比賽，統(tǒng)計(jì)他們的得分（滿分100分），其得分在各區(qū)間的人數(shù)比例如下表.規(guī)定得分不低于80分的為優(yōu)秀教師.得分區(qū)間人數(shù)比例0.250.350.20（1）求的值并求參賽教師為優(yōu)秀教師的頻率；（2）以頻率估計(jì)概率，若在當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教師中隨機(jī)選取3人，其中優(yōu)秀教師的人數(shù)記為，求的分布列與期望.解：（1）由表可知，，解得，參賽教師為優(yōu)秀教師的頻率為；（2）由(1)可知，當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教師是優(yōu)秀教師的概率為0.3，的取值可能為0，1，2，3，，，，，的分布列為01230.3430.4410.1890.027.或?qū)懗捎桑?17.一個(gè)不透明的盒子中裝有紅色、黃色、白色、黑色小球各1個(gè)，這些小球除顏色外完全相同.現(xiàn)從盒于中隨機(jī)抽取若干個(gè)小球，抽中的小球的顏色對(duì)應(yīng)的得分如下表.抽中小球的顏色紅色黃色白色黑色得分1234（1）若有放回地從盒子中抽取2次，每次抽取1個(gè)小球，求抽中小球?qū)?yīng)的得分之和大于6的概率；（2）若一次性從盒子中抽取2個(gè)小球，記抽中的小球?qū)?yīng)的得分之和為，求的分布列與期望．解：（1）有放回抽取兩次，總的可能有種，小球得分之和大于的情況只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；兩次都取黑球種情況，所以小球得分之和大于的概率.（2）的取值有五種可能，，，，，，所以