2024-2025學(xué)年遼寧省鞍山市普通高中高一下學(xué)期3月第一次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省鞍山市普通高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以，又，所以.故選：C.2.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，解得，故，．故選：A．3.已知數(shù)據(jù)，且滿足，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，有可能變大的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.極差 D.方差【答案】A【解析】由于，所以原來的極差為，新數(shù)據(jù)的極差為，故極差變小，原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，去掉，后，數(shù)據(jù)波動(dòng)性變小，故方差變小，因此可能變大的是平均數(shù)，比如，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6.6，去掉1和12后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，但，故A正確.故選：A.4.如圖所示，在中，，若，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】.故選：C.5.已知集合，，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由“”是“”的充分不必要條件，得A是B的真子集.又，則必有，即，所以.故選：D.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槎x域?yàn)榍?，，所以為奇函?shù)，則圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B項(xiàng)、D項(xiàng)，又，故排除C項(xiàng).故選：A.7.已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槭嵌x在的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，解得，故t的范圍為.故選：D.8.已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】令，，，得，，，則為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中，分別做出，，和的圖像，如圖所示，由圖可知，，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列說法正確的是（）A. B.事件與不互斥C.事件與相互獨(dú)立 D.事件與不一定相互獨(dú)立【答案】BC【解析】故錯(cuò)誤；又所以事件與不互斥，故正確；則事件與相互獨(dú)立，故正確；因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，所以事件與一定相互獨(dú)立，故錯(cuò)誤.故選：10.下列結(jié)論中正確的是（）A.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則B.函數(shù)且的圖象必過定點(diǎn)C.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是D.若冪函數(shù)，則對(duì)任意、，都有【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)冪函數(shù)的解析式為，由題意可得，解得，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，函?shù)且的圖象必過定點(diǎn)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，外層函數(shù)為減函數(shù)，故函數(shù)的增區(qū)間為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，冪函數(shù)，對(duì)任意的，則，則對(duì)任意、，，，所以，所以，可得，所以，D對(duì).故選：BCD.11.PM2.5的監(jiān)測(cè)值是用來評(píng)價(jià)環(huán)境空氣質(zhì)量的指標(biāo)之一．劃分等級(jí)為日均值在以下，空氣質(zhì)量為一級(jí)，在，空氣質(zhì)量為二級(jí)，超過為超標(biāo)．如圖是某地12月1日至10日的日均值（單位：），則下列說法正確的是（）A.這10天日均值的80%分位數(shù)為60B.從日均值看，前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差C.從日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差D.這10天中日均值的平均值是50【答案】BC【解析】由圖知：從小到大為，而，所以分位數(shù)為，A錯(cuò)誤；日均值的平均值，D錯(cuò)誤；前5天極差為，后5天極差為，B正確；前5天平均值為，后5天平均值為，所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差，C正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則__________.【答案】【解析】由題意可知，，解得，即，.13.2022北京冬奧會(huì)期間，吉祥物冰墩墩成為頂流”，吸引了許多人購買，使一“墩難求甲、乙、丙3人為了能購買到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購買，若甲、乙2人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為，丙購買到冰墩墩的概率為，則甲，乙，丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為_________．【答案】【解析】因?yàn)榧滓?人中至少有1人購買到冰墩墩概率為，所以甲乙2人均購買不到冰墩墩的概率.同理，丙購買不到冰墩墩的概率.所以，甲乙丙3人都購買不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率.14.已知函數(shù)（且）的圖像過定點(diǎn)，正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】12【解析】函數(shù)的圖像過定點(diǎn)，所以，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式=.（2）原式.16.設(shè)集合U=R，.（1）求：，；（2）設(shè)集合，若，求a的取值范圍．解：（1），，，，.（2），（i）時(shí)，；（ii）時(shí)，，解得.綜上：．17.為了解某小區(qū)居民的體育鍛煉時(shí)間，隨機(jī)在該小區(qū)選取了名住戶，將他們上周體育鍛煉的時(shí)間（單位：時(shí)）按照、、、、分成組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)；（2）按分層隨機(jī)抽樣的方法從上周體育鍛煉時(shí)間在、的住戶中選取人，再從這人中任意選取人，求這人上周體育鍛煉時(shí)間都不低于小時(shí)的概率.解：（1），解得.設(shè)樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)在的頻率為，樣本數(shù)據(jù)在的頻率為，則，所以，解得，故估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.（2）上周體育鍛煉時(shí)間在頻數(shù)為，上周體育鍛煉時(shí)間在的頻數(shù)為，按分層隨機(jī)抽樣的方法選取人，則上周體育鍛煉時(shí)間在的住戶被抽取人，記為、，體育鍛煉時(shí)間在的住戶被抽取人，記為、、，所以從這人中隨機(jī)抽取人的情況有、、、、、、、、、，共種，其中，事件“所抽取的人上周體育鍛煉時(shí)間都不低于小時(shí)”包含的情況有、、，共種，則所求的概率.18.如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，設(shè)，則有，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，即，所以．（2）因?yàn)?，，由?）可知，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．19.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”.（1）函數(shù)；；中，哪個(gè)函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”？并說明理由；（2）已知函數(shù).①函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，求的值；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，求的值.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，所以，故是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”；因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以，故不是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”；因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以，故是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”.（2）①有題知.因，所以.令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，，所以有；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，，所以有，綜上所述，.②由題可知，函數(shù).因?yàn)椋?令，則，.可知此時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為且開口向上，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，所以有，整理得，無解；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故此時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，所以有，解得（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是在上的“美好函數(shù)”，所以有，解得.綜上所述：.遼寧省鞍山市普通高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以，又，所以.故選：C.2.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，解得，故，．故選：A．3.已知數(shù)據(jù)，且滿足，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，有可能變大的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.極差 D.方差【答案】A【解析】由于，所以原來的極差為，新數(shù)據(jù)的極差為，故極差變小，原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，去掉，后，數(shù)據(jù)波動(dòng)性變小，故方差變小，因此可能變大的是平均數(shù)，比如，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6.6，去掉1和12后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，但，故A正確.故選：A.4.如圖所示，在中，，若，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】.故選：C.5.已知集合，，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由“”是“”的充分不必要條件，得A是B的真子集.又，則必有，即，所以.故選：D.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槎x域?yàn)榍?，，所以為奇函?shù)，則圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B項(xiàng)、D項(xiàng)，又，故排除C項(xiàng).故選：A.7.已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槭嵌x在的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，解得，故t的范圍為.故選：D.8.已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】令，，，得，，，則為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中，分別做出，，和的圖像，如圖所示，由圖可知，，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列說法正確的是（）A. B.事件與不互斥C.事件與相互獨(dú)立 D.事件與不一定相互獨(dú)立【答案】BC【解析】故錯(cuò)誤；又所以事件與不互斥，故正確；則事件與相互獨(dú)立，故正確；因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，所以事件與一定相互獨(dú)立，故錯(cuò)誤.故選：10.下列結(jié)論中正確的是（）A.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則B.函數(shù)且的圖象必過定點(diǎn)C.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是D.若冪函數(shù)，則對(duì)任意、，都有【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)冪函數(shù)的解析式為，由題意可得，解得，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，函?shù)且的圖象必過定點(diǎn)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，外層函數(shù)為減函數(shù)，故函數(shù)的增區(qū)間為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，冪函數(shù)，對(duì)任意的，則，則對(duì)任意、，，，所以，所以，可得，所以，D對(duì).故選：BCD.11.PM2.5的監(jiān)測(cè)值是用來評(píng)價(jià)環(huán)境空氣質(zhì)量的指標(biāo)之一．劃分等級(jí)為日均值在以下，空氣質(zhì)量為一級(jí)，在，空氣質(zhì)量為二級(jí)，超過為超標(biāo)．如圖是某地12月1日至10日的日均值（單位：），則下列說法正確的是（）A.這10天日均值的80%分位數(shù)為60B.從日均值看，前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差C.從日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差D.這10天中日均值的平均值是50【答案】BC【解析】由圖知：從小到大為，而，所以分位數(shù)為，A錯(cuò)誤；日均值的平均值，D錯(cuò)誤；前5天極差為，后5天極差為，B正確；前5天平均值為，后5天平均值為，所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差，C正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則__________.【答案】【解析】由題意可知，，解得，即，.13.2022北京冬奧會(huì)期間，吉祥物冰墩墩成為頂流”，吸引了許多人購買，使一“墩難求甲、乙、丙3人為了能購買到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購買，若甲、乙2人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為，丙購買到冰墩墩的概率為，則甲，乙，丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為_________．【答案】【解析】因?yàn)榧滓?人中至少有1人購買到冰墩墩概率為，所以甲乙2人均購買不到冰墩墩的概率.同理，丙購買不到冰墩墩的概率.所以，甲乙丙3人都購買不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率.14.已知函數(shù)（且）的圖像過定點(diǎn)，正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】12【解析】函數(shù)的圖像過定點(diǎn)，所以，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式=.（2）原式.16.設(shè)集合U=R，.（1）求：，；（2）設(shè)集合，若，求a的取值范圍．解：（1），，，，.（2），（i）時(shí)，；（ii）時(shí)，，解得.綜上：．17.為了解某小區(qū)居民的體育鍛煉時(shí)間，隨機(jī)在該小區(qū)選取了名住戶，將他們上周體育鍛煉的時(shí)間（單位：時(shí)）按照、、、、分成組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)；（2）按分層隨機(jī)抽樣的方法從上周體育鍛煉時(shí)間在、的住戶中選取人，再從這人中任意選取人，求這人上周體育鍛煉時(shí)間都不低于小時(shí)的概率.解：（1），解得.設(shè)樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)在的頻率為，樣本數(shù)據(jù)在的頻率為，則，所以，解得，故估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.（2）上周體育鍛煉時(shí)間在頻數(shù)為，上周體育鍛煉時(shí)間在的頻數(shù)為，按分層隨機(jī)抽樣的方法選取人，則上周體育鍛煉時(shí)間在的住戶被抽取人，記為、，體育鍛煉時(shí)間在的住戶被抽取人，記為、、，所以從這人中隨機(jī)抽取人的情況有、、、、、、、、、，共種，其中，事件“所抽取的人上周體育鍛煉時(shí)間都不低于小時(shí)”包含的情況有、、，共種，則所求的概