2023~2024學(xué)年陜西高三第二學(xué)期高考數(shù)學(xué)理試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年陜西省高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)（理）模擬試題（三模）一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】利用解絕對(duì)值不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即得答案.【詳解】由題意可得集合，，故，故選：A2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為（

）A． B．5 C． D．2【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，從而可求得，再用乘法運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】,,則,.故選：B.3．如圖，一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．， C．， D．，【正確答案】D【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運(yùn)算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.【詳解】由題意可得：，則，故，∵是波幅最大的兩個(gè)點(diǎn)的值，則去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，整體波動(dòng)性減小，故.故選：D.4．已知向量，滿足同向共線，且，，則（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15【正確答案】D【分析】先根據(jù)題意確定向量，的倍數(shù)關(guān)系，然后可直接求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚瑵M足同向共線，所以設(shè)，又因?yàn)?，，所以，所以或，即?①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；所以的值為3或15.故選：D.5．若，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．1 B．15 C．21 D．35【正確答案】D【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】，又展開式的通項(xiàng)公式為，令，故的展開式中的系數(shù)為，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選：D.6．土壤中微量元素（如N，P，K等）的含量直接影響植物的生長(zhǎng)發(fā)育，進(jìn)而影響植物群落內(nèi)植物種類的分布．某次實(shí)驗(yàn)中，為研究某微量元素對(duì)植物生長(zhǎng)發(fā)育的具體影響，實(shí)驗(yàn)人員配比了不同濃度的溶液若干，其濃度指標(biāo)值可近似擬合為，并記這個(gè)指標(biāo)值為，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】該組數(shù)據(jù)均為同底數(shù)冪，故以指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)作為切入點(diǎn)，利用對(duì)數(shù)計(jì)算規(guī)則尋求數(shù)據(jù)的規(guī)律．【詳解】由數(shù)據(jù)可得，從第三項(xiàng)開始，第i項(xiàng)是前兩項(xiàng)之積，即，取對(duì)數(shù)得，設(shè)，則，，，累加得，所以，所以．故選：B.7．某校舉行文藝匯演，甲、乙、丙等6名同學(xué)站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相鄰，丙不在兩端，則不同的排列方式共有（

）A．72種 B．144種 C．288種 D．432種【正確答案】C【分析】根據(jù)不相鄰問題插空法，即可求解.【詳解】除甲乙丙外的三個(gè)人排一排有種排法，此時(shí)將甲乙插空有種排法，這時(shí)甲乙包括剩下三個(gè)人形成了6個(gè)空，去掉首尾的，則丙有4種排法，共有，故選：C8．已知球與圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面都相切．若圓臺(tái)的側(cè)面積為；上、下底面的面積之比為，則球的表面積為（

）．A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)題的描述，球內(nèi)切于圓臺(tái)，畫出圓臺(tái)的軸截面圖，根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積，和上下底面的面積關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)而即得.【詳解】依據(jù)題意，球內(nèi)切與圓臺(tái)，畫出兩者的軸截面，球的截面為圓，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，如圖所示，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)圓臺(tái)的母線為，即，上、下底面的面積之比為，即，，由圓的切線長(zhǎng)定理可知，，圓臺(tái)的側(cè)面積為，解得，則，即，則球的表面積.故選：A.9．已知函數(shù)，若，在內(nèi)有極小值，無極大值，則可能的取值個(gè)數(shù)（

）A．4 B．3 C．2 D．1【正確答案】C【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的零點(diǎn)求得，又極值情況列不等式可得，分情況得的取值進(jìn)行取舍，即可得答案.【詳解】已知函數(shù)，若，所以，則①，又在內(nèi)有極小值，無極大值，則，所以，又，則當(dāng)?shù)茫?，所以，不符合①式，故舍；?dāng)?shù)?，，所以，由①式可得；?dāng)?shù)?，，所以，由①式可得；?dāng)?shù)茫?，所以，不符合①式，故舍；?dāng)?shù)?，，無解，故舍；易知，當(dāng)時(shí)，都無解，故不討論；綜上，或，則可能的取值個(gè)數(shù)為.故選：C.10．已知兩動(dòng)點(diǎn)，在橢圓：上，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，若恒為銳角，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】由橢圓性質(zhì)和圖像得出橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡為圓，由條件可知直線與圓相離,從而可得出的范圍,進(jìn)而求出離心率的范圍.【詳解】若從圓上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線一定互相垂直.證明如下：設(shè)橢圓的切線方程為，過圓上一點(diǎn)的切線為，，即(1)又在圓上,，即(i)當(dāng)時(shí),(1)式為,由根與系數(shù)關(guān)系知,故兩條切線互相垂直.(ii)當(dāng)時(shí),,此時(shí)兩條切線顯然互相重直.故圓上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線一定互相垂直.所以橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓.若恒為銳角,則直線與圓相離故,又,.故選:C.

11．在三棱柱中，是棱長(zhǎng)為的正四面體，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出平面，利用余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，進(jìn)而可求得的長(zhǎng)，再結(jié)合平面可求得結(jié)果.【詳解】分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，如下圖所示：由題意可知，因?yàn)樗拿骟w是棱長(zhǎng)為的正四面體，則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，故，同理可得，，因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，則且，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，又因?yàn)榍?，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，且、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)?，，，、平面，所以，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)?，，、平面，則平面，在中，，，，由余弦定理可得，所以，，因此，點(diǎn)到平面的距離為.因?yàn)椋矫?，平面，所以，平面，所以，點(diǎn)到平面的距離等于.故選：C.12．已知函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)為，（其中表示不超過x的最大整數(shù)），則下列說法正確的個(gè)數(shù)（

）①是非奇非偶函數(shù)函數(shù)；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】D【分析】對(duì)于①,利用特殊值驗(yàn)證，可判斷；對(duì)于②，根據(jù)的含義，明確函數(shù)的解析式，進(jìn)而作出圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷；對(duì)于③，確定，求和，即可判斷；對(duì)于④，根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可判斷，由此可得答案.【詳解】對(duì)于①，函數(shù)，則，故且，即是非奇非偶函數(shù)函數(shù)，①正確；對(duì)于②，函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，，故當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，因?yàn)?，又滿足的整數(shù)有2024個(gè)，即，②正確；對(duì)于③，，所以，③正確；對(duì)于④，因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，④正確，故選：D難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)奇偶性以及函數(shù)值變化的規(guī)律以及求和問題，解答的難點(diǎn)在于明確的含義，進(jìn)而明確函數(shù)的解析式特征，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行解答.二、填空題13．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為_________.【正確答案】【分析】根據(jù)約束條件作出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)表示的一簇直線畫出向可行域平移即可求解.【詳解】作出可行域，如圖所示

目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距為，轉(zhuǎn)化為，令，則，作出直線并平移使它經(jīng)過可行域的點(diǎn)，經(jīng)過時(shí)，，解得，所以.此時(shí)取得最小值，即．故答案為.14．已知等比數(shù)列的公比為2，前項(xiàng)和為，且6，，成等差數(shù)列，則______.【正確答案】【分析】利用等差中項(xiàng)的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)?，，成等差數(shù)列，所以，即，又，所以，解得，所以.故答案為.15．已知直線，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為.若過點(diǎn)的圓與直線相切，且與直線交于點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，直線的斜率為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，易知過點(diǎn)且與直線相切的圓就是以為直徑的圓，設(shè)，則，由有，設(shè)直線的方程為，代入有，所以，結(jié)合，得.故答案為:16．已知對(duì)定義域內(nèi)的任意恒成立，則的最大值為______.【正確答案】【分析】將原不等式等價(jià)變形為，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值及最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】由得，令，則原不等式變?yōu)?，令，則，令，，，令，解得，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，，時(shí)，；故當(dāng)所以此時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)，此時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)在時(shí)取得極小值即最小值，，的最大值為，故處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時(shí)可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時(shí)可以利用基本不等式來處理，用這個(gè)方法時(shí)要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化.（3）線性規(guī)劃：如果題設(shè)給出的是二元一次不等式組，而目標(biāo)函數(shù)也是二次一次的，那么我們可以用線性規(guī)劃來處理.三、解答題17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A的大小；(2)若，，求的面積.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換即可得角A的大小；（2）由余弦定理可得的值，結(jié)合面積公式即可得面積.【詳解】（1）在中，由正弦定理得.又，所以，.所以，，即，即，又，所以，所以，即.（2）由（1）及題意知中，，，.由余弦定理得，即.所以，所以.18．如圖，已知三棱柱，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，.(1)求證：平面平面；(2)若，D為線段的中點(diǎn)，，求與平面所成角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，又，利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可證明；（2）由（1），根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面的法向量，根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義計(jì)算可得，結(jié)合線面角的定義和同角三角函數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）已知，又，，平面，，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以，又，AC、平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由（1）知平面平面，又平面平面，，面，所以平面.又，所以平面，所以CA，CB，兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、x軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：因?yàn)椋运倪呅螢榫匦危忠驗(yàn)?，所以四邊形為正方?因?yàn)椋?，所以，所以，，?由D是線段的中點(diǎn)，得，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即取，則，所以，.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.19．某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產(chǎn)線，為了解零件質(zhì)量情況，采用隨機(jī)抽樣方法從兩條生產(chǎn)線共抽取180個(gè)零件，測(cè)量其尺寸（單位：mm）得到如下統(tǒng)計(jì)表，其中尺寸位于的零件為一等品，位于和的零件為二等品，否則零件為三等品.生產(chǎn)線甲49232824102乙214151716151(1)將樣本頻率視為概率，從甲、乙兩條生產(chǎn)線中分別隨機(jī)抽取2個(gè)零件，每次抽取零件互不影響，以表示這4個(gè)零件中一等品的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)已知該企業(yè)生產(chǎn)的零件隨機(jī)裝箱出售，每箱60個(gè).產(chǎn)品出廠前，該企業(yè)可自愿選擇是否對(duì)每箱零件進(jìn)行檢驗(yàn).若執(zhí)行檢驗(yàn)，則每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為5元，并將檢驗(yàn)出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)行檢驗(yàn)，則對(duì)賣出的每個(gè)三等品零件支付120元賠償費(fèi)用.現(xiàn)對(duì)一箱零件隨機(jī)檢驗(yàn)了10個(gè)，檢出了1個(gè)三等品.將從兩條生產(chǎn)線抽取的所有樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望作為決策依據(jù)，是否需要對(duì)該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)？請(qǐng)說明理由.【正確答案】(1)分布列見解析，(2)需要，理由見解析【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立時(shí)間的概率乘法公式，即可分別求解概率，進(jìn)而可得分布列，（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的均值公式以及性質(zhì)，計(jì)算兩種情況下的期望，比較大小即可求解.【詳解】（1）由已知任取一個(gè)甲生產(chǎn)線零件為一等品的概率為，任取一個(gè)乙生產(chǎn)線零件為一等品的概率為.的所有可能取值為0，1，2，3，4.，，，，所以的分布列為：01234.（2）由已知，每個(gè)零件為三等品的頻率為，設(shè)余下的50個(gè)零件中的三等品個(gè)數(shù)為，則，所以.設(shè)檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和為，若不對(duì)余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)，則，.若對(duì)余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)，則檢驗(yàn)費(fèi)用元.因?yàn)椋詰?yīng)對(duì)剩下零件進(jìn)行檢驗(yàn).20．已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為A，О為原點(diǎn)，點(diǎn)在的漸近線上，的面積為.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)Р作直線交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)N作x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)G，H為NG的中點(diǎn)，證明：直線AH的斜率為定值.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】根據(jù)點(diǎn)在的漸近線上，可得，再根據(jù)的面積求出即可；（2）易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，求出的方程，令，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在的漸近線上，所以，，則，所以，故，所以的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，則，解得且，，直線的方程為，令，得，即，因?yàn)镠為NG的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以直線AH的斜率為定值.方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21．已知函數(shù)，其中，設(shè)為導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）設(shè)，若恒成立，求的范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求證.【正確答案】（1）（2）見解析【分析】（I）計(jì)算的導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算最小值，結(jié)合恒不等式，建立不等關(guān)系，計(jì)算a的范圍，即可．（II）構(gòu)造函數(shù)，判定極小值點(diǎn)，進(jìn)而得到的單調(diào)性，得到，結(jié)合單調(diào)性，即可．【詳解】（Ⅰ）由題設(shè)知，，，.當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在處取到最小值，且.由于恒成立，所以.（Ⅱ）設(shè)，則.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?故存在，使得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，因此.由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，.因此，即單調(diào)遞增.由于，即，即，所以.又由（Ⅰ）可知，在單調(diào)遞增，因此.本道題考查了利用導(dǎo)