2023~2024學(xué)年廣東韶關(guān)高考數(shù)學(xué)押題試題4月帶解析

2023-2024學(xué)年廣東省韶關(guān)市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（4月）一、單選題1．若，則（

）A．1 B． C． D．2【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)，從而求出其模.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：B2．若集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由根式、對(duì)數(shù)性質(zhì)解不等式和定義域，再應(yīng)用集合交運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由，則，故，由，則，故，所以.故選：B3．已知是平行四邊形，，若，則（

）A． B．1 C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算法則及平面向量基本定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，．故選：C．4．韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線(xiàn)段，且過(guò)橢圓的下焦點(diǎn)，米，橋塔最高點(diǎn)距橋面米，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，依題意可得，即可求出離心率.【詳解】如圖按橢圓對(duì)稱(chēng)軸所在直線(xiàn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，令，即，解得，依題意可得，所以，所以，所以．故選：D．5．已知四棱臺(tái)的下底面為矩形，，高為，且該棱臺(tái)的體積為，則該棱臺(tái)上底面的周長(zhǎng)的最小值是（

）A．15 B．14 C．13 D．12【正確答案】D【分析】設(shè)棱臺(tái)的上底面矩形邊長(zhǎng)分別為，，則下底面矩形邊長(zhǎng)分別為，，由棱臺(tái)的體積公式得到，再利用基本不等式求出上底面的周長(zhǎng)最小值．【詳解】設(shè)棱臺(tái)的上底面矩形邊長(zhǎng)分別為，，則下底面矩形邊長(zhǎng)分別為，，則棱臺(tái)的體積為，，所以棱臺(tái)的上底面的周長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，即上底面的周長(zhǎng)最小值為．故選：D．6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位得到的圖象，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為 D．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為【正確答案】B【分析】根據(jù)圖象確定的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷．【詳解】由圖可知，，所以，又，所以；又，所以，，所以，，因?yàn)椋?，故，將函?shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變）得到，再向左平移個(gè)單位得到，即，所以的圖象的最小正周期為，故A正確；因?yàn)?，所以，則在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，，解得，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為，所以C正確；對(duì)于D：令，，解得，，令，則函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，所以D正確．故選：B．7．已知方程和的解分別是和，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖象特征求出即可作答.【詳解】方程和依次化為：和，因此和分別是直線(xiàn)與曲線(xiàn)和的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，而函數(shù)和互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，因此直線(xiàn)與曲線(xiàn)和的交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，于是，函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A8．定義為與距離最近的整數(shù)（當(dāng)為兩相鄰整數(shù)算術(shù)平均數(shù)時(shí)，取較大整數(shù)），令函數(shù)，如：，，，，則（

）A．17 B． C．19 D．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，分析的規(guī)律，將重新分組，第組為個(gè)，則每組中各個(gè)數(shù)之和為，分析所在的組，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，則，則有，當(dāng)，有，則，則有，當(dāng)，有，則，則有，當(dāng)，有，則，則有，，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，包含，，，，共個(gè)整數(shù)，由此可以將重新分組，各組依次為、、、，，第組為個(gè)，則每組中各個(gè)數(shù)之和為，前組共有個(gè)數(shù)，則是第組的第個(gè)數(shù)，則．故選：C．關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是找到的規(guī)律，確定所在的分組.二、多選題9．曲線(xiàn)C的方程為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C是焦距為的雙曲線(xiàn)B．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C是焦距為的雙曲線(xiàn)C．曲線(xiàn)C不可能為圓D．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C是焦距為的橢圓【正確答案】AD【分析】變形給定的方程，利用各選項(xiàng)的條件，結(jié)合圓、橢圓、雙曲線(xiàn)的特征判斷作答.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線(xiàn)是焦距為的雙曲線(xiàn)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在y軸上，焦距為的橢圓，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)表示圓，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在x軸上，焦距為的橢圓，D正確.故選：AD10．下列命題中，正確的是（

）A．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，則B．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則C．已知，，，則D．已知，，，則【正確答案】ACD【分析】利用二項(xiàng)分布期望公式及性質(zhì)計(jì)算判斷A；利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算判斷B；利用條件概率公式推理判斷C；利用全概率公式計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于，由二項(xiàng)分布的期望公式，，由期望的性質(zhì)得，則，正確；對(duì)于，由正態(tài)分布曲線(xiàn)的性質(zhì)知，，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，，于是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以，C正確；對(duì)于D，由，得，又，由全概率公式得，，D正確.故選：ACD11．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，，分別是棱，的中點(diǎn)，過(guò)直線(xiàn)的平面分別與棱，交于點(diǎn)，，以下四個(gè)命題中正確的是（

）

A．四邊形一定為矩形 B．平面平面C．四棱錐體積為 D．四邊形的周長(zhǎng)最小值為【正確答案】BC【分析】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)得平面平面，從而，同理得，再由，得四邊形為菱形；對(duì)于B，連接，，，推導(dǎo)出，，從而得到平面平面；對(duì)于C，求出四棱錐的體積進(jìn)行判斷；對(duì)于D，四邊形是菱形，當(dāng)點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小．【詳解】連接，，，，，顯然，且，所以為平行四邊形，所以，由題意得，平面，平面，所以，，平面，所以平面，則平面，平面，所以平面平面，故B正確；由正方體的性質(zhì)得平面平面，平面平面，平面平面，故，同理得，又平面，平面，，四邊形為菱形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，四棱錐的體積為：，故C正確；對(duì)于D，四邊形是菱形，四邊形的周長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，即周長(zhǎng)的最小值為4，故D錯(cuò)誤．故選：BC．

12．已知是周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)也是周期函數(shù)B．函數(shù)的最大值為1C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象有對(duì)稱(chēng)中心也有對(duì)稱(chēng)軸【正確答案】BCD【分析】根據(jù)判斷判斷奇函數(shù)，判斷周期性，求出在的解析式，根據(jù)圖象平移寫(xiě)出在上解析式并判斷奇偶性，進(jìn)而可得解析式，結(jié)合周期性判斷B、C，最后利用、判斷D.【詳解】由，令，則，故；令，則，故；所以，綜上，一個(gè)周期內(nèi)，由，而，故不是奇函數(shù)，但周期為4，A錯(cuò)；所以，是將圖象右移一個(gè)單位，故在一個(gè)周期圖象如下：由圖象平移知：，且為偶函數(shù)，所以，故的最大值為1，B對(duì)；由周期性知：在上單調(diào)性同區(qū)間，即單調(diào)遞減，C對(duì)；由，由，注意：根據(jù)周期性有、，綜上，關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，D對(duì).故選：BCD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用奇函數(shù)、周期性判斷的奇偶性、周期性，再應(yīng)用奇偶性求解析式，結(jié)合圖象寫(xiě)出解析式，最后求出在一個(gè)周期內(nèi)的解析式關(guān)鍵.三、填空題13．已知甲、乙、丙、丁四位高三學(xué)生拍畢業(yè)照，這四位同學(xué)排在同一行，則甲、乙兩位學(xué)生相鄰的概率為_(kāi)_____.【正確答案】/【分析】利用捆綁法，先將甲、乙兩位學(xué)生看成一個(gè)整體，再與剩余學(xué)生排列，結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【詳解】四位同學(xué)排列，共用種不同排法，若甲、乙兩位學(xué)生相鄰，共用種不同排法，所以甲、乙兩位學(xué)生相鄰的概率.故答案為.14．已知銳角滿(mǎn)足，則______.【正確答案】【分析】利用倍角公式可求得，再利用同角三角關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，整理得，解得或，又因?yàn)闉殇J角，則，可得，則，即，可得，解得或（舍去），所以.故答案為.15．將一個(gè)圓心角為、面積為的扇形卷成一個(gè)圓錐，則此圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為_(kāi)_____.【正確答案】/【分析】求出圓錐底面圓半徑及母線(xiàn)長(zhǎng)，再利用圓錐及內(nèi)切球的軸截面求出球半徑作答.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，依題意，，解得，圓錐內(nèi)半徑最大的球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，如圖中等腰及內(nèi)切圓，

，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，因此的面積，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則有，解得，此球的表面積為，所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為.故四、雙空題16．已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，則以線(xiàn)段AB為直徑的圓D的方程為_(kāi)_____；若圓D上存在兩點(diǎn)P，Q，在圓T：上存在一點(diǎn)M，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程求出線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)及弦長(zhǎng)作答；按點(diǎn)M在圓D及內(nèi)部和在圓D外探討構(gòu)成條件，再結(jié)合兩圓有公共點(diǎn)求解作答.【詳解】過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)為，由消去，得，設(shè)，有，于是的中點(diǎn)為，且，

所以以線(xiàn)段為直徑的圓的半徑，方程為；對(duì)圓及內(nèi)任意一點(diǎn)，必可作互相垂直的兩直線(xiàn)與圓D相交，則圓上存在兩點(diǎn),，使，對(duì)圓外任意一點(diǎn)，,是圓上兩點(diǎn)，當(dāng),與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)為矩形，，從而以線(xiàn)段為直徑的圓上存在兩點(diǎn),，在圓上存在一點(diǎn)，使得，等價(jià)于以為圓心，以為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故；方法點(diǎn)睛：判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．兩圓相切注意討論內(nèi)切外切兩種情況.五、解答題17．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)，作差求出公比，即可得出答案；（2）由（1）得，可得，利用分組求和法計(jì)算可得．【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，①，，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，則，，，，．18．如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面所成角的正弦值.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，可得，進(jìn)而可證平面；（2）如圖以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求平面與平面所成角的余弦值，即可得解．【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則是的中點(diǎn)，由于、分別是，的中點(diǎn)，所以，由于平面，平面，所以平面；

（2）由點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，所以平面．在中，，，，，過(guò)作的平行線(xiàn)為，易知，，兩兩垂直，如圖以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，得，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，則，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，所以，則，所以平面與平面所成角的正弦值為．19．在中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn).

(1)若（圖1），求的面積；(2)若（圖2），求的最小值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理得，從而可得，利用面積公式即可求解；（2）設(shè)，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，利用即可求解．【詳解】（1）在中，，，由余弦定理得，又，，故．（2）設(shè)，因?yàn)?，則，則，在中，由正弦定理可得，即，故，在中，，由余弦定理可得，其中，，，因?yàn)椋瑒t，即當(dāng)時(shí)，．20．研究表明，如果溫差太大，人們不注意保暖，可能會(huì)導(dǎo)致自身受到風(fēng)寒刺激，增加感冒患病概率，特別是對(duì)于兒童以及年老體弱的人群，要多加防范.某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員研究了晝夜溫差大小與某小學(xué)學(xué)生患感冒就診人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫(yī)室查閱了這六天中每天學(xué)生新增感冒就診的人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差（℃）47891412新增感冒就診人數(shù)(位)參考數(shù)據(jù)：，.(1)已知第一天新增感冒就診的學(xué)生中有位男生，從第一天新增的感冒就診的學(xué)生中隨機(jī)抽取位，其中男生人數(shù)記為，若抽取的人中至少有一位女生的概率為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)已知兩個(gè)變量與之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)用最小二乘法求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為時(shí)，該校新增感冒就診的學(xué)生人數(shù).參考公式：，.【正確答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)，人【分析】（1）首先根據(jù)抽取的2人中至少有一位女生的概率為，計(jì)算出的值，從而可得隨機(jī)變量的取值，根據(jù)超幾何分布概率計(jì)算可得分布列和期望；（2）首先根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)和已知條件計(jì)算出，的值，進(jìn)一步計(jì)算可得的值，利用最小二乘法計(jì)算的值，從而可得線(xiàn)性回歸方程，將代入即可求得結(jié)果．【詳解】（1）依題意，所以，所以，解得或（舍去），即第一天新增患感冒而就診的學(xué)生有位，其中男生位，女生位，則隨機(jī)變量的可能取值為：0，1，2，且服從超幾何分布，其中，，，所以，，，所以的分布列為012則數(shù)學(xué)期望；（2）依題意可得，所以，由于，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，，所以可以估計(jì)，晝夜溫差為時(shí)，該校新增患感冒的學(xué)生人數(shù)人．21．已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)為，，經(jīng)過(guò)的圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交雙曲線(xiàn)的左支于，，且為正三角形.(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及漸近線(xiàn)方程；(2)若點(diǎn)為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，射線(xiàn)，分別交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，，試探究是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】(1)，漸近線(xiàn)方程為．(2)為定值，且定值為【分析】（1）依題意可得，設(shè)與軸交于點(diǎn)，求出，，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程求出，即可得到雙曲線(xiàn)方程，再求出漸近線(xiàn)方程．（2）分軸與不垂直軸，當(dāng)不垂直軸時(shí)設(shè)，，，表示出，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，求出對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度關(guān)系，進(jìn)行化簡(jiǎn)證明即可．【詳解】（1）因?yàn)闉檎切危蓪?duì)稱(chēng)性知，又因?yàn)?，設(shè)與軸交于點(diǎn)，所以，，不妨設(shè)，所以，即，則，即，即，所以，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線(xiàn)方程為．（2）由（1）可得，，①當(dāng)軸時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)，，所以直線(xiàn)，即，代入，消去得，得或（舍去），，，，則，②當(dāng)不垂直軸時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)，，，直線(xiàn)，代入，消去得，因?yàn)?，所以，由韋達(dá)定理，所以，同理，所以，所以為定值，且定值為．方