2023~2024學(xué)年安徽合肥高考數(shù)學(xué)押題試題五模帶解析

2023-2024學(xué)年安徽省合肥高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（五模）一、單選題1．已如集合，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，先將集合化簡，然后結(jié)合集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛?，則，所以.故選：A2．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可得到結(jié)果.【詳解】由，得，所以，故選：3．“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)方程表示橢圓的條件求解.【詳解】方程表示橢圓，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，故選：B.4．米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉?糧棧?米行及地主家里必備的用具?如圖為一倒正四棱臺型米斗，高為40cm.已知該正四棱臺的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為50cm的球O的球面上，且一個(gè)底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由題意作出正四棱臺的對角面，為外接球球心，為線段中點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則即為所求角.【詳解】由題意，作出正四棱臺的對角面，如圖為正四棱臺上底面正方形對角線，為正四棱臺下底面正方形對角線，為外接球球心，為線段中點(diǎn)，則，過點(diǎn)作，垂足為，則即為所求角.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以正四棱臺的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為.

故選:D.5．在數(shù)列中，已知，當(dāng)時(shí)，是的個(gè)位數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【正確答案】C【分析】由題意，列出數(shù)列的前若干項(xiàng)，分析出數(shù)列變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，是的個(gè)位數(shù)，所以，，，，，，，，，，可知數(shù)列中，從第3項(xiàng)開始有，即當(dāng)時(shí)，的值以6為周期呈周期性變化，又，故.故選：C.6．?dāng)?shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián).聲音中也包含正弦函數(shù)，聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個(gè)音都是由純音合成的.純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們平時(shí)聽到的音樂一般不是純音，而是有多種波疊加而成的復(fù)合音．已知刻畫某復(fù)合音的函數(shù)為，則其部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【正確答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，與選項(xiàng)中的圖象比較即可得出答案.【詳解】令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，由解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)和時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，由于，可得，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象，只有C選項(xiàng)滿足．故選：C．7．在菱形中，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，且，則（

）A．1 B． C．2 D．【正確答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合，求出，繼而根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，

，所以，又，故選：B.8．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)已知計(jì)算出，畫出圖象，計(jì)算，解得，從而求出的最小值.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，故，可得在區(qū)間上，，所以當(dāng)時(shí)，，作函數(shù)的圖象，如圖所示，

當(dāng)時(shí)，由，則，所以的最小值為故選：B二、多選題9．某學(xué)校高三年級學(xué)生有500人，其中男生320人，女生180人.為了獲得該校全體高三學(xué)生的身高信息，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測樣本的指標(biāo)值（單位：cm），計(jì)算得男生樣本的均值為174，方差為16，女生樣本的均值為164，方差為30.則下列說法正確的是（

）A．如果抽取25人作為樣本，則抽取的樣本中男生有16人B．該校全體高三學(xué)生的身高均值為171C．抽取的樣本的方差為44.08D．如果已知男?女的樣本量都是25，則總樣本的均值和方差可以作為總體均值和方差的估計(jì)值【正確答案】AC【分析】利用分層抽樣計(jì)算即可判斷選項(xiàng)A；代入均值與方差公式即可判斷選項(xiàng)BC；因?yàn)槌闃又形窗幢壤M(jìn)行分層抽樣，所以總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不完全相同，因而樣本的代表性差，所以作為總體的估計(jì)不合適，可以判斷D.【詳解】根據(jù)分層抽樣，抽取25人作為樣本，則抽取的樣本中男生有正確；樣本學(xué)生的身高均值，B錯(cuò)誤；抽取的樣本的方差為，C正確；因?yàn)槌闃又形窗幢壤M(jìn)行分層抽樣，所以總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不完全相同，因而樣本的代表性差，所以作為總體的估計(jì)不合適.D錯(cuò)誤.故選：AC10．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱C．函數(shù)的最小正周期為D．若在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【正確答案】ABD【分析】對A：必有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值可求；對B：求出平移后函數(shù)解析式判斷是否為偶函數(shù)；對C：化簡后求周期；對D：求出的范圍，數(shù)據(jù)正弦曲線的圖象列出滿足的不等式并求解.【詳解】由，故必有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則為半個(gè)周期長度，故正確；由題意的圖象關(guān)于軸對稱，B正確；的最小正周期為C錯(cuò)誤.，在上有且僅在3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)知：，則，D正確；故選：ABD11．正四棱錐中，高為3，底面是邊長為2的正方形，則下列說法正確的有（

）A．到平面的距離為B．向量在向量上的投影向量為C．棱錐的內(nèi)切球的半徑為D．側(cè)面所在平面與側(cè)面所成銳二面角的余弦值為【正確答案】BD【分析】補(bǔ)形成長方體，在長方體中作出所求距離，利用等面積求解可判斷A；根據(jù)投影向量的幾何意義可判斷B；利用等體積法可判斷C；利用長方體作出平面角，由余弦定理可得.【詳解】

補(bǔ)形為長方體.如圖，

記，的中點(diǎn)分別為P，Q，作于點(diǎn)W,易知，，，在中，,即,解得.易知,CW為CD到平面距離，A錯(cuò)誤；根據(jù)投影向量概念知：向量在向量上的投影向量為向量.即為，所以B正確；即AB中點(diǎn)為N，連接MN，ON，易得，所以，，由等體積求內(nèi)切球半徑,得，，所以C錯(cuò)誤；連接，由長方體性質(zhì)可知是所求二面角的平面角，在中由余弦定理得：正確.故選：BD12．已知數(shù)列滿足，曲線和有交點(diǎn)，且和在點(diǎn)處的切線重合，則下列結(jié)論正確的為（）A． B．C． D．【正確答案】AD【分析】依題意，有，且，解得，，對于A，由于，從而可得結(jié)論，對于B，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再利用單調(diào)性判斷即可，對于C，由于，從而可判斷數(shù)列為正項(xiàng)遞增數(shù)列，進(jìn)而可判斷，對于D，只需證，令，然后只要證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)只要證明其最小值大于零即可【詳解】依題意，有，且，解得，，（1）考查選項(xiàng)A：顯然，即，故選項(xiàng)A正確；（2）考查選項(xiàng)B：構(gòu)造函數(shù)，則，顯然當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，從而為遞增數(shù)列，又，故，，易知選項(xiàng)B錯(cuò)誤；（3）考查選項(xiàng)C：由，可知，即為正項(xiàng)遞增數(shù)列，亦為正項(xiàng)遞增數(shù)列，故數(shù)列為正項(xiàng)遞增數(shù)列，又，易知選項(xiàng)C錯(cuò)誤；（4）考查選項(xiàng)D：易知，需證，只需證，令，則，只需證，，令，，則，易知單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，從而選項(xiàng)D正確；故選：AD.三、填空題13．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為__________.【正確答案】【分析】求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，由題設(shè)中的指定項(xiàng)可得項(xiàng)數(shù)即可作答.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，則展開式中含的項(xiàng)有，即，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故14．近年來，隨著我國城鎮(zhèn)居民收入的不斷增加和人民群眾消費(fèi)觀念的改變，假期出游成為時(shí)尚.某校高三年級7名同學(xué)計(jì)劃高考后前往黃山?九華山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知7名同學(xué)中有4名男生，3名女生.其中2名女生關(guān)系要好，必須去同一景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少有兩名同學(xué)前往，每位同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，則7名同學(xué)游玩行程安排的方法數(shù)為__________.【正確答案】150【分析】7個(gè)人去三個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少2人，則兩個(gè)景點(diǎn)兩人，一個(gè)景點(diǎn)3人，兩個(gè)關(guān)系好的女生要在一起，則為特殊元素，可以分為，她倆單獨(dú)一個(gè)景點(diǎn)和她倆和另外一位同學(xué)一個(gè)景點(diǎn)，分類相加即可.【詳解】由題，兩個(gè)關(guān)系好的女生要在一起，則為特殊元素，可以分為，她倆單獨(dú)一個(gè)景點(diǎn)和她倆和另外一位同學(xué)一個(gè)景點(diǎn)，第一類：僅要好的兩位女生去同一景點(diǎn)；第二類：要好的兩位女生和另一位同學(xué)去同一景點(diǎn)，總方法數(shù)為.故150.15．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，直線與C交A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為____.【正確答案】16設(shè)出直線方程為，，直線方程代入拋物線方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理，由弦長公式求得弦長，用，代替得弦長，求出，用基本不等式求得最小值．【詳解】由題意拋物線焦點(diǎn)為，顯然直線的斜率都存在且都不為0，設(shè)直線方程為，，由，得，所以，，，同理可得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．故16．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線相交弦長問題，解題方法是設(shè)而不求思想方法，即設(shè)出直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得得，然后由弦長公式求得弦長．四、雙空題16．設(shè)，定義的差分運(yùn)算為.用表示對a進(jìn)行次差分運(yùn)算，顯然，是一個(gè)維數(shù)組.稱滿足的最小正整數(shù)的值為的深度.若這樣的正整數(shù)不存在，則稱的深度為.（1）已知，則的深度為__________.（2）中深度為的數(shù)組個(gè)數(shù)為__________.【正確答案】4【分析】利用新定義和集合的運(yùn)算性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】空1：因，則，，，.故空2：易知中僅有一組，中深度的數(shù)組僅1組，中深度的數(shù)組僅2組，中深度的數(shù)組僅4組，中深度的數(shù)組僅組，所以中深度為的數(shù)組僅有組.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查新定義和集合運(yùn)算的綜合應(yīng)用能力，屬于高難度題，需要認(rèn)真審題，抓住新定義的本質(zhì).五、解答題17．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，.球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，滿足且.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用累加法求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）（1）因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以；（2）由，所以.18．法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且.以為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為.

(1)求角；(2)若的面積為，求的周長.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變化可得，進(jìn)而可得，即可求解，（2）利用正弦定理得，結(jié)合余弦定理即可聯(lián)立方程求解.【詳解】（1），則，故，所以，可得（負(fù)值舍），由，所以.（2）如圖，連接，由正弦定理得，,則，

正面積，而，則，在中，由余弦定理得：，即，則，在中，，由余弦定理得，則，，所以的周長為19．某同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示，是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，其中四邊形是邊長為4的正方形，點(diǎn)是半圓弧上的動點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.

(1)若點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)，求證：平面平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角是？若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，請說明理由.【正確答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】（1）連接，證明，從而可證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求解即可.【詳解】（1）連接，如圖所示：

若點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)，則，所以，即，因?yàn)?，所以，又面，所以平面平面，則平面平面；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，即，則，整理得，與矛盾，所以不存在，

20．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線的右支上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，滿足，且.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線過點(diǎn)，過圓上一點(diǎn)作圓的切線，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程.【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理列出方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在與存在討論，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由對稱性可知：，故，由雙曲線定義可知：，即，所以，又因?yàn)?，在中，由余弦定理得：，即，解得：，故離心率為.（2）

因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以雙曲線方程：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線的斜率不存在時(shí)不成立.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為又點(diǎn)到直線距離，聯(lián)立，消去得，則，由的面積為，即，將代入上式得，或，即或，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，直線的方程為：或關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，以及直線與雙曲線相交問題，難度較難，解答本題的關(guān)鍵在于聯(lián)立直線與雙曲線方程表示出，結(jié)合面積公式列出方程.21．已知函數(shù)，其中.(1)若時(shí)，有極值，求的值；(2)設(shè)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【正確答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后由條件列出方程，即可得到結(jié)果.（2）方法一：根據(jù)題意，分與，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，分情況討論即可；方法二：根據(jù)題意，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與極值，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）.由題意得且，即，聯(lián)立解得，.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.（2）方法一：定義域是.由條件知，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故是的極大值點(diǎn)，且極大值為.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.記，則.取，則，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)零點(diǎn).取，則.由零點(diǎn)存在定理可知，當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).方法二：由題意，函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，即方程的根，