四川省涼山州西昌市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

西昌市2024—2025學(xué)年度下期期中檢測(cè)高二數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，試題卷4頁(yè)，答題卡2頁(yè).全卷滿分為150分，考試時(shí)間120分鐘.答題前考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置；選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，其他試題用0.5毫米簽字筆書寫在答題卡對(duì)應(yīng)題框內(nèi)，不得超越題框區(qū)域.考試結(jié)束后將答題卡收回.第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本題有8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)正確）1.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，在下列各數(shù)中，不是的項(xiàng)的是（）A.1 B. C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，若，則，即是的項(xiàng)；若，則，即是的項(xiàng)；若，則，即是的項(xiàng)；若，則，即不是的項(xiàng)；故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列中的項(xiàng)，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可，屬于?？碱}型.2.下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式與求導(dǎo)法則計(jì)算即得．【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤；故選：B．3.已知等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，且，因?yàn)?故選：C.4.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)圖象，確定函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性，進(jìn)而確定其圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象，得當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D5.已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，可求得，求導(dǎo)可得，令，可求得，可求切線方程.【詳解】令，可得，即，解得，由，可得，令，可得，解得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D.6.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)橛袉握{(diào)遞減區(qū)間，所以；再根據(jù)與，求出的單調(diào)遞減區(qū)間為，最后根據(jù)題目給出的條件得出最后答案即可.【詳解】由題可知f′x=4x?ax令，則，又，故，即單調(diào)遞減區(qū)間是，可得.故選：A.7.已知數(shù)列滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得到，再利用等比數(shù)列的定義求解.【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故．故選：C8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由得，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項(xiàng)不等式.【詳解】依題意令，則，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ栽谏虾愠闪?，故在上單調(diào)遞減，所以，，故A不正確；所以，即，即，故B不正確；又，即，即，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，即，即，故D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可比較函數(shù)值的大小.二、多項(xiàng)選擇題（本題有3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全得3分，有選錯(cuò)或不選得0分）9.數(shù)列前n項(xiàng)和為，已知，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)或4時(shí)，取得最大值【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)即可判斷A；由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，即可判斷B；令求解即可判斷C；根據(jù)等差數(shù)列的函數(shù)特性即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，由得，，所以是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，即，解得，故C正確；對(duì)于D，，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)或4時(shí)，取得最大值，故D正確；故選：CD．A.函數(shù)的切線與函數(shù)的圖象可以有兩個(gè)公共點(diǎn)B.若，則函數(shù)在處無(wú)切線C.曲線在處的切線方程為，則D.已知函數(shù)，則是函數(shù)的極值點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】利用切線的概念可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的概念可判斷C選項(xiàng)；利用函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的切線與函數(shù)的圖象可以有兩個(gè)公共點(diǎn)，例如函數(shù)在處的切線，由得，且，則函數(shù)在處的切線方程為，由可得，解得或，所以，函數(shù)在處的切線與函數(shù)的圖象還有一個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)在處的切線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則函數(shù)在處的切線斜率為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，曲線在處的切線方程為，則，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，已知函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，D錯(cuò).故選：AC.11.已知函數(shù)有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)分別為，，，則（）A.a的范圍是 B.a的范圍是 C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求出，分、討論，利用導(dǎo)數(shù)求出極值可判斷AB；利用可判斷CD．【詳解】，令，解得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，要使有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則，解得，即的取值范圍是，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有三個(gè)不同零點(diǎn)分別為，則，即有，，，則，故CD正確；故選：BCD．第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)即可求解．【詳解】，則，故答案為：4．13.已知曲線，則曲線過(guò)原點(diǎn)的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】首先求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)以及斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】由，則，設(shè)切點(diǎn)為，所以，解得，所以切點(diǎn)為，切線的斜率所以過(guò)原點(diǎn)的切線方程為：，即.故答案為：14.已知，，若對(duì)，，使得成立，則a取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)，，使得成立，只需求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)殚_口方向向下，所以在區(qū)間上的最小值的端點(diǎn)處取得，所以要使對(duì)，，使得成立，只需，即或，即或，解得，所以a的取值范圍是，故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)已知列出方程組求解，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；（2）由等差數(shù)列的求和公式求得，由得，求解即可．【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由得：，∴，由得：，解得（舍）或，∴，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．【小問(wèn)2詳解】由等差數(shù)列的前n通項(xiàng)公式可得：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又n為正整數(shù)，故n的最小值為5．16.已知函數(shù)，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若任意，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）分類討論時(shí)和時(shí)，的正負(fù)即可求解單調(diào)區(qū)間；（2）由題得在恒成立，進(jìn)而得出恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)即可求解．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，且定義域?yàn)椋?，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得到，令，得到，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，因?yàn)閷?duì)于任意，恒成立，所以恒成立，化簡(jiǎn)得恒成立，故恒成立，令，則恒成立，，令，則，得到在單調(diào)遞增，即，故，在單調(diào)遞增，而，即，故．17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，根據(jù)條件求出公比q，然后求的通項(xiàng)公式即可；（2），用分組求和法結(jié)合錯(cuò)位相減法，即可求的前n項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，所以，整理可得，因?yàn)?，解得，故．【小?wèn)2詳解】由（1）知，……①……②由①②得：,所以．18.已知關(guān)于的函數(shù)，其圖象與直線相切.（1）求的值；（2）證明：；（3）設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得出切點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可求得實(shí)數(shù)的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出，即可證得結(jié)論成立；（3）由（2）得出，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)得出，由此得出，然后利用放縮法可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的圖象與軸相切，則，得，代入可得，所以，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，得，，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，得證.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，當(dāng)時(shí)，，所以，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，則，，所以，即，累加得，所以故對(duì)任意的，.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)．（?。┣骲的取值范圍；（ⅱ）證明：．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式求出單調(diào)遞減區(qū)間.（2）（ⅰ）把代入，求出導(dǎo)數(shù)并換元，借助一元二次