專題08平面向量（十大題型）

專題08平面向量向量共線1．（廣東省深圳市紅嶺中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）下列命題中正確的是（

）A．若、都是單位向量，則＝B．若=，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形C．若∥，且∥，則∥D．與是兩平行向量【答案】D【分析】按照向量的概念及共線向量依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】選項(xiàng)A中單位向量方向可以不同，故不一定成立；選項(xiàng)B中A、B、C、D四點(diǎn)可能共線，不能組成四邊形；選項(xiàng)C中當(dāng)時(shí)，、為任意向量；選項(xiàng)D正確，相反向量是一對(duì)平行向量.故選：D.2．（2022秋·廣東中山·高三華南師范大學(xué)中山附屬中學(xué)校考期中）已知向量不共線，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】根據(jù)向量共線的判定定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)橄蛄坎还簿€，則，若與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，所以，解得.故答案為：.3．（廣東省廣州六中2023屆高三上學(xué)期期中）已知向量，，．若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則以及共線定理，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，，又，所以，即得.故選：C.4．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知非零向量不共線，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則.【答案】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線，則對(duì)應(yīng)向量共線，則存在非零實(shí)數(shù)，使得，即可求得參數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，故可得//，則存在非零實(shí)數(shù)，使得，又，，故可得，又非零向量不共線，故可得，解得.故答案為：.平面向量基本定理5．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）如圖，在中，，P是BN上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)t的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意設(shè)，由向量的線性運(yùn)算可得，再根據(jù)已知列等式計(jì)算即可求出.【詳解】由題意，是上一點(diǎn)，設(shè)，則，又，所以，所以，所以，解得.故選：C6．（遼寧省撫順市六校協(xié)作體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）在中，為邊上的中線，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則與共線定理的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為基底向量的線性關(guān)系即可.【詳解】解：由題可得圖，如下：則，又為邊上的中線所以，則.故選：D.7．（湖北省武漢市江北重點(diǎn)高中20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖所示，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，若，則等于（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量基本定理求出，即可得到答案.【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線相交于點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?所以.故選：C8．（江蘇省淮陰中學(xué)、海門中學(xué)、姜堰中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）（多選）如圖，在平行四邊形中，已知F，E分別是靠近C，D的四等分點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求解．【詳解】因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，已知分別是靠近的四等分點(diǎn)，由，所以A正確；由，所以B不正確；由，所以C正確；由，所以D正確．故選：ACD．9．（2022秋·山東聊城·高三山東聊城一中校考期中）已知在中，點(diǎn)在線段上，且，延長(zhǎng)到，使.設(shè)，.(1)用、表示向量、；(2)若向量與共線，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）分析可知為的中點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、的表達(dá)式，結(jié)合平面向量的減法可得出關(guān)于、的表達(dá)式；（2）分析可知，存在，使得，根據(jù)平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）解：因?yàn)?，結(jié)合圖形可知為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，則，所以，.（2）解：因?yàn)?，因?yàn)橄蛄颗c共線，則存在，使得，即，所以，，解得.求數(shù)量積10．（安徽省卓越縣中聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．9 B． C．16 D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義與運(yùn)算律計(jì)算.【詳解】

．故選：C11．（2022秋·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，點(diǎn)為外心，則（

）A． B． C．10 D．20【答案】C【分析】結(jié)合圖形，利用垂徑定理得到，再利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】記的中點(diǎn)為，連結(jié)，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，為的中點(diǎn)，所以，則，所以.故選：C.12．（華師─附中等T8聯(lián)考20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的前紙，它是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.在2022年虎年新春來臨之際，人們?cè)O(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖2），若在的中點(diǎn)，則.【答案】8【分析】可分別構(gòu)造與，分別求得的長(zhǎng)度以及、，根據(jù)數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律即可求得；也可取中點(diǎn)為，構(gòu)造，求出以及的值.又，根據(jù)數(shù)量積的定義即可求得.【詳解】方法一：圖3如圖3，取中點(diǎn)為，連結(jié)，顯然過點(diǎn).易知，，，則，，.所以，.圖4如圖4，延長(zhǎng)交于，易知是的中點(diǎn)，且.則，，在中，，.所以，.所以，.故答案為：8.方法二：圖5取中點(diǎn)為，連結(jié)，顯然過點(diǎn).易知，，，如圖5，取中點(diǎn)為，顯然，，.在中，，.又為中點(diǎn)，則.所以，.故答案為：8.13．（廣東省梅州市興寧市東紅中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知得出，再求出的夾角，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，則,，,的夾角為，所以.故選：D.14．（福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2023屆高三上學(xué)期期中）在平行四邊形ABCD中，AB的中點(diǎn)為M，過A作DM的垂線，垂足為H，若，則（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，再利用數(shù)量積的定義化簡(jiǎn)求出.【詳解】在平行四邊形ABCD中，,所以.故選：D.求兩個(gè)向量的夾角15．（2022秋·山西臨汾·高三統(tǒng)考期中）已知平面向量，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的夾角公式求出，再由判斷出，即可得到答案.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以.所以，即，解得：.而與反向時(shí)，，此時(shí)，即，解得：，不符合題意.所以且.故選：D16．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知非零單位向量，滿足，則與的夾角余弦值為.【答案】/【分析】由已知兩等式平方后可解得得，進(jìn)而可求解.【詳解】，，又，，，，設(shè)與的夾角為，則.故答案為：17．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）（多選）設(shè)為單位向量，滿足，設(shè)的夾角為，下列說法正確的是（

）A．B．的最小值為2C．最小值為D．當(dāng)時(shí)，使方程成立的一定是負(fù)數(shù)【答案】ACD【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算律以及夾角公式，模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】，故A正確；故B錯(cuò)誤；故C正確；，因?yàn)?，所以即一定是?fù)數(shù)，故D正確；故選:ACD.18．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期中）已知向量滿足，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的坐標(biāo)表示求，然后根據(jù)向量的平方等于模長(zhǎng)的平方和數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】由可得，因?yàn)?，解得，所以，又因?yàn)?，所以與的夾角為，故選：D19．（湖北省“宜荊荊恩”20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量夾角公式和向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得答案.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，滿足，，，所以，又，∴．故選：C.向量的模20.（廣東省深圳市深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部2023屆高三上學(xué)期期中）已知向量．若不超過5，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算解不等式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，即，解?故選：A21．（2022秋·河北唐山·高三開灤第一中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚瑵M足，，且，則.【答案】【分析】由數(shù)量積的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得，再由數(shù)量積的性質(zhì)求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，，所以，故答案為?22．（湖北省荊荊宜三校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)模長(zhǎng)公式求出，進(jìn)而求出，再利用模長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則，所以，即．故選：C．23.（山東省威海市第四中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知非零向量的夾角為60°，且，則（）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】利用數(shù)量積的計(jì)算即可求得.【詳解】由題意得.又，∴，即，又，解得.故選：A24．（2022秋·浙江·高三浙江省三門中學(xué)校聯(lián)考期中）已知平面向量，，滿足，，則的最小值是.【答案】【分析】已知展開聯(lián)立方程組，解得，利用將兩者建立起關(guān)系，解不等式得的范圍﹒【詳解】∵，∴．∵，∴，∴，且∵，解得，∴，即的最小值為，故答案為：﹒求投影向量25．（2022秋·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期中）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)已知條件的點(diǎn)為中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)為的外接圓圓心，得，再根據(jù)得為等邊三角形，最后結(jié)合投影向量的定義即可求解.【詳解】已知，故點(diǎn)為中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)為的外接圓圓心，故為直角三角形，且.由于，易知為等邊三角形，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，則.因此可得：向量在向量上的投影向量為.故選：A26．（湖南省長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知向量，．(1)若，求在上的投影向量的模長(zhǎng)；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量模和數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出、，結(jié)合投影向量的概念計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)表示可得，，利用垂直向量數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題意得當(dāng)時(shí),,則，，所以在上的投影向量的模為．（2）由，，由，得，即，解得．27．（2022秋·河北邯鄲·高三大名縣第一中學(xué)校考期中）已知平面向量滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，通過求出的值，即可求出在上的投影向量.【詳解】解：由題意，∴，，解得：∴在上的投影向量為：故選：B.28．（安徽省六安市省示范高中20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知中，為的中點(diǎn)，且，，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量線性運(yùn)算可得，知，根據(jù)投影向量為，結(jié)合長(zhǎng)度和角度關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】，，，又，，，，為等邊三角形，；在上的投影向量為.故選：C.29．（2022秋·山西陽(yáng)泉·高三統(tǒng)考期末）已知向量和向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的公式計(jì)算直接得出答案.【詳解】在上的投影向量的坐標(biāo)為：，故答案為：.基底法求最值、范圍問題30.（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙市明德中學(xué)上學(xué)期期中）如圖，在△ABC中，，，，為的中點(diǎn)，在平面中，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段．設(shè)為線段上的點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意，，，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】連接MD，則，，所以，由于為等腰直角三角形，為線段上的點(diǎn)，所以因此，所以，即的最小值為.故答案為：.31．（湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知中，，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值等于．【答案】．【詳解】令，，設(shè)（），∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是，故填：．32．（山東省濟(jì)寧市20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，在四邊形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，且，．若點(diǎn)N在線段CD（端點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，求出的范圍，再利用向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算律求解作答.【詳解】連接，如圖，點(diǎn)N在線段CD（端點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)，

因?yàn)椋词钦切?，于是，而M為AB的中點(diǎn)，且，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及定長(zhǎng)的線段兩端點(diǎn)為向量端點(diǎn)的向量數(shù)量積，取線段的中點(diǎn)，借助向量數(shù)量積的計(jì)算公式求解是關(guān)鍵.33．（海南省?？谑泻Ｄ喜▓@學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）已知直角梯形是邊上的一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：設(shè)（），把與表示為與的線性關(guān)系，把表示成關(guān)于的解析式，求解出取值范圍；法二：建立坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的范圍【詳解】法一：因?yàn)樵谏?，不妨設(shè)，則（其中）所以，因?yàn)?，所以法二：如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.則，，，，其中∠ABC=45°，設(shè)點(diǎn)，其中，，∴∵∴故選：D.坐標(biāo)法求最值、范圍問題34.（2022秋·河北·高三期中）在梯形ABCD中，，，，，若EF在線段AB上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值為（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【分析】利用坐標(biāo)法，以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，得到相關(guān)向量，再求解二次函數(shù)最值即可.【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系,則,設(shè),則,且,故當(dāng)時(shí),的最小值為,故選：D.35．（2022秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市一中校考期中）在邊長(zhǎng)為2的正方形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表達(dá)出，求出取值范圍.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD為x軸，y軸，建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以?故選：B36．（海南省瓊海市嘉積中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）在矩形ABCD中，，，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】構(gòu)建直角坐標(biāo)系，令，，根據(jù)向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程組得，結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】構(gòu)建如下直角坐標(biāo)系：，令，，由可得：，則且，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：C37．（海南華僑中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）如圖直角梯形中，，，，在等腰直角三角形中，，則向量在向量上的投影向量的模為；若，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解投影向量的模；再設(shè)，，，進(jìn)而根據(jù)題意得，再根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，所以，，所以，向量在向量上的投影向量為，故其模?因?yàn)?，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，所以，設(shè)，，所以，所以，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：；數(shù)形結(jié)合法求最值、范圍問題38.（湖南省懷化市第五中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.39．（湖南省株洲市五雅中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知平面向量，，滿足，，，且，則的最大值為．【答案】/【分析】設(shè)，由題意分析知，所求為的最大值，設(shè)，的中點(diǎn)，由可得，即點(diǎn)的軌跡方程為以為圓心，半徑為的圓，求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所求為的最大值，?dāng)在同一平面時(shí)，有最大值，如圖建系，不妨設(shè)，的中點(diǎn)，由條件可知，，，，由可知，，消參可得：，即點(diǎn)的軌跡方程為以為圓心，半徑為的圓，所以的最大值為，故的最大值為.故答案為：.40．（20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，在直角梯形中，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】6【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a），寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合向量加法以及模的坐標(biāo)運(yùn)算，運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)即可求出最小值.【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a），因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以?dāng)，即時(shí)，的最小值為6.故答案為：641．（2022秋·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎瞧矫嫦蛄?，其中是單位向量．若非零向量與的夾角是，向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先確定向量、所表示的點(diǎn)的軌跡，一個(gè)為直線，一個(gè)為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求最小值.【詳解】以向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)，以為的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則由得，所以由得，所以點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓，又，所以等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，因此的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即故選：A.42．（廣東省羅定中學(xué)城東學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）已知正六邊形的邊長(zhǎng)為4，P為正六邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得的表達(dá)式，配方后即可求得答案.【詳解】如圖，以正六邊形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，過點(diǎn)O作的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)點(diǎn)，則,故，故當(dāng)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，取到最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得的表達(dá)式即可求解最值.向量新定義43．（海南省?？诩蝿赘呒?jí)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量，定義，若平面向量滿足，的夾角，且和都在集合中，則=（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由題意可可設(shè)，，，，得，對(duì)，進(jìn)行賦值即可得出，的值，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：，故．又由，可設(shè)，，令，，且又夾角，所以，對(duì)，進(jìn)行賦值即可得出所以．故選：C．44．（湖南省懷化市新博覽20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】【分析】利用新定義，根據(jù)兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由題意可得，因?yàn)辄c(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：45．（湖北省武漢市部分學(xué)校聯(lián)合體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）（多選）定義兩個(gè)非零平面向量，的一種新運(yùn)算：，其中表示向量，的夾角，則對(duì)于非零平面向量，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．B．C．，則D．【答案】BC【分析】根據(jù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)求解，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，，所以.因?yàn)?，所以或，所以，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)榕c相同或互補(bǔ)，所以.，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.46.（江蘇省鹽城市濱?？h東元高級(jí)中學(xué)等三校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）當(dāng)時(shí)，稱有序?qū)崝?shù)對(duì)為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)，若點(diǎn)A、B的廣義坐標(biāo)分別為、，對(duì)于下列命題：①線段AB的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為；②向量平行于向量的充要條件為；③向量垂直于向量的充要條件為；其中真命題是．【答案】①②【分析】對(duì)于①：設(shè)為中點(diǎn)，利用向量的中線公式直接求解；對(duì)于②：利用向量平行直接求解；對(duì)于③：利用向量垂直計(jì)算后判斷.【詳解】由題意：,.對(duì)于①：設(shè)為中點(diǎn)，所以.所以線段的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為.故①正確；對(duì)于②：向量平行于向量，其中，故②正確；對(duì)于③：向量垂直于向量.而.故③不一定成立.故答案為：①②.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解廣義坐標(biāo)的定義，再結(jié)合中線定理和向量共線定理以及向量垂直的充要條件一一判斷即可.一、單選題1．（江蘇省徐州市菁華高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）在平行四邊形中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)三點(diǎn)共線，即共線，可設(shè)，用表示出關(guān)系，即可解出結(jié)果.【詳解】.設(shè)，則,又，且三點(diǎn)共線，則共線，即，使得，即，又不共線，則有，解得，所以，.故選：D.2．（廣東省廣州市增城中學(xué)、廣東華僑，協(xié)和中學(xué)三校2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，在平行四邊形中，分別為上的點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】選為基底分別把表示出來，然后代入中，的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等即可；本題也可以用排除法，顯然，故，只有C選項(xiàng)滿足，故選C.【詳解】設(shè)則顯然得顯然因?yàn)樗杂屑锤鶕?jù)向量的性質(zhì)可知解得故選：C3．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件作圖可得為直角三角形，結(jié)合條件，并根據(jù)根據(jù)投影向量的概念求解即可【詳解】所以外接圓圓心為的中點(diǎn)，即為外接圓的直徑，所以,如圖：因?yàn)椋?，即，所以，向量在向量上的投影?shù)量為：故選：A二、多選題4．（2022秋·山東聊城·高三統(tǒng)考期中）已知平面向量，，，則（

）．A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為銳角，則 D．的最小值為4【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的平行和垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算，可判斷A,B;根據(jù)向量的夾角公式求出與的夾角為銳角時(shí)的n的范圍，要考慮向量同向情況，判斷C;根據(jù)向量的模的坐標(biāo)計(jì)算可判斷D.【詳解】由題意平面向量，，，若，則，A正確；若，則，B正確；若與的夾角為銳角，則，即，但時(shí)，與同向，滿足，但夾角為，不是銳角，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故的最小值為4，D正確，故選：ABD.5．（2022秋·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為1，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則（

）A．與能構(gòu)成一組基底 B．C．在向量上的投影向量的模為 D．的最大值為【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，證明出，從而建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到與平行，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出得到B正確；C選項(xiàng)，求出，，利用投影向量的計(jì)算公式求出答案；D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，得到，求出的最大值，從而得到的最大值.【詳解】連接AF，因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，故，以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則故，故，所以與平行，不能構(gòu)成一組基底，A錯(cuò)誤；，，，，故，B正確；，，，故在向量上的投影向量的模長(zhǎng)為，C正確；取的中點(diǎn)，則，，則，，兩式相減得：，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，最大，最大值為，則的最大值為，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.6．（2022秋·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知為直角三角形，且，.點(diǎn)P是以C為圓心，3為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的可能取值為（

）A．3 B． C．20 D．15【答案】BD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，式子表示點(diǎn)圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方減2，作出輔助線，得到到點(diǎn)距離最值，求出的取值范圍，選出正確答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向?yàn)檩S正方向，所在方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，所以，，圓C的方程為，設(shè)，則，式子表示點(diǎn)圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方減2，連接直線，交圓C于兩點(diǎn)，當(dāng)位于點(diǎn)時(shí)，到點(diǎn)距離最大，最大距離為，此時(shí)最大，最大為，當(dāng)位于點(diǎn)時(shí)，到點(diǎn)距離最小，最小距離為，此時(shí)最小，最小為，所以的取值范圍是，其中，.故選：BD.【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.三、填空題7．（2022秋·浙江紹興·高三紹興一中?？计谥校┰谥校?，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且滿足，，交于，則．【答案】/【分析】由已知可得，，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，推出，由三點(diǎn)共線求得，再將表示成以為基底的向量，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】如圖，由，得，設(shè)，則因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得：.所以，則故答案為：.8．（2022秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，過點(diǎn)G的直線分別交直線AB，AC點(diǎn)D，E兩點(diǎn)，，則；求的最小值為.【答案】【分析】利用重心的性質(zhì)以及平面的線性運(yùn)算可知，設(shè),由三點(diǎn)共線可知，故可知，利用的妙用以及基本不等式求出的最小值.【詳解】由重心的性質(zhì)可知，，設(shè),由已知得，,兩式相加得,整理得,所以，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題利用了三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條件，若,不共線，則三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條件為，且，R.9．（福建省安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）若，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)出，，得到，平方后得到的最大值和最小值，從而求出答案.【詳解】不妨設(shè)，，則，，故，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最大值，，故的最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，故的最小值為，故的取值范圍為.故答案為：.10．（20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知平行四邊形的面積為，，為線段的中點(diǎn)．