2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題型模型方與技巧專題08含參不等式與方程問題及其應(yīng)用(原卷版+解析)

/2025屆中考復(fù)習(xí)專題08：含參不等式與方程問題及其應(yīng)用總覽總覽題型解讀模塊一不等式（組）含參問題 3【題型1】已知解集求參數(shù)的值或取值范圍 3【題型2】含參不等式與函數(shù)結(jié)合 4【題型3】由不等式整數(shù)解求參數(shù)范圍 6【題型4】已知不等式有/無解求參數(shù)的取值范圍 6【題型5】不等式與方程綜合求參數(shù)的取值范圍 7【題型6】與含參不等式（組）有關(guān)的新定義問題 8模塊二方程方程含參問題 8【題型1】已知方程的解求參數(shù) 8【題型2】由方程求代數(shù)式的值 9【題型3】兩個方程的解相同 10【題型4】含參二元一次方程組與不等式 10【題型5】已知分式方程的增根求參數(shù) 11【題型6】方程有解、無解問題 12【題型7】由方程解的正負(fù)求參數(shù)的取值范圍 12【題型8】方程的整數(shù)解問題 14【題型9】分式方程與含參不等式綜合 14【題型10】由一元二次方程根的個數(shù)求參數(shù)的值或范圍 15【題型11】一元二次方程韋達(dá)定理的應(yīng)用 16【題型12】一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理綜合 17【題型13】與含參方程有關(guān)的新定義問題 18題型題型匯編知識梳理與常考題型一、不等式（組）含參問題【題型解讀】不等式、不等式組的參數(shù)問題主要涉及不等式(組)有解問題、無解問題、解的范圍問題，解決此類問題，要掌握不等式組的解法口訣以及在數(shù)軸上熟練表示出解集的范圍，已知不等式(組)的解售情況，求字母系數(shù)時，一般先視字母系數(shù)為常數(shù)，再逆用不等式(組)解集的定義，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.【題型梳理】1.已知解集求參數(shù)的值或取值范圍：根據(jù)不等式（組）的解集，反推參數(shù)的取值。2.已知整數(shù)解的情況求參數(shù)的值或取值范圍：依據(jù)整數(shù)解的個數(shù)、范圍等條件，確定參數(shù)的取值。3.含參不等式與函數(shù)結(jié)合:含參不等式與函數(shù)結(jié)合4.已知不等式有、無解求參數(shù)的取值范圍：根據(jù)不等式的性質(zhì)和求解方法，確定使不等式有解或無解的參數(shù)范圍。5.不等式與方程綜合求參數(shù)的取值范圍：結(jié)合方程的解和不等式的解集，列出關(guān)于參數(shù)的不等式組求解。6.與含參不等式（組）有關(guān)的新定義問題：按照新定義的運(yùn)算或規(guī)則，結(jié)合不等式知識求解。二、方程含參問題【題型梳理】1.已知方程的解求參數(shù)：將方程的解代入原方程，得到關(guān)于參數(shù)的等式，進(jìn)而求解參數(shù)。2.已知方程的解求代數(shù)式的值：先根據(jù)方程的解求出參數(shù)，再將參數(shù)代入所求代數(shù)式求值。3.同解方程：兩個方程的解相同，先求出一個方程的解，再代入另一個方程求參數(shù)。4.根據(jù)方程解滿足的情況求解：如解滿足某種大小關(guān)系等條件，據(jù)此列出關(guān)于參數(shù)的不等式或等式求解。5.方程整數(shù)解問題：在方程的解集中找出整數(shù)解，結(jié)合條件確定參數(shù)的取值。6.方程有解、無解問題：對于一元一次方程、一元二次方程等，根據(jù)其性質(zhì)判斷有解或無解的條件，進(jìn)而確定參數(shù)范圍。7.已知分式方程的增根求參數(shù)：先確定增根（使分母為0的值），將分式方程化為整式方程，再把增根代入整式方程求參數(shù)。8.利用方程解的范圍求參數(shù)的取值范圍：根據(jù)已知解的范圍，列出關(guān)于參數(shù)的不等式組求解。9.根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍：利用判別式判斷根的情況（兩個不同實(shí)根、兩個相同實(shí)根、無實(shí)根等），進(jìn)而確定參數(shù)。10.不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值：常利用韋達(dá)定理（在一元二次方程中，兩根、有，）求解。11.根的判別式與韋達(dá)定理綜合：結(jié)合判別式判斷根的情況和韋達(dá)定理中兩根關(guān)系，求解參數(shù)或與方程相關(guān)的問題。12.與含參方程有關(guān)的新定義問題：根據(jù)新定義的規(guī)則，結(jié)合方程知識進(jìn)行求解?！绢}型解讀】1).一次方程組的含參問題一是方程組與不等式的聯(lián)系時，產(chǎn)生的未知數(shù)的正數(shù)解或解的范圍，解決這類問題是把所給的參數(shù)作為常數(shù)，利用二元一次方程組的解法代入消元法、加減消元法，先求出二元一次方程組的解，再結(jié)合所給的條件轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式問題;二是利用整體思想，求代數(shù)式的值，結(jié)合所給的已知條件和所求問題，找到兩者之間的聯(lián)系，利用整體思想和轉(zhuǎn)化思想加以解決2).分式方程的參數(shù)問題主要是分式方程無解、有正數(shù)解或負(fù)數(shù)解、整數(shù)解的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是化分式方程為整式方程，在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的解.3).一元二次方程的參數(shù)問題主要是含有參數(shù)的一元二次方程的解一元二次方程的解的情況、一元二次方程的公共解，針對一元二次方程的參數(shù)，常利用韋達(dá)定理、根的判別式來解決，同時注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為零.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個根分別為x1、x2，則注意運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是，知一元二次方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值時，先把所求代數(shù)式變形為含有的式子，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解.模塊一不等式（組）含參問題【題型1】已知解集求參數(shù)的值或取值范圍【例題1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例題2】（2024·內(nèi)蒙古興安盟·二模）若關(guān)于x的不等式組的解集為，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例題3】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）關(guān)于x的不等式的解集是，這個不等式的任意一個解都比關(guān)于x的不等式的解大，則m的取值范圍是．【鞏固練習(xí)1】（2023·湖北鄂州·中考真題）已知不等式組的解集是，則（）A．0 B． C．1 D．2023【鞏固練習(xí)2】（2023·江蘇南通·中考真題）已知一次函數(shù)，若對于范圍內(nèi)任意自變量的值，其對應(yīng)的函數(shù)值都小于，則的取值范圍是．【鞏固練習(xí)3】（2024·寧夏銀川·三模）不等式的正整數(shù)解為1和2，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)4】（2023·四川宜賓·中考真題）若關(guān)于x的不等式組所有整數(shù)解的和為，則整數(shù)的值為．【題型2】含參不等式與函數(shù)結(jié)合【例題1】（2024·江蘇泰州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)，，無論x取何值，始終有，則m的取值范圍是．【例題2】（2024·山東日照·中考真題）已知一次函數(shù)和，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍為【例題3】（2023·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．隨的增大而增大B．C．當(dāng)時，D．關(guān)于，的方程組的解為【鞏固練習(xí)1】（2021·浙江嘉興·中考真題）已知點(diǎn)在直線上，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（2024·貴州遵義·三模）已知一次函數(shù)和的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③；④、是直線上不重合的兩點(diǎn)，則．其中正確的是（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．②③【鞏固練習(xí)3】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示．則下列結(jié)論中：①隨的增大而增大；②；③．當(dāng)時，；④關(guān)于，的方程組的解為，正確的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型3】由不等式整數(shù)解求參數(shù)范圍【例題1】（2023·四川眉山·中考真題）關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例題2】（2023·黑龍江·中考真題）關(guān)于的不等式組有3個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【鞏固練習(xí)1】（2023·黑龍江大慶·中考真題）若關(guān)于的不等式組有三個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【鞏固練習(xí)2】（2022·湖南邵陽·中考真題）關(guān)于的不等式組有且只有三個整數(shù)解，則的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【鞏固練習(xí)3】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關(guān)于x的不等式組4?2x≥012x?a>0恰有3個整數(shù)解，則a【題型4】已知不等式有/無解求參數(shù)的取值范圍【例題1】（23-24九年級下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）若不等式組無解，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例題2】（2022·四川綿陽·中考真題）已知關(guān)于x的不等式組無解，則的取值范圍是．【鞏固練習(xí)1】已知關(guān)于x的不等式組有解，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【鞏固練習(xí)2】若關(guān)于y的不等式組有解，則滿足條件的整數(shù)m的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【鞏固練習(xí)3】（2024·江蘇南通·一模）若關(guān)于x的不等式組x?a<013x?12【題型5】不等式與方程綜合求參數(shù)的取值范圍【例題1】若整數(shù)a使關(guān)于x的方程x+2a=1的解為負(fù)數(shù)，且使關(guān)于的不等式組?12x?a>0x?1≥A．6 B．7 C．9 D．10【鞏固練習(xí)1】若關(guān)于x的不等式組x?14(4a?2)≤123x?12<x+2的解集為x≤a，且關(guān)于y的方程2y=7+a【鞏固練習(xí)2】若關(guān)于x的不等式組5x≥3x+2x?x+32≤a16有且只有2個整數(shù)解，且關(guān)于yA．33 B．28 C．27 D．22【鞏固練習(xí)3】（2024·山東日照·二模）關(guān)于x的不等式組2x+14≥?122x?1<2m有解，同時關(guān)于x的方程1?x【題型6】與含參不等式（組）有關(guān)的新定義問題【例題1】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）對于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“※”為，例如，則關(guān)于的不等式有且只有一個正整數(shù)解時，的取值范圍是．【例題2】對于任意實(shí)數(shù)p，q，定義一種運(yùn)算：p@q=p+q?pq，如：2@3=2+3?2×3．請根據(jù)以上定義解決問題：若關(guān)于x的不等式組2@x>0x@3≤m有且僅有2個整數(shù)解，則m的取值范圍為是【鞏固練習(xí)1】定義：不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作x，例如3.6=3，?3=?2，按此規(guī)定，若1?3xA．13<x≤1 B．13≤x<1 C．【鞏固練習(xí)2】（2024·山東德州·二模）對于任意實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：a?b=ab?2a．例如，2?4=2×4?2×2=4，請根據(jù)上述定義解答如下問題：若關(guān)于x的不等式組3?x<6x?3≥m有3個整數(shù)解，則m的取值范圍是（

A．0<m<1 B．0<m≤1 C．0≤m<1 D．0≤m≤1【鞏固練習(xí)3】（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）定義新運(yùn)算“?”，規(guī)定：a?b=a?2b，若關(guān)于x的不等式組x?3>0x?a>a的解集為x>6，則a的取值范圍是模塊二方程方程含參問題【題型1】已知方程的解求參數(shù)【例題1】（2023·山東淄博·中考真題）已知是方程的解，那么實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C． D．4【鞏固練習(xí)1】（2021·重慶·中考真題）若關(guān)于x的方程4?x2+a=4的解是x=2，則a的值為【鞏固練習(xí)2】（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程a+2x2+x+a2?4=0的一個根是A．2 B．?2 C．2或?2 D．1【鞏固練習(xí)3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx?4=0有一個根是x=2，求【題型2】由方程求代數(shù)式的值【例題1】（2024·云南昆明·一模）若是方程的一個根，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．【例題2】（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）已知x=2y=?3是方程組ax+by=3bx+ay=?7的解，求代數(shù)式【例題3】（2023·四川涼山·中考真題）已知，則的值等于．【鞏固練習(xí)1】（2024·云南怒江·一模）已知m是方程x2?3x+1=0的根，求代數(shù)式m3A．1 B．3 C．4 D．7【鞏固練習(xí)2】（2022·廣西·中考真題）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知3a?b=2，求代數(shù)式6a?2b?1的值．”可以這樣解：6a?2b?1=23a?b?1=2×2?1=3．根據(jù)閱讀材料，解決問題：若x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，則代數(shù)式4a【鞏固練習(xí)3】（2024·湖北十堰·三模）若m、n是一元二次方程x2?x?3=0的兩個實(shí)數(shù)根，多項(xiàng)式2n【鞏固練習(xí)4】（2023·四川成都·中考真題）若，則代數(shù)式，的值為．【題型3】兩個方程的解相同【例題1】（2024涼州區(qū)三模）已知關(guān)于x的方程x?m2=x+m3與3x?【鞏固練習(xí)1】（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組x?3y=7k2x+3y=5k的解也是方程3x?y=26的解，則k的值為（

A．?4 B．?2 C．2 D．無法計(jì)算【鞏固練習(xí)2】（2024安順市模擬）關(guān)于x的兩個方程x2?x?6=0與2x+m【題型4】含參二元一次方程組與不等式【例題1】（2024·湖南懷化·一模）已知k為整數(shù)，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則整數(shù)k值為（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【例題2】（2024·山東東營·二模）若關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍為．【例題3】（2024·廣東惠州·三模）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則滿足條件的的取值范圍是．【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東·模擬預(yù)測）關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則n的取值范圍是．【鞏固練習(xí)2】（2023·山東淄博·一模）關(guān)于、的方程組的解中與的和不小于，則的取值范圍為.【鞏固練習(xí)3】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）關(guān)于x，y的方程組的解中x與y的和小于5，則k的取值范圍為（）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)4】如果關(guān)于，的方程組的解是正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型5】已知分式方程的增根求參數(shù)【例題1】（2023·四川巴中·中考真題）關(guān)于x的分式方程有增根，則．【鞏固練習(xí)1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的分式方程有增根，則k的值為．【鞏固練習(xí)2】（2024·上海松江·三模）若分式方程有增根，則k的值為【鞏固練習(xí)3】（2023·山東德州·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的分式方程2x?1+mxx?1x+2A．?6 B．?3 C．?2 D．1【題型6】方程有解、無解問題【例題1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（

）A．或 B． C．或 D．【例題2】（2023·山東聊城·模擬預(yù)測）若關(guān)于和的方程組無解，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（2023·湖南永州·中考真題）若關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，則增根是．【鞏固練習(xí)2】（2024·四川達(dá)州·中考真題）若關(guān)于的方程無解，則的值為．【鞏固練習(xí)3】（2022·四川遂寧·中考真題）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【題型7】由方程解的正負(fù)求參數(shù)的取值范圍【例題1】（2024·黑龍江佳木斯·三模）若關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B．C．且 D．且【例題2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且【鞏固練習(xí)1】（2024·四川遂寧·中考真題）分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍（

）A． B．且C． D．且【鞏固練習(xí)2】（2023·山東日照·中考真題）若關(guān)于的方程解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【鞏固練習(xí)3】（2023·黑龍江·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【鞏固練習(xí)4】（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．且【鞏固練習(xí)5】（2024·四川成都·二模）若關(guān)于的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．【題型8】方程的整數(shù)解問題【例題1】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為．【例題2】（2024·山東菏澤·一模）已知關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（黑龍江牡丹江·中考真題）若關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，則整數(shù)m的值是（

）A．3 B．5 C．3或5 D．3或4【鞏固練習(xí)2】（2021·四川達(dá)州·中考真題）若分式方程的解為整數(shù)，則整數(shù)．【鞏固練習(xí)3】如果關(guān)于，的方程組的解是整數(shù)，那么整數(shù)的值為（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【鞏固練習(xí)4】若是整數(shù)，且關(guān)于的方程有整數(shù)根，則的值是（

）A．3或5 B．或5 C．或3 D．或【題型9】分式方程與含參不等式綜合【例題1】（2024·重慶·中考真題）若關(guān)于的不等式組至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為．【例題2】（2024·重慶·一模）若數(shù)a既使得關(guān)于x的不等式組無解，又使得關(guān)于y的分式方程的解不小于1，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為．【鞏固練習(xí)1】（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式組有且只有兩個偶數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有解，則所有滿足條件的整數(shù)的和是（）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式組有解且至多有4個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)m的值之和為．【鞏固練習(xí)3】（2024·重慶·中考真題）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是．【題型10】由一元二次方程根的個數(shù)求參數(shù)的值或范圍【例題1】（24-25九年級·廣東深圳·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，的取值范圍是．【例題2】（2024·云南昆明·一模）若關(guān)于的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則的值為．【鞏固練習(xí)1】（2023·寧夏銀川·二模）若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【鞏固練習(xí)2】（2025·廣東廣州·一模）點(diǎn)既在反比例函數(shù)的圖象上，又在一次函數(shù)的圖象上，則以為根的一元二次方程為．【鞏固練習(xí)3】（2024·上海寶山·一模）若二次函數(shù)圖像與一次函數(shù)（）只有一交點(diǎn)，則的取值范圍為．【題型11】一元二次方程韋達(dá)定理的應(yīng)用【例題1】（2024·四川樂山·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為、，且，則p的值為（

）A． B． C． D．6【例題2】（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個根是和；小冬在化簡過程中寫錯了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．則原來的方程是(

)A． B．C． D．【例題3】（2024·山東煙臺·中考真題）若一元二次方程的兩根為m，n，則的值為．【例題3】（2024·四川成都·中考真題）若，是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為．【鞏固練習(xí)1】（2024·江西·模擬預(yù)測）設(shè)m，n是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為．【鞏固練習(xí)2】（2024·山東日照·一模）已知關(guān)于的一元二次方程，若該方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為，且，則的值為．【鞏固練習(xí)3】（2024·湖南株洲·模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程有兩個根，且滿足，則m的值為．【鞏固練習(xí)4】（24-25九年級上·廣東深圳·期中）小亮與小明在解一道一元二次方程時都發(fā)生了小錯誤，小亮在化簡過程中寫錯了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個根是4和1；小敏在化簡過程中寫錯了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是1和2．則原來的方程是（

）A． B．C． D．【題型12】一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理綜合【例題1】（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測）已知，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【例題2】（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）關(guān)于x的方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為，．若則k的值為．【鞏固練習(xí)1】（2024·四川眉山·二模）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為、，且滿足，求的取值范圍．【鞏固練習(xí)2】（2023·浙江紹興·中考真題）已知關(guān)于x的方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于3，且關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根．當(dāng)k為正整數(shù)時，求不等式的解．【鞏固練習(xí)3】（2023·湖北襄陽·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若方程的兩個根為，，且，求的值．【鞏固練習(xí)4】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程（為常數(shù)）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根和．(1)填空：________，________；(2)求，；(3)已知，求的值．【題型13】與含參方程有關(guān)的新定義問題【例題1】已知關(guān)于x的方程5x?2=3x+16的解與方程4a+1=4x+a?5a的解相同，則a=；若m表示不大于m的最大整數(shù)，那么[【例題2】（2024·湖南·模擬預(yù)測）對于實(shí)數(shù)，我們定義符號的意義為：當(dāng)時，；當(dāng)時，，如，則方程的解為．【鞏固練習(xí)1】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）對于實(shí)數(shù)定義一種新運(yùn)算：，若關(guān)于的方程（為整數(shù)）有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則的值為．【鞏固練習(xí)2】（2024·山東聊城·三模）定義：是一元二次方程的倒方程．則下列四個結(jié)論：①如果是的倒方程的解，則；②如果一元二次方程無解，則它的倒方程也無解；③如果一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則它的倒方程也有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論是．（填序號）【鞏固練習(xí)3】（2024·山東聊城·二模）對于實(shí)數(shù)，，先定義一種新運(yùn)算“”如下：，若，則實(shí)數(shù)的值為．

2025屆中考復(fù)習(xí)專題08：含參不等式與方程問題及其應(yīng)用總覽總覽題型解讀模塊一不等式（組）含參問題 3【題型1】已知解集求參數(shù)的值或取值范圍 3【題型2】含參不等式與函數(shù)結(jié)合 6【題型3】由不等式整數(shù)解求參數(shù)范圍 10【題型4】已知不等式有/無解求參數(shù)的取值范圍 13【題型5】不等式與方程綜合求參數(shù)的取值范圍 15【題型6】與含參不等式（組）有關(guān)的新定義問題 17模塊二方程方程含參問題 19【題型1】已知方程的解求參數(shù) 19【題型2】由方程求代數(shù)式的值 20【題型3】兩個方程的解相同 23【題型4】含參二元一次方程組與不等式 24【題型5】已知分式方程的增根求參數(shù) 28【題型6】方程有解、無解問題 29【題型7】由方程解的正負(fù)求參數(shù)的取值范圍 31【題型8】方程的整數(shù)解問題 35【題型9】分式方程與含參不等式綜合 38【題型10】由一元二次方程根的個數(shù)求參數(shù)的值或范圍 42【題型11】一元二次方程韋達(dá)定理的應(yīng)用 45【題型12】一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理綜合 48【題型13】與含參方程有關(guān)的新定義問題 53題型題型匯編知識梳理與?？碱}型一、不等式（組）含參問題【題型解讀】不等式、不等式組的參數(shù)問題主要涉及不等式(組)有解問題、無解問題、解的范圍問題，解決此類問題，要掌握不等式組的解法口訣以及在數(shù)軸上熟練表示出解集的范圍，已知不等式(組)的解售情況，求字母系數(shù)時，一般先視字母系數(shù)為常數(shù)，再逆用不等式(組)解集的定義，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.【題型梳理】1.已知解集求參數(shù)的值或取值范圍：根據(jù)不等式（組）的解集，反推參數(shù)的取值。2.已知整數(shù)解的情況求參數(shù)的值或取值范圍：依據(jù)整數(shù)解的個數(shù)、范圍等條件，確定參數(shù)的取值。3.含參不等式與函數(shù)結(jié)合:含參不等式與函數(shù)結(jié)合4.已知不等式有、無解求參數(shù)的取值范圍：根據(jù)不等式的性質(zhì)和求解方法，確定使不等式有解或無解的參數(shù)范圍。5.不等式與方程綜合求參數(shù)的取值范圍：結(jié)合方程的解和不等式的解集，列出關(guān)于參數(shù)的不等式組求解。6.與含參不等式（組）有關(guān)的新定義問題：按照新定義的運(yùn)算或規(guī)則，結(jié)合不等式知識求解。二、方程含參問題【題型梳理】1.已知方程的解求參數(shù)：將方程的解代入原方程，得到關(guān)于參數(shù)的等式，進(jìn)而求解參數(shù)。2.已知方程的解求代數(shù)式的值：先根據(jù)方程的解求出參數(shù)，再將參數(shù)代入所求代數(shù)式求值。3.同解方程：兩個方程的解相同，先求出一個方程的解，再代入另一個方程求參數(shù)。4.根據(jù)方程解滿足的情況求解：如解滿足某種大小關(guān)系等條件，據(jù)此列出關(guān)于參數(shù)的不等式或等式求解。5.方程整數(shù)解問題：在方程的解集中找出整數(shù)解，結(jié)合條件確定參數(shù)的取值。6.方程有解、無解問題：對于一元一次方程、一元二次方程等，根據(jù)其性質(zhì)判斷有解或無解的條件，進(jìn)而確定參數(shù)范圍。7.已知分式方程的增根求參數(shù)：先確定增根（使分母為0的值），將分式方程化為整式方程，再把增根代入整式方程求參數(shù)。8.利用方程解的范圍求參數(shù)的取值范圍：根據(jù)已知解的范圍，列出關(guān)于參數(shù)的不等式組求解。9.根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍：利用判別式判斷根的情況（兩個不同實(shí)根、兩個相同實(shí)根、無實(shí)根等），進(jìn)而確定參數(shù)。10.不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值：常利用韋達(dá)定理（在一元二次方程中，兩根、有，）求解。11.根的判別式與韋達(dá)定理綜合：結(jié)合判別式判斷根的情況和韋達(dá)定理中兩根關(guān)系，求解參數(shù)或與方程相關(guān)的問題。12.與含參方程有關(guān)的新定義問題：根據(jù)新定義的規(guī)則，結(jié)合方程知識進(jìn)行求解?！绢}型解讀】1).一次方程組的含參問題一是方程組與不等式的聯(lián)系時，產(chǎn)生的未知數(shù)的正數(shù)解或解的范圍，解決這類問題是把所給的參數(shù)作為常數(shù)，利用二元一次方程組的解法代入消元法、加減消元法，先求出二元一次方程組的解，再結(jié)合所給的條件轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式問題;二是利用整體思想，求代數(shù)式的值，結(jié)合所給的已知條件和所求問題，找到兩者之間的聯(lián)系，利用整體思想和轉(zhuǎn)化思想加以解決2).分式方程的參數(shù)問題主要是分式方程無解、有正數(shù)解或負(fù)數(shù)解、整數(shù)解的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是化分式方程為整式方程，在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的解.3).一元二次方程的參數(shù)問題主要是含有參數(shù)的一元二次方程的解一元二次方程的解的情況、一元二次方程的公共解，針對一元二次方程的參數(shù)，常利用韋達(dá)定理、根的判別式來解決，同時注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為零.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個根分別為x1、x2，則注意運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是，知一元二次方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值時，先把所求代數(shù)式變形為含有的式子，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解.模塊一不等式（組）含參問題【題型1】已知解集求參數(shù)的值或取值范圍【例題1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，求出第一個不等式的解集，根據(jù)口訣：“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解”即可確定的范圍．【詳解】解：解不等式得，解不等式得，∵解集是，∴，解得【例題2】（2024·內(nèi)蒙古興安盟·二模）若關(guān)于x的不等式組的解集為，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查的是解一元一次不等式組，依據(jù)不等式組的解集為列出關(guān)于的不等式是解題的關(guān)鍵．先求得不等式的解集，然后依據(jù)不等式組的解集為可判斷出的取值范圍．【詳解】解：解不等式得，解不等式得：．不等式組的解集為，．解得：．【例題3】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）關(guān)于x的不等式的解集是，這個不等式的任意一個解都比關(guān)于x的不等式的解大，則m的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解題關(guān)鍵．先分別求出不等式的解集，再根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，求解即可得．【詳解】解：，，，．解不等式得：，∵不等式任意一個解都比關(guān)于的不等式的解大，∴，解得，故答案為：；．【鞏固練習(xí)1】（2023·湖北鄂州·中考真題）已知不等式組的解集是，則（）A．0 B． C．1 D．2023【答案】B【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算，可得，再結(jié)合已知可得，，然后進(jìn)行計(jì)算可求出，的值，最后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式組的解集為：，∵不等式組的解集是，∴，，∴，，∴【鞏固練習(xí)2】（2023·江蘇南通·中考真題）已知一次函數(shù)，若對于范圍內(nèi)任意自變量的值，其對應(yīng)的函數(shù)值都小于，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意和一次函數(shù)的性質(zhì)可得到，然后求解即可．【詳解】解：一次函數(shù)，隨的增大而增大，對于范圍內(nèi)任意自變量的值，其對應(yīng)的函數(shù)值都小于，，解得．故答案為：．【鞏固練習(xí)3】（2024·寧夏銀川·三模）不等式的正整數(shù)解為1和2，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，正確解出不等式組的解集，確定a的范圍，是解答本題的關(guān)鍵．求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．首先確定不等式組的解集，利用含a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．【詳解】解：解不等式，得：，∵不等式組整數(shù)解為1和2，則，∴【鞏固練習(xí)4】（2023·四川宜賓·中考真題）若關(guān)于x的不等式組所有整數(shù)解的和為，則整數(shù)的值為．【答案】或【分析】根據(jù)題意可求不等式組的解集為，再分情況判斷出的取值范圍，即可求解．【詳解】解：由①得：，由②得：，不等式組的解集為：，所有整數(shù)解的和為，①整數(shù)解為：、、、，，解得：，為整數(shù)，．②整數(shù)解為：，，，、、、，，解得：，為整數(shù)，．【題型2】含參不等式與函數(shù)結(jié)合【例題1】（2024·江蘇泰州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)，，無論x取何值，始終有，則m的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解不等式，根據(jù)題意可得直線與直線平行，且直線在直線的上方，進(jìn)而得出，根據(jù)列不等式，解不等式即可．【詳解】解：∵無論x取何值，始終有，∴直線與直線平行，且直線在直線的上方，∴，∴，∴【例題2】（2024·山東日照·中考真題）已知一次函數(shù)和，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍為【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)綜合．熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與不等式，分類討論，是解決問題的關(guān)鍵．可知過原點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)時，；當(dāng)與平行時，，由函數(shù)圖象知，．【詳解】解：可知過原點(diǎn)，∵中，時，，∴當(dāng)過點(diǎn)時，，得；當(dāng)與平行時，得．由函數(shù)圖象知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，a的取值范圍為：．故答案為：．【例題3】（2023·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．隨的增大而增大B．C．當(dāng)時，D．關(guān)于，的方程組的解為【答案】C【分析】結(jié)合圖象，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、隨的增大而增大，故選項(xiàng)A正確；B、由圖象可知，一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在的圖象與軸的交點(diǎn)的下方，即，故選項(xiàng)B正確；C、由圖象可知：當(dāng)時，，故選項(xiàng)C錯誤；D、由圖象可知，兩條直線的交點(diǎn)為，∴關(guān)于，的方程組的解為；故選項(xiàng)D正確；故選C．【鞏固練習(xí)1】（2021·浙江嘉興·中考真題）已知點(diǎn)在直線上，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)在直線上，且，先算出的范圍，再對不等式變形整理時，需要注意不等號方向的變化．【詳解】解：點(diǎn)在直線上，，將上式代入中，得：，解得：，由，得：，（兩邊同時乘上一個負(fù)數(shù)，不等號的方向要發(fā)生改變），故選：D．【鞏固練習(xí)2】（2024·貴州遵義·三模）已知一次函數(shù)和的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③；④、是直線上不重合的兩點(diǎn)，則．其中正確的是（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．②③【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．根據(jù)一次函數(shù)中的，與其圖象間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想以及一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，可解決此題．【詳解】解：①的圖象過第二、三、四象限，觀察圖象可知，，．所以．故①正確．②將分別代入和得，，．觀察圖象不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，所以．故②不正確．③觀察圖象發(fā)現(xiàn)，與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．當(dāng)時，兩者的函數(shù)值相等．，故③正確．④，是直線上不重合的兩點(diǎn)，由的圖象可知，當(dāng)時，，則．當(dāng)時，，則．故④不正確．【鞏固練習(xí)3】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示．則下列結(jié)論中：①隨的增大而增大；②；③．當(dāng)時，；④關(guān)于，的方程組的解為，正確的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①、隨的增大而增大，故選項(xiàng)①正確；②．由圖象可知，一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在的圖象與軸的交點(diǎn)的下方，即，故選項(xiàng)②正確；③．由圖象可知：當(dāng)時，，故選項(xiàng)③錯誤；④．由圖象可知，兩條直線的交點(diǎn)為，∴關(guān)于，的方程組的解為；故選項(xiàng)④正確；故正確的有①②④共三個【題型3】由不等式整數(shù)解求參數(shù)范圍【例題1】（2023·四川眉山·中考真題）關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】不等式組整理后，表示出不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解共有4個，確定出m的范圍即可．【詳解】解：，由②得：，解集為，由不等式組的整數(shù)解只有4個，得到整數(shù)解為2，1，0，，∴，∴；故選：A．【例題2】（2023·黑龍江·中考真題）關(guān)于的不等式組有3個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】解不等式組，根據(jù)不等式組有3個整數(shù)解得出關(guān)于m的不等式組，進(jìn)而可求得的取值范圍．【詳解】解：解不等式組得：，∵關(guān)于的不等式組有3個整數(shù)解，∴這3個整數(shù)解為，，，∴，解得：，故答案為：．【鞏固練習(xí)1】（2023·黑龍江大慶·中考真題）若關(guān)于的不等式組有三個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】首先解不等式組求得解集，然后根據(jù)不等式組有三個整數(shù)解，確定整數(shù)解，則可以得到一個關(guān)于的不等式組求得的范圍．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式組有三個整數(shù)解，不等式組的整數(shù)解為，0、1，則，解得．故答案為：．【鞏固練習(xí)2】（2022·湖南邵陽·中考真題）關(guān)于的不等式組有且只有三個整數(shù)解，則的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】分別對兩個不等式進(jìn)行求解，得到不等式組的解集為，根據(jù)不等式組有且只有三個整數(shù)解的條件計(jì)算出的最大值．【詳解】解不等式，，∴，∴，解不等式，得，∴，∴的解集為，∵不等式組有且只有三個整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解應(yīng)為：2，3，4，∴,∴的最大值應(yīng)為5【鞏固練習(xí)3】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關(guān)于x的不等式組4?2x≥012x?a>0恰有3個整數(shù)解，則a【答案】?【分析】本題考查解一元一次不等式（組)，一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．先解出不等式組中每個不等式的解集，然后根據(jù)不等式組4?2x≥01【詳解】解：由4?2x≥0，得：由12x?∵不等式組4?2x∴這3個整數(shù)解是0，1，2，∴?1≤2a解得?【題型4】已知不等式有/無解求參數(shù)的取值范圍【例題1】（23-24九年級下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）若不等式組無解，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了根據(jù)不等式組解的情況確定參數(shù)的取值范圍，借助數(shù)軸數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．求得第一個不等式的解集，借助數(shù)軸即可求得m的取值范圍．【詳解】解：解不等式，得，不等式組無解，把兩個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來如下：

觀察圖象知，當(dāng)時，滿足不等式組無解【例題2】（2022·四川綿陽·中考真題）已知關(guān)于x的不等式組無解，則的取值范圍是．【答案】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小找不到并結(jié)合不等式組的解集可得答案．【詳解】解∶，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組無解，∴，解得：，∴．【鞏固練習(xí)1】已知關(guān)于x的不等式組有解，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】先求得不等式組的每個不等式的解集，根據(jù)不等式組有解，建立起新的不等式組，解之即可，本題考查了一元一次不等式組的解法，能根據(jù)不等式組有解建立新不等式組是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴解①得，，解②得，，∵不等式組有解，∴，∴【鞏固練習(xí)2】若關(guān)于y的不等式組有解，則滿足條件的整數(shù)m的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】解不等式組得，，根據(jù)不等式組有解可得，即，即可求解．【詳解】解：，由①得，，由②得，，∵關(guān)于y的不等式組有解，∴，即，∴滿足條件的整數(shù)m的最大值為7【鞏固練習(xí)3】（2024·江蘇南通·一模）若關(guān)于x的不等式組x?a<013x?12【答案】a≤2【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小找不到結(jié)合不等式組的解集可得答案，本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式的解集是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：x?a<013x?∵不等式組無解，∴a≤2，故答案為：a≤2．【題型5】不等式與方程綜合求參數(shù)的取值范圍【例題1】若整數(shù)a使關(guān)于x的方程x+2a=1的解為負(fù)數(shù)，且使關(guān)于的不等式組?12x?a>0x?1≥A．6 B．7 C．9 D．10【答案】D【分析】先求出方程的解和不等式的解，得出a的范圍，再求出整數(shù)解，最后求出答案即可．【詳解】解：解方程x+2a=1得：x=1?2a，∵方程的解為負(fù)數(shù)，∴1?2a＜0，解得：a＞0.5，?∵解不等式①得：x＜a，解不等式②得：x≥4，又∵不等式組無解，∴a≤4，∴a的取值范圍是0.5＜a≤4，∴整數(shù)和為1+2+3+4=10【鞏固練習(xí)1】若關(guān)于x的不等式組x?14(4a?2)≤123x?12<x+2的解集為x≤a，且關(guān)于y的方程2y=7+a【答案】?12【分析】此題考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，一元一次不等式的整數(shù)解，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確求解，并根據(jù)題意確定字母參數(shù)的取值．先解該不等式組并求得符合題意的a的取值范圍，再解關(guān)于y的方程2y=7+a并求得符合題意的a的取值范圍，然后確定a的所有取值，最后計(jì)算出此題結(jié)果．【詳解】解：x?1解不等式①得x≤a，解不等式②得x<5，由題意得a<5，解方程2y=7+a得，y=7+a∵關(guān)于y的方程2y=7+a有非負(fù)整數(shù)解，∴7+a2≥0且解得，a≥?7，∴a的取值范圍為：?7≤a<5，∵a為奇數(shù)，∴整數(shù)a的取值為?7，?5，?3，?1，1，3，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為：?7?5?3?1+1+3=?12．【鞏固練習(xí)2】若關(guān)于x的不等式組5x≥3x+2x?x+32≤a16有且只有2個整數(shù)解，且關(guān)于yA．33 B．28 C．27 D．22【答案】D【分析】本題考查了解一元一次不等式組，解一元一次方程．首先解不等式組，根據(jù)不等式組有且只有2個整數(shù)解得出關(guān)于a的不等式組，求出a的取值范圍，再解方程，根據(jù)方程的解是負(fù)整數(shù)求出所有的a可能的值，進(jìn)而得到符合條件的所有整數(shù)a，求和即可得到答案．【詳解】解：解不等式5x≥3x+2得：x≥解不等式x?x+32≤∴3≤x≤a∵關(guān)于x的不等式組5x≥3x+2∴4≤a∴8≤a<16，解方程5+ay=2y?7得：y=12∵關(guān)于y的方程5+ay=2y?7的解是負(fù)整數(shù)，∴2?a=?1或?2或?3或?4或?6或?12，∴a=3或4或5或6或8或14，∴符合條件的所有整數(shù)a為8和14，∵8+14=22，∴符合條件的所有整數(shù)a的和是22【鞏固練習(xí)3】（2024·山東日照·二模）關(guān)于x的不等式組2x+14≥?122x?1<2m有解，同時關(guān)于x的方程1?x【答案】1【分析】本題主要考查了解一元一次不等式、分式方程的解等知識，理解分式方程有整數(shù)解的條件與解一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．先分別求出不等式組的解和分式方程有正數(shù)解的m的范圍，再確定所有滿足條件的整數(shù)m，即可獲得答案．【詳解】解：解不等式組2x+14可得?3∵該不等式組有解，∴m+∴m>?2，解分式方程1?x2?x可得x=3?m，∵該方程有正數(shù)解，∴3?m>0且3?m≠2，解得m<3且m≠1，∴?2<m<3且m≠1，∴所有滿足條件的整數(shù)m包括?1，0，2，∴所有滿足條件的整數(shù)m的和為?1+0+2=1．【題型6】與含參不等式（組）有關(guān)的新定義問題【例題1】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）對于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“※”為，例如，則關(guān)于的不等式有且只有一個正整數(shù)解時，的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義和正整數(shù)解列出關(guān)于的不等式組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義列出不等式，解關(guān)于的不等式，再由不等式的解集有且只有一個正整數(shù)解得出關(guān)于的不等式組求解可得．【詳解】解：根據(jù)題意可知，解得：有且只有一個正整數(shù)解解不等式①，得：解不等式②，得：【例題2】對于任意實(shí)數(shù)p，q，定義一種運(yùn)算：p@q=p+q?pq，如：2@3=2+3?2×3．請根據(jù)以上定義解決問題：若關(guān)于x的不等式組2@x>0x@3≤m有且僅有2個整數(shù)解，則m的取值范圍為是【答案】3≤【分析】本題考查了解一元一次不等式組和不等式組的整數(shù)解，能得出關(guān)于m的不等式組是解此題的關(guān)鍵．先根據(jù)已知新運(yùn)算變形，再求出不等式組的解，根據(jù)已知得出關(guān)于m的不等式組，求出m的范圍即可．【詳解】解：∵p@∴2@x解①得：2+x?xx<2解②得：x+3?3?2xx≥∵不等式組有且僅有2個整數(shù)解，∴?1<3?∴?2<3?m∴?5<?m∴3≤m故答案為：3≤m【鞏固練習(xí)1】定義：不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作x，例如3.6=3，?3=?2，按此規(guī)定，若1?3xA．13<x≤1 B．13≤x<1 C．【答案】A【分析】根據(jù)所給的定義可知?1≤1?3x【詳解】解：由題意得，?1≤1?3x解得1【鞏固練習(xí)2】（2024·山東德州·二模）對于任意實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：a?b=ab?2a．例如，2?4=2×4?2×2=4，請根據(jù)上述定義解答如下問題：若關(guān)于x的不等式組3?x<6x?3≥m有3個整數(shù)解，則m的取值范圍是（

A．0<m<1 B．0<m≤1 C．0≤m<1 D．0≤m≤1【答案】B【分析】此題考查了新定義，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．利用題中的新定義得出不等式組，解不等式組求出不等式組的解集及整數(shù)解，再根據(jù)不等式組有3個整數(shù)解，確定出m的范圍即可．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得不等式組為：3x?6<63x?2x≥m，解得：m≤x<4∵不等式組有3個整數(shù)解，即整數(shù)解為1，2，3【鞏固練習(xí)3】（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）定義新運(yùn)算“?”，規(guī)定：a?b=a?2b，若關(guān)于x的不等式組x?3>0x?a>a的解集為x>6，則a的取值范圍是【答案】a≤2【分析】先根據(jù)定義的新運(yùn)算法則化簡不等式組，然后解不等式組，最后根據(jù)解集為x>6確定a的取值范圍即可．【詳解】解：根據(jù)新定義關(guān)于x的不等式組x?3>0x?a>a可化為：解不等式①可得：x>6解不等式①可得：x>3a因?yàn)樵摬坏仁浇M的解集為x>6∴3a≤6，解得：a≤2模塊二方程方程含參問題【題型1】已知方程的解求參數(shù)【例題1】（2023·山東淄博·中考真題）已知是方程的解，那么實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】將代入方程，即可求解．【詳解】解：將代入方程，得，解得：【鞏固練習(xí)1】（2021·重慶·中考真題）若關(guān)于x的方程4?x2+a=4的解是x=2，則a的值為【答案】3【分析】將x=2代入已知方程列出關(guān)于a的方程，通過解該方程來求a的值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，知4?22解得a=3．故答案是：3．【鞏固練習(xí)2】（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程a+2x2+x+a2?4=0的一個根是A．2 B．?2 C．2或?2 D．1【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由一元二次方程的定義，可知a+2≠0；一根是0，代入a+2x2+x+【詳解】解：a+2x2+x+∴a+2≠0，即a≠?2①由一個根x=0，代入a+2x可得a2?4=0，解之得a=±2；由①②得a=2【鞏固練習(xí)3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx?4=0有一個根是x=2，求【答案】b=0，方程的另一個根是x=?2【分析】本題主要考查了一元二次方程根的定義，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定義．將x=2代入方程求得到b的值，然后解一元二次方程即可．【詳解】解：∵x=2是x2∴4+2b?4=0解得b=0，將b=0代入原方程得x2∴x解得x1=?2，∴b=0，方程的另一個根是x=?2．【題型2】由方程求代數(shù)式的值【例題1】（2024·云南昆明·一模）若是方程的一個根，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值．熟練掌握一元二次方程的解，代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．由題意得，，即，根據(jù)，代值求解即可．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴，即，∴【例題2】（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）已知x=2y=?3是方程組ax+by=3bx+ay=?7的解，求代數(shù)式【答案】8【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，以及代數(shù)式求值，先根據(jù)二元一次方程組的解得出新的二元一次方程組，再根據(jù)加減消元法求出a，b的值，然后代入求值即可．【詳解】解：依題意得方程組2a?3b=3①①×3+②×2得?5b=?5，∴b=1，把b=1代入①得a=3；則a+ba?b【例題3】（2023·四川涼山·中考真題）已知，則的值等于．【答案】2023【分析】把化為：代入降次，再把代入求值即可．【詳解】解：由得：，，【鞏固練習(xí)1】（2024·云南怒江·一模）已知m是方程x2?3x+1=0的根，求代數(shù)式m3A．1 B．3 C．4 D．7【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解，求代數(shù)式的值，由題意得出m2=3m?1，再整體代入【詳解】解：∵m是方程x2∴m2∴m2∴m【鞏固練習(xí)2】（2022·廣西·中考真題）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知3a?b=2，求代數(shù)式6a?2b?1的值．”可以這樣解：6a?2b?1=23a?b?1=2×2?1=3．根據(jù)閱讀材料，解決問題：若x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，則代數(shù)式4a【答案】14【分析】先根據(jù)x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+b=3，再把所求的代數(shù)式變形為2a+b2+22a+b【詳解】解：∵x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，∴2a+b=3，∴4===14．【鞏固練習(xí)3】（2024·湖北十堰·三模）若m、n是一元二次方程x2?x?3=0的兩個實(shí)數(shù)根，多項(xiàng)式2n【答案】11【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x【詳解】解：由題意得：n2?n?3=0，∴n2∴2【鞏固練習(xí)4】（2023·四川成都·中考真題）若，則代數(shù)式，的值為．【答案】【分析】根據(jù)分式的化簡法則，將代數(shù)式化簡可得，再將變形，即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，，故原式的值為，故答案為：．【題型3】兩個方程的解相同【例題1】（2024涼州區(qū)三模）已知關(guān)于x的方程x?m2=x+m3與3x?【答案】?【分析】先解3x?x?1=5求出x的值，然后代入x+m2=x+3【詳解】∵3x?∴3x?x+1=5∴2x=4∴x=2，把x=2代入x?m22?m2去分母，得32?m解得m=?6【鞏固練習(xí)1】（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組x?3y=7k2x+3y=5k的解也是方程3x?y=26的解，則k的值為（

A．?4 B．?2 C．2 D．無法計(jì)算【答案】C【分析】此題考查了解二元一次方程組，二元一次方程的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．把k看作已知數(shù)求出x與y，代入已知方程計(jì)算即可求出k的值．【詳解】解：x?3y=7k由①+②得：3x=12k，解得：x=4k，把x=4k代入①得：4k?3y=7k，解得：y=?k，把x=4k，y=?k代入3x?y=26，得：3×4k??k解得：k=2【鞏固練習(xí)2】（2024安順市模擬）關(guān)于x的兩個方程x2?x?6=0與2x+m【答案】﹣8．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；先解方程x2-x-6=0，將它的根分別代入方程2x+m【詳解】解：解方程x2把x=﹣2或3分別代入方程2x+m=1【題型4】含參二元一次方程組與不等式【例題1】（2024·湖南懷化·一模）已知k為整數(shù)，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則整數(shù)k值為（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，求不等式組的解集，先利用加減消元法推出，再由推出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：得：，∴，∵，∴，∴，∴整數(shù)k值為2024【例題2】（2024·山東東營·二模）若關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)、是二元一次方程組的解可知的解，最后解一元一次不等式即可．【詳解】解：∵、是二元一次方程組的解，∴，∵關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，∴，∴解得：，故答案為．【例題3】（2024·廣東惠州·三模）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則滿足條件的的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式等知識．熟練掌握加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．加減消元法解二元一次方程組，進(jìn)而可得，計(jì)算求解即可．【詳解】解：，得，，解得，，將代入②得，，解得，，∴，解得，．故答案為：．【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東·模擬預(yù)測）關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則n的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是二元一次方程組與一元一次不等式的應(yīng)用，掌握整體求未知數(shù)的方法是解本題的關(guān)鍵．得，根據(jù)得出關(guān)于n的不等式求解．【詳解】解：，，得，∵，∴，∴．故答案為：．【鞏固練習(xí)2】（2023·山東淄博·一模）關(guān)于、的方程組的解中與的和不小于，則的取值范圍為.【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式，解二元一次方程組，把兩個方程相減，可得，與的和不小于，即可求出答案．【詳解】把兩個方程相減，可得與的和不小于解得：k的取值范圍為．【鞏固練習(xí)3】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）關(guān)于x，y的方程組的解中x與y的和小于5，則k的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查根據(jù)二元一次方程組的解的情況求參數(shù)、解一元一次不等式，把兩個方程相減，可得，進(jìn)而可得，再求解即可．【詳解】解：，由得，，∵，∴，∴，故選：D．【鞏固練習(xí)4】如果關(guān)于，的方程組的解是正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了方程組與不等式組結(jié)合的問題，先利用加減消元法解方程組得到，再根據(jù)方程組的解為正數(shù)得到，解不等式組即可得到答案．【詳解】解：得：，解得，把代入①得：，解得，∴方程組的解為，∵方程組的解為正數(shù)，∴，∴【題型5】已知分式方程的增根求參數(shù)【例題1】（2023·四川巴中·中考真題）關(guān)于x的分式方程有增根，則．【答案】【分析】等式兩邊同時乘以公因式，化簡分式方程，然后根據(jù)方程有增根，求出的值，即可求出．【詳解】，解：方程兩邊同時乘以，得，∴，∵原方程有增根，∴，∴，∴【鞏固練習(xí)1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的分式方程有增根，則k的值為．【答案】1【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程根的情況求參數(shù)，先解分式方程得到，再根據(jù)分式方程有增根的情況是分母為0得到，則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：去分母得：，解得，∵分式方程有增根，∴，即，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解【鞏固練習(xí)2】（2024·上海松江·三模）若分式方程有增根，則k的值為【答案】3【分析】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程計(jì)算即可求出的值．【詳解】解：去分母得：，分式方程有增根，，解得：，把代入整式方程得：【鞏固練習(xí)3】（2023·山東德州·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的分式方程2x?1+mxx?1x+2A．?6 B．?3 C．?2 D．1【答案】A【分析】本題考查分式方程有增根的情況．先將分式方程去分母后化為整式方程m+1x=?5，根據(jù)原分式方程有增根得到m≠?1，x=?5m+1，進(jìn)而當(dāng)x=?【詳解】解：方程兩邊同乘x?1x+2，得2整理，得m+1x=?5∵分式方程有增根，∴m+1≠0，即m≠?1∴x=?5∵分式方程有增根∴當(dāng)x=?5m+1時，即?5解得：m=?6或m=3經(jīng)檢驗(yàn)，m=?6或m=32都是方程∴m的值為?6或32【題型6】方程有解、無解問題【例題1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（

）A．或 B． C．或 D．【答案】A【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，，整理得，，當(dāng)時，方程無解，當(dāng)時，令，解得，所以關(guān)于x的分式方程無解時，或．【例題2】（2023·山東聊城·模擬預(yù)測）若關(guān)于和的方程組無解，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的解，根據(jù)二元一次方程組無解時，即可得出與得關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組，當(dāng)時方程組無解．【詳解】∵關(guān)于和的方程組無解，∴，∴【鞏固練習(xí)1】（2023·湖南永州·中考真題）若關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，則增根是．【答案】【分析】根據(jù)使分式的分母為零的未知數(shù)的值，是方程的增根，計(jì)算即可．【詳解】∵關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，∴，解得，故答案為：．【鞏固練習(xí)2】（2024·四川達(dá)州·中考真題）若關(guān)于的方程無解，則的值為．【答案】或2【分析】本題主要考查了分式方程無解問題，先解分式方程得到，再根據(jù)分式方程無解得到或，解關(guān)于k的方程即可得到答案．【詳解】解：去分母得：，解得：，∵關(guān)于的方程無解，∴當(dāng)或時，分式方程無解，解得：或（經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解），即或，無解．【鞏固練習(xí)3】（2022·四川遂寧·中考真題）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【分析】先將分式方程化為整式方程，再根據(jù)方程無解的情況分類討論，當(dāng)時，當(dāng)時，或，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】方程兩邊同乘，得，整理得，原方程無解，當(dāng)時，；當(dāng)時，或，此時，，解得或，當(dāng)時，無解；當(dāng)時，，解得；綜上，m的值為0或4【題型7】由方程解的正負(fù)求參數(shù)的取值范圍【例題1】（2024·黑龍江佳木斯·三模）若關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】此題考查了分式方程的解法、分式方程的解以及不等式組的解法，首先解此分式方程，可得，由關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，即可得，且，解不等式組即可求得答案，此題難度適中，注意不要漏掉分式方程無解的情況：．【詳解】解：方程兩邊同乘以，得：，解得：，關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，，且，解得：且．【例題2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且【答案】A【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是負(fù)數(shù)得到，并結(jié)合分式方程的解滿足最簡公分母不為，求出的取值范圍即可，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，，解得，∵分式方程的解是負(fù)數(shù)，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴且【鞏固練習(xí)1】（2024·四川遂寧·中考真題）分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍（

）A． B．且C． D．且【答案】B【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，，解得，∵分式方程的解為正數(shù)，∴，∴，又∵，即，∴，∴的取值范圍為且【鞏固練習(xí)2】（2023·山東日照·中考真題）若關(guān)于的方程解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】將分式方程化為整式方程解得，根據(jù)方程的解是正數(shù)，可得，即可求出的取值范圍．【詳解】解：∵方程的解為正數(shù)，且分母不等于0∴，∴，且【鞏固練習(xí)3】（2023·黑龍江·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】解分式方程求出，然后根據(jù)解是非負(fù)數(shù)以及解不是增根得出關(guān)于m的不等式組，求解即可．【詳解】解：分式方程去分母得：，解得：，∵分式方程的解是非負(fù)數(shù)，∴，且，∴且，故選：C．【鞏固練習(xí)4】（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【分析】直接解分式方程，進(jìn)而得出a的取值范圍，注意分母不能為零．【詳解】解：去分母得：，解得：，∵分式方程的解是負(fù)數(shù)，∴，，即，解得：且，故選：D．【鞏固練習(xí)5】（2024·四川成都·二模）若關(guān)于的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)．先利用表示出的值，再由為負(fù)數(shù)求出的取值范圍即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得：，解得：，為負(fù)數(shù)，且，，且，解得，且，的取值范圍是，故答案為：【題型8】方程的整數(shù)解問題【例題1】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為．【答案】【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．表示出方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)的值即可．【詳解】解：，化簡得：，去分母得：，移項(xiàng)合并得：，解得：，由方程的解是正整數(shù)，得到為正整數(shù)，即或，解得：或（舍去，會使得分式無意義）．【例題2】（2024·山東菏澤·一模）已知關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查解分式方程，解分式方程，用含a的代數(shù)式表示x，根據(jù)方程有整數(shù)解求出a的所有值，再去掉產(chǎn)生增根的a的值，再求出滿足條件的所有整數(shù)a的和即可【詳解】解：去分母得，，解得，，∵分式方程有整數(shù)解，且∴∴，∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為【鞏固練習(xí)1】（黑龍江牡丹江·中考真題）若關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，則整數(shù)m的值是（

）A．3 B．5 C．3或5 D．3或4【答案】D【分析】解帶參數(shù)m的分式方程，得到，即可求得整數(shù)m的值．【詳解】解：，兩邊同時乘以得：，去括號得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，若m為整數(shù)，且分式方程有正整數(shù)解，則或，當(dāng)時，是原分式方程的解；當(dāng)時，是原分式方程的解【鞏固練習(xí)2】（2021·四川達(dá)州·中考真題）若分式方程的解為整數(shù)，則整數(shù)．【答案】【分析】直接移項(xiàng)后通分合并同類項(xiàng)，化簡、用來表示，再根據(jù)解為整數(shù)來確定的值．【詳解】解：，整理得：若分式方程的解為整數(shù)，為整數(shù)，當(dāng)時，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：成立；當(dāng)時，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：分母為0沒有意義，故舍去；綜上:【鞏固練習(xí)3】如果關(guān)于，的方程組的解是整數(shù)，那么整數(shù)的值為（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【分析】先將看作已知量，解二元一次方程組，用表示出，再結(jié)合，為整數(shù)，得出的整數(shù)解，然后把的整數(shù)解代入，得出的解，再把方程組的整數(shù)解代入，即可得出的值．【詳解】解：，由，可得：，∵，為整數(shù)，∴當(dāng)為時，為整數(shù)，∴把的值代入，可得：，，，，，，，，∴把的整數(shù)解代入，可得：，，，，，，，，∴方程組的整數(shù)解為，，，，把方程組的整數(shù)解代入，可得：，，，．【鞏固練習(xí)4】若是整數(shù)，且關(guān)于的方程有整數(shù)根，則的值是（

）A．3或5 B．或5 C．或3 D．或【答案】A【分析】本題主要考查解分式方程，解分式方程，用含m的代數(shù)式表示x，根據(jù)整數(shù)的意義可得m的值．解題的關(guān)鍵是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出方程的解．【詳解】解：去分母得：化簡得：當(dāng)時，方程有整數(shù)根，的值是整數(shù)，當(dāng)時，，方程的根；當(dāng)時，，方程的根（增根，舍去）；當(dāng)時，，方程的根；當(dāng)時，，方程的根（增根，舍去）．【題型9】分式方程與含參不等式綜合【例題1】（2024·重慶·中考真題）若關(guān)于的不等式組至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為．【答案】16【分析】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組．先解不等式組，根據(jù)關(guān)于的一元一次不等式組至少有兩個整數(shù)解，確定的取值范圍，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得，由分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，確定的取值范圍且，進(jìn)而得到且，根據(jù)范圍確定出的取值，相加即可得到答案．【詳解】解：，解①得：，解②得：，關(guān)于的一元一次不等式組至少有兩個整數(shù)解，，解得，解方程，得，關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，且，是偶數(shù)，解得且，是偶數(shù)，且，是偶數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是【例題2】（2024·重慶·一模）若數(shù)a既使得關(guān)于x的不等式組無解，又使得關(guān)于y的分式方程的解不小于1，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為．【答案】【分析】本題考查一元一次不等式組的解，分式方程的解，熟練掌握一元一次不等式組的解法，分式方程的解法，注意對方程方程的增根進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．先解不等式組，根據(jù)題意得到，解得，再解分式方程得到，再由題意可得且，最后求整數(shù)的和即可．【詳解】解：，由①得，由②得，不等式組無解，，解得，，，，方程的解不小于1，，，，，滿足條件的所有整數(shù)為4，3，2，1，0，，，，，，滿足條件的所有整數(shù)的和是【鞏固練習(xí)1】（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式組有且只有兩個偶數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有解，則所有滿足條件的整數(shù)的和是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)不等式組“有且只有兩個偶數(shù)解”求出的取值范圍，再解分式方程，并由該方程有解得到、，綜合后即可得到所有滿足條件的整數(shù)的和．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，原不等式組的解集為：，原不等式有且只有兩個偶數(shù)解，，，解分式方程得：，原分式方程有解，，是原分式方程的增根，，綜上，，且，，為整數(shù)，或，所有滿足條件的整數(shù)的和是．【鞏固練習(xí)2】（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式組有解且至多有4個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)m的值之和為．【答案】10【分析】此題考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式組，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．不等式組整理后，表示出解集，由不等式組有解且至多有4個整數(shù)解確定出的范圍，再由分式方程解為整數(shù)，確定出滿足題意整數(shù)的值，求出之和即可．【詳解】解：不等式組整理得：，解得：．∵不等式組有解且至多4個整數(shù)解，，解得：，分式方程，去分母得：，解得：，∵，，∵分式方程的解為整數(shù)，，，或4或6，則滿足題意整數(shù)之和為．【鞏固練習(xí)3】（2024·重慶·中考真題）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是