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文檔簡介
/2024-2025學(xué)年河南省南陽市高一上學(xué)期期終質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題一、單選題(本大題共8小題)1.已知集合,,記.則下列等式成立的是(
)A. B.C. D.2.下列各組函數(shù)中是同一個(gè)函數(shù)的是(
)A.,B.,C.,D.,3.一元二次方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充分不必要條件是(
)A. B. C. D.4.如圖,一高為的球形魚缸,勻速注滿水所用時(shí)間為.若魚缸水深為時(shí),勻速注水所用的時(shí)間為,則函數(shù)的圖像大致是(
)A. B.C. D.5.設(shè)集合,,函數(shù).若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.6.因?qū)W校政治老師比較緊缺,高一年級(jí)為了了解學(xué)生選科中包含“政治”這一科目的學(xué)生人數(shù)便于安排教學(xué).從高一年級(jí)中隨機(jī)抽取了五個(gè)班,把每個(gè)班選科中包含“政治”的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,且樣本數(shù)據(jù)各不相同,則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為(
)A.8 B.9 C.10 D.117.已知某種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為,為了保證中獎(jiǎng)率大于,至少應(yīng)該購買的獎(jiǎng)券數(shù)為(參考數(shù)據(jù),)(
)A.4 B.5 C.6 D.78.已知函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱,當(dāng)時(shí),恒成立,設(shè),,,則a,b,c的大小關(guān)系為(
)A. B. C. D.二、多選題(本大題共4小題)9.下列情境適合用古典概型來描述的是(
)A.向一條線段內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn),觀察點(diǎn)落在線段上不同位置B.五個(gè)人站一排,觀察甲乙兩人相鄰的情況C.從一副撲克牌(去掉大、小王共52張)中隨機(jī)選取1張,這張牌是紅色牌D.某同學(xué)隨機(jī)地向靶心進(jìn)行射擊,這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè):命中10環(huán),命中9環(huán),命中1環(huán)和脫靶10.已知函數(shù),若存在最小值,則實(shí)數(shù)a的可能取值為(
)A. B.0 C.1 D.211.甲乙兩人約定玩一種游戲,把一枚均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次,游戲規(guī)則有如下四種,其中對(duì)甲有利的規(guī)則是(
)A.若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是2,3,4,5,6,10,12其中之一,則甲獲勝,否則乙獲勝B.若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)中最大的點(diǎn)數(shù)大于4,則甲獲勝,否則乙獲勝C.若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù),則甲獲勝;若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù),則乙獲勝D.若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)是一奇一偶,則甲獲勝;若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均是奇數(shù)或者偶數(shù)﹐則乙獲勝12.已知,,,則下列結(jié)論一定成立的是(
)A.若,則B.若,則C.若,則D.若,則三、填空題(本大題共4小題)13.已知函數(shù),則不等式的解集是.14.最近南陽地區(qū)舉辦了“十萬教師大比武”活動(dòng),其中評(píng)委分為專家評(píng)委(10人)和大眾評(píng)委(40人)兩組.某位青年教師參加比賽的得分情況如下:專家評(píng)委組的平均分為9分,方差為0.02;大眾評(píng)委組的平均分為8.5分,方差為0.02.則該教師本次比賽得分的方差是.15.要建造一段500m的高速公路,工程隊(duì)需要把60人分成兩組,一組完成一段200m的軟土地帶公路的建造任務(wù),同時(shí)另一組完成剩下的300m的硬土地帶公路的建造任務(wù).據(jù)測(cè)算,軟、硬土地每米公路的工程量分別是5人天和3人天.要使全隊(duì)筑路工期最短,則需安排到硬土地工作的人數(shù)是人.16.已知實(shí)數(shù)m,n滿足,則.四、解答題(本大題共6小題)17.(1)已知,,,求證:;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.已知定義在R上的函數(shù),滿足.(1)求的解析式;(2)若點(diǎn)在圖像上自由運(yùn)動(dòng),求的最小值.19.我市某高中對(duì)2023年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取100名學(xué)生,將分?jǐn)?shù)按照,,,,,分成6組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖:(1)求a的值,并估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的平均分;(2)估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的80%分位數(shù).20.多選題是新高考中的一種題型,其規(guī)則如下:有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的或一個(gè)都不選的得0分.某同學(xué)正在參加西昌市半期考試,當(dāng)其做到多項(xiàng)選擇題11題和12題時(shí),發(fā)現(xiàn)自己不會(huì),在這兩個(gè)多項(xiàng)選擇題中,他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率是,選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率是,選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率是,若該同學(xué)猜答案時(shí)題目與題目之間互不影響,且第11題和第12題的正確答案都是兩個(gè)選項(xiàng).(1)求該同學(xué)11題得2分的概率;(2)求該同學(xué)第11,12題兩個(gè)題總共得分為7分的概率.21.已知函數(shù),.(1)解不等式;(2)若對(duì)任意的,存在,使得,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22.已知(a,),且為奇函數(shù),(1)求a,b的值;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
答案1.【正確答案】C【分析】先根據(jù)集合對(duì)元素的要求,求得集合,再根據(jù)交集并集的定義判斷A,B兩項(xiàng),根據(jù)集合新定義和的元素要求,分別求出集合判斷即得.【詳解】由可得可能的取值有,即,均滿足,故.對(duì)于A項(xiàng),,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B項(xiàng),,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C項(xiàng),因,故,故C項(xiàng)正確;對(duì)于D項(xiàng),依題有,,則,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:C.2.【正確答案】D【分析】判斷是否為同一函數(shù),一般考查兩個(gè)方面:①定義域相同;②對(duì)應(yīng)法則相同.只有兩個(gè)方面都分別相同,才能稱為同一函數(shù).【詳解】對(duì)于A項(xiàng),因函數(shù)的定義域?yàn)镽,而函數(shù)的定義域?yàn)?,故該組函數(shù)不是同一函數(shù),A項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B項(xiàng),兩函數(shù)的定義域相同,但對(duì)應(yīng)法則不同,故該組函數(shù)也不是同一函數(shù),B項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)镽,故該組函數(shù)不是同一函數(shù),C項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D項(xiàng),兩函數(shù)的定義域都是,且對(duì)應(yīng)的法則相同,故該組函數(shù)是同一函數(shù),D項(xiàng)正確.故選:D.3.【正確答案】C【分析】求出方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件,結(jié)合選項(xiàng),判斷哪一個(gè)是該條件的真子集,即可得答案.【詳解】由題意知一元二次方程的兩根為,要使得方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根,需,結(jié)合選項(xiàng)知,只有,即一元二次方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充分不必要條件是,故選:C4.【正確答案】D【分析】將容器看做一個(gè)球體,根據(jù)的實(shí)際意義求解.【詳解】將容器看做一個(gè)球體,在剛開始注水時(shí),由于球體的截面積較小,對(duì)于相同的時(shí)間,高度的變化較大,即較大,到水注入球體的一半時(shí),由于球體的截面積較大,的變化率較小,接近于球體的頂端時(shí),的變化率又較大.故選:D.5.【正確答案】B【分析】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化有兩個(gè)根,設(shè),,即與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),作出的圖象,結(jié)合圖象分析實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化有兩個(gè)根,設(shè),,則與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),由題可得:,作出的圖象如下:由題可得,,,所以要使與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍.故選:B6.【正確答案】C【分析】分析題意,利用均值和方差的定義列方程求解即可.【詳解】設(shè)五個(gè)班級(jí)參加的人數(shù)分別為,由題意得,,分析得必定為,故,解得,或,,解得或,顯然人數(shù)從低到高為,故最大值為.故選:C7.【正確答案】C【分析】從對(duì)立事件考慮較簡單,即考慮每張獎(jiǎng)券不中獎(jiǎng)概率為,依題須使不中獎(jiǎng)率不超過,列出不等式,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解之,并用近似值代入估算即得.【詳解】不妨設(shè)至少購買張獎(jiǎng)券,依題意,,即,兩邊取常用對(duì)數(shù)化簡得:,即,代入,,計(jì)算即得:,即至少要買6張獎(jiǎng)券.故選:C.8.【正確答案】C【分析】先結(jié)合條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)和單調(diào)性,再分別界定三個(gè)自變量的值或者范圍,利用函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性即得.【詳解】依題可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在區(qū)間上單調(diào)遞減.因,則,,故,即.故選:C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解題的關(guān)鍵在于,得知了函數(shù)在上的單調(diào)性之后,如何判斷三個(gè)自變量的大小范圍,考慮到三個(gè)都是大于1的,且有一個(gè)是,故對(duì)于和,就必然先考慮它們與的大小,而這需要利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到.9.【正確答案】BC【分析】利用古典概型的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A,實(shí)驗(yàn)結(jié)果有無數(shù)個(gè),顯然不是古典概型,故錯(cuò)誤,對(duì)于B,實(shí)驗(yàn)結(jié)果有限且等可能,故正確,對(duì)于C,實(shí)驗(yàn)結(jié)果有限且等可能,故正確,對(duì)于D,顯然實(shí)驗(yàn)并非等可能,故錯(cuò)誤.故選:BC10.【正確答案】CD【分析】運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,求得的的值域,再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,可得的值域,由題意列出不等式,求解即可得到所求范圍.【詳解】函數(shù)函數(shù),當(dāng)時(shí),的范圍是;時(shí),,,由題意存在最小值,,故選:CD.11.【正確答案】AB【分析】確定把一枚均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次,共有多少個(gè)基本事件,然后分別計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中甲獲勝的基本事件數(shù),即可比較兩人獲勝的概率,即可得答案.【詳解】對(duì)于A,把一枚均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次,共有36個(gè)基本事件,兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是2,3,4,5,6,10,12的基本事件有:,,共19種,則甲獲勝的概率為,乙獲勝概率小于,故此種情況對(duì)甲有利,A正確;對(duì)于B,兩次擲出的點(diǎn)數(shù)中最大的點(diǎn)數(shù)大于4,最大的點(diǎn)數(shù)為5或6,最大的點(diǎn)數(shù)為5時(shí),基本事件共有9個(gè),最大的點(diǎn)數(shù)為6時(shí),基本事件共有11個(gè),此時(shí)共有20個(gè)基本事件,則甲獲勝的概率為,故此種情況對(duì)甲有利,B正確;對(duì)于C,兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù),共有,,共18個(gè)基本事件,則兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù),也有18個(gè)基本事件,此時(shí)甲、乙獲勝的概率均為,此時(shí)對(duì)甲并不有利;對(duì)于D,兩次擲出的點(diǎn)數(shù)是一奇一偶,則基本事件有個(gè),兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均是奇數(shù)或者偶數(shù),基本事件也是個(gè),此時(shí)甲、乙獲勝的概率均為,此時(shí)對(duì)甲并不有利;故選:AB12.【正確答案】ABD【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法,即分別作出以及的圖象,即可判斷A,C;利用中間變量,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性,比較大小,可判斷B,D.【詳解】對(duì)于A,函數(shù)均為R上的增函數(shù),且時(shí),兩函數(shù)值相等,均為1,時(shí),兩函數(shù)值相等,均為9,作出函數(shù)的圖象如圖:由圖可知當(dāng)時(shí),,即,A正確;對(duì)于B,時(shí),,由于,故,故,B正確;對(duì)于C,作出函數(shù)的圖象如圖,由圖象可知當(dāng)時(shí),,即,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,,則,,,由于,故,即,D正確,故選:ABD方法點(diǎn)睛:(1)比較一次函數(shù)值與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小關(guān)系,可采用數(shù)形結(jié)合的方法,即作出函數(shù)圖象,可比較函數(shù)值大小關(guān)系;(2)比較指數(shù)冪以及對(duì)數(shù)值的大小關(guān)系,可尋找中間量,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)行大小比較.13.【正確答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得,進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】,所以,由于函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),且當(dāng)時(shí),,所以,故14.【正確答案】0.06/【分析】利用總方差公式求解即可.【詳解】設(shè)本次比賽的總方差為,易知總平均數(shù)為由總方差公式得.故0.0615.【正確答案】28【分析】設(shè)安排到硬土地工作的人數(shù)為x人,求出兩地帶的工作時(shí)間,確定兩地帶同時(shí)完工,全隊(duì)筑路工期才最短,解方程并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明,即可得答案.【詳解】設(shè)安排到硬土地工作的人數(shù)為x人,則安排到軟土地工作的人數(shù)為人,則在軟土地帶工作時(shí)間為,在硬土地帶工作時(shí)間為,要使全隊(duì)筑路工期最短,需兩地帶同時(shí)完工,即,即,解得,由于,而,由于為增函數(shù),在上單調(diào)遞減,故只有當(dāng)時(shí),兩地帶最接近于同時(shí)完工,故需安排到硬土地工作的人數(shù)是28人,故2816.【正確答案】【分析】構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得,進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】由可得,記,由于函數(shù)單調(diào)遞減,所以單調(diào)遞增,由可得,又,因此,由可得,所以,可得,故17.【正確答案】(1)證明見解析;(2)【分析】(1)由乘“1”法結(jié)合基本不等式即可得證;(2)由(1)中結(jié)論可得,由此轉(zhuǎn)換成解一元二次不等式即可得解.【詳解】(1)∵,,,∴,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),∴.(2)由于,可將x看作(1)中的a,看作(1)中的b,根據(jù)(1)的結(jié)論,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以的最小值為4,所以有成立,解得.所以m的取值范圍為.18.【正確答案】(1)(2)8【分析】(1)用替換已知中的,然后解方程;(2)利用基本不等式求最值.【詳解】(1)因?yàn)?,①所以,②由①②可解?(2)由題知:,∴(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”).∴的最小值為8.19.【正確答案】(1),平均分為93(2)115【分析】(1)根據(jù)頻率之和即可求解,進(jìn)而根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解,(2)根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算即可求解.【詳解】(1)由,解得.即數(shù)學(xué)成績?cè)冢侯l率,頻率,頻率,頻率,頻率,頻率,所以平均分是:(2)由(1)知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績?cè)?10分以下所占比例為,在130分以下所占比例為,因此,80%分位數(shù)一定位于內(nèi),由,所以樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為115.20.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)條件概率的計(jì)算公式,結(jié)合題意,可得答案.(2)根據(jù)題意,結(jié)合(1)以及概率乘法公式,可得答案.【詳解】(1)設(shè)“該同學(xué)11題只選一個(gè)選項(xiàng)”為事件,則,設(shè)“該同學(xué)11題選的一個(gè)選項(xiàng)是正確的”為事件,則,易知“該同學(xué)11題得2分”等價(jià)于“該同學(xué)11只選一個(gè)選項(xiàng)且該選項(xiàng)是對(duì)得”,即為,所以.(2)由(1)可得“該同學(xué)12題的2分”的概率為,該同學(xué)選兩個(gè)選項(xiàng)的情況有六種情況,正確的只有一種,則事件“該同學(xué)選的兩個(gè)選項(xiàng)是正確的”的概率為,所以事件“該同學(xué)每個(gè)題得5分”的概率為,事件“該同學(xué)11題和12題總共得7分”等價(jià)于事件“該同學(xué)一個(gè)題得2分,另一個(gè)題得5分”,則概率為.21.【正確答案】(1);(2).【分析】(1)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及換底公式變形函數(shù),換元并結(jié)合二次不等式求解即得.(2)求出函數(shù)在上的值域,再分類探討函數(shù)在上的值域,借助集合的包含關(guān)系列式求解即得.【詳解】
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