2025版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案含解析新人教B版選修1-1

PAGEPAGE152．1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解橢圓的實際背景，經(jīng)驗從詳細(xì)情境中抽象出橢圓的過程、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡過程.2.駕馭橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形．學(xué)問點一橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于定長(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距．學(xué)問點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b21．平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．(×)2．橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為定值．(√)3．已知長、短軸長，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個，因為焦點在不同的坐標(biāo)軸上，其標(biāo)準(zhǔn)方程不同．(√)題型一橢圓定義的應(yīng)用例1點P(－3,0)是圓C：x2＋y2－6x－55＝0內(nèi)肯定點，動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點，推斷圓心M的軌跡．解方程x2＋y2－6x－55＝0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－3)2＋y2＝64，圓心為(3,0)，半徑r＝8.因為動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，依據(jù)橢圓的定義，動點M到兩定點C，P的距離之和為定值8>6＝|CP|，所以動點M的軌跡是橢圓．反思感悟橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視．定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．常數(shù)(2a)必需大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是推斷曲線是否為橢圓的限制條件．跟蹤訓(xùn)練1下列命題是真命題的是________．(將全部真命題的序號都填上)①已知定點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿意|PF1|＋|PF2|＝eq\r(2)的點P的軌跡為橢圓；②已知定點F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則滿意|PF1|＋|PF2|＝4的點P的軌跡為線段；③到定點F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點的軌跡為橢圓．答案②解析①eq\r(2)<2，故點P的軌跡不存在；②因為|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以點P的軌跡是線段F1F2；③到定點F1(－3，0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸)．題型二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)；(2)兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0，－2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；(3)經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))).考點橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1.(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2)＝2eq\r(10)，即a＝eq\r(10)，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.(3)方法一①當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))由a>b>0，知不合題意，故舍去；②當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1.方法二設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4.))所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1.反思感悟求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：依據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點位置寫出橢圓方程．(2)待定系數(shù)法：先推斷焦點位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程形式，最終由條件確定待定系數(shù)即可．即“先定位，后定量”．當(dāng)所求橢圓的焦點位置不能確定時，應(yīng)按焦點在x軸上和焦點在y軸上進(jìn)行分類探討，但要留意a>b>0這一條件．(3)當(dāng)已知橢圓經(jīng)過兩點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，把橢圓的方程設(shè)成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有兩個優(yōu)點：①列出的方程組中分母不含字母；②不用探討焦點所在的位置，從而簡化求解過程．跟蹤訓(xùn)練2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10；(2)橢圓過點(3,2)，(5,1)；(3)橢圓的焦點在x軸上，且經(jīng)過點(2,0)和點(0,1)．解(1)設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．則2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9A＋4B＝1，,25A＋B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(3,91)，,B＝\f(16,91).))故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(91,3))＋eq\f(y2,\f(91,16))＝1.(3)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＝1，,\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.題型三橢圓中焦點三角形問題例3(1)已知P是橢圓eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面積；(2)已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上．若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小．解(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，知a＝eq\r(5)，b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝1，∴|F1F2|＝2.又由橢圓的定義，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(5).在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos30°，即4＝20－(2＋eq\r(3))|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－eq\r(3))．∴＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×16(2－eq\r(3))×eq\f(1,2)＝8－4eq\r(3).(2)由eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1，知a＝3，b＝eq\r(2)，∴c＝eq\r(7)，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，∴cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝－eq\f(1,2)，又∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝120°.反思感悟在橢圓中，當(dāng)橢圓上的點不是橢圓與焦點所在軸的交點時，這個點與橢圓的兩個焦點可以構(gòu)成一個三角形，這個三角形就是焦點三角形．這個三角形中一條邊長等于焦距，另兩條邊長之和等于橢圓定義中的常數(shù)．在處理橢圓中的焦點三角形問題時，可結(jié)合橢圓的定義|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有關(guān)定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解．跟蹤訓(xùn)練3已知兩定點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動點P滿意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.(1)求點P的軌跡方程；(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面積．解(1)依題意知|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，∴點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝eq\r(3)，故所求點P的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設(shè)m＝|PF1|，n＝|PF2|，則m＋n＝2a＝4.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos60°)，解得mn＝4.∴＝eq\f(1,2)mnsin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×4sin60°＝eq\r(3).待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例求焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(2，－eq\r(2))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考點橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解方法一若焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝8，,a2＝4.))則a2<b2，與a>b>0沖突，舍去．綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.方法二設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．分別將兩點的坐標(biāo)(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入橢圓的一般方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.[素養(yǎng)評析]通過兩種解法的對比，采納其次種設(shè)橢圓方程的方法能優(yōu)化解題過程，削減數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高解題效率．這也正是數(shù)學(xué)運(yùn)算策略升級的有力佐證．1．已知F1，F(xiàn)2是定點，|F1F2|＝8，動點M滿意|MF1|＋|MF2|＝8，則動點M的軌跡是()A．橢圓B．直線C．圓D．線段答案D解析∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，∴點M的軌跡是線段F1F2.2．橢圓4x2＋9y2＝1的焦點坐標(biāo)是()A．(±eq\r(5)，0) B．(0，±eq\r(5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(5),6)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(5,36)，0))答案C解析橢圓的方程為eq\f(x2,\f(1,4))＋eq\f(y2,\f(1,9))＝1，則c2＝eq\f(1,4)－eq\f(1,9)＝eq\f(5,36)，c＝eq\f(\r(5),6).∴其焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(5),6)，0)).3．設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，方程eq\f(x2,sinα)＋eq\f(y2,cosα)＝1是表示焦點在y軸上的橢圓，則α的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))答案C解析∵焦點在y軸上，∴cosα>sinα，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))>sinα，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴eq\f(π,2)－α>α，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).4．已知橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,16)＝1上一點P到橢圓的一個焦點的距離為3，到另一個焦點的距離為7，則m＝________.答案25解析由橢圓的定義知，3＋7＝2a，得a＝5，則m＝a2＝25.5．焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(－eq\r(2)，2)和B(eq\r(3)，1)兩點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，∵A(－eq\r(2)，2)和B(eq\r(3)，1)兩點在橢圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋4n＝1，,3m＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,10)，,n＝\f(1,10).))∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(10,3))＋eq\f(y2,10)＝1.1．平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)，即|MF1|＋|MF2|＝2a，當(dāng)2a>|F1F2|時，軌跡是橢圓；當(dāng)2a＝|F1F2|時，軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時，軌跡不存在．2．對于求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種方法：可以通過待定系數(shù)法求解，也可以通過橢圓的定義進(jìn)行求解．3．用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，若已知焦點的位置，可干脆設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；若焦點位置不確定，可分兩種狀況求解，也可設(shè)Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避開了分類探討，達(dá)到了簡化運(yùn)算的目的.一、選擇題1．a(chǎn)＝6，c＝1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,35)＝1 B.eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,35)＝1C.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,1)＝1 D．以上都不對答案D解析因為橢圓的焦點位置不確定，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,35)＝1或eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,35)＝1.2．已知橢圓5x2＋ky2＝5的一個焦點坐標(biāo)是(0,2)，那么k的值為()A．－1B．1C.eq\r(5)D．－eq\r(5)答案B解析原方程可化簡為x2＋eq\f(y2,\f(5,k))＝1，由c2＝eq\f(5,k)－1＝4，得k＝1.3．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的一點M到左焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則|ON|等于()A．2B．4C．8D.eq\f(3,2)答案B解析如圖，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，連接MF2，則ON是△F1MF2的中位線，∴|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|，又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝8，∴|ON|＝4.4．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一點，P到兩焦點F1，F(xiàn)2的距離之差為2，則△PF1F2是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形答案B解析由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2為直角三角形．5．曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0<k<9)的關(guān)系是()A．有相等的焦距，相同的焦點B．有相等的焦距，不同的焦點C．有不等的焦距，不同的焦點D．以上都不對答案B解析曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1焦點在x軸上．對于曲線eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1，∵0<k<9，∴25－k>9－k>0，∴焦點在y軸上，故兩者的焦點不同．∵25－9＝(25－k)－(9－k)＝16＝c2，∴2c＝8，則兩者焦距相等．故選B.6．方程eq\f(x2,4＋m)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示橢圓的必要不充分條件是()A．m∈(－1,2)B．m∈(－4,2)C．m∈(－4，－1)∪(－1,2)D．m∈(－1，＋∞)答案B解析方程eq\f(x2,4＋m)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示橢圓的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋m>0，,2－m>0，,4＋m≠2－m，))即m∈(－4，－1)∪(－1,2)．由題意可得，所求m的取值范圍包含集合(－4，－1)∪(－1,2)．視察選項，故選B.7．已知橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點M在該橢圓上，且eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，則點M到x軸的距離為()A.eq\f(2\r(3),3)B.eq\f(2\r(6),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)答案C解析∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))⊥eq\o(MF2,\s\up6(→))，由|MF1|＋|MF2|＝4，①又|MF1|2＋|MF2|2＝(2eq\r(3))2＝12，②由①與②可得|MF1|·|MF2|＝2，設(shè)M到x軸的距離為h，則|MF1|·|MF2|＝|F1F2|h，h＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3).二、填空題8．若橢圓的兩個焦點為F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，橢圓的弦AB過點F1，且△ABF2的周長等于20，該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．答案eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1解析如圖，∵△ABF2的周長等于20，∴4a＝20，即a＝5，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.9．已知橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距為4，則m＝_____________答案4或8解析(1)當(dāng)焦點在x軸上時，10－m－(m－2)＝4，解得m＝4.(2)當(dāng)焦點在y軸上時，m－2－(10－m)＝4，解得m＝8，∴m＝4或8.10．若方程eq\f(x2,25－m)＋eq\f(y2,m＋9)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是____________．答案(8,25)解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25－m＞0，m＋9＞0，m＋9＞25－m，))解得8<m<25.11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點A(－4,0)和C(4,0)，頂點B在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，則eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝________.答案eq\f(5,4)解析由題意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.故eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(|BC|＋|AB|,|AC|)＝eq\f(10,8)＝eq\f(5,4).三、解答題12．已知橢圓的中心在原點，兩焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，且過點A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．設(shè)焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)．∵F1A⊥F2A，∴eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))＝0.而eq\o(F1A,\s\up6(→))＝(－4＋c,3)，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝eq\r(－4＋52＋32)＋eq\r(－4－52＋32)＝eq\r(10)＋eq\r(90)＝4eq\r(10).∴a＝2eq\r(10)，∴b2＝a2－c2＝(2eq\r(10))2－52＝15.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1.13．已知橢圓eq\f