2024-2025學年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.1變化率與導數(shù)3.1.3導數(shù)的幾何意義講義含解析新人教A版選修1-1

PAGEPAGE113．1.3導數(shù)的幾何意義預習課本P76～79，思索并完成以下問題1．導數(shù)的幾何意義是什么？2．導函數(shù)的概念是什么？怎樣求導函數(shù)？3．怎么求過一點的曲線的切線方程？eq\a\vs4\al([新知初探])1．導數(shù)的幾何意義(1)切線的概念：如圖，對于割線PPn，當點Pn趨近于點P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線．(2)導數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即k＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)．2．導函數(shù)的概念(1)定義：當x改變時，f′(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))．(2)記法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).[點睛]“函數(shù)y＝f(x)在x＝x0的導數(shù)”“導函數(shù)”“導數(shù)”三者之間的區(qū)分與聯(lián)系“函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)”是一個數(shù)值，是針對x0而言的，與給定的函數(shù)及x0的位置有關，而與Δx無關；“導函數(shù)”簡稱為“導數(shù)”，是一個函數(shù)，導函數(shù)是對一個區(qū)間而言的，它是一個確定的函數(shù)，依靠于函數(shù)本身，而與x，Δx無關．eq\a\vs4\al([小試身手])1．推斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)導函數(shù)f′(x)的定義域與函數(shù)f(x)的定義域相同()(2)直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個公共點()(3)函數(shù)f(x)＝0沒有導函數(shù)()答案：(1)×(2)×(3)×2．曲線y＝x2在點P(1,1)處的切線方程為()A．y＝2x B．y＝2x－1C．y＝2x＋1 D．y＝－2x答案：B3．已知曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)＝()A．4 B．－4C．－2D．2答案：D4．已知f(x)＝－eq\f(1,x)，則f′(x)＝________.答案：eq\f(1,x2)求曲線的切線方程[典例]已知曲線C：y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)，求曲線C上的橫坐標為2的點處的切線方程．[解]將x＝2代入曲線C的方程得y＝4，∴切點P(2,4)．y′|x＝2＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\f(1,3)2＋Δx3＋\f(4,3)－\f(1,3)×23－\f(4,3),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))[4＋2·Δx＋eq\f(1,3)(Δx)2]＝4.∴k＝y(tǒng)′|x＝2＝4.∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.1．過曲線上一點求切線方程的三個步驟2．過曲線外的點P(x1，y1)求曲線的切線方程的步驟(1)設切點為Q(x0，y0)；(2)求出函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)；(3)利用Q在曲線上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)；(4)依據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．[活學活用]1．求過點P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點M(1,1)處的切線平行的直線．解：∵曲線y＝3x2－4x＋2在點M(1,1)處的切線斜率k＝y(tǒng)′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＝li\o(m,\s\up6(,Δx→0))))eq\f(31＋Δx2－41＋Δx＋2－3－4＋2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(3Δx＋2)＝2，∴過點P(－1,2)的直線的斜率為2，由直線的點斜式，得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0，∴所求直線的方程為2x－y＋4＝0.2．求拋物線f(x)＝x2過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，6))的切線方程．解：由于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，6))不在拋物線上，所以可設切點為(x0，xeq\o\al(2,0))，因為f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(2x0＋Δx)＝2x0，所以該切線的斜率為2x0，又因為此切線過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，6))和點(x0，xeq\o\al(2,0))，所以eq\f(x\o\al(2,0)－6,x0－\f(5,2))＝2x0，即xeq\o\al(2,0)－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3，因此切點為(2,4)或(3,9)，所以切線方程分別為y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)，即y＝4x－4，y＝6x－9.求切點坐標[典例]已知拋物線y＝2x2＋1分別滿意下列條件，懇求出切點的坐標．(1)切線的傾斜角為45°.(2)切線平行于直線4x－y－2＝0.(3)切線垂直于直線x＋8y－3＝0.[解]設切點坐標為(x0，y0)，則Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx，當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→4x0，即f′(x0)＝4x0.(1)∵拋物線的切線的傾斜角為45°，∴斜率為tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq\f(1,4)，∴切點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8))).(2)∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，∴切點坐標為(1,3)．(3)∵拋物線的切線與直線x＋8y－3＝0垂直，則k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))＝－1，即k＝8，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切點坐標為(2,9)．求切點坐標的四個步驟(1)設出切點坐標；(2)利用導數(shù)或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率關系列方程，求出切點的橫坐標；(4)把橫坐標代入曲線或切線方程，求出切點縱坐標．[活學活用]已知曲線y＝x3＋3x在點P處的切線與直線y＝15x＋3平行，則點P為()A．(2,14) B．(－2，－14)C．(2,14)或(－2，－14) D．以上都不對解析：選C設P(x0，y0)，由題意可得y′＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(x0＋Δx3＋3x0＋Δx－x\o\al(3,0)－3x0,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋3，又由題意得3xeq\o\al(2,0)＋3＝15，所以x0＝±2.當x0＝2時，y0＝23＋6＝14，當x0＝－2時，y0＝(－2)3－6＝－14.所以點P的坐標為(2,14)或(－2，－14)．層級一學業(yè)水平達標1．曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程為2x－y＋1＝0，則()A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在解析：選A因為曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的導數(shù)就是切線的斜率，又切線2x－y＋1＝0的斜率為2，所以f′(x0)＞0.2．曲線f(x)＝－eq\f(2,x)在點M(1，－2)處的切線方程為()A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4解析：選Ceq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－2,1＋Δx)＋2,Δx)＝eq\f(2,1＋Δx)，所以當Δx→0時，f′(1)＝2，即k＝2.所以直線方程為y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故選C.3．曲線y＝eq\f(1,3)x3－2在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,3)))處切線的傾斜角為()A．1 B.eq\f(π,4)C.eq\f(5π,4)D．－eq\f(π,4)解析：選B∵y′＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋Δx3－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－2)),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋xΔx＋\f(1,3)Δx2))＝x2，∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝1.∴切線的傾斜角為eq\f(π,4)，故應選B.4．曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于()A．1 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：選A∵y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(a1＋Δx2－a×12,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(2aΔx＋aΔx2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.5．過正弦曲線y＝sinx上的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))的切線與y＝sinx的圖象的交點個數(shù)為()A．0個 B．1個C．2個 D．多數(shù)個解析：選D由題意，y＝f(x)＝sinx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋Δx))－sin\f(π,2),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(cosΔx－1,Δx).當Δx→0時，cosΔx→1，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0.∴曲線y＝sinx的切線方程為y＝1，且與y＝sinx的圖象有多數(shù)個交點．6．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲線f(x)在x＝1處的切線在y軸上的截距為－1，則實數(shù)a的值為________．解析：由導數(shù)的幾何意義，得切線的斜率為k＝f′(1)＝4.又切線在y軸上的截距為－1，所以曲線f(x)在x＝1處的切線方程為y＝4x－1.從而切點坐標為(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.答案：27．曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(－1，－1)處的切線方程為________．解析：因為Δy＝eq\f(－1＋Δx,－1＋Δx＋2)－(－1)＝eq\f(Δx－1,1＋Δx)＋1＝eq\f(2Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx,1＋Δx·Δx)＝eq\f(2,1＋Δx)，所以f′(－1)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(2,1＋Δx)＝2，故曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(－1，－1)處的切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：y＝2x＋18．曲線y＝x2－3x的一條切線的斜率為1，則切點坐標為________．解析：設f(x)＝y(tǒng)＝x2－3x，切點坐標為(x0，y0)，f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－3x0＋Δx－x\o\al(2,0)＋3x0,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(2x0Δx－3Δx＋Δx2,Δx)＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝xeq\o\al(2,0)－3x0＝4－6＝－2，故切點坐標為(2，－2)．答案：(2，－2)9．求過曲線f(x)＝eq\f(1,x)－eq\r(x)上的點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))的切線方程．解：因為f′(4)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f4＋Δx－f4,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\f(1,4＋Δx)－\r(4＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－2)),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4＋Δx)－\f(1,4)))－\r(4＋Δx)－2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\f(－Δx,44＋Δx)－\f(Δx,\r(4＋Δx)＋2),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,44＋Δx)－\f(1,\r(4＋Δx)＋2)))＝－eq\f(5,16)，所以切線的斜率為－eq\f(5,16).所以所求的切線方程為5x＋16y＋8＝0.10．已知曲線y＝2x2－7，求曲線過點P(3,9)的切線方程．解：由題意得f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(2x0＋Δx2－7－2×x\o\al(2,0)－7,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(4x0＋2Δx)＝4x0.由于2×32－7＝11≠9，故點P(3,9)不在曲線上．設所求切線的切點為A(x0，y0)，則切線的斜率k＝4x0，故所求的切線方程為y－y0＝4x0(x－x0)，將P(3,9)及y0＝2xeq\o\al(2,0)－7代入上式得9－(2xeq\o\al(2,0)－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4.所以切點為(2,1)或(4,25)．從而所求切線方程為8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.層級二應試實力達標1.已知y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是()A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能確定解析：選B由圖可知，曲線在點A處的切線的斜率比曲線在點B處的切線的斜率小，結合導數(shù)的幾何意義知f′(xA)<f′(xB)，選B.2．曲線f(x)＝2x－eq\f(1,x)在x＝1處的切線的斜率為()A．－1 B．1C．2D．3解析：選D因為Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×1－1))＝2Δx＋1－eq\f(1,1＋Δx)＝2Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝2＋eq\f(1,1＋Δx)，所以lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,1＋Δx)))＝2＋1＝3.3．設f(x)存在導函數(shù)，且滿意lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝－1，則曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為()A．2 B．－1C．1 D．－2解析：選Blieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝f′(1)＝－1.4．已知直線ax－by－2＝0與曲線y＝x3在點P(1,1)處的切線相互垂直，則eq\f(a,b)為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(1,3)解析：選D由導數(shù)的定義可得y′＝3x2，∴y＝x3在點P(1,1)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝3，由條件知，3×eq\f(a,b)＝－1，∴eq\f(a,b)＝－eq\f(1,3).5.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝______.解析：由導數(shù)的概念和幾何意義知，lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝f′(1)＝kAB＝eq\f(0－4,2－0)＝－2.答案：－26．已知曲線f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝eq\f(1,x)過兩曲線交點作兩條曲線的切線，則曲線f(x)在交點處的切線方程為__________________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)y＝\f(1,x)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝1，))∴兩曲線的交點坐標為(1,1)．由f(x)＝eq\r(x)，得f′(1)＝lieq\o(m,\s\do4(△x→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(△x→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，∴y＝f(x)在點(1,1)處的切線方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－1)．即x－2y＋1＝0，答案：x－2y＋1＝07．求曲線y＝eq\f(1,x)和y＝x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積．解：聯(lián)立兩曲線方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)，y＝x2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝1，))即交點坐標為(1,1)．曲線y＝eq\f(1,x)在點(1,1)的切線斜率為f′(1)＝l