2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講參數(shù)方程一曲線的參數(shù)方程1參數(shù)方程的概念講義含解析新人教A版選修4-4

PAGEPAGE71．參數(shù)方程的概念eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P21])1．參數(shù)方程的概念在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t(θ，φ，…)的函數(shù)：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝f(t),y＝g(t)))①，并且對于每一個(gè)t的允許值，方程組①所確定的點(diǎn)(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，干脆給出坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做一般方程．2．參數(shù)的意義參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x，y的橋梁，可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù)．參數(shù)方程表示的曲線上的點(diǎn)[例1]已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2＋1，,y＝2t))(t為參數(shù))．(1)推斷點(diǎn)A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)與曲線C的位置關(guān)系；(2)若點(diǎn)F(10，a)在曲線C上，求實(shí)數(shù)a的值．[解](1)把點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)代入方程組，解得t＝0，所以點(diǎn)A(1,0)在曲線上．把點(diǎn)B(5,4)的坐標(biāo)代入方程組，解得t＝2，所以點(diǎn)B(5,4)也在曲線上．把點(diǎn)E(3,2)的坐標(biāo)代入方程組，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝t2＋1，,2＝2t，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝±\r(2)，,t＝1.))故方程組無解，所以點(diǎn)E不在曲線上．(2)因?yàn)辄c(diǎn)F(10，a)在曲線C上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＝t2＋1，,a＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝3，,a＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝－3，,a＝－6，))所以a＝±6.參數(shù)方程是曲線方程的另一種表達(dá)形式，點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的推斷，與平面直角坐標(biāo)方程下的推斷方法是一樣的．1．已知點(diǎn)M(2，－2)在曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝－2))(t為參數(shù))上，則其對應(yīng)的參數(shù)t的值為________．解析：由t＋eq\f(1,t)＝2，解得t＝1.答案：12．已知某條曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝at2))(其中t為參數(shù)，a∈R)．點(diǎn)M(5,4)在該曲線上，求常數(shù)a.解：∵點(diǎn)M(5,4)在曲線C上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝1＋2t，,4＝at2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝2，,a＝1.))∴a的值為1.求曲線的參數(shù)方程[例2]如圖，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰長為a，頂點(diǎn)B，A分別在x軸、y軸上滑動，求點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程．[思路點(diǎn)撥]解決此類問題關(guān)鍵是參數(shù)的選?。纠杏捎贏，B的滑動而引起點(diǎn)P的運(yùn)動，故可以O(shè)B的長為參數(shù)，或以角為參數(shù)，此時(shí)不妨取BP與x軸正向夾角為參數(shù)來求解．[解]法一：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，過P點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于Q.如圖所示，則Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t為參數(shù)(0＜t＜a)．∵|OA|＝eq\r(a2－t2)，∴|BQ|＝eq\r(a2－t2).∴點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\r(a2－t2)，,y＝t))(0＜t＜a)．法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)Q，如圖所示．取∠QBP＝θ，θ為參數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2)))，則∠ABO＝eq\f(π,2)－θ.在Rt△OAB中，|OB|＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝asinθ.在Rt△QBP中，|BQ|＝acosθ，|PQ|＝asinθ.∴點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a(sinθ＋cosθ)，,y＝asinθ.))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ為參數(shù)，0＜θ＜\f(π,2)))求曲線參數(shù)方程的主要步驟(1)畫出軌跡草圖，設(shè)M(x，y)是軌跡上隨意一點(diǎn)的坐標(biāo)．畫圖時(shí)要留意依據(jù)幾何條件選擇點(diǎn)的位置，以利于發(fā)覺變量之間的關(guān)系．(2)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)．參數(shù)的選擇要考慮以下兩點(diǎn)：一是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯，簡單列出方程；二是x，y的值可以由參數(shù)唯一確定．例如，在探討運(yùn)動問題時(shí)，通常選時(shí)間為參數(shù)；在探討旋轉(zhuǎn)問題時(shí)，通常選旋轉(zhuǎn)角為參數(shù)．此外，離某肯定點(diǎn)的“有向距離”、直線的傾斜角、斜率、截距等也經(jīng)常被選為參數(shù)．(3)依據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問題的物理意義等，建立點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，證明可以省略．3．設(shè)飛機(jī)以v＝150m/s作水平勻速飛行，若在飛行高度h＝490m處投彈，求炸彈離開飛機(jī)后的軌跡方程(設(shè)炸彈的初速度等于飛機(jī)的速度)．(g＝9.8m/s2)解：如圖，A為投彈點(diǎn)，坐標(biāo)為(0,490)，B為目標(biāo)．記炸彈飛行的時(shí)間為t，在A點(diǎn)t＝0，設(shè)M(x，y)為飛行曲線上的任一點(diǎn)，它對應(yīng)時(shí)刻t，炸彈初速度v0＝150m/s，用物理學(xué)學(xué)問，分別計(jì)算水平、豎直方向上的路程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝v0t，,y＝490－\f(1,2)gt2))(t為參數(shù))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝150t，,y＝490－4.9t2))(t為參數(shù))，這是炸彈飛行曲線的參數(shù)方程．一、選擇題1．下列方程可以作為x軸的參數(shù)方程的是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2＋1,y＝0)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝3t＋1))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋sinθ,y＝0)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4t＋1,y＝0))解析：選Dx軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)可取隨意實(shí)數(shù)，縱坐標(biāo)為0.2．當(dāng)參數(shù)θ改變時(shí)，由點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)所確定的曲線過點(diǎn)()A．(2,3) B．(1,5)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) D．(2,0)解析：選D當(dāng)2cosθ＝2，即cosθ＝1時(shí)，3sinθ＝0，所以過點(diǎn)(2,0)．3．在方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ))(θ為參數(shù))所表示的曲線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(2，－7) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))) D．(1,0)解析：選C將點(diǎn)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程，若能求出θ，則點(diǎn)在曲線上，經(jīng)檢驗(yàn)，知C滿意條件．4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心的軌跡方程為()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t,y＝t))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2t,y＝t))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t,y＝－t)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2t,y＝－t))解析：選A設(shè)(x，y)為所求軌跡上任一點(diǎn)．由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0，得(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝t.))二、填空題5．已知曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2sinθ＋1，,y＝sinθ＋3))(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π)，下列各點(diǎn)A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲線上的點(diǎn)是________．解析：將A點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得：θ＝0或π，將B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，方程無解，故A點(diǎn)在曲線上．答案：A(1,3)6．若曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，,y＝2sinθ))經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，a))，則a＝________.解析：將點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，a))代入曲線方程得cosθ＝eq\f(1,2)，a＝2sinθ＝±2eq\r(1－\f(1,4))＝±eq\r(3).答案：±eq\r(3)7．動點(diǎn)M作勻速直線運(yùn)動，它在x軸和y軸方向的分速度分別為9和12，運(yùn)動起先時(shí)，點(diǎn)M位于A(1,1)，則點(diǎn)M的參數(shù)方程為__________．解析：設(shè)M(x，y)，則在x軸上的位移為x＝1＋9t，在y軸上的位移為y＝1＋12t.∴其參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋9t，,y＝1＋12t.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋9t,y＝1＋12t))三、解答題8.如圖，已知定點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)Q是圓C：x2＋y2＝1上的動點(diǎn)，∠AOQ的平分線交AQ于點(diǎn)M，當(dāng)Q在圓C上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程．解：設(shè)點(diǎn)O到AQ的距離為d，則eq\f(1,2)|AM|·d＝eq\f(1,2)|OA|·|OM|·sin∠AOM，eq\f(1,2)|QM|·d＝eq\f(1,2)|OQ|·|OM|·sin∠QOM，又∠AOM＝∠QOM，所以eq\f(|AM|,|QM|)＝eq\f(|OA|,|OQ|)＝2，所以eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)AQ→.設(shè)點(diǎn)Q(cosθ，sinθ)，M(x，y)，則(x－2，y－0)＝eq\f(2,3)(cosθ－2，sinθ－0)，即x＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)cosθ，y＝eq\f(2,3)sinθ，故點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)＋\f(2,3)cosθ，,y＝\f(2,3)sinθ))(θ為參數(shù))．9.某飛機(jī)進(jìn)行投彈演習(xí)，已知飛機(jī)離地面高度為H＝2000m，水平飛行速度為v1＝100m/s，如圖所示．(1)求飛機(jī)投彈ts后炸彈的水平位移和離地面的高度；(2)假如飛機(jī)追擊一輛速度為v2＝20m/s同向行駛的汽車，欲使炸彈擊中汽車，飛機(jī)應(yīng)在距離汽車的水平距離多遠(yuǎn)處投彈？(g＝10m/s2)解：(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)炸彈投出機(jī)艙的時(shí)刻為0s，在時(shí)刻ts時(shí)其坐標(biāo)為M(x，y)，易知炸彈在飛行時(shí)作平拋運(yùn)動，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝100t，,y＝2000－\f(1,2)gt2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝100t，,y＝2000－5t2，))令y＝2000－5t2＝0，得t＝20，所以飛機(jī)投彈ts后炸彈的水平位移為100tm，離地面的高度為(2000－5t2)m，其中0≤t≤20.(2)易知炸彈的水平方向運(yùn)動和汽車的運(yùn)動均為勻速直線運(yùn)動．以汽車為參考系，水平方向上s相對＝v相對t，所以飛機(jī)應(yīng)距離汽車投彈的水平距離為s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1600m.10．試確定過M(0,1)作橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．解：設(shè)過M(0,1)的弦所在的直線方程為y＝kx＋