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試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年深圳市高三年級第二次調研考試數(shù)學本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，考生請務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，留存試卷，交回答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．下列各組數(shù)據(jù)中方差最大的一組是（

）A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，82．雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．3．在四邊形中，若，則“”是“四邊形是正方形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若，，則（

）A． B． C． D．5．已知正四棱錐的底面邊長為6，且其側面積是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)（a為常數(shù)），則（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為增函數(shù) D．為減函數(shù)7．已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A． B．0 C．1 D．8．已知復數(shù)均不為0，則下列等式不恒成立的是（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為1 B．的最小正周期為C．在上單調遞增 D．的圖象關于對稱10．已知函數(shù)的定義域為，，，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．的最大值為11．對于，將n表示為．其中．記為上述表示中為0的個數(shù)（例如，則，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)，若，則實數(shù)．13．已知拋物線的焦點為，C的準線與x軸的交點為T，若過點T的直線l與C交于A，B兩點，且，則的面積等于．14．將五張標有、、、、的卡片擺成右圖，若逐一取走這些卡片時，每次取走的一張卡片與剩下的卡片中至多一張有公共邊，則把這樣的取卡順序稱為“和諧序”（例如按取走卡片的順序是“和諧序”，按取走卡片的順序不是“和諧序”），現(xiàn)依次不放回地隨機抽取這張卡片，則取卡順序是“和諧序”的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在中，，BC邊上的高等于．(1)求的值；(2)若，求的周長．16．已知四棱臺，底面是邊長為2的菱形，平面，，E是的中點．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．17．已知橢圓，F(xiàn)為E的右焦點，P為E上的動點，當直線PF與x軸垂直時，，R是直線上一動點，的最小值為1．(1)求E的方程：(2)過R作E的兩條切線分別交x軸于M，N兩點，求面積的取值范圍．18．已知函數(shù)，函數(shù)圖象上的一點，按照如下的方式構造切線：在點處作的切線，記切線與x軸交點的橫坐標為．(1)寫出與的遞推關系式；(2)記的零點為r，且．（i）證明：當時，；（ii）證明：對于任意的，都有．19．從編號為1，2，…，的座位中按照如下方式選取座位：選取至少個座位，并且選取的座位中沒有相鄰的座位，則稱這樣的座位選取方案稱為“社交排位”．(1)若個座位排成一排，對應的“社交排位”數(shù)為，例如時，由于至少要選取2個座位，因此時，由于只能選取第1，3個座位，因此．（i）求；（ii）求使的最小正整數(shù)，(2)若個座位排成一圈，對應的“社交排位”數(shù)為，求數(shù)列中第2025個奇數(shù)對應的．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的波動越大，方差越大；數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，方差越小.通過觀察數(shù)據(jù)的離散程度以及計算平均值和方差來得出答案.【詳解】對于A：數(shù)據(jù)全部為6，相等，沒有波動，所以方差為0.對于B：平均數(shù)為，方差為.對于C：平均數(shù)為，方差為.對于D：平均數(shù)為，方差為.通過比較可知，選項D的方差最大.故選：D.2．D【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程，結合離心率的概念即可求解.【詳解】由，得，所以，得，所以雙曲線的離心率為.故選：D3．B【分析】根據(jù)，判斷出四邊形的形狀，結合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】在四邊形中，若，則四邊形為平行四邊形，若，則平行四邊形為菱形，但不一定為正方形，四邊形是正方形時，必有，即有，故“”是“四邊形是正方形”的必要不充分條件.故選：B.4．A【分析】由同角三角函數(shù)的基本關系求出的值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.【詳解】因為，則，所以，因此.故選：A.5．A【分析】根據(jù)題意得到斜高，從而得到四棱錐體高，由體積計算公式即可求解.【詳解】如圖，在正四棱錐中，為四棱錐的高，為側面的高，因為正四棱錐的底面邊長為6，且其側面積是底面積的2倍，所以，解得，，所以，故選：A.6．B【分析】通過對函數(shù)進行相應的運算，結合奇偶性的定義判斷奇偶性；對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性.【詳解】對于A，首先求：已知，若為奇函數(shù)，則恒成立，即恒成立.因為恒成立，所以，解得，所以為奇函數(shù)，選項A錯誤.對于B，接著求：已知，若為偶函數(shù)，則恒成立，即恒成立.因為不恒為，所以，解得，所以為偶函數(shù)，選項B正確.

對于C，D，對求導得.當時，，，所以，則為增函數(shù).當時，令，即，則，，解得.當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減，所以選項C、D錯誤.

故選：B.7．B【分析】先寫出等差數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期性和已知集合的元素個數(shù)來分析的取值情況，進而求出的值.【詳解】根據(jù)已知條件，等差數(shù)列的通項公式為：.根據(jù)三角函數(shù)的性質，.這說明數(shù)列的周期為3.因為集合，即有三個不同的值.設時，；時，；時，.根據(jù)三角函數(shù)兩角和公式可得：..則故選：B.8．C【分析】根據(jù)復數(shù)的運算性質可一一驗證.【詳解】設，對A，，，，故A正確；，，，故B正確；，，故C錯誤；，，，故D正確；故選：C.9．AB【分析】利用二倍角公式和誘導公式化簡，再由余弦函數(shù)相關性質檢驗各項即可求解.【詳解】,∴，故A正確；最小正周期，故B正確；時，，∵在單調遞減，∴在上單調遞減，故C錯；，不是函數(shù)的對稱軸，故D錯；故選：AB.10．BCD【分析】令，可判斷A選項，令可得出，再令，可求出的值，可判斷B選項；利用偶函數(shù)的定義可判斷C選項；令，可得出，求出的最大值，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，令，則，解得，A錯；對于B選項，令，則，即，所以，令，，可得，即，即，故，B對；對于C選項，因為，同理有，所以，若，設，令，則，再令，則，所以函數(shù)的零點關于y軸對稱；若，則，令有，故函數(shù)為偶函數(shù)，C對；對于D選項，令，則，所以，可得，故函數(shù)的最大值為，D對.故選：BCD.11．ABC【分析】根據(jù)的定義逐項判斷即可.【詳解】對A，∵，∴，故A正確；對B，∵，∴，故B正確；對C，∵設，，增加了，兩項系數(shù)為0，∴，故C正確；對于D，∵，∴，故D錯誤；故選：ABC.12．【分析】易知當時無解；當時，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質可得在上有且僅有唯一的零點，進而根據(jù)求解即可.【詳解】，當時，，解得，不符合題意；當時，，則，令，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，當時，，則，當時，，且時，；時，；所以在上有且僅有唯一的零點.所以當時，，則，解得.綜上，.故答案為：e13．【分析】根據(jù)題意可得拋物線方程及點T坐標，設出直線l的方程并聯(lián)立曲線，再由韋達定理和拋物線焦半徑公式可解點A，然后可求的面積.【詳解】如圖，因為拋物線C的焦點，所以，解得，則拋物線C的方程為，準線方程為，，易知直線l斜率存在，設方程為，，,聯(lián)立，整理得,由韋達定理得，，又，，且，∴，即代入，整理得，解得或（舍），所以，，所以，.故答案為.14．【分析】對抽卡片的順序進行分類討論，結合分步乘法計數(shù)原理、分類加法計數(shù)原理與古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】分兩種情況討論：（1）第一步，從號或號卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號卡片，第二步，從號或號卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號卡片，第三步，從號或號卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號卡片，第四步，從號或號卡片抽取一張，有種情況，第五步，抽最后一張卡片，此時，不同的抽法種數(shù)為種；（2）第一步，抽號卡片，第二步，從、、號卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號卡片，第三步，從、號卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號卡片，第四步，從、號卡片抽取一張，有種情況，第五步，抽最后一張卡片，此時，不同的抽法種數(shù)為種.而從張卡片隨意抽取，不同的抽法種數(shù)為，因此，取卡順序是“和諧序”的概率為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式和正弦定理計算即可求解；（2）根據(jù)正弦、余弦定理和完全平方公式計算可得，即可求解.【詳解】（1）設中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由題意可得，即，由正弦定理得，又，所以．（2）由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以，所以的周長為．16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由底面菱形性質及線面垂直性質證平面，得.再根據(jù)已知邊長用勾股定理逆定理證.因為與相交，所以平面.（2）解法1，過作，證平面，再過作，得為二面角平面角.算出、長度，用正切求出正切值，再求其余弦值.解法2，建立空間直角坐標系，用向量法求二面角.先找出平面的一個法向量.設平面法向量，根據(jù)向量垂直關系求出.最后用向量夾角公式求兩平面夾角余弦值.【詳解】（1）因底面是菱形，，是BC中點，所以，又，則.已知平面，平面，所以.因為平面，且，所以平面.又平面，故.四棱臺上下底面平行且相似，上底面是邊長為菱形.在四邊形中，，，由勾股定理得，.在中，，所以，即.因為平面，，所以平面.（2）解法1

在等腰直角中，過作，則M是中點，，又，所以平面，又因為平面，所以，過M作，連接，由于平面，所以平面，又平面，故，所以為平面與平面的夾角，由（1）知，在中，，故，因為平面，平面，所以，則，又因為為銳角，所以，故平面與平面夾角的余弦值為．解法2

因為平面ABCD，所以AE，AD，兩兩垂直．以A為原點，AE，AD，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系則，，由（1）易知平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則，即取，得，設平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．【點睛】17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題干所給信息及，可求橢圓方程.（2）設出直線RM，RN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理、弦長公式及三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）設點，當直線PF與x軸垂直時，點，則因為的最小值為，所以，又由，可解得，故E的方程為．（2）如圖，設點，注意到RM，RN斜率不為0，設，聯(lián)立，得，因為RM與E相切，所以，于是，化簡得，又RN與E相切，同理有，故m，n是一元二次方程的兩根，則，所以，又，所以，所以面積的取值范圍為．18．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出在點處的切線方程，令即可求解；（2）（i）易知當時，當時，利用導數(shù)和零點的存在性定理證明在上單調遞增，進而，即可證明；（ii）由（i）知當時，令，只需證.令（），利用3階導數(shù)研究的單調性可得，結合累乘法計算即可證明.【詳解】（1），，則函數(shù)在點處的切線方程為，令，得．（2）（i）當時，，當時，，單調遞增，又因為，所以有唯一的零點，其中．令，則，當時，，故在上單調遞增．因為，所以．因為在上單調遞增，所以當時，，又因為，所以，即證得：當時，．（ii）由（i）知：因為，從而，進而，由此遞推可知：當時，，令，下面證明：對于任意的，都有成立，即．因為，所以只需證明，即，令，其中，則，因為，所以，故，從而在上單調遞增，可知，故在上單調遞增，因此，因為，故，即對于任意的，都有成立，由此可得：，所以對于任意的，都有．19．(1)（i），；（ii）12(2)4051【分析】（1）（i）當、時，列舉出符合條件的選法，可得出、的值；（ii）解法1：當時，個座位的“社交排位”，可以分成兩類：①不包含號座位；②包含號座位.推導出，然后列舉出數(shù)列的前若干項，即可得出滿足不等式的最小正整數(shù)的值；解法2：當（）時，由組合數(shù)的性質得出，結合，并求出、的值，可得出滿足的最小正整數(shù)的值；（2）解法1：求出數(shù)列前項的值，將對應的方案分為3類進行討論，可得出，可知與（）具有相同的奇偶性，由此推導出，為奇數(shù)，當，為偶數(shù)，，即可確定2025個奇數(shù)所在的位置，即可得解；解法2：當（）時，根據(jù)組合數(shù)性質計算出的表達式，可知與（）具有相同的奇偶性，由此推導出，為奇數(shù)，當，為偶數(shù)，，即可確定2025個奇數(shù)所在的位置，即可得解.【詳解】（1）（i）當時，可以選取，合計3種選法，于是；當時，可以選取，合7種選法，于是．（ii）解法1：當時，個座位的“社交排位”，可以分成兩類：①不包含號座位，此時，這便是個座位的“社交排位”，有種；②包含號座位，此時必不包含，剩余被選中的座位來自1，2，…，．當剩余被選中的座位數(shù)為1時，可以為1，2，…，號，有種選法；當剩余被選中的座位數(shù)大于等于2時，此時剩余的位置數(shù)對應于個座位的“社交排位”數(shù)有種，于是，由遞推關系列出下表：n34567891011121313714264679133221364596則當時，有的最小正整數(shù)．解法2：當（）時，設“社交排位”的座位