2025年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)（全解全析）

2025年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試高三數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，故；由，故.所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，得，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限．故選：D．3.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2024項中有（）個奇數(shù)A1012 B.1350 C.1348 D.1352【答案】B【解析】對數(shù)列中的數(shù)歸納發(fā)現(xiàn)，每3個數(shù)中前2個都是奇數(shù)，后一個是偶數(shù)，又，故該數(shù)列前2024項有個奇數(shù).故選：B4.已知隨機變量，且，則的最小值為（）A.3 B.9 C. D.【答案】A【解析】因為隨機變量，且，可得，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為3.故選：A5.函數(shù)，不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，令，則，得為奇函數(shù)，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；所以，得在R上為增函數(shù)，因為，所以在R上恒成立，顯然時滿足；當(dāng)，需滿足，解得，綜上，.故選：D6.如圖所示，在邊長為3的等邊三角形中，，且點在以的中點為圓心，為半徑的半圓上，若，則下列說法錯誤的是（）A. B.的最大值為C.存在最大值為9 D.【答案】B【解析】在邊長為3的正中，，為的中點，則，對于A，由，得，則，A正確；對于B，由，得，即，因此，則，而，則當(dāng)時，取得最大值，B錯誤.對于C，以點為原點，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，顯然點在以為圓心，為半徑的下半圓上，設(shè)，則，，由，得，則當(dāng)時，取得最大值，C正確；對于D，，則，D正確；故選：B7.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次.(1)4次均不下雨，概率：；(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：①同一天上下班均下雨；②兩天上班時下雨，下班時不下雨；③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨；概率為：；(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨，概率為：；(5)4次均下雨，概率為：；兩天都不淋雨的概率為：，所以至少有一天淋雨的概率為：.故選：C.8.已知點、是橢圓的左、右焦點，點M為橢圓B上一點，點關(guān)于的角平分線的對稱點N也在橢圓B上，若，則橢圓B的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】點關(guān)于的角平分線的對稱點N必在上，因此共線，，，設(shè)，則，，，又，∴，中，由余弦定理得：，∴，化簡得，∴，，中，，由余弦定理得，解得，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．為了弘揚奧運會中我國射擊隊頑強拼博的布斗精神，某校射擊興趣小組組織了校內(nèi)射擊比賽，得到8名同學(xué)的射擊環(huán)數(shù)為：6，6，7，8，9，9，9，10（位：環(huán)），則這組樣本數(shù)據(jù)的（）A.極差為4 B.平均數(shù)是8C.75%分位數(shù)是9 D.方差為4【答案】ABC【解析】將這組數(shù)據(jù)從小到大排序，得，這組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；平均數(shù)為，故B正確；因為，所以第75%分位數(shù)為，故C正確；方差為，故D錯誤.故選：ABC10.已知三次函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)B.當(dāng)時，函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于對稱C.存在，使得函數(shù)y=fx圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)有三個零點的一個充分條件是【答案】BD【解析】對于A，由于當(dāng)時，有，但此時由可知fx并不單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，有，故.所以.這表明的圖象關(guān)于對稱，故B正確；對于C，假設(shè)存在使得的圖象關(guān)于對稱，則恒成立.此即.整理得，即，此即.故對任意實數(shù)均有.從而對任意均有，但當(dāng)時，該式顯然不成立，矛盾.所以不存在使得的圖象關(guān)于對稱，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，直接計算可得，，，.而，故根據(jù)零點存在定理，可知fx存在零點x=0，且在和上分別有一個零點.所以fx故選：BD.11.在2024年巴黎奧運會藝術(shù)體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術(shù)體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（）A．開口向上的拋物線的方程為 B．C．直線截第一象限花瓣的弦長最大值為 D．陰影區(qū)域的面積不大于32【答案】BC【解析】由題意得開口向右的拋物線方程為，焦點為，將其逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點為，則其方程為，故A選項錯誤；由得或，即，所以，由對稱性得，，所以，故B正確；如圖，設(shè)直線與第一象限花瓣分別交于點、，由得，由得，所以，在第一象限部分滿足，設(shè)，則，故，代入得，當(dāng)時，取最大值，故C正確；對于D，根據(jù)對稱性，每個象限的花瓣形狀大小相同，所以可以先求部分面積的近似值，如圖，在取一點，使過點的切線與直線平行，由可得切點坐標(biāo)為，因為，所以點到直線的距離，所以，由圖知半個花瓣的面積必大于，所以陰影區(qū)域的面積大于，故D錯誤.故選：BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．現(xiàn)有質(zhì)量分別為千克的六件貨物，將它們隨機打包裝入三個不同的箱子，每個箱子裝入兩件貨物，每件貨物只能裝入一個箱子.則第一?二個箱子的總質(zhì)量均不小于第三個箱子的總質(zhì)量的概率是__________.【答案】##【解析】由于六件貨物的質(zhì)量之和不是3的倍數(shù)，因而不可能出現(xiàn)三個箱子的總重量都相同的情況.設(shè)事件表示存在兩個箱子，它們的總質(zhì)量相同且同時最小，事件表示第一?二個箱子的總質(zhì)量均不小于第三個箱子的總質(zhì)量.由對稱性，可得.當(dāng)發(fā)生時，這兩個箱子的貨物組合只能是和和和三種可能，故.當(dāng)不發(fā)生時，表示僅有一個箱子的總質(zhì)量最小，于是由對稱性，得.故.故答案為：.13.的展開式中的系數(shù)為______．【答案】【解析】當(dāng)取1，取，的系數(shù)為；當(dāng)取，取時，得的系數(shù)為：.所以的系數(shù)為：.故答案為：14.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，且，則的值為______.【答案】【解析】，故，因為在區(qū)間上的值域為，且，故必有，如圖所示，則故故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，，．（1）求角；（2）若，求邊上的角平分線長；（3）若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍．【解析】（1）在中，由正弦定理及，得，------------------------------------------2分即，而，，-------------------------------------------3分解得，又，所以.-------------------------------------------5分（2）由及，余弦定理得，-----------------------------------6分又，解得，------------------------------------------7分由得，即，則，所以.------------------------------------------8分（3）因為是的中點，所以，-------------------------------------------9分則，由正弦定理得，即，-------------------------------------------10分為銳角三角形，，所以，所以，所以，所以，所以，-------------------------------------------12分所以，即邊上的中線的取值范圍為．-------------------------13分16．（15分）如圖，四棱錐中，，底面是個直角梯形，，，.（1）證明：；（2）從下面條件①?條件②?條件③三個條件中選擇一個作為已知，解答下面的問題.條件①：；條件②：；條件③：二面角的大小為.在棱上是否存在點（不與端點重合），使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分.）【解析】【小問1詳解】取的中點，連接、，因為，---------------------------------1分所以，又，所以，所以，即，所以，----------------------------------------3分又，平面，所以平面，------------------------------------------5分又平面，所以；-------------------------------------------6分【小問2詳解】因為，，又，所以，所以四邊形為矩形，如圖以為坐標(biāo)原點，平面，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，；------------------------------------------9分若選條件①：，顯然平面，設(shè)b>0,c>0，-------------------------------11分則，DA=2,0,0，所以，與矛盾，-------------------------14分故條件①不符合題意；-------------------------------------------15分若選條件②：，顯然平面，設(shè)b>0,c>0，則，解得，則，-------------------------------------------11分所以，，-------------------------------------------12分設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，-------------------------------------------14分解得或（舍去），所以的值為；-------------------------------------------15分若選條件③：二面角的大小為.由（1）可知即為二面角的平面角，即，又，所以，-------------------------------------------11分則，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，-------------------------------------------12分設(shè)直線與平面所成的角為，則，-------------------------------------------14分解得或（舍去），所以的值為.-------------------------------------------15分17．（15分）在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩?防護服?消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量?該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，得到如下頻率分布直方圖.規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩.（1）求該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和第60百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其中一級口罩個數(shù)為，求的分布列及方差；（3）在2024年“五一”勞動節(jié)前，甲?乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構(gòu)成.假定甲?乙兩人在兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，記甲?乙兩人搶購成功的口罩總數(shù)量為，求當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時正整數(shù)的值.【解析】【小問1詳解】該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為；，-------------------------------------------3分故第60百分位數(shù)落在內(nèi)，設(shè)其為，則，解得，故第60百分位數(shù)為125；-------------------------------------------5分【小問2詳解】一級口罩與二級口罩的個數(shù)比為，現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩，則一級口罩有個，二級口罩有個，------------------------------------------6分再從中抽取3個，記其中一級口罩個數(shù)為，的可能取值為0,1,2，，，，--------------------------------7分故的分布列如下：012數(shù)學(xué)期望為，-------------------------------------------8分方差為-------------------------------------------9分【小問3詳解】的可能取值為，，-------------------------------------------10分，-------------------------------------------11分，-------------------------------------------12分故，令，設(shè)，則，因為，-------------------------------------------13分當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，-------------------------------------------14分當(dāng)，即時，取最大值-------------------------------------------15分18．（17分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與存在兩條公切線，求整數(shù)的最小值；（3）已知，函數(shù)有3個零點為：，且，證明：.【解析】【小問1詳解】，令，解得或，------------------------------2分當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.-------------------------------------------5分【小問2詳解】設(shè)切線分別與和交于，的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，------------------------------------------6分所以處切線方程為，處切線方程為，由公切線可知，，------------------------------------------7分所以，化簡可得，因為公切線有兩條，所以有兩個根；設(shè)，所以，------------------------------------------8分因為均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，------------------------------------------9分且，所以存在唯一使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以且，所以，-------------------------------------------10分由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在時單調(diào)遞增，所以，所以，且時，，時，，所以若有兩個根，則，故整數(shù)的最小值為.-------------------------------------------10分【小問3詳解】的定義域為，-------------------------------------------11分由題意可知，是方程的三個根；當(dāng)時，令，所以，令，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，且；-------------------------------------------12分當(dāng)時，令，所以，由解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，，作出的簡圖如下圖所示，由圖象可知，，-------------------------------------------13分要證，只需證，即證，因為，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以只需證，且，-------------------------------------------14分所以只需證，即證（*）；設(shè)，所以，所以，因為，對稱軸且開口向下，所以在上單調(diào)遞增，-------------------------------------------15分所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以對恒成立，-------------------------------------------16分所以（*）成立，即成立.-------------------------------------------17分19．（17分）一般地，任何一個復(fù)數(shù)（a，）可以寫成，其中r是復(fù)數(shù)的模，是以x軸非負(fù)半軸為始邊，射線OZ為終邊的角，稱為復(fù)數(shù)的輔角.我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輔角稱為輔角主值，通常記作argz，如，，.發(fā)現(xiàn)，就是說兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輔角等于各復(fù)數(shù)輔角的和.考慮如下操作：從寫有實數(shù)0，1，的三張卡片中隨機抽取兩張，將卡片上的兩個數(shù)依次作為一個復(fù)數(shù)的實部和虛部.設(shè)n為正整數(shù)，