2025年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷）03（全解全析）

2025年高考第二次模擬考試高三數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷）·全解全析注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B．C．，或 D．1.【答案】D【分析】求出集合，集合，再利用并集定義求出．【詳解】因?yàn)榧?，集合，所以．故選：D．2．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．12.【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的除法計(jì)算可得；【詳解】因?yàn)?，即，所以，所以?fù)數(shù)的虛部為1.故選：D.3．已知向量，滿足，，且，則（

）A．2 B． C．1 D．3.【答案】A【分析】將兩邊平方，由可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，即，，解得（?fù)值已舍去）.故選：A4．若，，則（

）A． B． C． D．4.【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】由得，，，即，解得或，，，.故選：A.5．在正三棱臺(tái)中，，，與平面ABC所成角為，則該三棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．5.【答案】C【分析】將棱臺(tái)補(bǔ)全為棱錐，結(jié)合已知條件求出大小棱錐的高，利用及棱錐體積公式求棱臺(tái)的體積.【詳解】由題設(shè)，將棱臺(tái)補(bǔ)全為正棱錐，如下圖，且均為正三角形，其中為底面中心，連接，則面，而面，即，所以與平面ABC所成角為，而，則，所以，令的高為，結(jié)合棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，知，所以棱臺(tái)體積.故選：C6．已知函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6.【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)分別應(yīng)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，分段求解函數(shù)值范圍及最值再比較列不等式關(guān)系即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，無最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)存在最小值，即.故選：C.7．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，若在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．57.【答案】B【分析】根據(jù)伸縮變換規(guī)則可得，再由余弦函數(shù)圖象性質(zhì)以及極值點(diǎn)個(gè)數(shù)解不等式可得結(jié)果.【詳解】由題可知，當(dāng)時(shí)，，若在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則由的圖像可得，解得，因?yàn)?，所以的最大值?.故選：B.8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為 B．C．函數(shù)為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4 D．8.【答案】C【分析】對(duì)于A，由為奇函數(shù)，則，再將代入化簡(jiǎn)可求出對(duì)稱中心；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可得，再由為偶函數(shù)可得，令可求出；對(duì)于C，由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合求出進(jìn)行判斷；對(duì)于D，利用賦值法求解判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以A正確，對(duì)于B，在中，令，得，得，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以，令，則，所以，得，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，在中令，則，令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以D正確，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若隨機(jī)變量，則B．若隨機(jī)變量，則C．若隨機(jī)變量服從分布，且，則D．若隨機(jī)變量滿足，則9.【答案】ABD【分析】A.由隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布求解；B.由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布求解；C.由隨機(jī)變量服從分布求解；D.由隨機(jī)變量服從超幾何分布求解；【詳解】A.若隨機(jī)變量，則，故正確；B.若隨機(jī)變量，則，故正確；C.若隨機(jī)變量服從分布，且，則，故錯(cuò)誤；D.由隨機(jī)變量滿足，則，所以，故正確；故選：ABD10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的極大值大于0B．當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)C．，使在上是減函數(shù)D．，曲線的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為定值10.【答案】BD【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極大值即可判斷；對(duì)于B，由f'x≥0恒成立即可判斷；對(duì)于C，由解集能否為即可判斷；對(duì)于D，求出圖象的對(duì)稱中心即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令得或，由f'x>0，得或，由f'x<0，得，于是在，1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，極大值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，即f'x≥0恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得曲線y=fx的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，故D正確.故選：BD.11．中國(guó)結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原（成單純的二維線條，其中的數(shù)字“8”對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在xOy平面上，把與定點(diǎn)，距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.曲線C是當(dāng)時(shí)的雙紐線，P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 B．OP的最大值是C．面積的最大值為2 D．的取值范圍是11.【答案】BCD【分析】根據(jù)雙紐線的定義求出曲線的方程，逐一判斷各選項(xiàng)的真假即可.【詳解】設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，根據(jù)雙紐線的定義可得：，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，對(duì)于A：整理可得：，則，可得，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，所以，所以，即曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為，故B正確；對(duì)于C：，令，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以面積的最大值為，故C正確；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，所以，所以的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。其中14題第一空2分，第二空3分。12．橢圓（）的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若直線與以為圓心半徑為的圓相切，則橢圓離心率等于.12.【答案】【分析】求出直線的方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離得到方程，求出，求出離心率.【詳解】依題意，，，，所以直線的方程為：，又直線與以為圓心半徑為的圓相切，故，即，，方程兩邊同除以得，解得或，又橢圓的離心率，所以.故答案為：13．若直線（為常數(shù)）與曲線，曲線均相切，則.13.【答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，根據(jù)兩直線相等，列方程可得，進(jìn)而代入在直線上，求解.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)直線與fx=lnx的切點(diǎn)為，則切線方程為，即，又因?yàn)?，所以解得，所以切線方程為，因?yàn)?，所以，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，所以①，又因?yàn)榍悬c(diǎn)在直線上，所以②，由①和②可得，所以，解得.故答案為：14．在甲?乙?丙?丁四人踢毽子游戲中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢給另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢給丙，則此毽子是由乙踢出的概率為；第次踢出后，建子恰好踢給乙的概率為.14.【答案】/【分析】根據(jù)條件概率公式之積可得第二次毽子由乙踢出的概率，再由若第次踢出后，建子恰好踢給乙，則第次踢出后，建子恰好不踢給乙，再由其踢給乙，即可得概率的遞推公式，進(jìn)而可得概率.【詳解】由已知接到前兩次踢出的毽子的情況有（乙，甲），（乙，丙），（乙，?。?，（丙，甲），（丙，乙），（丙，?。?，（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共種，設(shè)事件：第二次的毽子由丙接到，事件：第二次的毽子由乙踢出，丙接到，則，，則；設(shè)第次踢出后，建子恰好踢給乙的概率為，易知若第次踢出后，建子恰好踢給乙，則第次踢出后，建子恰好不踢給乙，再由其踢給乙，即，，且，則，即Pn?14是以則，即，故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．已知．(1)求角的大?。?2)若的角平分線與邊相交于點(diǎn)，，求的周長(zhǎng)．15.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，在由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，即可求出，從而得解；（2）根據(jù)等面積法得到，再由余弦定理得到，即可求出，從而求出周長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，?分），（2分），，（3分），即，（4分）即，∴．（5分）又B∈0,π；（6分，不寫B(tài)的范圍扣1分）（2）因?yàn)榈慕瞧椒志€與邊相交于點(diǎn)，所以，（7分）即，（8分）所以，所以，（9分）又由余弦定理，即，（10分）所以，（11分）解得或（舍去），（12分）所以.（13分）16．（15分）已知雙曲線的離心率為2，實(shí)軸的左?右頂點(diǎn)分別為，虛軸的上?下頂點(diǎn)分別為，且四邊形的面積為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與交于兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.【答案】(1)(2)【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)確定四邊形是菱形，結(jié)合，，的關(guān)系，解方程可得，，，進(jìn)而得到雙曲線方程；（2）由得到，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、斜率公式即可求解.【詳解】（1）由雙曲線的幾何性質(zhì)可知，四邊形是菱形，且，（1分）四邊形的面積為，①（2分）又離心率為，②（3分）聯(lián)立①②可得，（4分）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（5分）（2）設(shè)，線段中點(diǎn)，聯(lián)立消去整理可得，（6分），即且①，（7分）.（8分）.（9分）.（10分），（11分）②，（12分）又③，（13分）由①②③得或，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（15分）17．（15分）已知：斜三棱柱中，，與面所成角正切值為，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，且點(diǎn)向平面所作投影在內(nèi)．(1)求證：；(2)為棱上一點(diǎn)，且二面角為，求的值．17.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取線段的中點(diǎn)，連接、，證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出平面，可知直線與平面所成的角為，根據(jù)已知條件求出、的長(zhǎng)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：取線段的中點(diǎn)，連接、，在斜三棱柱中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，且，（1分）因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，（2分）又因?yàn)?，則，因?yàn)椋瑒t，（3分）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，（4分）因?yàn)椋?、平面，所以，平面，?分）因?yàn)槠矫?，所以?（6分）（2）解：由（1）可知，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，則，又因?yàn)?，，、平面，則平面，（7分）所以，直線與平面所成的角為，所以，，則，因?yàn)椋傻?，，因?yàn)?，則，，所以，，則，（8分）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，則，即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)、，（9分）設(shè)，其中，則，且，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，（11分）易知平面的一個(gè)法向量為，（12分）因?yàn)槎娼菫?，則，（13分）整理可得，（14分）因?yàn)?，解得，?（15分）18．（17分）已知函數(shù)(1)判斷曲線是否具有對(duì)稱性，若是，求出相應(yīng)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心，并加以說明；(2)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．18.【答案】(1)具有中心對(duì)稱，對(duì)稱中心為點(diǎn)(2)(3)證明見詳解【分析】（1）先求函數(shù)定義域，結(jié)合對(duì)稱性的定義分析證明；（2）分析可知f'x≥0（3）根據(jù)題意可得，，分析可得等價(jià)于，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)分析分析證明即可.【詳解】（1）令，等價(jià)于，解得，可知的定義域?yàn)?,2，（1分）因?yàn)?，?分）可知具有中心對(duì)稱，對(duì)稱中心為點(diǎn)1,0，顯然不為常函數(shù)，可知不具有軸對(duì)稱，所以y=fx具有中心對(duì)稱，對(duì)稱中心為點(diǎn)1,0.（2）因?yàn)?，則，（4分）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則f'x≥0在0,2又因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，（6分）可得，解得，所以的取值范圍為.（7分）（3）由題意可得：，（8分）令，解得，可知，，令，則，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；（9分）可知Fx在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，（10分）且當(dāng)趨近于0時(shí)，F(xiàn)x趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，F(xiàn)x趨近于0，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，可知與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，即；（11分）又因?yàn)椋瑑墒较鄿p可得，兩式相加可得，（12分）不妨設(shè)，令，可得，又因?yàn)?，等價(jià)于，等價(jià)于，（13分）構(gòu)建，則，（14分）構(gòu)建，則，（15分）可知在1,+∞上單調(diào)遞增，則，即，（16分）可知在1,+∞上單調(diào)遞增，則，即，所以.（17分）19．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)列中的3個(gè)相鄰的點(diǎn)滿足，則稱關(guān)于的方程是的特征方程，將方程的實(shí)數(shù)根稱為的特征根．已知，點(diǎn)列的特征根為1和．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若是公差為的等差數(shù)列，且各項(xiàng)都為正整數(shù)，和是已知的常數(shù)，求點(diǎn)列的特征根．19.【答案】(1)，(2)(3)和【分析】（1）根據(jù)特征方程和特征根的定義求解即可；（2）由（1）