山東省濟南市歷城第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

山東省濟南市歷城第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)滿足：，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．設(shè)m，n，l是不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列說法，其中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．已知平面向量，，且，則（

）A．2 B．3 C．4 D．54．已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)是5，方差是4，則由，，和這四個數(shù)據(jù)組成的新數(shù)據(jù)組的方差是（

）A．16 B．14 C．12 D．115．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“出現(xiàn)的點數(shù)不超過3”，事件“出現(xiàn)的點數(shù)是3或6”．則事件A與B的關(guān)系為（

）A．事件A與B互斥 B．事件A與B對立 C．事件A與B獨立 D．事件A包含于B6．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則（

）A． B． C． D．為鈍角三角形7．在三棱錐中，，，，點P在平面上投影為A，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．在銳角中，角所對的邊分別為，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（

）A． B．，則C． D．10．已知點O在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若O為的外心，，則B．若O為的垂心，，則C．若，則與的面積之比為D．若，的面積為8，則的面積為1411．已知直三棱柱中，，點分別為棱的中點，是線段上（包含端點）的動點，則下列說法正確的是（

）A．直三棱柱外接球的半徑為2B．三棱錐的體積與的位置無關(guān)C．若為的中點，則過三點的平面截三棱柱所得截面為等腰梯形D．一只蟲子由表面從點爬到點的最近距離為三、填空題12．有一個多邊形水平放置的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示），，，，則原多邊形面積為．13．已知正四棱臺中，，若該四棱臺的體積為，則這個四棱臺的表面積為．14．已知平面向量，，滿足，，若，則的最小值為．四、解答題15．已知、、分別為三個內(nèi)角、、的對邊，.(1)求；(2)若，的面積為，求、.16．為普及抗疫知識?弘揚抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲?乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲?乙勝出的概率分別為，.甲?乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)從甲?乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲?乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.17．以簡單隨機抽樣的方式從某小區(qū)抽取戶居民用戶進行用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間，進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.(1)求直方圖中的值；(2)估計該小區(qū)居民用電量的平均值和中位數(shù)；(3)從用電量落在區(qū)間內(nèi)被抽到的用戶中任取戶，求至少有戶落在區(qū)間內(nèi)的概率.18．如圖所示，正四棱錐，，底面邊長，M為側(cè)棱PA上的點，且．(1)求正四棱錐的體積；(2)若為的中點，證明：平面；(3)側(cè)棱上是否存在一點E，使平面，若存在，求出；若不存在，請說明理由．19．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得創(chuàng)作的一部傳世巨著，該書以基本定義、公設(shè)和公理作為推理的出發(fā)點，第一次實現(xiàn)了幾何學(xué)的系繞化、條理化，成為用公理化方法建立數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范．書中第Ⅰ卷第47號命題是著名的畢達哥拉斯（勾股定理），證明過程中以直角三角形中的各邊為邊分別向外作了正方形（如圖1）．某校數(shù)學(xué)興趣小組對上述圖形結(jié)構(gòu)作拓廣探究，提出了如下問題，請幫忙解答．問題：如圖2，已知滿足，，設(shè)（），四邊形、四邊形、四邊形都是正方形．

(1)當(dāng)時，求的長度；(2)求長度的最大值．參考答案1．A【解析】先由求出復(fù)數(shù)，從而可求出其共軛復(fù)數(shù)，進而可得答案【詳解】解：由，得，所以，所以其在復(fù)平面對應(yīng)的點為，故選：A2．C【分析】由空間中直線與直線、直線與平面以及平面與平面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】對于A，由，與可能平行，相交或異面，故A錯誤；對于B，由，與可能平行或相交，故B錯誤；對于C，由線面平行的性質(zhì)定理可得，故C正確；對于D，由，則與可能平行或異面，故D錯誤.故選：C.3．C【分析】由向量的模的定義和向量垂直的性質(zhì)，求得，再由向量的平方即為模的平方，化簡計算可得所求值．【詳解】由平面向量，可得，由，可得，即，則，所以.故選：C．4．C【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得；【詳解】解：由已知得，，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以方差為，，故選：C．5．C【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件、獨立事件的定義進行判斷即可.【詳解】由題意可知：，因為，所以事件事件A與B不可能是互斥和對立，因為，，所以有，因此事件A與B獨立，故選：C6．D【分析】根據(jù)正弦定理求解或，再分類討論逐個判斷即可.【詳解】由正弦定理得，所以，因為，所以或，故三角形有兩種解，故ABC均錯誤，當(dāng)時，，為鈍角三角形，當(dāng)時，為鈍角三角形，故D正確.故選：D7．A【分析】在中由余弦定理求得，由題意平面，進而確定外接球球心，由球心與相關(guān)點的位置關(guān)系求球的半徑，最后求表面積即可.【詳解】如圖，在中，由余弦定理，，，，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理，，則，設(shè)外接球的球心為，半徑為，的外接圓的圓心為，由題可得平面，而平面，過點作，交于點，連接，則，易得矩形，則，在直角三角形中，，解得，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：A.

8．A【分析】由正弦定理和兩角和與差的正弦公式可得，則，由為銳角三角形，求出的范圍，結(jié)合在上單調(diào)遞增，即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得：，，即，即，即，即，所以或（舍去），所以，則，因為為銳角三角形，所以，即，解得：，因為在上單調(diào)遞增，由，可得，所以.故選：A.9．AC【分析】對A，由虛數(shù)單位的次方規(guī)律求解判斷；對B，由復(fù)數(shù)的虛部不為0時，復(fù)數(shù)不能比較大小判斷；對C，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)的模計算公式求解判斷；對D，舉反例說明.【詳解】對于A，因為的取值是以4為周期，所以，故A正確；對于B，當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部不為0時，復(fù)數(shù)不能比較大小，如，，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，所以，故C正確；對于D，舉反例，如，則，而，故D錯誤.故選：AC.10．BD【分析】對A，利用向量線性運算可得，根據(jù)向量數(shù)量積運算律求解判斷；對B，由，結(jié)合得解；對C，由奔馳定理得解；對D，將條件式利用向量運算轉(zhuǎn)化為，再由奔馳定理得解.【詳解】對于A，由，，則，，故A錯誤；對于B，由，又，所以，故B正確；對于C，因為，由奔馳定理可得，故C錯誤；對于D，由，則,即，由奔馳定理可得，又，則，故D正確.故選：BD.11．ABD【分析】借助長方體判斷A；利用等體積法判斷B；通過中位線證明截面為梯形，利用勾股定理求出兩腰，進而判斷C；分情況討論，比較最短距離，可判斷D.【詳解】對于A，因為，三棱柱為直三棱柱，

如圖，故該三棱柱為長方體的一半，如圖：所以直三棱柱外接球即為長方體外接球，因為，所以其外接球半徑為，故A正確；對于B，如圖：

，因為分別為的中點，所以，又點在上，所以到的距離為定值，故的面積為定值，故三棱錐的體積與的位置無關(guān)，故B正確；對于C，如圖，連接，

因為分別為的中點，所以，且，又因為，且，所以，且，過三點的平面截三棱柱所得截面為梯形，又，所以，所以，所以,所以，所以四邊形不是等腰梯形，故C錯誤；對于D，若一只蟲子由表面從點經(jīng)過爬到點，如圖1，則爬過的最小距離：為；

若一只蟲子由表面從點經(jīng)過爬到點，如圖2，則爬過的最小距離為：；

若一只蟲子由表面從點經(jīng)過爬到點，如圖3，則爬過的最小距離為：，

若一只蟲子由表面從點經(jīng)過爬到點，如圖4，過作，交于點，因為為中點，所以，所以，在中，則爬過的最小距離為：，

故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項關(guān)鍵要找出蟲子的幾條路線，然后分別求最短距離.12．/【分析】根據(jù)所給的直觀圖中直角梯形的數(shù)據(jù)求出梯形面積，根據(jù)原來的平面圖形面積是直觀圖面積的倍，求出平面圖形的面積.【詳解】因為直角梯形，，所以直觀圖的面積是因為原來的平面圖形面積是直觀圖面積的倍，所以平面圖形的面積是故答案為：13．【分析】利用正四棱臺體積公式得到正四棱臺的高，進而由勾股定理可得斜高，從而求得各面積，由此得解.【詳解】如圖所示：設(shè)分別為底面的中心，分別為的中點，且有，

設(shè)正四棱臺的上底面面積、下底面面積、側(cè)面積分別為、、，由，即得，，所以，，又及，所以有，解得.由勾股定理可得斜高，所以，從而.故答案為：.14．2【分析】根據(jù)已知的向量數(shù)量積等式，利用向量投影的性質(zhì)得出投影向量長度，再結(jié)合向量垂直的條件構(gòu)建幾何關(guān)系，進而分析的最小值情況.【詳解】不妨固定向量，，的起點為同一點，因為，由向量投影的性質(zhì)，在方向上的投影向量的長度為1．由，可知，故在向量方向上的投影向量的長度為1．又因為，所以，，可以圍成如圖所示的直角三角形，由圖知，當(dāng)與的夾角為時，平行于，此時取得最小值2．故答案為：2.15．(1)(2)【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；（2）由三角形面積公式結(jié)合余弦定理可得．【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，變?yōu)?，即，也即，所以．整理，得，即，所以，所以，則．（2）由，，得．由余弦定理，得，則，所以．則．16．(1)派甲參賽獲勝的概率更大(2)【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率分別計算甲、乙比賽勝出的概率比較即可得解；（2）考慮問題的對立面，計算兩人都沒有贏得比賽的概率，根據(jù)對立事件的概率之和為1即可得解.【詳解】（1）設(shè)“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，，，，同理因為，所以，派甲參賽獲勝的概率更大.（2）由（1）知，設(shè)“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，；于是“兩人中至少有一人贏得比賽”..17．(1)(2)平均值為，中位數(shù)為(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小長方形的面積之和為1即可求解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和，而中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等即可求解；（3）利用頻率分布直方圖中頻數(shù)、頻率和樣本容量的關(guān)系，結(jié)合古典概型的計算公式即可求解.【詳解】（1）由，得（2）平均值，∵用電量落在區(qū)間的頻率之和為，∴中位數(shù)落在區(qū)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得.（3）由題頻率分布直方圖可知，用電量落在區(qū)間的用戶有戶，記為，用電量落在區(qū)間用戶有戶，記為，記事件“至少有1戶落在區(qū)間內(nèi)”.∴從，中這6個元素中任取2個元素的樣本空間，，，，，，，，，，，，，，，共有個樣本點，，，，，，，，，，共有個樣本點，∴，即至少有戶落在區(qū)間內(nèi)的概率為.18．(1)(2)證明見解析(3)存在，【分析】（1）根據(jù)體積公式可求幾何體的體積；（2）連，交于，可證，故可證平面；（3）存在，，此時作中點，連結(jié)，，，可證平面平面，故可得平面.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，則平面．中，，，，所以．（2）由正方形可得為的中點，而，，又平面，平面，平面．（3）存在，．理由如