第八單元圖形數(shù)形圖式規(guī)律綜合專項練習(xí)-六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題人教版

20232024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列第八單元：圖形、數(shù)形、圖式規(guī)律綜合專項練習(xí)一、填空題。1．根據(jù)圖中四幅圖的規(guī)律，第5幅圖中有()個●，第n幅圖中有()個△。

【答案】162n－1【分析】第一幅圖有（1－1）×（1－1）（個）●；第二幅圖有（2－1）×（2－1）（個）●；第三幅圖有（3－1）×（3－1）（個）●；.....第5幅圖有（5－1）×（5－1）（個）●。第一幅圖有（2×1－1）（個）O；第二幅圖有（2×2－1）（個）O；第三幅圖有（2×3－1）（個）O；??第n幅圖中的△照此規(guī)律即可求。【詳解】第5幅圖中●的個數(shù)為：（5－1）×（5－1）＝4×4＝16則第5幅圖中有16個●，第n幅圖中有（2n－1）個△?！军c睛】仔細(xì)觀察，比較總結(jié)出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。2．如下圖，一些小球按這樣的方式堆放，第5堆有()個小球。

【答案】15【分析】觀察可知，小球個數(shù)＝（第幾堆小球就用幾＋1）×幾÷2，據(jù)此列式計算?！驹斀狻浚?＋1）×5÷2＝6×5÷2＝15（個）第5堆有15個小球?！军c睛】數(shù)和圖形的規(guī)律是相對應(yīng)的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數(shù)的排列就有相應(yīng)的變化規(guī)律。3．觀察如圖的變化規(guī)律，回答問題。用同樣長的小棒擺第20個圖形需要()根小棒；照這樣擺下去，第24個圖形形狀是()形。【答案】41平行四邊【分析】擺一個三角形需3根小棒；擺2個三角形需（4＋1）根小棒；擺3個三角形需（6＋1）根小棒……擺n個三角形需（2n＋1）根小棒；擺第20個圖形就有20個三角形，需要的小棒數(shù)量即可求。順序數(shù)是偶數(shù)的圖形是平行四邊形。據(jù)此解答?！驹斀狻繑[一個三角形需3根小棒；擺2個三角形需（4＋1）根小棒；擺3個三角形需（6＋1）根小棒……擺n個三角形需（2n＋1）根小棒，用同樣長的小棒擺第20個圖形需小棒：2×20＋1＝40＋1＝41（根）又知順序數(shù)是偶數(shù)的圖形是平行四邊形，那么第24個圖形是平行四邊形?！军c睛】考查數(shù)與形的相關(guān)知識，重點是能夠發(fā)現(xiàn)圖形之間的數(shù)量關(guān)系，以及增長的規(guī)律。4．觀察下面每個圖形中灰色小正方形的個數(shù)。照這樣接著畫下去，第10個圖形中有()個灰色小正方形?！敬鸢浮?1【分析】圖1是邊長為1＋1＝2的正方形，灰色小正方形個數(shù)等于邊長的2倍減掉共同頂點處的1個即2×2－1＝3個；圖2是邊長為2＋1＝3的正方形，灰色小正方形個數(shù)等于邊長的2倍減掉共同頂點處的1個即3×2－1＝5個；圖3是邊長為3＋1＝4的正方形，灰色小正方形個數(shù)等于邊長的2倍減掉共同頂點處的1個即4×2－1＝7個；同理第4圖灰色小正方形個數(shù)等于5×2－1＝9個，據(jù)此規(guī)律解答。【詳解】根據(jù)分析，圖10是邊長為10＋1＝11的正方形，灰色小正方形個數(shù)等于邊長的2倍減掉共同頂點處的1個。11×2－1＝22－1＝21（個）照這樣接著畫下去，第10個圖形中有（21）個灰色小正方形。【點睛】考查應(yīng)用數(shù)形結(jié)合探求規(guī)律，本題規(guī)律是：第n圖的邊長是（n＋1），灰色小正方形個數(shù)等于2（n＋1）－1。5．如圖，3個杯子疊起來高16cm，5個杯子疊起來高22cm，照這樣計算，10個杯子疊起來高()cm，()個杯子疊起來高55cm。【答案】3716【分析】5個杯子比3個杯子多2兩個，多出來了6cm，所以增加一個杯子就增加3厘米，3個杯子總高度是16厘米，每增加一個杯子增加3厘米，所以第一個杯子的高度是10厘米，此后每增加一個杯子就增加3厘米，所以10個杯子的時候，是增加了9個3厘米，所以10個杯子的高度是10＋3×9，總高度是55厘米，也就是增加了45厘米，45里面有15個3厘米，所以在第一個杯子的基礎(chǔ)上增加了15個杯子，因此一共有16個杯子?！驹斀狻?2－16＝6（cm）6÷2＝3（cm）10＋3×9＝10＋27＝37（cm）55－10＝45（cm）45÷3＝15（個）15＋1＝16（個）所以10個杯子疊起來高37cm，16個杯子疊起來高55cm?！军c睛】考查數(shù)與形的相關(guān)知識，重點要知道第一個杯子的高度是多少，每增加一個杯子高度增加多少。6．找規(guī)律。按上面的規(guī)律依次擺下去，擺第5個圖形需要()個，擺第10個圖形需要()個，擺第n個圖形需要()個。【答案】25100n2【分析】通過觀察圖形可知，第1幅圖有1個圓形，第2幅圖有（2×2）個圓形，第3幅圖有（3×3）個圓形，第4幅圖有（4×4）個圓形……所以第n幅圖有（n×n）個圓形。據(jù)此解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，5×5＝25（個）10×10＝100（個）n×n＝n2（個）擺第5個圖形需要25個，擺第10個圖形需要100個，擺第n個圖形需要n2個?！军c睛】本題主要考查圖形的規(guī)律，明確第n幅圖的圓形數(shù)是（n×n）。7．聰聰周末用小棒搭房子的游戲（如下圖），搭一間房子用5根小棒，搭2間房用9根小棒，像這樣搭3間房子用()根小棒，搭4間用()根小棒，搭n間房子用()根小棒。

【答案】1317【分析】第一個房子用了5根小棒，兩間房子比一間房子多了4根小棒，三間房子比兩間房子也多4根小棒，所以可以發(fā)現(xiàn)每增加一間房子就增加4根小棒，所以3間房子用的小棒根數(shù)就是9＋4，4間房子需要13＋4根小棒，當(dāng)搭建n間房子的時候，比一間房子多n－1個4根小棒，所以n間房子需要5＋4（n－1）根小棒?！驹斀狻?＋4＝13（根）13＋4＝17（根）5＋4（n－1）＝5＋4n－4＝（根）搭一間房子用5根小棒，搭2間房用9根小棒，像這樣搭3間房子用13根小棒，搭4間用17根小棒，搭n間房子用（4n＋1）根小棒?！军c睛】考查數(shù)與形的相關(guān)知識，重點是要觀察每增加一間房子增加了幾根小棒，找出圖形之間的變化規(guī)律。8．用小棒按下圖方式搭圖形。（第一個圖形用6根小棒搭成），第10個圖形需用()根小棒，第n個圖形需要()根小棒。【答案】424n＋2/2＋4n【分析】看圖，第一個圖形用2＋4×1＝6（根）小棒搭成，第2個圖形用2＋4×2＝10（根）小棒搭成，第3個圖形用2＋4×3＝14（根）小棒搭成，每次搭成的圖形在上個圖形的基礎(chǔ)上增加4根小棒。那么，第10個圖形需要用（2＋4×10）根小棒，第n個圖形需要用（2＋4×n）根小棒?！驹斀狻?＋4×10＝2＋40＝42（根）2＋4×n＝2＋4n＝4n＋2所以，第10個圖形需用42根小棒，第n個圖形需要（4n＋2）根小棒。【點睛】本題考查了數(shù)與形，有一定觀察總結(jié)能力是解題的關(guān)鍵。9．如圖所示，照這樣擺8個三角形要小棒()根，擺n個三角形要小棒()根。

【答案】172n＋1【分析】觀察圖形，擺1個三角形需要3根小棒，擺2個三角形需要（3＋2）根小棒，擺3個三角形需要（3＋2×2）根小棒，依次類推，算出擺8個三角形需要的小棒數(shù)。從而得出擺n個三角形需要根小棒。據(jù)此解答?！驹斀狻?＋2×7＝3＋14＝17（根）＝3＋2n－2＝（2n＋1）根即照這樣擺8個三角形要小棒17根，擺n個三角形要小棒（2n＋1）根?！军c睛】根據(jù)題干中已知的圖形的排列特點及其數(shù)量關(guān)系，推理得出一般的結(jié)論進(jìn)行解答，是此類問題的關(guān)鍵。10．按照下圖所示的規(guī)律繼續(xù)擺，第5個圖案需要()枚棋子；第n個圖案需要()個枚棋子?！敬鸢浮?12n＋1【分析】觀察圖形可知，第1個圖案有（1＋2）枚棋子，第2個圖案有（1＋2＋2）枚棋子，第3個圖案有（1＋2＋2＋2）枚棋子，以此類推，第n個圖案有（1＋2n）枚棋子，據(jù)此解答。【詳解】根據(jù)題意可知，第n個圖案的棋子有：1＋2×n＝（1＋2n）枚當(dāng)n＝5時，1＋2×5＝1＋10＝11（枚）第5個圖案需要11枚棋子；第n個圖案需要（2n＋1）個枚棋子?！军c睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，關(guān)鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運用規(guī)律做題。二、解答題。11．像下圖那樣用小棒擺三角形，請你算一算。擺10個三角形用多少根小棒？擺n個三角形呢？【答案】21根；（2n＋1）根【分析】根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)：擺1個三角形需要小棒：（1＋2）根；擺2個三角形需要小棒：（1＋2＋2）根；擺3個三角形需要小棒：（1＋2＋2＋2）根；依次類推……擺n個三角形需要小棒：（2×n＋1）根。據(jù)此解答?！驹斀狻繑[n個三角形需要小棒：2×n＋1＝（2n＋1）根當(dāng)n＝10時，2×10＋1＝20＋1＝21（根）答：擺10個三角形用21根小棒；擺n個三角形用（2n＋1）根小棒。【點睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，關(guān)鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運用規(guī)律做題。12．用火柴棒搭六邊形。（1）m＝__________。（2）用2016根火柴棒能搭成多少個六邊形？【答案】（1）（5n＋1）根；（2）403個【分析】（1）觀察圖形，第一個六邊形需要6根火柴棒，第二個六邊形需要（6＋5）根火柴棒，第三個六邊形需要（6＋5×2）根火柴棒，第四個六邊形需要（6＋5×3）根火柴棒，依次類推，第個六邊形需要根火柴棒。據(jù)此表示出m的值。（2）把火柴棒的根數(shù)2016根代入到上述公式中，利用等式的性質(zhì)，解方程，即可求出能搭成多少個六邊形?！驹斀狻浚?）＝＝＝（5n＋1）根所以m＝（5n＋1）根（2）5n＋1＝2016解：5n＝2016－15n＝2015n＝2015÷5n＝403答：用2016根火柴棒能搭成403個六邊形。【點睛】此題的解題關(guān)鍵是利用數(shù)與形的結(jié)合，通過觀察圖形，把圖形中變化的規(guī)律轉(zhuǎn)化成數(shù)字，多多練習(xí)，培養(yǎng)數(shù)感。13．某機器有依次排列的5盞燈，每盞燈可發(fā)出紅色的光（用■表示），不同位置上的燈光表示一個具體的數(shù)，下面是四種情況所表示的數(shù)?！觥酢酢酢酢?；□■□□□→2；■■■□□→7＝1＋2＋4；■□■□■→21＝1＋4＋16（1）通過觀察比較發(fā)現(xiàn)：5盞燈中最中間的一盞燈為紅色時表示的數(shù)是（

）。（2）根據(jù)上面的規(guī)律，算出下面兩種情況所表示的數(shù)。（直接填結(jié)果）□□■■■→（

）■■□■□→（

）（3）根據(jù)下面數(shù)的大小，涂出相應(yīng)紅燈的位置?！酢酢酢酢酢?

□□□□□→13【答案】（1）4；（2）28；11；（3）見詳解【分析】（1）由已知的四種情況可知有以下規(guī)律：左起第一盞發(fā)出紅光表示1，后面每一盞燈發(fā)出紅光時表示的數(shù)是前一盞燈的2倍，當(dāng)幾盞燈同時發(fā)出紅光時表示的數(shù)是這幾盞燈分別表示的數(shù)的和；（2）根據(jù)第（1）題的規(guī)律，第1個涂色表示1，第2個涂色表示2，第3個涂色表示4，第4個涂色表示8，第5個涂色表示16，根據(jù)此規(guī)律按題目要求把已經(jīng)涂色的紅燈表示的數(shù)相加即可得解；（3）根據(jù)6＝2＋4，把第2個和第3個涂色，根據(jù)13＝1＋4＋8，把第1個、第3個和第4個方框涂色，據(jù)此解答即可。【詳解】（1）1×2＝22×2＝44×2＝88×2＝16所以5盞燈中最中間的一盞燈為紅色時表示的數(shù)是4。（2）4＋8＋16＝281＋2＋8＝11所以□□■■■→28，■■□■□→11。（3）6＝2＋413＝1＋4＋8所以發(fā)紅光的燈的位置如下：□■■□□→6■□■■□→13【點睛】解答此題的關(guān)鍵在于通過已知的例子找出每盞燈發(fā)紅光時表示的數(shù)，再根據(jù)規(guī)律解答。14．下圖是由火柴棒擺成的圖形，第n個圖形是由n個正方形組成。請思考下列問題。（1）像這樣擺下去，第n個圖形中有（

）根火柴棒。（2）當(dāng)時，用第（1）題的式子計算出擺21個正方形需要的火柴棒數(shù)?！敬鸢浮浚?）（2）64根【分析】（1）擺一個圖形需要4根火柴棒，可以寫成3×1＋1；擺2個圖形需要7根火柴棒，可以寫成3×2＋1；擺三個圖形需要10根火柴棒，可以寫成3×3＋1…；由此可以推理得出一般規(guī)律解答問題；（2）當(dāng)n＝21時，代入算式，求出需要火柴棒的數(shù)量?！驹斀狻浚?）根據(jù)分析可知，擺一個圖形需要火柴棒的數(shù)量：（3×1＋1）根擺二個圖形需要火柴棒的數(shù)量：（3×2＋1）根擺三個圖形需要火柴棒的數(shù)量：（3×3＋1）根由此可知擺n圖形需要火柴棒的數(shù)量：（3n＋1）根（2）當(dāng)n＝21時3×21＋1＝63＋1＝64（根）答：擺21個正方形需要64個火柴棒。【點睛】根據(jù)題干中已知圖形排列特點以及數(shù)量關(guān)系，推理得出一般結(jié)論進(jìn)行解答是此類問題的關(guān)鍵。15．觀察下面的點陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律。（1）在④和⑤后面的橫線上分別寫出相應(yīng)的等式；①；②；③；④______________；⑤______________；…（2）如果這樣排列下去，第10個圖形中有多少個圓點？【答案】（1）；；（2）100個【分析】（1）根據(jù)所給圖形即可得到所填的式子；（2）從題意分析可得，從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和等于數(shù)個數(shù)的平方，用n表示第n個圖形以及數(shù)的個數(shù)，對應(yīng)的等式規(guī)律為：1＋3＋5＋…＋（2n?1）＝n2，根據(jù)找出的規(guī)律可得第10個圖形對應(yīng)的等式?！驹斀狻浚?）；（2）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝102＝100答：如果這樣排列下去，第10個圖形中有100個圓點?！军c睛】此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵。16．小華用吸管和圖釘釘三角形圖案。（如下圖）（1）請根據(jù)釘三角形圖案時，三角形與圖釘?shù)臄?shù)量關(guān)系填寫下表。三角形的個數(shù)123456圖釘?shù)膫€數(shù)345（

）（

）（

）吸管的根數(shù)357（

）（

）（

）（2）照這樣接著做，用23個圖釘時釘成的圖案中有（

）個三角形，用了（

）根吸管。（3）請你寫出三角形的個數(shù)與圖釘個數(shù)的數(shù)量關(guān)系。（4）你還能提出什么數(shù)學(xué)問題？請?zhí)岢霾⒔獯稹！敬鸢浮浚?）6；7；8；9；11；13（2）21；43（3）設(shè)三角形的個數(shù)為n，則圖釘?shù)膫€數(shù)＝n＋2（4）提問：吸管的根數(shù)與三角形的個數(shù)間有什么關(guān)系；吸管根數(shù)＝2×三角形個數(shù)＋1【分析】（1）由圖可知，可以看出隨著三角形個數(shù)每次增加1，圖釘個數(shù)也每次增加1，并且每次增加1個圖釘?shù)耐瑫r，會增如2根吸管；（2）根據(jù)規(guī)律可知，當(dāng)圖釘為23個時，需要43根吸管，有21個三角形；（3）看表1，圖釘與三角形的個數(shù)始終相差2，所以三角形的個數(shù)＋2＝圖釘?shù)臄?shù)量；（4）如圖中表所示，可看出每次增加的吸管根數(shù)始終是三角形個數(shù)的2倍＋1，所以吸管根數(shù)＝2×三角形個數(shù)＋1?！驹斀狻浚?）三角形的個數(shù)123456圖釘?shù)膫€數(shù)345678吸管的根數(shù)35791113（2）當(dāng)圖釘為23個時，需要43根吸管，有21個三角形；（3）可以設(shè)三角形的個數(shù)為n，則圖釘?shù)膫€數(shù)＝n＋2；（4）提問：吸管的根數(shù)與三角形的個數(shù)間有什么關(guān)系？吸管根數(shù)＝2×三角形個數(shù)＋1（答案不唯一）【點睛】本題考查的是根據(jù)已知找規(guī)律并進(jìn)行解答。17．用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：（1）第8個圖形中有多少顆黑色棋子？（2）第幾個圖形中有303顆黑色棋子？【答案】（1）27顆（2）100個【分析】第1圖形有黑色棋子的顆數(shù)：6＝1×3＋3；第2圖形有黑色棋子的顆數(shù)：9＝2×3＋3；第3圖形有黑色棋子的顆數(shù)：12＝3×3＋3；第4圖形有黑色棋子的顆數(shù)：15＝4×3＋3；……第n圖形有黑色棋子的顆數(shù)：n×3＋3。【詳解】（1）8×3＋3＝24＋3＝27（顆）答：第8個圖形中有27顆黑色棋子。（2）（303－3）÷3＝300÷3＝100（個）答：第100個圖形中有303顆黑色棋子?！军c睛】解題關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，再靈活運用規(guī)律解答。18．現(xiàn)有若干個圓環(huán)，它的外直徑是5厘米，環(huán)寬是0.5厘米，將它們（如下圖）扣在一起，拉緊后測量其長度，請完成表格。圓環(huán)個數(shù)123456……拉緊后的長度/cm（1）請完成表格。（2）根據(jù)表中規(guī)律，11個圓環(huán)拉緊后的長度是多少厘米？（3）設(shè)圓環(huán)的個數(shù)為a，拉緊后的總長度為S，你能用一個關(guān)系式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？（4）若拉緊后的長度是77厘來，則它是由多少個圓環(huán)扣成的？【答案】（1）見詳解（2）45厘米（3）S＝1＋4a；（4）19個【分析】（1）根據(jù)題干可知，1個圓環(huán)的長度是5厘米，以后每增加一個圓環(huán)，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格，（2）觀察上表格可得：當(dāng)有n個圓環(huán)，拉緊后的總長度就是：1＋4n厘米，由此進(jìn)行解答；（3）依據(jù)上面規(guī)律，代入數(shù)據(jù)即可得出用字母a、S表示的關(guān)系式；（4）設(shè)有n個圓環(huán)扣成的，由上面得出的關(guān)系式即可得出一個方程，解方程即可?！驹斀狻浚?）1個圓環(huán)的長度是5厘米，以后每增加一個圓環(huán)，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格：圓環(huán)個數(shù)123456……拉緊后的長度/cm5913172125……（2）觀察上表格可得：當(dāng)有n個圓環(huán)，拉緊后的總長度就是：1＋4n厘米，所以，當(dāng)n＝11時，總長度為：1＋11×4＝1＋44＝45（厘米）答：11個圓環(huán)拉緊后的長度是45厘米。（3）設(shè)圓環(huán)的個數(shù)為a，拉緊后的總長度為S，則可得圓環(huán)與拉緊后的總長度的關(guān)系式：S＝0.5×2＋（5－0.5×2）a＝1＋4a答：關(guān)系式為：S＝＝1＋4a（4）解：設(shè)圓環(huán)的個數(shù)為x，根據(jù)上面關(guān)系式可得：1＋4x＝774x＝76X＝19答：是由19個圓環(huán)扣成的?！军c睛】此題考查是的找規(guī)律，正確找出規(guī)律并用規(guī)律解決問題是解題關(guān)鍵。19．（1）按這樣的規(guī)律擺下去，第n個圖形需要多少個●？（2）按上面的規(guī)律，擺第幾個圖形需要用200個●？【答案】（1）4n個（2）50個【分析】第1個圖形中有●的個數(shù)：4個，4＝1×4；第2個圖形中有●的個數(shù)：8個，8＝2×4；第3個圖形中有●的個數(shù)：12個，12＝3×4；……第n個圖形中有●的個數(shù)：4n個?！驹斀狻浚?）4