高中數(shù)學(xué)北師大版講義(必修二)第01講1.1周期變化7種常見考法歸類(學(xué)生版+解析)

1.1周期變化7種常見考法歸類課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解周期性的概念和幾何意義1.了解現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象，能判斷簡單的實(shí)際問題中的周期.2.初步了解周期函數(shù)的概念，能判斷簡單的函數(shù)的周期性.知識(shí)點(diǎn)01周期函數(shù)1．周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，x∈D，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)任意的x∈D2．最小正周期：如果在周期函數(shù)y＝f(注：(1)周期函數(shù)的周期不是唯一的，如果T是函數(shù)f(x)(2)只有個(gè)別x值或只差個(gè)別的x值滿足f(x+T)＝【即學(xué)即練1】【多選】下列函數(shù)圖象中具有周期性的是（

）A． B．C． D．【即學(xué)即練2】函數(shù)滿足，那么，它是以為周期的函數(shù)嗎？知識(shí)點(diǎn)02抽象函數(shù)的周期性函數(shù)周期性問題應(yīng)牢牢把握周期函數(shù)的定義，并掌握一些常見的確定函數(shù)周期的條件。類型周期函數(shù)f(x)滿足的條件周期常見周期函數(shù)模型f|a|f(x＋a)＝f(x－a)2|a|f(x＋a)＝－f(x)2|a|f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)2|a|f(x＋a)＝eq\f(1,fx)2|a|f3|f3|4|a|2|a|fTfTfT奇偶性與周期性的綜合偶函數(shù)，關(guān)于直線x＝a對(duì)稱2|a|偶函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱4|a|奇函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱2|a|奇函數(shù)，關(guān)于直線x＝a對(duì)稱4|a|對(duì)稱性與周期性的綜合注：雙對(duì)稱必周期，“同二異四”關(guān)于直線x＝a與x＝b對(duì)稱2|b－a|關(guān)于點(diǎn)(a,0)與點(diǎn)(b,0)對(duì)稱2|b－a|關(guān)于直線x＝a與點(diǎn)(b,0)對(duì)稱4|b－a|【即學(xué)即練3】設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足，若，則A． B． C． D．【即學(xué)即練4】已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．1 D．9知識(shí)點(diǎn)03周期性的應(yīng)用（1）函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個(gè)周期的性質(zhì)，則得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì).（2）圖像：只要做出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行復(fù)制粘貼.（3）單調(diào)性：由于間隔kT(k∈Z)的函數(shù)圖象相同，所以若函數(shù)y=f(x)在(a,b)(b-a≤T)上單調(diào)增(減),則y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上單調(diào)增(減).注：奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號(hào)作用?！炯磳W(xué)即練5】設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)有，又當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【即學(xué)即練6】函數(shù)是在R上的周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練7】若偶函數(shù)對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，，則．【即學(xué)即練8】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D． 題型一：周期現(xiàn)象及應(yīng)用例1.（2023下·高一校考課時(shí)練習(xí)）下列現(xiàn)象是周期現(xiàn)象的是（

）①日出日落；②潮汐；③海嘯；④地震A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④變式1．（2023下·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）下列變化中不是周期變化的是（

）A．春去春又回 B．太陽東升西落C．天干地支表示年、月、日的時(shí)間順序 D．某同學(xué)每天放學(xué)回到家的時(shí)間變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如果今天是星期三，那么，天后的那一天是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六變式3．【多選】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）按照規(guī)定，奧運(yùn)會(huì)每4年舉行一次.2008年夏季奧運(yùn)會(huì)在北京舉辦，那么下列年份中舉辦夏季奧運(yùn)會(huì)的應(yīng)該是（）A．2023 B．2024 C．2026 D．2032變式4．（2023下·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）十字路口處紅綠燈亮滅的情況如下：1分鐘亮綠燈；接著10秒亮黃燈；再接著1分鐘亮紅燈；10秒亮黃燈；1分鐘亮綠燈；10秒亮黃燈，……，則某人開始亮綠燈時(shí)，過路口，10分鐘后又到此路口，此時(shí)應(yīng)該亮燈．變式5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）四個(gè)小動(dòng)物換座位，開始是猴、兔、貓、鼠分別坐在①、②、③、④號(hào)位置上(如圖)，第1次前后排動(dòng)物互換位置，第2次左右列互換座位……這樣交替進(jìn)行下去，那么第2023次互換座位后，小兔的位置對(duì)應(yīng)的是（

）A．編號(hào)① B．編號(hào)②C．編號(hào)③ D．編號(hào)④【方法技巧與總結(jié)】一些變化是不是周期變化，其判斷的依據(jù)是周期變化的特征，即每次都以相同的間隔出現(xiàn)，而且變化是無差別的重復(fù)出現(xiàn)．題型二：周期函數(shù)的判斷例2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)圖像中，不具有周期性的是（

）A． B．C． D．例3．【多選】（2023上·山東日照·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，例如.定義函數(shù)，則（

）A． B．函數(shù)是周期函數(shù)C．方程在僅有一個(gè)解 D．函數(shù)是增函數(shù)變式1．（2023上·山西晉中·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有，當(dāng)時(shí)，．(1)求證：是周期函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的解析式；(3)計(jì)算．【方法技巧與總結(jié)】判斷周期函數(shù)的方法，一般是根據(jù)定義。即對(duì)函數(shù)f(x)，如果存在常數(shù)T(T≠0)，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，均有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)是周期為T的周期函數(shù)。題型三：利用周期性求函數(shù)值例4．（2023上·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（）是以為最小正周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則．變式1．（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，則.變式2．（2023上·河北唐山·高三階段練習(xí)）設(shè)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．0 B．1 C． D．變式3．（2023下·江西贛州·高一校聯(lián)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．2 B．0 C．1 D．變式4．（2024上·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）已知定義在R上的函數(shù)滿足，，且，若，則（

）A．0 B． C．2 D．【方法技巧與總結(jié)】判斷函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期．(2)f(x＋a)＝1fx(a≠0)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，2(3)f(x＋a)＝－1fx(a≠0)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，2題型四：利用函數(shù)的周期性求函數(shù)解析式例5．（2023·全國·高三對(duì)口高考）函數(shù)的周期為，且當(dāng)時(shí)，，則，的解析式為．變式1．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）周期函數(shù)的圖象如圖．

(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)寫出函數(shù)的解析式．變式2．（2023上·湖南株洲·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．(1)證明：是周期函數(shù)．(2)若當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，的解析式．例6．（2023下·河南信陽·高一信陽高中校考期末）設(shè)是定義在上的周期為的偶函數(shù)，已知時(shí)，，則時(shí)，的解析式為（

）A． B．C． D．變式1．（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．變式2．（2023上·江西·高三寧岡中學(xué)校考期中）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】(1)遇到周期問題，要學(xué)會(huì)區(qū)間轉(zhuǎn)移，將未知區(qū)間中的x加減整周期，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，再將含x式子代入已知函數(shù)．(2)遇到周期性＋奇偶性綜合問題，可根據(jù)條件，求出一個(gè)周期上的函數(shù)關(guān)系．題型五：周期性與奇偶性的結(jié)合例7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知奇函數(shù)y=f(x)(x∈R)，且f(x)=f(x+4)，f(1)=2，則函數(shù)f(x)的周期為，f(2)+f(3)+f(4)=.變式1．（2023下·河南·高三階段練習(xí)）已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為.變式2．（2023下·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)以為周期，則．變式3．（2023上·廣東梅州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有．當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)計(jì)算．變式4．（2023上·寧夏·高三隆德縣中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則（）A．50 B．2 C．0 D．變式5．【多選】（2023上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）奇函數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的一個(gè)周期為2 B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)變式6．【多選】（2023下·安徽·高三合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知為偶函數(shù)，且恒成立．當(dāng)時(shí)．則下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．的周期是 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，題型六：周期性與對(duì)稱性的結(jié)合例8．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)都有當(dāng)時(shí)，.則（

）A． B．1 C．2 D．變式1．（2023上·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，又，，則.題型七：周期性與單調(diào)性的結(jié)合例9．（2024上·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對(duì)稱，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則（

）A． B．C． D．變式1．（2023下·山東青島·高二校考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且是偶函?shù)，是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．變式2．【多選】（2024上·河南開封·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，且時(shí)，單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的為（

）A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．D．一、單選題1．（2023下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象不是周期現(xiàn)象的是（

）A．“春去春又回” B．鐘表的分針每小時(shí)轉(zhuǎn)一圈C．“哈雷彗星”的運(yùn)行時(shí)間 D．某同學(xué)每天上數(shù)學(xué)課的時(shí)間2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）探索下圖所呈現(xiàn)的規(guī)律,判斷2015至2017箭頭的方向是（

）A． B． C． D．3．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)鐘擺每經(jīng)過1.8秒回到原來的位置，在圖中鐘擺達(dá)到最高位置A點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過1分鐘后，鐘擺的大致位置是（）A．點(diǎn)A處B．點(diǎn)B處C．O、A之間D．O、B之間4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若近似認(rèn)為月球繞地球公轉(zhuǎn)與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道在同一平面內(nèi)，且均為正圓，又知這兩種轉(zhuǎn)動(dòng)同向．如圖所示，月相變化的周期為天(下圖是相繼兩次滿月時(shí)，月、地、日相對(duì)位置的示意圖)．則月球繞地球一周所用的時(shí)間為（

）A．天 B．天 C．天 D．天5．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為（

）A． B． C． D．6．（2024上·重慶·高一西南大學(xué)附中?？计谀┤簦瑒t（

）A． B． C． D．7．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則（

）A． B．1 C．5 D．8．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為2，且.當(dāng)時(shí)，，那么在區(qū)間上，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．8 B．7 C．6 D．59．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知定義在上奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．10．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．211．（2023上·山東菏澤·高三?？计谀┒x在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．12．（2023上·湖南長沙·高一長郡中學(xué)校考期末）設(shè)是定義在上的周期為的偶函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（

）A． B． C． D．13．（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．15 C．20 D．21二、多選題14．（2024上·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．是周期為2的周期函數(shù)B．當(dāng)時(shí)，C．的圖象與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)D．在上單調(diào)遞增15．（2023上·湖南·高一衡陽縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足：①；②當(dāng)時(shí)，．下列說法正確的有（

）A．B．C．當(dāng)時(shí)，D．方程有個(gè)實(shí)數(shù)根16．（2023下·吉林長春·高二長春市第十七中學(xué)校考期中）定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．時(shí)，C．D．函數(shù)有對(duì)稱軸17．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的定義域均為R，函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的一個(gè)周期為6B．函數(shù)的一個(gè)周期為8C．若，則D．若當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，18．（2024上·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都存，且，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的值域?yàn)?D．19．（2024上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．C．D．方程有5個(gè)不等的實(shí)數(shù)根三、填空題20．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，變量y與時(shí)間t(s)的圖象如圖所示，則時(shí)間t至少隔s時(shí)，y＝1會(huì)重復(fù)出現(xiàn)1次.21．（2024上·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則．22．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則．23．（2024上·陜西西安·高一高新一中?？茧A段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，是偶函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則．24．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，?dāng)時(shí)，，則.四、解答題25．（2023上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的值.26．（2023上·云南曲靖·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求的函數(shù)值；(2)證明：為周期函數(shù)．27．（2024上·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在R上的函數(shù)，滿足：，，且當(dāng)時(shí)，．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；(3)若函數(shù)在區(qū)間（）上的值域?yàn)?，求的值?8．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，且，．(1)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，并求其單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)、最大值、最小值；(2)求的值；(3)求在區(qū)間上的解析式，其中．29．（2023上·上?！じ咭蝗A師大二附中校考期中）已知定義在全體實(shí)數(shù)上的函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②不是常值函數(shù)；③對(duì)于任何實(shí)數(shù)，都有．(1)求和的值；(2)證明：對(duì)于任何實(shí)數(shù)，都有；(3)若還滿足對(duì)有，求的值．1.1周期變化7種常見考法歸類課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解周期性的概念和幾何意義1.了解現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象，能判斷簡單的實(shí)際問題中的周期.2.初步了解周期函數(shù)的概念，能判斷簡單的函數(shù)的周期性.知識(shí)點(diǎn)01周期函數(shù)1．周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，x∈D，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)任意的x∈2．最小正周期：如果在周期函數(shù)y＝f(注：(1)周期函數(shù)的周期不是唯一的，如果T是函數(shù)f(x)(2)只有個(gè)別x值或只差個(gè)別的x值滿足f(x+T)＝【即學(xué)即練1】【多選】下列函數(shù)圖象中具有周期性的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由周期性的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】抓住周期變化的特點(diǎn)，重復(fù)性，可知A、B、D為周期函數(shù).對(duì)于C，圖象不重復(fù)出現(xiàn)，故不合題意.故選：ABD.【即學(xué)即練2】函數(shù)滿足，那么，它是以為周期的函數(shù)嗎？【答案】不是【分析】根據(jù)函數(shù)周期性的定義可得出結(jié)論.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)滿足，但對(duì)于且，，故函數(shù)不是以為周期的函數(shù).知識(shí)點(diǎn)02抽象函數(shù)的周期性函數(shù)周期性問題應(yīng)牢牢把握周期函數(shù)的定義，并掌握一些常見的確定函數(shù)周期的條件。類型周期函數(shù)f(x)滿足的條件周期常見周期函數(shù)模型f|a|f(x＋a)＝f(x－a)2|a|f(x＋a)＝－f(x)2|a|f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)2|a|f(x＋a)＝eq\f(1,fx)2|a|f3|f3|4|a|2|a|fTfTfT奇偶性與周期性的綜合偶函數(shù)，關(guān)于直線x＝a對(duì)稱2|a|偶函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱4|a|奇函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱2|a|奇函數(shù)，關(guān)于直線x＝a對(duì)稱4|a|對(duì)稱性與周期性的綜合注：雙對(duì)稱必周期，“同二異四”關(guān)于直線x＝a與x＝b對(duì)稱2|b－a|關(guān)于點(diǎn)(a,0)與點(diǎn)(b,0)對(duì)稱2|b－a|關(guān)于直線x＝a與點(diǎn)(b,0)對(duì)稱4|b－a|【即學(xué)即練3】設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足，若，則A． B． C． D．【答案】A【解析】先由題意推出函數(shù)為周期函數(shù)且周期為4，則有，然后由和解得，即可得出答案.【詳解】由題意定義在R上的函數(shù)滿足，則有，聯(lián)立解得，則得函數(shù)為周期函數(shù)且周期為4，則有；又因，則由解得，所以可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)周期性的判斷與求解，考查了函數(shù)周期性的應(yīng)用，屬于一般難度的題.【即學(xué)即練4】已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．1 D．9【答案】B【分析】利用奇函數(shù)定義及給定的等式，探求出函數(shù)的周期，再利用函數(shù)性質(zhì)及給定函數(shù)式求值即得.【詳解】由R上的奇函數(shù)滿足，得，于是，即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B知識(shí)點(diǎn)03周期性的應(yīng)用（1）函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個(gè)周期的性質(zhì)，則得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì).（2）圖像：只要做出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行復(fù)制粘貼.（3）單調(diào)性：由于間隔kT(k∈Z)的函數(shù)圖象相同，所以若函數(shù)y=f(x)在(a,b)(b-a≤T)上單調(diào)增(減),則y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上單調(diào)增(減).注：奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號(hào)作用?！炯磳W(xué)即練5】設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)有，又當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由已知得函數(shù)的最小正周期為T=6，再由時(shí)，，代入可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為T=6，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選：C.【即學(xué)即練6】函數(shù)是在R上的周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)奇偶性和周期性的概念可得即可得解.【詳解】函數(shù)是在R上的周期為的奇函數(shù)，.故選：C.【即學(xué)即練7】若偶函數(shù)對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，，則．【答案】/0.125【分析】由題設(shè)可得偶函數(shù)的周期為6，利用周期性求函數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)，即偶函數(shù)的周期為6，所以.故答案為：【即學(xué)即練8】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的周期，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性求值即得.【詳解】定義在上的奇函數(shù)，由，得，則函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D 題型一：周期現(xiàn)象及應(yīng)用例1.（2023下·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）下列現(xiàn)象是周期現(xiàn)象的是（

）①日出日落；②潮汐；③海嘯；④地震A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④【答案】A【分析】對(duì)四種自然現(xiàn)象一一分析，即可得到答案.【詳解】①每天日出日落，周期為一天；②潮汐是指海水在天體（主要是月球和太陽）引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運(yùn)動(dòng)；而③海嘯和④地震是隨機(jī)現(xiàn)象.故選：A變式1．（2023下·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）下列變化中不是周期變化的是（

）A．春去春又回 B．太陽東升西落C．天干地支表示年、月、日的時(shí)間順序 D．某同學(xué)每天放學(xué)回到家的時(shí)間【答案】D【分析】根據(jù)周期性的規(guī)律直接進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A、B、C都是周期性變化.對(duì)于D，某同學(xué)每天放學(xué)回到家的時(shí)間受各種因素的影響，一般會(huì)有少許差別，故D不是周期變化．故選：D.變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如果今天是星期三，那么，天后的那一天是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【答案】B【分析】根據(jù)，結(jié)合今天為星期三，即可得結(jié)果.【詳解】由，所以天后的那一天是星期四.故選：B變式3．【多選】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）按照規(guī)定，奧運(yùn)會(huì)每4年舉行一次.2008年夏季奧運(yùn)會(huì)在北京舉辦，那么下列年份中舉辦夏季奧運(yùn)會(huì)的應(yīng)該是（）A．2023 B．2024 C．2026 D．2032【答案】BD【分析】根據(jù)周期性求得正確答案.【詳解】2023=2008+4×2+3，2026=2008+4×4+2.顯然2023，2026不是4的倍數(shù).2024=2008+4×4，2032=2008+4×6，顯然2024與2032是4的倍數(shù).故選：BD變式4．（2023下·高一校考課時(shí)練習(xí)）十字路口處紅綠燈亮滅的情況如下：1分鐘亮綠燈；接著10秒亮黃燈；再接著1分鐘亮紅燈；10秒亮黃燈；1分鐘亮綠燈；10秒亮黃燈，……，則某人開始亮綠燈時(shí)，過路口，10分鐘后又到此路口，此時(shí)應(yīng)該亮燈．【答案】綠【分析】得到紅綠燈的亮滅以秒為一個(gè)周期求解.【詳解】解：由題意知：紅綠燈的亮滅以秒為一個(gè)周期，因?yàn)?，所以是綠燈．故答案為：綠變式5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）四個(gè)小動(dòng)物換座位，開始是猴、兔、貓、鼠分別坐在①、②、③、④號(hào)位置上(如圖)，第1次前后排動(dòng)物互換位置，第2次左右列互換座位……這樣交替進(jìn)行下去，那么第2023次互換座位后，小兔的位置對(duì)應(yīng)的是（

）A．編號(hào)① B．編號(hào)②C．編號(hào)③ D．編號(hào)④【答案】C【分析】由題目得出小兔的位置4次一個(gè)循環(huán)，即可得出第2023次互換座位后，小兔的位置．【詳解】由已知和題圖得，小兔自第1次交換位置后座位的編號(hào)依次為④→③→①→②→④…，得到每4次一個(gè)循環(huán)，因?yàn)榈挠鄶?shù)為2，所以第2023次交換位置后，小兔的位置和第2次交換的位置相同，即編號(hào)為③，故選：C．【方法技巧與總結(jié)】一些變化是不是周期變化，其判斷的依據(jù)是周期變化的特征，即每次都以相同的間隔出現(xiàn)，而且變化是無差別的重復(fù)出現(xiàn)．題型二：周期函數(shù)的判斷例2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)圖像中，不具有周期性的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)周期函數(shù)圖像的特點(diǎn)，即圖像具有重復(fù)性，即可判斷出答案．【詳解】因?yàn)镃選項(xiàng)中之間的圖像在前后都沒有重復(fù)出現(xiàn)，所以C選項(xiàng)的函數(shù)圖像不具有周期性，故選：C．例3．【多選】（2023上·山東日照·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，例如.定義函數(shù)，則（

）A． B．函數(shù)是周期函數(shù)C．方程在僅有一個(gè)解 D．函數(shù)是增函數(shù)【答案】BC【分析】根據(jù)定義判斷A，利用分段函數(shù)形式表示，根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像，再依次判斷選項(xiàng)B，C，D即可.【詳解】由題意知，畫出分段函數(shù)的圖象，對(duì)選項(xiàng)A，定義可得，故A不正確；對(duì)選項(xiàng)B，由圖知函數(shù)為周期函數(shù)，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，函數(shù)與函數(shù)在有一個(gè)交點(diǎn)，即方程在僅有一個(gè)解，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，由圖象可知，所以函數(shù)不是增函數(shù)，故D不正確.故選：BC.變式1．（2023上·山西晉中·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有，當(dāng)時(shí)，．(1)求證：是周期函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的解析式；(3)計(jì)算．【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知等式，利用賦值法進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)的周期性，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)函數(shù)的周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），所以：是以為周期的周期函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，；（3），因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以.【方法技巧與總結(jié)】判斷周期函數(shù)的方法，一般是根據(jù)定義。即對(duì)函數(shù)f(x)，如果存在常數(shù)T(T≠0)，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，均有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)是周期為T的周期函數(shù)。題型三：利用周期性求函數(shù)值例4．（2023上·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（）是以為最小正周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則．【答案】【分析】利用函數(shù)的周期,將自變量的值轉(zhuǎn)化為解析式要求的自變量范圍內(nèi)即可求得.【詳解】因函數(shù)的周期為2，故故答案為：.變式1．（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，則.【答案】【分析】由函數(shù)滿足，推得函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的周期，即可求解.【詳解】因?yàn)樵赗上的函數(shù)滿足，且，令，有，又，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，所以.故答案為：．變式2．（2023上·河北唐山·高三階段練習(xí)）設(shè)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，得到，結(jié)合解析式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)是周期為3的周期函數(shù)，所以故選：D.變式3．（2023下·江西贛州·高一校聯(lián)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．2 B．0 C．1 D．【答案】D【分析】通過對(duì)已知條件的轉(zhuǎn)化，得出函數(shù)是周期函數(shù).利用函數(shù)周期性轉(zhuǎn)化求值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，且，則，又可得，，故，所以函數(shù)是周期的周期函數(shù)，．故選：D．變式4．（2024上·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）已知定義在R上的函數(shù)滿足，，且，若，則（

）A．0 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)題目條件得到是以4為周期的周期函數(shù)，并得到，，根據(jù)函數(shù)的周期求出.【詳解】由，，得，即，所以，所以，故是以4為周期的周期函數(shù)．又，所以，．又，所以，所以，故．又，所以．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】判斷函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期．(2)f(x＋a)＝1fx(a≠0)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，2(3)f(x＋a)＝－1fx(a≠0)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，2題型四：利用函數(shù)的周期性求函數(shù)解析式例5．（2023·全國·高三對(duì)口高考）函數(shù)的周期為，且當(dāng)時(shí)，，則，的解析式為．【答案】/【分析】由求出的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的周期性可求得在上的解析式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，則，故當(dāng)時(shí)，.故答案為：.變式1．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）周期函數(shù)的圖象如圖．

(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)寫出函數(shù)的解析式．【答案】(1)(2)，，.【分析】（1）由圖象可得出函數(shù)的最小正周期；（2）求出函數(shù)在上的解析式，再結(jié)合函數(shù)周期性的定義可求得函數(shù)的解析式.【詳解】（1）解：由圖可知，函數(shù)的最小正周期為.（2）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，可得，即.故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)，故對(duì)任意的，，對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，，則.因此，函數(shù)的解析式為，，.變式2．（2023上·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．(1)證明：是周期函數(shù)．(2)若當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，的解析式．【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性與奇偶性得到，即可得證；（2）當(dāng)，則，且，即可得解.【詳解】（1）由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即有，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，有，所以，即是周期為的周期函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，又是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)，則，所以，所以，.例6．（2023下·河南信陽·高一信陽高中?？计谀┰O(shè)是定義在上的周期為的偶函數(shù)，已知時(shí)，，則時(shí)，的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知函數(shù)的奇偶性和周期性，結(jié)合時(shí)，，分別討論和的兩種情況下對(duì)應(yīng)的解析式，綜合可得答案.【詳解】是定義在上的周期為的偶函數(shù)，時(shí)，，時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以，綜上可得：時(shí)，故選：C.變式1．（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出時(shí)的解析式，再求出函數(shù)的周期為4，故得到時(shí)，【詳解】由題意知，則，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，且是定義在上的奇函數(shù)，所以時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，.故選：B.變式2．（2023上·江西·高三寧岡中學(xué)?？计谥校┮阎嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的周期，由此可得，結(jié)合已知函數(shù)的解析式計(jì)算可得答案．【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，，即，所以，所以，可得，所以的最小正周期為，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，所以，又由是周期為的奇函數(shù)，則，故，.故選：D．【方法技巧與總結(jié)】(1)遇到周期問題，要學(xué)會(huì)區(qū)間轉(zhuǎn)移，將未知區(qū)間中的x加減整周期，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，再將含x式子代入已知函數(shù)．(2)遇到周期性＋奇偶性綜合問題，可根據(jù)條件，求出一個(gè)周期上的函數(shù)關(guān)系．題型五：周期性與奇偶性的結(jié)合例7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知奇函數(shù)y=f(x)(x∈R)，且f(x)=f(x+4)，f(1)=2，則函數(shù)f(x)的周期為，f(2)+f(3)+f(4)=.【答案】4【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性、奇偶性求得正確答案.【詳解】由于的定義域是，且，所以的周期為.由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，，，由于，所以，所以.故答案為：；變式1．（2023下·河南·高三階段練習(xí)）已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為.【答案】【詳解】試題分析：.考點(diǎn)：函數(shù)的周期性與奇偶性.【思路點(diǎn)晴】本題的主要思路就是將要求的中的轉(zhuǎn)換到區(qū)間內(nèi)，因?yàn)橐阎獥l件是當(dāng)時(shí)，.由于是周期為的周期函數(shù)，故也是周期為的周期函數(shù)，所以就有，這樣就變成了的形式，在根據(jù)是奇函數(shù)，有即可就得結(jié)果.變式2．（2023下·高一校考課時(shí)練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)以為周期，則．【答案】0【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)以及周期性，求出即可得到結(jié)果.【詳解】∵是上的奇函數(shù)，∴且，又∵是以為周期的周期函數(shù)，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．故答案為：0.變式3．（2023上·廣東梅州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有．當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)計(jì)算．【答案】(1)4(2)0【分析】（1）根據(jù)周期性的定義求得結(jié)果結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)以及上的圖象即可得函數(shù)最小正周期；（2）利用賦值法并結(jié)合函數(shù)的周期性求得結(jié)果.【詳解】（1），，是周期為4的周期函數(shù)．又當(dāng)時(shí)，，是定義在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的圖象如圖所示：

由圖可得函數(shù)在上不具有周期性，故函數(shù)的最小正周期為；（2）．又是周期為4的周期函數(shù)，．．變式4．（2023上·寧夏·高三隆德縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則（）A．50 B．2 C．0 D．【答案】C【分析】由奇函數(shù)和得出函數(shù)為周期函數(shù)，周期為4，，然后計(jì)算出后可得結(jié)論．【詳解】由函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，且，又由，即，進(jìn)而可得，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又由，可得，,,則，所以.故選：C.變式5．【多選】（2023上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）奇函數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的一個(gè)周期為2 B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】ACD【分析】由得的對(duì)稱軸為，結(jié)合的奇函數(shù)性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一辨析即可.【詳解】，的對(duì)稱軸為，，∴，A正確；，故，，關(guān)于時(shí)稱，故，B錯(cuò)誤；，偶函數(shù)，C正確；，為奇函數(shù)，D正確，故選：ACD.變式6．【多選】（2023下·安徽·高三合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知為偶函數(shù)，且恒成立．當(dāng)時(shí)．則下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．的周期是 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】由可以得出函數(shù)的周期，判斷選項(xiàng)A；由于又是偶函數(shù)，可以推出函數(shù)的對(duì)稱性，判斷選項(xiàng)B；是偶函數(shù)及周期性，判斷選項(xiàng)C，D.【詳解】由得，，所以的周期是．A正確．因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以就是，即，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．B不正確．根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性，C顯然正確．當(dāng)時(shí)，，則，即；當(dāng)時(shí)，，則，即．所以D正確．故選：ACD．題型六：周期性與對(duì)稱性的結(jié)合例8．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)都有當(dāng)時(shí)，.則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】由已知可得，由此證明函數(shù)的周期性，確定其周期，再利用周期性的性質(zhì)確定.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，取可得，∴又對(duì)有，取可得，所以.，，，，即，的周期.故選：D.變式1．（2023上·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，又，，則.【答案】1【分析】由可得的周期，進(jìn)而可得、，結(jié)合的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱與可得關(guān)于對(duì)稱，進(jìn)而可求得，從而運(yùn)用周期性求值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即是?為周期的函數(shù).所以，，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，又已知，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，即為偶函數(shù)，則，所以，所以.故答案為：1.題型七：周期性與單調(diào)性的結(jié)合例9．（2024上·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對(duì)稱，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)平移得到是奇函數(shù)，再利用對(duì)稱性和奇偶性得到的周期為8，且在上是增函數(shù)，從而利用的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于中心對(duì)稱，所以對(duì)稱中心是，故，即是奇函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，則，所以，因此的周期為8，所以，，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)且是奇函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以，則.故選：C.變式1．（2023下·山東青島·高二?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)椋沂桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過周期性奇偶性找到周期性，再由單調(diào)性確定函數(shù)值大小.【詳解】是偶函數(shù),得，即，是奇函數(shù)，得，即，，得由是奇函數(shù)，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，故選：B【點(diǎn)睛】是函數(shù)的對(duì)稱軸，是函數(shù)的對(duì)稱中心.變式2．【多選】（2024上·河南開封·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，且時(shí)，單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的為（

）A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)可推出函數(shù)的周期，利用替換的思想，結(jié)合偶函數(shù)的定義可判斷A，得出根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)判斷B，由為奇函數(shù)可得，利用周期，再由函數(shù)單調(diào)性判斷C，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為判斷的符號(hào)，利用單調(diào)性即可判斷D.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，即，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，故，即周期為，由，可得，故函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確；由可得，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，故B正確；由周期可得，而由為奇函數(shù)知，即，又時(shí)，單調(diào)遞增，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，且時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，故D正確.故選：ABD一、單選題1．（2023下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象不是周期現(xiàn)象的是（

）A．“春去春又回” B．鐘表的分針每小時(shí)轉(zhuǎn)一圈C．“哈雷彗星”的運(yùn)行時(shí)間 D．某同學(xué)每天上數(shù)學(xué)課的時(shí)間【答案】D【分析】根據(jù)周期現(xiàn)象的定義逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得符合題意的選項(xiàng).,【詳解】對(duì)于A：每隔一年，春天就重復(fù)一次，因此“春去春又回”是周期現(xiàn)象；對(duì)于B：分針每隔一小時(shí)轉(zhuǎn)一圈，是周期現(xiàn)象；對(duì)于C：天體的運(yùn)行具有周期性，所以“哈雷彗星”的運(yùn)行時(shí)間是周期現(xiàn)象；對(duì)于D：某同學(xué)每天上數(shù)學(xué)課的時(shí)間不固定，并不是隔一段時(shí)間就會(huì)重復(fù)一次，因此不是周期現(xiàn)象，故選：D.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）探索下圖所呈現(xiàn)的規(guī)律,判斷2015至2017箭頭的方向是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)探索圖所呈現(xiàn)的規(guī)律，找出探索圖的周期，進(jìn)而即得.【詳解】觀察題圖可知每增加4個(gè)數(shù)字就重復(fù)相同的位置，而，則2015至2017箭頭的方向與3至5箭頭的方向是相同的.故選：D.3．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)鐘擺每經(jīng)過1.8秒回到原來的位置，在圖中鐘擺達(dá)到最高位置A點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過1分鐘后，鐘擺的大致位置是（）A．點(diǎn)A處B．點(diǎn)B處C．O、A之間D．O、B之間【答案】D【分析】根據(jù)周期性求得正確答案.【詳解】鐘擺的周期T＝1.8秒，1分鐘＝(33×1.8＋0.6)秒，又，所以經(jīng)過1分鐘后，鐘擺在O、B之間.故選：D4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若近似認(rèn)為月球繞地球公轉(zhuǎn)與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道在同一平面內(nèi)，且均為正圓，又知這兩種轉(zhuǎn)動(dòng)同向．如圖所示，月相變化的周期為天(下圖是相繼兩次滿月時(shí)，月、地、日相對(duì)位置的示意圖)．則月球繞地球一周所用的時(shí)間為（

）A．天 B．天 C．天 D．天【答案】B【分析】根據(jù)所給信息分析即可.【詳解】由題圖知，地球從到用時(shí)天，月球從月地日一條線重新回到月地日一條線，完成一個(gè)周期．故選：B5．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，作出函數(shù)在上的圖象以及函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)滿足，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)在上的圖象以及函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)在上的圖象與函數(shù)的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)有三對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此，函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過其對(duì)稱性和奇偶性得到其周期性，再作出兩函數(shù)圖象則得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).6．（2024上·重慶·高一西南大學(xué)附中?？计谀┤?，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由周期函數(shù)轉(zhuǎn)換然后代入表達(dá)式求解即可.【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是以4為周期的周期函數(shù)，所以.故選：C.7．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則（

）A． B．1 C．5 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件分析出是周期為的周期函數(shù)，然后利用周期性可得，結(jié)合已知函數(shù)值可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，且,所以，所以，所以，所以是周期為的周期函數(shù)，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選：B.8．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為2，且.當(dāng)時(shí)，，那么在區(qū)間上，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，即可判斷.【詳解】解：由題意可知，函數(shù)周期為2，且為偶函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們?cè)赱-3,4]上的圖象如下，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故選：C.9．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知定義在上奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知推導(dǎo)出函數(shù)的周期，的范圍，利用已知和推導(dǎo)出的關(guān)系將所求轉(zhuǎn)化為內(nèi)求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且滿足.所以，即，所以，所以是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)?所以所以.故選：B10．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】由已知得出函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且是周期為2的周期函數(shù)，將函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象，結(jié)合圖象即可得出函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，代入求解即可得出答案.【詳解】函數(shù)滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又函數(shù)是偶函數(shù)，，函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下：結(jié)合圖象可得函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，即，解得，故選：A.11．（2023上·山東菏澤·高三?？计谀┒x在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)的一個(gè)周期為，得到，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】由定義在上的函數(shù)滿足，可得是周期為的周期函數(shù)，又由時(shí)，；時(shí)，，則.故選：D.12．（2023上·湖南長沙·高一長郡中學(xué)?？计谀┰O(shè)是定義在上的周期為的偶函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，由可得出的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的周期性和奇偶性可得出.綜合可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.故選：C.13．（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．15 C．20 D．21【答案】D【分析】根據(jù)條件，得到函數(shù)的周期為，再根據(jù)條件得出時(shí)，，從而得出，再利用周期性及圖像即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，令，得到，所以，從而有，又函?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的周期為，令，則，又當(dāng)時(shí)，，所以，得到，故，又，所以在上的圖像如圖，又當(dāng)時(shí)，由，得到，當(dāng)，由，得到，即，又，所以，，，又由，得到，即，所以，再結(jié)合圖像知，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為21個(gè)，故選：D.二、多選題14．（2024上·四川雅安·高一雅安中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．是周期為2的周期函數(shù)B．當(dāng)時(shí)，C．的圖象與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】根據(jù)已知可得，即可得出A項(xiàng)；根據(jù)已知求出時(shí)的解析式，進(jìn)而根據(jù)周期性，得出函數(shù)在上的解析式，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)A、B的結(jié)論作出函數(shù)的圖象以及的圖象，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值，結(jié)合圖象，即可判斷C項(xiàng)；先根據(jù)解析式，判斷得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可根據(jù)周期性，得出D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，所以，是周期為2的周期函數(shù)，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，，則.由已知可得，.又，所以，.又的周期為2，所以.，則，，所以，.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由A、B可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且的周期為2.作出函數(shù)以及的圖象，顯然，當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象沒有交點(diǎn).又，，，由圖象可知，的圖象與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，則，.又的周期為2，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，顯然在上單調(diào)遞增.且，所以，在上單調(diào)遞增.根據(jù)函數(shù)的周期性可知，在上單調(diào)遞增.故D正確.故選：ACD.15．（2023上·湖南·高一衡陽縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足：①；②當(dāng)時(shí)，．下列說法正確的有（

）A．B．C．當(dāng)時(shí)，D．方程有個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】ACD【分析】推導(dǎo)出函數(shù)的周期為，結(jié)合周期性可判斷AB選項(xiàng)；利用周期性和對(duì)稱性求出函數(shù)在上的解析式，可判斷C選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)AB，因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù)，故，因?yàn)?，即，則，故，故的周期為，故，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故，則，當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)D，，即，如下圖所示：由圖可知，直線與函數(shù)的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，故D正確．故選：ACD．16．（2023下·吉林長春·高二長春市第十七中學(xué)?？计谥校┒x在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．時(shí)，C．D．函數(shù)有對(duì)稱軸【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)可判斷A；結(jié)合周期性由時(shí)的解析式即可得時(shí)的解析式，從而可判斷B；根據(jù)函數(shù)周期性與對(duì)稱性即可判斷C、D.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，故A正確；又當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，故B不正確；由，可得函數(shù)的周期為6，可得，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，所以，即，所以，故C正確；由A選項(xiàng)知，，又，則，所以函數(shù)有對(duì)稱軸，故D正確.故選：ACD.17．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的定義域均為R，函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的一個(gè)周期為6B．函數(shù)的一個(gè)周期為8C．若，則D．若當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)：為奇函數(shù)，得到，結(jié)合因?yàn)闉榕己瘮?shù)，得到，故的最小正周期為12，A不正確B選項(xiàng)：關(guān)于直線對(duì)稱，得到，又是奇函數(shù)，所以，故，得到的一個(gè)周期為8，所以B正確；C選項(xiàng)：由A選項(xiàng)得，賦值后得到，由為R上的奇函數(shù)，得到，結(jié)合，得，結(jié)合和的最小正周期得到，所以C正確；D選項(xiàng)：根據(jù)的最小正周期和得到，從而求出時(shí)的函數(shù)解析式．【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，令，得，則．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，令，得，所以，所以，故，所以函數(shù)的周期為12，所以A不正確；B選項(xiàng)：因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以．又是奇函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)的周期為8，所以B正確；C選項(xiàng)：由A選項(xiàng)得，得，令，則，所以．因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，則由，得，所以，所以C正確．D選項(xiàng)：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以．所以當(dāng)時(shí)，，所以D正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】設(shè)函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為4a．18．（2024上·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都存，且，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的值域?yàn)?D．【答案】BD【分析】由題意可得函數(shù)是奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，進(jìn)而可求出函數(shù)的周期，再逐一分析即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，對(duì)于A，若是奇函數(shù)，則，故，與題意矛盾，所以不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)題意不能得出函數(shù)的單調(diào)性，所以無法確定函數(shù)的值域，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B選項(xiàng)可得，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則，，由，可得，所以，則，故D正確.故選：BD.19．（2024上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．C．D．方程有5個(gè)不等的實(shí)數(shù)根【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合圖像逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，令，，則，可知函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)于BC，方法如下利用函數(shù)圖象既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，.可以將圖象拓展如圖所示由圖象規(guī)律可知B正確；，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的