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吉林省白城十四中2023年全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)試題高考模擬題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.3.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,則;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.4.若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-55.若復(fù)數(shù)滿足,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,則()A.1 B.0 C. D.6.下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是()(其中,為無(wú)理數(shù))①;②;③.A.0 B.1 C.2 D.37.袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)小球,從袋子中一次性摸出兩個(gè)球,記下號(hào)碼并放回,如果兩個(gè)號(hào)碼的和是3的倍數(shù),則獲獎(jiǎng),若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎(jiǎng)的概率是()A. B. C. D.8.學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)按照考生原始成績(jī)從高到低分為、、、、五個(gè)等級(jí).某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科,這兩科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中,這兩科等級(jí)均為的學(xué)生有人,這兩科中僅有一科等級(jí)為的學(xué)生,其另外一科等級(jí)為,則該班()A.物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人B.物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至少有人C.這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至多有人D.這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至少有人9.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.10.已知為等差數(shù)列,若,,則()A.1 B.2 C.3 D.611.已知,函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn),則正實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.12.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是,,,,則該四面體的外接球的體積為_(kāi)_________.14.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為_(kāi)_________.15.已知數(shù)列滿足對(duì)任意,若,則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.16.已知函數(shù),若對(duì)于任意正實(shí)數(shù),均存在以為三邊邊長(zhǎng)的三角形,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)己知,函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若函數(shù),且存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知等差數(shù)列中,,數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求;(2)若,求的前項(xiàng)和.19.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為.且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,),A,B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),過(guò)左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D,E兩點(diǎn)(其中D在x軸上方).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若△AEF與△BDF的面積之比為1:7,求直線l的方程.20.(12分)在①;②;③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上,并解答相應(yīng)的問(wèn)題.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足________________,,求的面積.21.(12分)如圖,⊙的直徑的延長(zhǎng)線與弦的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),為⊙上一點(diǎn),,交于點(diǎn).求證:~.22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.2.D【解析】
先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對(duì)稱軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)(可以用二分法求得).當(dāng)時(shí),顯然不成立;當(dāng)時(shí),只需或,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法,屬于中檔題.3.C【解析】
利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來(lái)解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面知①正確;當(dāng)直線平行于平面與平面的交線時(shí)也有,,故②錯(cuò)誤;若,則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線,故③正確;若,則存在直線且,因?yàn)?,所以,從而,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系,里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理,是一道基礎(chǔ)題.4.C【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.5.C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】解:∵,∴,則,∴,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
對(duì)于①中,根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì),可判定值正確的;對(duì)于②中,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),進(jìn)而得到,即可判定是錯(cuò)誤的;對(duì)于③中,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為,進(jìn)而得到,即可判定是正確的.【詳解】由題意,對(duì)于①中,由,可得,根據(jù)不等式的性質(zhì),可得成立,所以是正確的;對(duì)于②中,設(shè)函數(shù),則,所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),因?yàn)?,則又由,所以,即,所以②不正確;對(duì)于③中,設(shè)函數(shù),則,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,最大值為,所以,即,即,所以是正確的.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì),以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,其中解答中根據(jù)題意,合理構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.7.C【解析】
先確定摸一次中獎(jiǎng)的概率,5個(gè)人摸獎(jiǎng),相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn),根據(jù)每一次發(fā)生的概率,利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到結(jié)果.【詳解】從6個(gè)球中摸出2個(gè),共有種結(jié)果,兩個(gè)球的號(hào)碼之和是3的倍數(shù),共有摸一次中獎(jiǎng)的概率是,5個(gè)人摸獎(jiǎng),相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn),且每一次發(fā)生的概率是,有5人參與摸獎(jiǎng),恰好有2人獲獎(jiǎng)的概率是,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率,考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率,解題時(shí)主要是看清摸獎(jiǎng)5次,相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),利用公式做出結(jié)果,屬于中檔題.8.D【解析】
根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級(jí)為,化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級(jí)為,化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù),結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,可得出合適的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可知,名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人(其中物理化學(xué)的有人,物理化學(xué)的有人),表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對(duì)于A選項(xiàng),物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)物理和,化學(xué)都是時(shí),或化學(xué)和,物理都是時(shí),物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少,至少為(人),B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),在表格中,除去物理化學(xué)都是的學(xué)生,剩下的都是一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生,因?yàn)槎际堑膶W(xué)生最少人,所以一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生最多為(人),C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),物理化學(xué)都是的最多人,所以兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生最少(人),D選項(xiàng)正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,考查推理能力,屬于中等題.9.A【解析】
首先找出與面所成角,根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設(shè)中點(diǎn)為,連接,,可知,,同時(shí)易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出.【詳解】∵{an}為等差數(shù)列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.11.B【解析】
先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出,函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn)即為三個(gè)最值點(diǎn),解出,,再建立不等式求出的范圍,進(jìn)而求得的范圍.【詳解】解:令,解得對(duì)稱軸,,又函數(shù)在區(qū)間恰有個(gè)極值點(diǎn),只需解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.12.D【解析】
根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐,由此計(jì)算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知,該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為,所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖,考查錐體表面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
將四面體補(bǔ)充為長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體,體對(duì)角線即為外接球的直徑,從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法,由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知,該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長(zhǎng)方體上,該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為,長(zhǎng)方體的外接球即為該四面體的外接球,外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,所以球半徑為,體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法:補(bǔ)體法,通過(guò)補(bǔ)體得到長(zhǎng)方體的外接球從而得解,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
由圓柱外接球的性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設(shè)圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
由可得,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得,再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)論.【詳解】由,得,數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為2,,,,,滿足上式,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵,利用累加法求通項(xiàng)公式,屬于中檔題.16.【解析】
根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對(duì)任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個(gè)式子的取值范圍由的符號(hào)決定,故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù),都存在以為三邊長(zhǎng)的三角形,故對(duì)任意的恒成立,,令,則,當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則;當(dāng),即時(shí),,當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,解得;當(dāng)時(shí),,滿足條件;當(dāng)時(shí),,且,所以,解得,綜上,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】
(1)零點(diǎn)分段解不等式即可(2)等價(jià)于,由,得不等式即可求解【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得.綜上可知,原不等式的解集為.(2).存在使得成立,等價(jià)于.又因?yàn)?,所以,?解得,結(jié)合,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法,考查不等式恒成立及最值,考查轉(zhuǎn)化思想,是中檔題18.(1),;(2).【解析】
(1)由條件得出方程組,可求得的通項(xiàng),當(dāng)時(shí),,可得,當(dāng)時(shí),,得出是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,可求得的通項(xiàng);(2)由(1)可知,,分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】(1)由條件知,,,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,;(2)由(1)可知,,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),綜上,【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)的求得,以及其前n項(xiàng)和,注意分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列的和,屬于中檔題.19.(1)(2).【解析】
(1)利用離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)建立方程組,求解即可.(2)把面積之比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可求.【詳解】解:(1)設(shè)焦距為2c,由題意知:;解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知:F(﹣1,0),設(shè)l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直線l的方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問(wèn)題,橢圓方程一般利用待定系數(shù)法,建立方程組進(jìn)行求解,面積問(wèn)題的合理轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20.橫線處任填一個(gè)都可以,面積為.【解析】
無(wú)論選哪一個(gè),都先由正弦定理化邊為角后,由誘導(dǎo)公式,展開(kāi)后,可求得角,再由余弦定理求得,從而易求得三角形面積.【詳解】在橫線上填寫(xiě)“”.解:由正弦定理,得.由,得.由,得.所以.又(若,則這與矛盾),所以.又,得.由余弦定理及,得,即.將代入,解得.所以.在橫線上填寫(xiě)“”.解:由及正弦定理,得.又,所以有.因?yàn)?,所?從而有.又,所以由余弦定理及,得即.將代入,解得.所以.在橫線上填寫(xiě)“”解:由正弦定理,得
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