微專(zhuān)題04 幾何初步、平行線模型-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)

PAGE1微專(zhuān)題04：幾何初步、平行線模型題型01：線段分點(diǎn)模型1．C為線段上任意一點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先畫(huà)好符合題意的圖形，再證明再利用線段的和可得答案.【詳解】解：如圖，分別是的中點(diǎn)，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是線段中點(diǎn)的含義，線段的和差關(guān)系，掌握線段的和差與中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵.2．點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)．若線段，則線段BD的長(zhǎng)為（）A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm【答案】C【分析】根據(jù)題意作圖，由線段之間的關(guān)系即可求解．【詳解】如圖，∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC=BC=AB=6cm當(dāng)AD=AC=4cm時(shí)，CD=AC-AD=2cm∴BD=BC+CD=6+2=8cm；當(dāng)AD=AC=2cm時(shí)，CD=AC-AD=4cm∴BD=BC+CD=6+4=10cm；故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知線段的和差關(guān)系．3．已知點(diǎn)C在線段上，，點(diǎn)D、E在直線上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，(1)若，，線段在線段上移動(dòng)，①如圖1，當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)若，線段在直線上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式，求．【答案】(1)①7；②或(2)或．【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和差、準(zhǔn)確識(shí)圖分類(lèi)討論的位置是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知條件得到，①由線段中點(diǎn)的定義得到，求得，由線段的和差得到；②當(dāng)點(diǎn)C線段的三等分點(diǎn)時(shí)，可求得或，則或，由線段的和差即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段之間時(shí)，設(shè)，則，求得，設(shè)，得到，求得，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，設(shè)，則，設(shè)，求得，得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）∵，∴，①∵E為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；②∵點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，，∴或，∴或，∴或；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段之間時(shí)，如圖，設(shè)，則，∴，∵，∴，設(shè)，∴，∴∵，∴，∴，∴x，∴；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，如圖，設(shè)，同理，設(shè)，∴，∴∵，∴，∴，∴∴，當(dāng)點(diǎn)E在線段上及點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，無(wú)解，綜上所述的值為或．4．如圖，點(diǎn)在線段AB上，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．求線段的長(zhǎng);若為線段上任一點(diǎn)，滿足，其它條件不變，猜想的長(zhǎng)度，并說(shuō)明理由;若在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足分別為的中點(diǎn)，猜想的長(zhǎng)度，請(qǐng)畫(huà)出圖形，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由;請(qǐng)用一句簡(jiǎn)潔的話，描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】；，證明解解析；，證明見(jiàn)解析；見(jiàn)解析【分析】根據(jù)“點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)”，先求出、的長(zhǎng)度，再利用即可求出的長(zhǎng)度即可；當(dāng)為線段上一點(diǎn)，且，分別是，的中點(diǎn)，則存在；點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)、分別為、的中點(diǎn)，即可求出的長(zhǎng)度；根據(jù)前面的結(jié)果解答即可．【詳解】解：分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)又∵，∴在點(diǎn)的右邊，如圖示：分別是的中點(diǎn)，又只要滿足點(diǎn)在線段所在直線上，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．那么就等于的一半【點(diǎn)睛】本題主要是線段中點(diǎn)的運(yùn)用，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型02：角n等分模型5．如圖，已知，，平分，平分，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了基本幾何圖形中的角度計(jì)算，角平分線的含義，掌握角度的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意計(jì)算出，，的度數(shù)，再根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，又∵平分，平分，∴∴，故答案為：B．6．如圖所示，是的平分線，是的平分線，若，那么（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義和角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，∴∠BOC=∠AOB=∠AOC，∠COD=∠DOE=∠COE，又∵∠AOC=70°，∠COE=40°，∴∠BOC=35°，∠COD=20°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=35°+20°=55°，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角與角之間的運(yùn)算和角平分線等知識(shí)，正確尋找角與角之間的關(guān)系以及掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．7．將兩個(gè)形狀，大小完全相同的含有，的三角板與如圖放置，，，三點(diǎn)在同一直線上．現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度，如圖，若平分，平分，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】根據(jù)三角板的各個(gè)角的度數(shù)，以及角平分線的意義，利用平角以及角的和與差求出答案．【詳解】解：設(shè)三角板繞點(diǎn)P沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角度為，，∵平分，平分，∴，，∴．故答案為：15．【點(diǎn)睛】考查角平分線的意義，平角以及三角板的各個(gè)特殊銳角的關(guān)系等知識(shí)，把握各個(gè)角之間的關(guān)系是得出答案的前提．8．如圖，已知∠AOB=120°，射線OP從OA位置出發(fā)，以每秒2°的速度順時(shí)針向射線OB旋轉(zhuǎn)；與此同時(shí)，射線OQ以每秒6°的速度，從OB位置出發(fā)逆時(shí)針向射線OA旋轉(zhuǎn)，到達(dá)射線OA后又以同樣的速度順時(shí)針?lè)祷兀?dāng)射線OQ返回并與射線OP重合時(shí)，兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求∠POQ的度數(shù)；（2）當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，求t的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）∠POQ=104°；（2）當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，t的值為10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【解析】當(dāng)OQ，OP第一次相遇時(shí)，t=15；當(dāng)OQ剛到達(dá)OA時(shí)，t=20；當(dāng)OQ，OP第二次相遇時(shí)，t=30；（1）當(dāng)t=2時(shí)，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出結(jié)果即可；（2）分三種情況：當(dāng)0≤t≤15時(shí)，當(dāng)15＜t≤20時(shí)，當(dāng)20＜t≤30時(shí)，分別列出等量關(guān)系式求解即可；（3）分三種情況：當(dāng)0≤t≤15時(shí)，當(dāng)15＜t≤20時(shí)，當(dāng)20＜t≤30時(shí)，分別列出等量關(guān)系式求解即可．【詳解】解：當(dāng)OQ，OP第一次相遇時(shí)，2t+6t=120，t=15；當(dāng)OQ剛到達(dá)OA時(shí)，6t=120，t=20；當(dāng)OQ，OP第二次相遇時(shí)，2t6t=120+2t，t=30；（1）當(dāng)t=2時(shí)，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.（2）當(dāng)0≤t≤15時(shí)，2t+40+6t=120，t=10；當(dāng)15＜t≤20時(shí)，2t+6t=120+40，t=20；當(dāng)20＜t≤30時(shí)，2t=6t-120+40，t=20（舍去）；答：當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，t的值為10或20.（3）當(dāng)0≤t≤15時(shí)，120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；當(dāng)15＜t≤20時(shí)，2t–(120-6t）=(120-6t），t=.當(dāng)20＜t≤30時(shí)，2t–(6t-120）=(6t-120），t=.答：存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ.【分析】本題考查了角的和差關(guān)系及列方程解實(shí)際問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是分好類(lèi)，列出關(guān)于時(shí)間的方程．題型03：線段的折疊、動(dòng)點(diǎn)模型9．如圖，數(shù)軸上、兩點(diǎn)的距離為4，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)（，是整數(shù)）處，問(wèn)經(jīng)過(guò)這樣2020次跳動(dòng)后的點(diǎn)與點(diǎn)的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為×4，第二次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A2處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（）2×4，找到跳動(dòng)n次的規(guī)律即可．【詳解】由于OA＝4，所以第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處時(shí)，OA1＝OA＝×4＝2，同理第二次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A2處，離原點(diǎn)的（）2×4處，同理跳動(dòng)n次后，離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（）n×4＝，則2020次跳動(dòng)后的點(diǎn)與點(diǎn)的距離是故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，考查了兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)題意表示出各個(gè)點(diǎn)跳動(dòng)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．10．如圖，在等邊中，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作交折線于點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊．設(shè)等邊與重疊部分圖形的面積為，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)點(diǎn)D在邊上時(shí)，求等邊的邊長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在邊上時(shí)，判斷與的關(guān)系并說(shuō)明理由，并求此時(shí)t的值；(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析；．(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）由，可得，再用勾股定理即可求．（2）根據(jù)是等邊三角形可得，，又因?yàn)榭傻茫俑鶕?jù)三角形全等的判定即可證明．（3）根據(jù)點(diǎn)D的移動(dòng)軌跡，可分成以下三種情況：①點(diǎn)D在上移動(dòng)且不與點(diǎn)C重合；②點(diǎn)D與點(diǎn)C重合；③點(diǎn)D在上移動(dòng)，按照這三種情況即可寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式．【詳解】（1）解：由題意知，在中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒∴，，∴，由勾股定理，得即等邊的邊長(zhǎng)為（2）解：當(dāng)點(diǎn)E落在邊上時(shí)，如圖所示，．理由如下∵為等邊三角形∴，∵為等邊三角形∴又∵∴∴∴∴∴（3）解：分類(lèi)討論（三種情況），如圖所示：①如圖1：當(dāng)時(shí)，

②如圖2：當(dāng)時(shí)，③如圖3，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、求函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握全等三角形的判定和具備分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵．11．已知線段AB=15cm，點(diǎn)C在線段AB上，且AC：CB=3：2．(1)求線段AC，CB的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，線段AP的中點(diǎn)為M，設(shè)AP=mcm．①請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示線段PC，MC的長(zhǎng)；②若三個(gè)點(diǎn)M，P，C中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則稱(chēng)M，P，C三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出使得M，P，C三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的m的值．【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm；(2)①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，PC=（9-m）cm，MC=（9-m）cm；當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC=（m-9）cm，MC=（9-m）cm；②m的值為6或12．【分析】（1）由線段AB=15cm，點(diǎn)C在線段AB上，且AC：CB=3：2，可得答案；（2）①分當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上兩種情況分別計(jì)算即可；②分情況列方程可得m的值．【詳解】（1）解：∵線段AB=15cm，點(diǎn)C在線段AB上，且AC：CB=3：2，∴AC=15×=9cm，CB=15×=6cm；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，PC=AC-AP=（9-m）cm，MC=AC-AM=AC-AP=（9-m）cm；當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC=AP-AC=（m-9）cm，MC=AC-AM=（9-m）cm；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，則MP=PC，∴m＝9?m，解得：m=6，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，則MC=PC，∴9?m＝m?9，解得：m=12，綜上：m的值為6或12．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義和線段的和差是解題關(guān)鍵．12．如圖，點(diǎn)是定長(zhǎng)線段上一點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別從點(diǎn)、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上）．（1）若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上），點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說(shuō)明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值．【答案】（1）點(diǎn)P在線段AB的處；（2）或；（3）結(jié)論②的值不變正確，.【分析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，用含t的代數(shù)式可表示出線段PD、AC長(zhǎng)，根據(jù)，可知點(diǎn)在線段上的位置；（2）由可知，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，等量代換可得，再結(jié)合可得的值；當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，可得，易得的值.（3）點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，，可求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系，則PM與PN的值可以含AB的式子來(lái)表示，可得MN與AB的數(shù)量關(guān)系，易知的值.【詳解】解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則，由得，即，，，即所以點(diǎn)P在線段AB的處；（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，由可知，②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，，綜合上述，的值為或；（3）②的值不變.由點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)5秒可得，如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P同側(cè)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以；如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P異側(cè)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以；所以②的值不變正確，.【點(diǎn)睛】本題考查了線段的相關(guān)計(jì)算，利用線段中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵.題型04：平行線M型13．如圖，已知，點(diǎn)B在上，點(diǎn)C在上，點(diǎn)A在上方，，點(diǎn)E在的反向延長(zhǎng)線上，且，設(shè)，則為度數(shù)用含的式子一定可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)E作，則，由題意可設(shè)，，則，，，，因此，，，則．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)E作，∵，∴，∵，∴設(shè)，，∵，∴，，，，∴，，∴，∴.故選：B．14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，的位置如圖所示，且是的立方根；方程是關(guān)于，的二元一次方程；為不等式組的最大整數(shù)解．(1)求點(diǎn)，，的坐標(biāo)．(2)如圖1，點(diǎn)為軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．①求證：；②如圖2，與的平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；(3)如圖3，點(diǎn)為軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，線段與軸交于點(diǎn)．若三角形的面積不大于三角形的面積，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)，，(2)①見(jiàn)解析；②(3)【分析】（1）根據(jù)立方根的概念、二元一次方程組的定義、一元一次不等式組的解法分別求出a、b、c、d，得到點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，得到，②作，根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解不等式求解即可．【詳解】（1）解：的立方根是，，方程是關(guān)于x，y的二元一次方程，，解得，，不等式組的最大整數(shù)解是5，則則、、；（2）①，，，，，②作，

，，，，；與的平分線交于P點(diǎn)，，，，；（3），，，，，，即，解得，，在y軸正半軸上，，的縱坐標(biāo)的取值范圍是．15．如圖，已知直線，和分別交于點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)P在直線或上且不與點(diǎn)A、B、C、D重合，記．

(1)若點(diǎn)P在圖（1）位置時(shí)，求證：；(2)若點(diǎn)P在圖（2）位置時(shí)，寫(xiě)出之間的關(guān)系并給予證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與平行公理；（1）過(guò)點(diǎn)P作，則，從而有，根據(jù)即可求證；（2）過(guò)點(diǎn)P作，則，，由即可得之間的關(guān)系．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作，∵，∴，∴；∵，∴；

（2）解：；證明如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P作，∵，∴，∴，∴；∵，∴．

+16．已知直線，A是l1上的一點(diǎn)，B是l2上的一點(diǎn)，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線上有一點(diǎn)P．(1)如果P點(diǎn)在C，D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與C，D不重合），試探索之間的關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不需要證明）【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）如圖1，作，則，由，可得，則，；（2）由題意知，分點(diǎn)在點(diǎn)上方，在點(diǎn)下方兩種情況求解；①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方，如圖2，作，過(guò)程同（1）；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方，如圖3，作，過(guò)程同①．【詳解】（1）解：，理由如下；如圖1，作，∴，∵，∴，∴，∴，即；（2）解：由題意知，分點(diǎn)在點(diǎn)上方，在點(diǎn)下方兩種情況求解；①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方，如圖2，作，∴，∵，∴，∴，∴，即；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方，如圖3，作，同理①，∴，，∴，即；綜上所述，或．題型05：平行線筆尖型17．如圖，直線，E，M分別為直線、上的點(diǎn)，N為兩平行線間的點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)N作平分交直線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)N作，交直線于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、平行公理的推論、垂線的性質(zhì)，熟練掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用整體的思想是解題的關(guān)鍵．過(guò)N點(diǎn)作，則，如圖，由平行線的性質(zhì)得，進(jìn)而由平分和得，再由可變形推得．【詳解】解：過(guò)N點(diǎn)作，則，如圖所示：∴，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：A．18．【感知探究】如圖①，已知，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．求證：．【類(lèi)比遷移】如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，已知，，，則°．【答案】【感知探究】證明見(jiàn)解析；【類(lèi)比遷移】；【結(jié)論應(yīng)用】20【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）如圖②，過(guò)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖③，過(guò)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)作，則，又∵，∴，，，即；（2）解：．證明：如圖②，過(guò)作，，∵，∴，，，即：．故答案為：；（3）如圖③，過(guò)作，，∵，∴，，，故答案為：20．19．已知直線，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，已知，求的度數(shù)；(2)如圖2，判斷之間的數(shù)量關(guān)系為．(3)如圖3，在（2）的條件下，，平分，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先過(guò)點(diǎn)P作，則可得，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解；（2）作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得；（3）先證明，利用（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：∵，過(guò)點(diǎn)P作，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：，如圖，作，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴；∴；（3）解：設(shè)交于O，如圖，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，由（2）得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20．（1）如圖（1），猜想與的關(guān)系，說(shuō)出理由．（2）觀察圖（2），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．

【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）圖（3），圖（4）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作，得到，由，，得到，得到，由此得到；（2）過(guò)點(diǎn)P作，由，得到，從而得到結(jié)論；（3）由，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得與的關(guān)系．【詳解】（1）解：猜想．理由：過(guò)點(diǎn)P作，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)P作，

∵，∴，∴，∴；（3）如圖（3）：．理由：∵，

∴，∵，∴，即；如圖（4）：．理由：∵，

∴，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形的外角的性質(zhì)定理，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型06：平行線雞翅型21．①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①過(guò)點(diǎn)E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；③如圖3，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正確；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯(cuò)誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．22．如圖，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，

(1)求證：：(2)如圖②，分別為的平分線所在直線，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有，直線交于點(diǎn)P，，直接寫(xiě)出．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出、，據(jù)此可得；（2）過(guò)點(diǎn)Q作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出，結(jié)合（1）的結(jié)論可得出；（3）由（2）的結(jié)論可得出①，由可得出②，聯(lián)立①②可求出的度數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得出的度數(shù)，將其代入中可求出結(jié)論．【詳解】（1）在圖①中，過(guò)點(diǎn)C作，則．

∵，∴，∴．（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)Q作，則．

∵，∴．∵平分，平分，∴，∴．∵，∴．（3）∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、添加輔助線構(gòu)建平行線．23．已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，若的平分線交線段于點(diǎn)，連接，若，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)E作，延長(zhǎng)DC至Q，過(guò)點(diǎn)M作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出，再根據(jù)平角的含義得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出；設(shè)，根據(jù)角的和差可得出，結(jié)合已知條件可求得，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】（1）證明：；（2）過(guò)點(diǎn)E作，延長(zhǎng)DC至Q，過(guò)點(diǎn)M作，，，AF平分FH平分設(shè)，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．24．已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于．（1）如圖1，點(diǎn)在兩條平行線外，則與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（2）點(diǎn)在兩條平行線之間，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．①如圖2，說(shuō)明成立的理由；②如圖3，平分交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①見(jiàn)解析；②105°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）①過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【詳解】解：（1）如圖1，AM與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，運(yùn)用等角的余角（補(bǔ)角）相等進(jìn)行推導(dǎo)．余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．題型07：平行線骨折型25．如圖，，點(diǎn)在直線，之間，連接，．

(1)寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的度數(shù)；【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，利用平行線的判定及性質(zhì)即可得解；（2）由（1）得，將代入即可得解．本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，理由如下：過(guò)點(diǎn)作，如圖，

∴，∵，∴，∴，∴，，∴；（2）解：由（）得，∴，∴，解得．26．如圖，在四邊形中，(1)求證：(2)如圖2，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)G在線段的延長(zhǎng)線上，連接，求證：是的平分線：(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，的平分線交于點(diǎn)H，若求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，即可證明ABCD；（2）先由平行線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而推出，即可證明是的平分線；（3）設(shè)，設(shè)，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出，則，過(guò)點(diǎn)作交于，得到，推出，則即，即可求出；【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，（2）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴是的平分線；（3）解：∵是的平分線，∴，設(shè)，∵，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作交于，∴，∵，∴，∴，∴即，∴；27．（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫(xiě)出結(jié)果）（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫(xiě)出結(jié)果）（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫(xiě)出結(jié)果）（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直