高中數(shù)學：《直線與圓的位置關系》教學設計

教學設計

直線與圓的位置關系

一.內容和內容解析

圓是學生比較熟悉的曲線，在初中已研究過它的幾何性質，而解析幾何是用

坐標法研究圓與其他圖形的位置關系，直線與圓的位置關系是其中重要的一部

分。本節(jié)課是人教A版數(shù)學（必修2）第四章4.2.1內容，主要是利用坐標法來

判斷直線與圓的位置關系。坐標法是借助坐標系，以數(shù)與式的知識為基礎來研究

幾何問題的一種數(shù)學方法。因此，學習時需要一定的代數(shù)知識作為基礎，特別是

對數(shù)式變形和解方程組的能力要求較高。

學生在初中已學習直線與圓的三種位置關系：相交、相切、相離，在高中已

學習了直線方程與圓的方程，教師可以利用其作為知識的生長點來構建新知識。

直線與圓是幾何研究的兩個重要對象，平面幾何對這兩者之間的關系進行了定性

的研究，即依照它們公共點的個數(shù)來判定位置關系.但在實際問題中，我們會經(jīng)

常遇到直線與圓的位置關系的定量刻畫問題，如當直線與圓有公共點時，其公共

點的準確位置的確定問題，這是平面幾何沒有解決好的問題。學習了坐標法后，

可以通過建立平面直角坐標系，使得直線與圓可以用方程表示，從而將直線與圓

的位置關系的研究轉化為了直線的方程與圓的方程之間的數(shù)量關系的研究。在研

究幾何圖形的性質時，要充分體現(xiàn)“形”的直觀性和“數(shù)”的嚴謹性。

二.目標和目標解析

本節(jié)課的目標是，能根據(jù)給定直線及圓的方程，判斷直線與圓的位置關系，

并能熟練運用直線與圓的位置關系解決有關問題。

理解直線與圓的位置關系可以通過直線與圓的方程所組成的方程組的解來確

定，并在直線與圓有公共點時，能通過聯(lián)解方程組得出直線與圓的公共點的坐標;

能通過點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，并將求得的距離與圓的半徑

進行比較，從而確定直線與圓的位置關系；通過直線與圓的位置關系的代數(shù)化處

理，使學生進一步認識到坐標系是聯(lián)系“數(shù)”與“形”的橋梁，從而更深刻地體

會坐標法思想。

三.教學問題診斷分析

從“形”的角度分析直線與圓的位置關系如何轉化到從“數(shù)”的角度刻畫它

們之間的位置關系？這是本節(jié)課的一個教學難點，這里教師可以指導學生分析目

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標，選擇方法，讓學生在探究中解決問題。

數(shù)式變形和解方程組也可能成為本節(jié)課目標達成的障礙，教師可以引導學生

適當利用圖形的幾何性質，簡化計算，并歸納總結，優(yōu)化解決問題的方法。

生活中的實際問題轉化為數(shù)學問題也是學生學習的障礙，教師可以充分發(fā)揮

學生的積極性與主動性，引導學生去討論、歸納和總結促使目標的達成。

四.教學支持條件分析

為了使學生更好地掌握本節(jié)課所學內容，教學中應將精力放在直線與圓位置

關系的判斷方法及其簡單應用上，同時要突出數(shù)學思想方法。本節(jié)課應設計如下

教學條件支持教學，以更好的達到教學目標。

理想的教學應該是在多媒體設備輔助條件下完成；教學之前，教師制作好多

媒體課件；在教學過程中，為避免生硬，還需合理使用黑板；同時結合投影儀，

將學生的解題過程用投影儀展示出來。

五.教學過程設計

教師：前面我們學習了直線和圓的方程。解析幾何以幾何為研究對象，不可能不

研究圖形之間的位置關系。板書課題：“直線、圓的位置關系”

問題1:任意畫一個圓和一條直線，請判斷它們之間的位置關系。

（教師任意畫一條直線和一個圓）

問題2：你是如何判斷直線/與圓。的位置關系？

學生可能的回答是初中的方法（初中已有的知識基礎），這時可以引導并整

理，形成下表左邊所示的內容。

形數(shù)

直線

圓

公共點的個數(shù)

相離無公共點

相切只有一個公共點

相交兩個公共點

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問題3：請判斷直線CD與圓。的位置關系？

（保持圓和直線的相對位置不變的情況下，拖動點（1,0）、再觀察）

如果學生說“看出來的?！眲t有這樣幾種應對方法：（1）“要是這樣呢？你也能看

得出來嗎？”（畫得似乎相切一一很難看出來是相切還是相交）；（2）問一問其他

同學，都是這樣看出來的嗎？（3）能否量化？（根據(jù)數(shù)量來判斷）

意圖：利用不同的單位長度造成誤解，為后續(xù)引出用坐標法解決問題做鋪墊

引導學生思考，建立坐標系，利用方程來解決。

教師：解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門學科。

怎樣通過直線、圓的方程來研究它們的關系呢？引導并整理，形成下表右邊

所示的內容。

形數(shù)

直線直線的方程

圓圓的方程

公共點的個數(shù)方程組是否有實數(shù)解

相離無公共點方程組無實數(shù)解

相切只有一個公共點方程組有一組實數(shù)解

相交兩個公共點方程組有兩組實數(shù)解

問題4：已知：直線/:3x+y—6=0與圓。:f+/一2丁一4=0,判斷直線/與圓C

的位置關系；若相交，求出交點坐標。

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思路1:突出通過方程的研究，研究公共點的問題，不借助幾何。

思路2：借助初中已經(jīng)有的幾何方法，是幾何方法的代數(shù)體現(xiàn)。直線到圓心的距

離與半徑的關系一一(通過距離公式)數(shù)量關系(不等式與等式)。

教師：為什么方程組有兩組實數(shù)解就表明它們有兩個交點？(代數(shù)到幾何)

意圖：突出解析法的思想，幾何關系用代數(shù)方法解決，由代數(shù)結果得到相應的幾

何結論。

問題5：請你寫出一條過點M(-3,-3)的直線和一個以點C(0,-2)為圓心的圓的方

程，判斷它們之間的位置關系并說明理由。

意圖：讓學生自己命題，畫圖，并說明自己是怎樣來命題的。他們必然考慮圖形

之間的關系與相應的方程之間的關系，促使它們加強數(shù)與形的結合。這是

解析幾何的本質。

問題6：已知過點M(-3,-3)的直線/被圓。:f+產(chǎn)+——21=0截的弦長為46,

求直線/的方程。

引導學生設直線/的方程為：y+3=k(x+3)

思路1：聯(lián)立方程組j=+,消去y,得到關于x的方程，再利用

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x+y+4y-21=0

韋達定理和弦長公式求得左，即可確定直線/的方程。

思路2：先利用圓的幾何性質求得圓心到直線的距離為遙，再利用點C(0,-2)到

直線/：,+3=左(％+3)直線的距離為求得左，即可確定直

線/的方程。

教師：涉及到圓的弦長問題時，常利用垂徑定理和半弦長、弦心距及半徑構成的

直角三角形進行計算進行簡化運算；涉及到弦長問題時，也可利用設而不

求、韋達定理來求解，滲透弦長公式，為以后研究圓錐曲線的弦長問題打

下基礎。比較兩種思路，顯然利用圓的幾何性質可以簡化運算。能否結合

圖形解釋為什么左有兩個？

意圖：關注幾何關系的代數(shù)表示，代數(shù)結果的幾何意義。解決問題的過程也是“兵

分兩路，雙管齊下”——幾何上如何，代數(shù)上如何？

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教師：今天學習了直線、圓的位置關系，在現(xiàn)實生活中有很多問題可以利用它來

解決，例如臺風影響輪船的航行問題。

思考：一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位

于輪船正西70千米處，受影響的范圍是半徑為30千米的圓形區(qū)域。已知

港口位于臺風中心正北40千米處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是

否會受到臺風的影響？

意圖：此問題作為思考題留給學生，體現(xiàn)數(shù)學來源于生活又服務于生活。

小結：教師：今天我們學習了什么內容？你有哪些收獲？

意圖：讓學生自己小結，加深對本節(jié)課內容的認識，提高學生用數(shù)學語言歸納的

能力，同時也培養(yǎng)了學生合作交流的能力。

六.目標檢測設計

1、判斷直線