專題24直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（舉一反三）（人教A版2019選擇性）

專題2.4直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)】 1【題型2經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線方程】 3【題型3由直線的交點(diǎn)求參數(shù)】 4【題型4三線能圍成三角形的問題】 6【題型5兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用】 8【題型6點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用】 9【題型7兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用】 11【題型8與距離有關(guān)的最值問題】 12【知識(shí)點(diǎn)1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)】1．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線,直線.方程組的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行【題型1求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)】【例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線x+2y?4=0與直線2x?y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【解題思路】解方程組x+2y?4=02x?y+2=0【解答過程】解方程組x+2y?4=02x?y+2=0得x=0即直線x+2y?4=0與直線2x?y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)．故選：C.【變式11】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線2x+y+8=0和直線x+y1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(9，10) B．(9，10) C．(9，10) D．(9，10)【解題思路】直接解方程組可得.【解答過程】解方程組2x+y+8=0，x+y-1=0，得故選：B.【變式12】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系．如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)．(1)直線l1(2)直線l1【解題思路】（1）解方程組，可得交點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)方程組的解的個(gè)數(shù)判斷位置關(guān)系；（2）分類討論n，解方程組可得答案.【解答過程】（1）聯(lián)立2x?3y+10=03x+4y?2=0，解得x=?2所以兩直線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,2).（2）當(dāng)n=?1時(shí)，l1:x+y?2=0，聯(lián)立x+y?2=0x+y?2=0當(dāng)n=1時(shí)，l1:x?y=0，聯(lián)立x?y=0x?y+2=0當(dāng)n≠±1，聯(lián)立nx?y=n?1ny?x=2n，解得x=所以兩直線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(n綜上所述：當(dāng)n=?1時(shí)，兩直線重合；當(dāng)n=1時(shí)，兩直線平行；當(dāng)n≠±1時(shí)，兩直線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(n【變式13】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系.若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.【解題思路】?jī)蓚€(gè)直線方程列方程組求解，方程組有解即得交點(diǎn)坐標(biāo)，方程組無解則兩直線平行（有無數(shù)解，則兩直線重合）．【解答過程】（1）解方程組2x+y+3=0x?2y?1=0得x=?1y=?1所以直線l1與l（2）解方程組x+y+2=02x+2y+3=0所以直線l1與l2無公共點(diǎn)，即l1//l2.【題型2經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線方程】【例2】（2023秋·天津西青·高二?？计谀┻^直線l1:x?2y+4=0與直線l2A．2x?y=0 B．2x+y=0 C．x?2y=0 D．x+2y=0【解題思路】先求出直線l1:x?2y+4=0與直線【解答過程】聯(lián)立方程{x?2y+4=0x+y+1=0得x=?2,y=1，即l1與又直線過原點(diǎn)所以此直線的方程為：x+2y=0故選：D.【變式21】（2023春·廣東韶關(guān)·高二?？计谥校┙?jīng)過兩條直線l1:x+yA．2x?yC．3x?2y【解題思路】先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用直線的方向向量求出斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程.【解答過程】聯(lián)立直線l1與l2，x+所以直線l1：x+y=2，l2又直線的一個(gè)方向向量v=(?3,2)，所以直線的斜率為?故該直線方程為：y?1=?2故選：D.【變式22】（2023秋·廣東廣州·高一?？计谥校┻^兩直線x+y?3=0,2x?y=0的交點(diǎn)，且與直線y=13xA．x+3y+5=0 B．x+3y?5=0C．x?3y+5=0 D．x?3y?5=0【解題思路】先求出兩直線交點(diǎn)，再由與直線y=1【解答過程】由x+y?3=02x?y=0解得x=1y=2，則直線x+y?3=0,2x?y=0的交點(diǎn)又直線y=13x的斜率為13，則所求直線方程為故選：C.【變式23】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知直線l1:x?y+1=0，l2:x?2=0，則過l1和lA．3x?4y?1=0 B．3x?4y+1=0C．4x?3y?1=0 D．4x?3y+1=0【解題思路】由于所求出直線與直線3x+4y?5=0垂直，所以設(shè)所求直線為4x?3y+m=0，然后求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入上式方程可求出m，從而可求出直線方程【解答過程】由于所求出直線與直線3x+4y?5=0垂直，所以設(shè)所求直線為4x?3y+m=0，由x?y+1=0x?2=0，得x=2y=3，即l1和l因?yàn)橹本€4x?3y+m=0過點(diǎn)(2,3)，所以8?9+m=0，得m=1，所以所求直線方程為4x?3y+1=0，故選：D.【題型3由直線的交點(diǎn)求參數(shù)】【例3】（2022秋·廣東廣州·高二?？茧A段練習(xí)）直線3x?(k+2)y+k+5=0與直線kx+(2k?3)y+2=0相交，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠?9 C．k≠1或k≠9 D．k≠1且k≠?9【解題思路】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解作答.【解答過程】因直線3x?(k+2)y+k+5=0與直線kx+(2k?3)y+2=0相交，則3(2k?3)?k[?(k+2)]≠0，即(k+9)(k?1)≠0，解得k≠1且k≠?9，所以實(shí)數(shù)k的值為k≠1且k≠?9.故選：D.【變式31】（2022秋·廣東惠州·高二?？计谥校┮阎本€mx+5y?3=0與x?3y+n=0互相垂直，且交點(diǎn)為p,1，則m+n+p=（

）A．24 B．20 C．18 D．10【解題思路】首先根據(jù)兩條直線垂直求m，再根據(jù)兩條直線過交點(diǎn)p,1，代入后分別求p,n.【解答過程】因?yàn)閮芍本€互相垂直，所以m+5×?3=0，得m=15，直線為15x+5y?3=0，代入交點(diǎn)p,1，得15p+5?3=0，p=?215，再將交點(diǎn)?215,1所以m+n+p=18.故選：C.【變式32】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線kx?y=k?1與直線ky?x=2k相交且交點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則k的取值范圍為（

）A．k>1 B．k<12 C．0<k<1【解題思路】先根據(jù)直線相交求k的取值范圍，再聯(lián)立方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)列式求解即可.【解答過程】若直線kx?y=k?1與直線ky?x=2k平行或重合，則k2?1=0，解得若直線kx?y=k?1與直線ky?x=2k相交，可得k≠1且k≠?1，則有：聯(lián)立方程kx?y=k?1ky?x=2k，解得x=kk?1由題意可得：kk?1<02k?1綜上所述：k的取值范圍為0,1故選：C.【變式33】（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）若三條直線2x+y?4=0，x?y+1=0與ax?y+2=0共有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1【解題思路】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，利用直線平行即求.【解答過程】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，∵直線x?y+1=0和直線2x+y?4=0不平行，∴直線x?y+1=0和直線ax?y+2=0平行或直線2x+y?4=0和直線ax?y+2=0平行，∵直線x?y+1=0的斜率為1，直線2x+y?4=0的斜率為?2，直線ax?y+2=0的斜率為a，∴a=1或a=?2.故選：C.【題型4三線能圍成三角形的問題】【例4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若三條直線x+y=0，x?y=0，x+ay=3構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≠±1 B．a(chǎn)≠1，a≠2 C．a(chǎn)≠?1 D．a(chǎn)≠±1，a≠2【解題思路】由題意可得，三條直線中任意兩條不平行，且三條直線不共點(diǎn)，由此求得a的范圍．【解答過程】解：∵三條直線x+y=0，x?y=0，x+ay=3構(gòu)成三角形，故三條直線中任意兩條不平行，且三條直線不共點(diǎn)．而直線x+y=0和x?y=0交于原點(diǎn)，無論a為何值，直線x+ay=3總不經(jīng)過原點(diǎn)，因此，要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線x+ay=3與另兩條直線不平行，所以a≠±1，故選：A．【變式41】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≠?2 B．a(chǎn)≠±1C．a(chǎn)≠?2且a≠±1 D．a(chǎn)≠?2且a≠1【解題思路】由三條直線兩兩不平行，且不交于同一點(diǎn)可得．【解答過程】已知三條直線能構(gòu)成三角形，首先不平行，若a=0，則三條直線圍成三角形，若a≠0，則a1≠1a，a≠±1時(shí)，由ax+y+1=0x+y+a=0，得x=1y=?(a+1)，代入x+ay+1=0得1?a(a+1)+1=0，a=1或a=?2綜上：a≠±1且a≠?2．故選：C．【變式42】（2022秋·新疆喀什·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)a的取值不可能為（

）A．1 B．13 C．﹣2 【解題思路】分析可得直線l1,l2一定相交，聯(lián)立兩方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，當(dāng)a=0時(shí)，直線l3為x=3，分析可得不滿足題意，當(dāng)a≠0時(shí)，當(dāng)直線l3分別與直線l1、l2【解答過程】因?yàn)橹本€l1的斜率為3，直線l2的斜率為?12，所以直線l1,l當(dāng)a=0時(shí)，直線l3與x軸垂直，方程為：x=3不經(jīng)過點(diǎn)(1,2)當(dāng)a≠0時(shí)，直線l3的斜率為：1當(dāng)直線l1與直線l3的斜率相等時(shí)，即1a當(dāng)直線l2與直線l3的斜率相等時(shí)，即1a當(dāng)直線l3過直線l1,l2交點(diǎn)(1,2)時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形，即有故選：A.【變式43】（2022秋·浙江金華·高二期中）已知三條直線ax+2y+8=0、4x+3y=10和2x?y=10中沒有任何兩條平行，但它們不能構(gòu)成三角形的三邊，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．?1 B．0 C．1 D．2【解題思路】由三條直線過同一點(diǎn)，求得a，并判斷不重合即得．【解答過程】由已知得三條直線必過同一個(gè)點(diǎn)，則聯(lián)立4x+3y=102x?y=10，解得這兩條直線的交點(diǎn)為(4，?2)代入ax+2y+8=0可得a=?1，此時(shí)沒有兩條直線重合．故選：A.【知識(shí)點(diǎn)2距離公式】1．兩點(diǎn)間的距離公式平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為.

特別地，原點(diǎn)O到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|=.2．點(diǎn)到直線的距離公式(1)定義：點(diǎn)P到直線l的距離，就是從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長(zhǎng)度，其中Q是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外該點(diǎn)的連線的最短距離.

(2)公式：

已知一個(gè)定點(diǎn)，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點(diǎn)P到直線l的距離為d=.3．兩條平行直線間的距離公式(1)定義

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng).

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.4．中點(diǎn)坐標(biāo)公式公式：

設(shè)平面上兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則.【題型5兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用】【例5】（2023秋·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A0,3,B3,?1，則ABA．5 B．26 C．32【解題思路】由距離公式求解.【解答過程】AB=故選：A.【變式51】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A?2,?1，Ba,3，且AB=5A．1 B．?5 C．1或?5 D．?1或5【解題思路】利用兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)造方程求得結(jié)果.【解答過程】由題意知：AB=a+22+故選：C.【變式52】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(?1,2),B(0,4)，點(diǎn)C在x軸上，且AC=BC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（A．?112,0 B．0,?112 【解題思路】設(shè)Ca,0，因?yàn)锳C【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)C在x軸上，設(shè)點(diǎn)Ca,0，則AC所以a+12化簡(jiǎn)可得：a=112，所以故選：D.【變式53】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）以點(diǎn)A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點(diǎn)的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【解題思路】計(jì)算出AB,【解答過程】AB=BC=AC=AC2所以三角形ABC是直角三角形.故選：C.【題型6點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用】【例6】（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）點(diǎn)(1,1)到直線3x+4y?2=0的距離是（

）A．1 B．2 C．5【解題思路】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【解答過程】d=3+4?2故選：A.【變式61】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(4,0)到直線4x?3y+a=0的距離等于3，則a的值為（

）A．?1 B．?13或?19 C．?1或?31 D．?13【解題思路】由距離公式，解方程得出a的值.【解答過程】由距離公式可得，4×4?3×0+a42+32=3，即故選：C.【變式62】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a>0,b<0，則3b?aa2A．[?2,?1) B．(?2,?1)C．(?2.?1] D．[?2,?1]【解題思路】根據(jù)題意設(shè)直線l：ax+by=0，點(diǎn)A1,?3，利用點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)A到直線l的距離為d=a?3ba2+b【解答過程】根據(jù)題意，設(shè)直線l：ax+by=0恒過原點(diǎn)，點(diǎn)A1,?那么點(diǎn)A1,?3到直線l的距離為：因?yàn)閍>0,b<0，所以d=a?3ba2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，d=a?3b當(dāng)OA⊥l時(shí)，dmax所以1<d≤2，即1<a?因?yàn)?b?aa2故選：A.【變式63】（2023秋·廣東河源·高二?？计谀┻^點(diǎn)P?1,1引直線，使A2,3，B4,?5A．2x+y+1=0 B．x+2y?1=0C．2x+y+1=0或4x+y+3=0 D．x+2y?1=0或4x+y+3=0【解題思路】考慮直線斜率不存在和直線斜率存在，由點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出直線斜率，得到直線方程.【解答過程】若直線斜率不存在，即x=?1，此時(shí)A2,3，B若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y?1=kx+1由3k?21+k2=5k+6故直線方程為y?1=?4x+1或y?1=?整理得4x+y+3=0或x+2y?1=0.故選：D.【題型7兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用】【例7】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）兩條平行直線2x?7y+8=0與2x?7y?6=0間的距離為（

）A．5314 B．2 C．14 D．【解題思路】由距離公式求解即可.【解答過程】由距離公式可知，所求距離為d=8?故選：D.【變式71】（2023春·河南駐馬店·高二校考期中）已知a<0，若直線l1：ax+2y+1=0與直線l2：x+a+1A．724 B．522 C．5 【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合兩直線平行求得a=?2，再代入兩平行線間距離公式運(yùn)算求解.【解答過程】若直線l1：ax+2y+1=0與直線l2：x+a+1y?4=0平行，則aa+1當(dāng)a=1時(shí)，直線l1：x+2y+1=0與直線l2：當(dāng)a=?2時(shí)，直線l1：2x?2y?1=0與直線l2：綜上所述：若直線l1與直線l2平行，則a=1或∵a<0，則a=?2，此時(shí)直線l1：2x?2y?1=0，直線l2：故直線l1、l2之間的距離故選：A.【變式72】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與直線2x+y?1=0的距離等于55A．2x+y=0 B．2x+y?2=0C．2x+y=0或2x+y?2=0 D．2x+y=0或2x+y+2=0【解題思路】本題考查平行直線間的距離公式．【解答過程】設(shè)直線方程為2x+y+c=0，兩平行直線間的距離為d=c+1直線的方程為2x+y=0或2x+y?2=0故選C．【變式73】（2023秋·重慶渝北·高二校考期末）已知直線l1:2x+y+n=0，l2:4x+my?4=0互相平行，且l1,lA．?3或3 B．?2或4 C．?1或5 D．?2或2【解題思路】先根據(jù)兩直線平行由系數(shù)的關(guān)系求出參數(shù)m，然后由平行線間的距離公式求出參數(shù)n，最后由m+n即可求出答案.【解答過程】由l1//l2可得則直線l2的方程為2x+y?2=0由n+25=355，即n+2故m+n=2+1=3或m+n=2?5=?3，即m+n=±3.故選：A.【題型8與距離有關(guān)的最值問題】【例8】（2023春·上海寶山·高二?？奸_學(xué)考試）點(diǎn)M2,1到直線l:2λ+1x+A．355 B．5 C．3 【解題思路】由題意，求得直線所過定點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間距離公式，可得答案.【解答過程】由直線l:2λ+1x+1?λ令2x?y=0x+y+3=0，解得x=?1點(diǎn)M2