專題05平面向量及加減運(yùn)算（五大題型）八年級(jí)數(shù)學(xué)下培優(yōu)課程（滬教版）解析

20242025學(xué)年滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下同步培優(yōu)課程（強(qiáng)基篇）專題05平面向量及加減運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一：平面向量的概念1．有向線段。規(guī)定了方向的線段叫做有向線段．2．向量既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小也叫做向量的長度．（或向量的模）3．向量的表示（1）向量可以用有向線段直觀表示（2）常見的表示方法①向量，長度記為；②向量、、，長度記為、、．4．相等的向量。方向相同且長度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量．5．相反的向量。方向相反且長度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反的向量．6．平行向量。方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量．知識(shí)點(diǎn)二：向量的加法1．向量的加法求兩個(gè)向量的和向量的運(yùn)算叫做向量的加法．2．零向量長度為零的向量叫做零向量，記作．規(guī)定的方向可以是任意的（或者說不確定）；．因此，兩個(gè)相反向量的和向量是零向量，即：．對(duì)于任意向量，都有，．3．向量的加法滿足交換律：．4．向量的加法滿足結(jié)合律：．5．向量加法的三角形法則求不平行的兩個(gè)向量的和向量時(shí)，只要把第二個(gè)向量與第一個(gè)向量首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就是和向量．6．向量加法的多邊形法則幾個(gè)向量相加，可把這幾個(gè)向量首尾順次相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，就是這幾個(gè)向量的和向量．知識(shí)點(diǎn)三:向量的減法1．向量的減法已知兩個(gè)向量的和及其中一個(gè)向量，求另一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的減法．減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量，即：．2．向量減法的三角形法則在平面內(nèi)取一點(diǎn)，以這個(gè)點(diǎn)為公共起點(diǎn)作出這兩個(gè)向量，那么它們的差向量是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．3．向量加法的平行四邊形法則如果，是兩個(gè)不平行的向量，那么求它們的和向量時(shí)，可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)為公共起點(diǎn)作兩個(gè)向量與，相等，以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，然后以所取的公共起點(diǎn)為起點(diǎn)，作這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線向量，則這一對(duì)角線向量就是，的和向量，這個(gè)法則叫做向量加法的平行四邊形法則．4．另外一個(gè)對(duì)角線向量，即是，的差向量，這個(gè)差向量與被減向量共終點(diǎn)．題型1：向量的相關(guān)概念【例1】下列各量中是向量的是（）A．時(shí)間 B．速度 C．面積 D．長度【答案】B【詳解】根據(jù)向量的概念進(jìn)行判斷即可.解：既有大小，又有方向的量叫做向量；時(shí)間、面積、長度只有大小沒有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故選：．此題是個(gè)基礎(chǔ)題，本題的考點(diǎn)是向量的概念，純粹考查了定義的內(nèi)容．注意數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活之間的聯(lián)系．【例2】下列關(guān)于向量說法錯(cuò)誤的是A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模 C．長度為零的向量叫做零向量 D．零向量是沒有方向的【分析】根據(jù)平面向量的定義逐一判斷即可．【解答】解：、既有大小，又有方向的量叫做向量，故原說法正確；、向量的大小叫做向量的模，故原說法正確；、長度為零的向量叫做零向量，故圓說法正確；、零向量是有方向的，故原說法錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的定義是解題的關(guān)鍵．【例3】如果點(diǎn)、在線段上，，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A．與是相等向量 B．與是相等向量C．與是相反向量 D．與是平行向量【答案】D【詳解】解：點(diǎn)、在線段上，，．A、與方向相反，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、與方向相反，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、相反向量是方向相反，模相等的兩向量，而，與不是相反向量，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、與共線，與是平行向量，故本選項(xiàng)正確．故選：．由點(diǎn)、在線段上，，可得，然后根據(jù)相等向量、相反向量與平行向量的定義，即可求得答案．注意排除法的應(yīng)用．此題考查了平面向量的知識(shí)．解此題的關(guān)鍵是熟記相等向量、相反向量與平行向量的定義與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【例4】如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與相等的向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】方向相同，模長相等的向量為相等向量.AB選項(xiàng)均與方向不同，C選項(xiàng)與模長不等，D選項(xiàng)與方向相同，長度相等.故選：D【例5】以下描述和的關(guān)系不正確的是A．方向相反 B．模相等 C．平行 D．相等．【分析】利用單位向量的定義和性質(zhì)直接判斷即可．【解答】解：、和的關(guān)系是方向相反，正確；、和的關(guān)系是模相等，正確；、和的關(guān)系是平行，正確；、和的關(guān)系不相等，錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平面向量問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意單位向量、零向量、共線向量的定義和的性質(zhì)的合理運(yùn)用．【例6】如果是非零向量，那么下列等式正確的是A． B． C． D．【分析】長度不為0的向量叫做非零向量，本題根據(jù)向量的長度及方向易得結(jié)果．【解答】解：是非零向量，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是非零向量的長度及方向的性質(zhì)，注意熟練掌握平面向量這一概念．【例7】如果點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A．與是相反向量 B．與是相等向量 C．與是平行向量 D．【例8】根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則逐一判斷即可求解．【解答】解：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，與是相反量，與是相等向量，與是平行向量，，選項(xiàng)、、正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的運(yùn)算法則，熟練掌握平面向量的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【例9】如圖，在中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A．與是相等的向量 B．與是相等的向量 C．與是相反的向量 D．與是平行的向量．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平面向量的相關(guān)定義求解即可．【解答】解：四邊形是平行四邊形，與是相等的向量，與是相反的量，與是平行的向量，故、、正確；與方向不同且大小也不等，與不是相等的向量，故錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平面向量相關(guān)定義，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平面向量是解題的關(guān)鍵．【例10】已知四邊形是矩形，點(diǎn)是對(duì)角線與的交點(diǎn)．下列四種說法：①向量與向量是相等的向量；②向量與向量是互為相反的向量；③向量與向量是相等的向量；④向量與向量是平行向量．其中正確的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4．【分析】利用矩形的性質(zhì)，相等向量，平行向量的定義一一判斷即可．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，①向量與向量是相等的向量，正確．②向量與向量是互為相反的向量，正確．③向量與向量是相等的向量，錯(cuò)誤．④向量與向量是平行向量，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【例11】下列說法正確的有（

）①零向量是沒有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量與任一向量共線；④零向量只能與零向量共線．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．以上都不對(duì)【答案】B【詳解】本題考查零向量的定義以及性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握零向量的有關(guān)性質(zhì)根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于、零向量有方向，故可得A錯(cuò)誤；對(duì)于、符合零向量的定義，B正確；對(duì)于、符合零向量的性質(zhì)，C正確；D錯(cuò)誤；綜合可得答案解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于、零向量有方向，且其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于、零向量的方向是任意的，符合零向量的定義，B正確；對(duì)于、零向量與任一向量共線，C正確；對(duì)于、零向量與任一向量共線，D錯(cuò)誤．故選B．【例12】下列等式中錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)平面向量的加法法則一一判斷即可．【解答】解：、，正確．本選項(xiàng)不符合題意；、，正確．本選項(xiàng)不符合題意；、，錯(cuò)誤，本選項(xiàng)符合題意；、，正確，本選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的加法法則，屬于中考常考題型．題型2：向量的加法【例13】．【分析】根據(jù)共線向量和向量的模解答．【解答】解：．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．【例14】化簡（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由向量加法法則，求即可.，故選：C【例15】如圖是平行四邊形，則在向量（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，進(jìn)而根據(jù)向量加法的三角形法則求解即可.解：因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，，所以故選：D【例16】在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，那么（用、表示）．【考點(diǎn)】平面向量【分析】延長到，使得，連接．首先證明，，利用三角形法則求出即可解決問題；【解答】解：延長到，使得，連接．，，，，，，，，，，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定、三角形法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)倍長中線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．【例17】如圖，已知梯形，，點(diǎn)在底邊上，．如果設(shè)那么_____（用向量的式子表示）．【答案】．【考點(diǎn)】平面向量【分析】先證明四邊形是平行四邊形，得出，再根據(jù)平面向量三角形運(yùn)算法則求解即可．【解答】解：，，四邊形是平行四邊形，，，，又，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平面向量的三角形運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【例18】下列判斷中，不正確的是A． B． C．如果，那么 D．【答案】【考點(diǎn)】平面向量【分析】根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：，，，、、正確，，或，故錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型3：向量的減法【例19】化簡是A． B． C．0 D．【答案】【考點(diǎn)】平面向量【分析】根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算法則化簡即可求解．【解答】解：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的加減運(yùn)算，熟練掌握平面向量的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【例20】下列關(guān)于向量的等式中，正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算法則逐一判斷即可．【解答】解：、，、，、，、，選項(xiàng)、、錯(cuò)誤，選項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的加減運(yùn)算法則，熟練掌握平面向量的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【例21】在平行四邊形中，，則．【答案】．【考點(diǎn)】平面向量；平行四邊形的性質(zhì)【分析】在中，利用三角形法則求得；然后由平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)推知．【解答】解：在中，，則．在平行四邊形中，，，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量和平行四邊形，注意：向量既有大小又有方向．【例22】在□ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，那么____．【答案】【分析】由向量的平行四邊形法則及相等向量的概念可得答案．【詳解】解：因?yàn)椋骸魽BCD，所以，，所以：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量的平行四邊形法則，掌握向量的平行四邊形法則是解題的關(guān)鍵．題型4：向量的畫法【例23】已知向量；求作：（1） （2）答案：略（課堂上教師教學(xué)生畫圖及其必要步驟）【例24】如圖，已知向量、、、，分別畫出下列向量：（1）（2）參考答案：圖略?！纠?5】如圖，已知向量、、；求作：（1），（2）．參考答案：圖略。題型5：綜合題【例26】已知：如圖矩形中，和相交于點(diǎn)，設(shè)，．（1）填空：；（用、的式子表示）（2）在圖中求作．（不要求寫出作法，只需寫出結(jié)論即可．【分析】（1）先將用，表示后，即可得出結(jié)果；（2）延長到，使，由，，得出．【解答】解：（1），，，，故答案為：；（2）如圖所示，即為所求；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量三角形計(jì)算法則．【例27】如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形，（1）填空：；；（2）求作：．【分析】（1）直接根據(jù)三角形法則即可求解，其中是平行四邊形，則；（2），利用平行四邊形法則求解．【解答】解：（1）填空：；；（2），或．所畫圖形如下所示：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，注意平面向量定義及三角形和平行四邊形法則的熟練掌握．【例28】如圖，在四邊形中，，，在上，．（1）寫出圖中的所有相反向量；（2）如果，求；（3）寫出．【答案】（1），．（2）．（3）．【考點(diǎn)】平面向量【分析】（1）根據(jù)相反向量的定義即可直接求解．（2）根據(jù)已知條件可知，即可求出．（3）根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則即可直接求解．【解答】解：（1）圖中所有的相反向量為，．（2），，四邊形為平行四邊形，，，，，．（3）四邊形為平行四邊形，．．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，熟練掌握平面向量的運(yùn)算的法則是解決本題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2023春?奉賢區(qū)期末）下列關(guān)于向量說法錯(cuò)誤的是A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模 C．長度為零的向量叫做零向量 D．零向量是沒有方向的【答案】【考點(diǎn)】平面向量【分析】根據(jù)平面向量的定義逐一判斷即可．【解答】解：、既有大小，又有方向的量叫做向量，故原說法正確；、向量的大小叫做向量的模，故原說法正確；、長度為零的向量叫做零向量，故圓說法正確；、零向量是有方向的，故原說法錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的定義是解題的關(guān)鍵2.(2023閔行區(qū)八年級(jí)期末）下列各式中正確的有()（1）如果，則;（2）（3）（4）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案：C．3.（2024黃浦區(qū)八年級(jí)期末）下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.零向量是沒有方向的B.零向量的長度為0C.零向量與任一向量平行D.零向量的方向是任意的解題分析：注意零向量長度為0，方向是任意的.答案：A.4.（2023大同中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知四邊形ABCD是等腰梯形，ABED是平行四邊形.下列結(jié)論中正確的是（）A.與是相等的向量；B.；C．與不是平行向量；D.解題分析：A選項(xiàng)與是相反向量，B選項(xiàng)，C選項(xiàng)與是平行向量答案：D.5.（2024市北中學(xué)期末）已知正方形ABCD的邊長為1，=,=,=,則｜++｜為()A.0 B.3 C. D.2解題分析：++=2，因?yàn)?2，++=2=2，故選D答案：D.6.（2023實(shí)驗(yàn)西校期末）已知平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列等式成立的是（C）A.B.C.D.二、填空題7．（2023嘉定區(qū)春季期末）化簡：＝___．【答案】【分析】先去括號(hào)，再按照向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的線性運(yùn)算，向量的加，減，數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，掌握向量的線性運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.8.（2024松江區(qū)春季期末）在四邊形ABCD中，向量、、的和向量是.【答案】9.（2024金山區(qū)春季期末）向量(+)+(+)+化簡后等于【答案】10.（2023建平中學(xué)月考）＝“向東走4km”，＝“向南走3km”,則｜+｜=.答案5km11.（2023建平中學(xué)月考）已知=,=,=,=,=,則+++=.【答案】12.（2023建平中學(xué)月考）已知，則【答案】13.如圖，B、D在□AECF的對(duì)角線上，且有EB=DF中，設(shè)，則：______；______．【答案】、.14.在平行四邊形ABCD中，.【答案】；15.如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量=【答案】；【解析】，.16.如圖,已知梯形ABCD中,AB∥DC,點(diǎn)E在AB上,EC∥AD.在圖中指出下列幾個(gè)向量的和向量:(1).(2).【答案】(1)(2)17.已知，若A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，則【答案】；18.如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，設(shè)向量，，如果用向量表示向量，那么=．【答案】．【解析】解：∵向量，，，∴，∵AD是邊BC上的中線，∴．故答案為：．三、解答題19.如圖所示，的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，且用表示【思路點(diǎn)撥】利用三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算，用向量法討論幾何問題，關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)幕蛄勘硎酒渌蛄浚绢}的基底就是，由它可以