數(shù)學(xué)規(guī)劃模型實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)規(guī)劃模型試驗(yàn)

數(shù)學(xué)教研組盧鵬.7.23

第1頁優(yōu)化問題及其普通模型：

引言

優(yōu)化問題是人們?cè)诠こ碳夹g(shù)、經(jīng)濟(jì)管理和科學(xué)研究等領(lǐng)域中最常碰到問題之一。比如：設(shè)計(jì)師要在滿足強(qiáng)度要求等條件下選擇材料尺寸，使結(jié)構(gòu)總重量最輕；企業(yè)經(jīng)理要依據(jù)生產(chǎn)成本和市場(chǎng)需求確定產(chǎn)品價(jià)格，使所獲利潤最高；調(diào)度人員要在滿足物質(zhì)需求和裝載條件下安排從各供給點(diǎn)到需求點(diǎn)運(yùn)量和路線，使運(yùn)輸總費(fèi)用最低；投資者要選擇一些股票,債券下注,使收益最大,而風(fēng)險(xiǎn)最小…………第2頁普通地，優(yōu)化模型能夠表述下：

這是一個(gè)多元函數(shù)條件極值問題，其中

.

許多實(shí)際問題歸結(jié)出這種優(yōu)化模型，若決議變量個(gè)數(shù)較少可用微分法求解;不過其決議變量個(gè)數(shù)n和約束條件個(gè)數(shù)m較大，而且最優(yōu)解往往在可行域邊界上取得，數(shù)學(xué)規(guī)劃就是處理這類問題有效方法。

第3頁數(shù)學(xué)規(guī)劃模型分類：

“數(shù)學(xué)規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)和管理科學(xué)中應(yīng)用及其廣泛分支。數(shù)學(xué)規(guī)劃包含線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、幾何規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃等，用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法處理實(shí)際問題，就要將實(shí)際問題經(jīng)過抽象、簡化、假設(shè)，確定變量與參數(shù)，建立適當(dāng)層次上數(shù)學(xué)模型，并求解。

第4頁建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型步驟:Step1.尋求決議，即回答什么？必須清楚，無歧義。閱讀完題目標(biāo)第一步不是尋找答案或者解法，而是……Step2.確定決議變量第一起源：Step1結(jié)果，用變量固定需要回答決議第二起源：由決議導(dǎo)出變量（含有派生結(jié)構(gòu)）其它起源：輔助變量（聯(lián)合完成更清楚回答）Step3.確定優(yōu)化目標(biāo)用決議變量表示利潤、成本等。Step4.尋找約束條件決議變量之間、決議變量與常量之間聯(lián)絡(luò)。第一起源：需求；第二起源：供給；其它起源：輔助以及常識(shí)。Step5.組成數(shù)學(xué)模型將目標(biāo)以及約束放在一起，寫成數(shù)學(xué)表示式。

第5頁目錄

線性規(guī)劃非線性規(guī)劃二次規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃

第6頁例1：加工奶制品生產(chǎn)計(jì)劃

一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)A1，A2兩種奶制品，一桶牛奶能夠在設(shè)備甲上用12小時(shí)加工成3千克A1，或者在設(shè)備乙上用8小時(shí)加工成4千克A2。依據(jù)市場(chǎng)需求，生產(chǎn)A1、A2全部能夠售出，且每千克A1贏利24元，每千克A2贏利16元?，F(xiàn)在加工廠天天能夠得到50桶牛奶供給，天天正式工人總勞動(dòng)時(shí)間為480小時(shí)，而且設(shè)備甲天天至多能加工100千克A1，設(shè)備乙加工能力沒有限制。試為該廠制定一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，使天天贏利最大?第7頁天天50桶牛奶

時(shí)間480小時(shí)

至多加工100千克A1

制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使天天贏利最大

1桶牛奶

3千克A1

12小時(shí)

8小時(shí)

4千克A2

或贏利24元/千克

贏利16元/千克

問題分析第8頁引入決議變量

x1桶牛奶生產(chǎn)A1，x2桶牛奶生產(chǎn)A2（天天）目標(biāo)函數(shù)（天天贏利）生產(chǎn)A1贏利：24×3x1

生產(chǎn)A2贏利：16×4x2

天天贏利總額：z=72x1+64x2

約束條件原料供給：x1+x2≤50勞動(dòng)時(shí)間：12x1+8x2≤480加工能力：3x1≤100非負(fù)約束：x1,x2≥0模型組成：第9頁線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：第10頁線性規(guī)劃求解標(biāo)準(zhǔn)形式：其中：均為列向量，為矩陣。調(diào)用格式：[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)其中：x給出極小點(diǎn)，fval給出目標(biāo)函數(shù)極小值，options是控制參數(shù)，可用help查詢。第11頁Matlab程序以下：

c=[-72,64];A=[1,1;12,8;3,0];b=[50;480;100];Ib=[0;0];ub=1e+10*[1;1];[x,fval]=linprog(c,A,b,[],[],lb,ub)結(jié)果以下：

x=[20;30]fval=-3360第12頁例2：求解線性規(guī)劃問題Matlab程序以下：c=[2;3;-5];A=[-2,5,-1];b=-10;Aeq=[1,1,1];beq=7;lb=[0;0;0];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb)

第13頁例3：求解非線性規(guī)劃問題第14頁非線性規(guī)劃求解標(biāo)準(zhǔn)形式：其中：調(diào)用格式：[x,fval,h]=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlcon)其中：nonlcon是非線性約束函數(shù)，x0是迭代初始點(diǎn)。和是非線性約束。第15頁Matlab程序以下：

建立非線性約束函數(shù)m文件lpnon.mfunction[c,ceq]=lpcon(x)c=(x(1)-1)^2-x(2);Ceq=[];建立目標(biāo)函數(shù)m文件fun.mfunctionf=fun(x)f=x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2);在命令窗口中輸入x0=[0;1];A=[-23];b=6;Aeq=[];beq=[];lb=[];ub=[];[x,fval,h]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@lpcon)結(jié)果：x=[3;4],fval=-13,h=1第16頁例4：求解二次規(guī)劃問題第17頁二次規(guī)劃求解標(biāo)準(zhǔn)形式：其中：H是實(shí)對(duì)稱矩陣。調(diào)用格式：[x,fval]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)第18頁Matlab程序以下：

H=[1,-1;-1,2];c=[-2;-6];A=[1,1;-1,2;2,1];b=[2;2;3];Aeq=[];beq=[];lb=zeros(2,1);ub=[];[x,fval]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)結(jié)果：x=[0.6667;1.3333],fval=-8.2222第19頁例5：求解整數(shù)規(guī)劃問題第20頁整數(shù)規(guī)劃求解----隨機(jī)投點(diǎn)法編寫目標(biāo)函數(shù)和約束條件m文件：function[f,g]=mengte(x)f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)^2-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-x(4)-2*x(5);g(1)=sum(x)-400;g(2)=x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800;

g(3)=2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200;g(4)=x(3)+x(4)+5*x(5)-200;第21頁Matlab程序以下：

p0=0;x0=zeros(5,1);ticfori=1:100000x1=99*rand(5,1);x=round(x1);[f,